Уравнения смешанного типа

Это одно из простейших уравнений смешанного типа. Оно эллиптическое в полуплоскости, соответствующей дозвуковому течению, и гиперболическое в полуплоскости, где течение является сверхзвуковым. Характерным для этого уравнения является то, что в отличие от уравнения (2.17) оно нелинейное в физической плоскости. В плоскости годографа в плоском случае уравнение (2.19) с помощью специальных преобразований можно привести к классическому уравнению смешанного типа — уравнению Три-коми. (Плоскость переменных и, v называют плоскостью годографа, а плоскость х, у — физической плоскостью.) [c.36]

Любое нз приведенных уравнений или их комбинацию можно использовать для решения кавитационной задачи. При этом (V.2.1) и (V.2.2) следует рассматривать как интегральные уравнения смешанного типа в точках, лежащих на контурах Ki и искомой величиной является функция у (S ), относительно которой интегральные уравнения линейны. [c.198]

Результаты теоретических и экспериментальных исследований ползучести гибких, шарнирно опертых по краю сферических оболочек под действием постоянного внешнего давления приведены в работе [82]. Численные исследования проведены на основе вариационного уравнения смешанного типа, ползучесть материала описана теорией течения. Силы, моменты, перемещения аппроксимированы полиномами с двумя-тремя искомыми параметрами. Использование вариационного принципа [72] приводит к системе дифференциальных уравнений по времени, которые интегрируются методом Рунге — Кут-та. Время потери устойчивости оболочки определяется ло резкому осесимметричному выпучиванию. Описаны методика и результаты экспериментальных исследований ползучести нейлоновых оболочек. Отмечается большой разброс значений критического времени в дублирующих опытах, значительные расхождения в результатах теоретических и экспериментальных исследований. [c.10]

В качестве примера учета начального прогиба рассмотрим устойчивость цилиндрической оболочки конечной длины I при действии осесимметричного равномерно распределенного импульсного давления p t) [39]. Принято считать, что срединная поверхность оболочки имеет начальные неправильности, совпадающие по форме с прогибами при потере устойчивости. Изучим лишь такие процессы, в которых амплитуда изгибных прогибов не превосходит толщины оболочки. В этом случае в рамках теории пологих оболочек поведение оболочки будет описываться системой уравнений смешанного типа относительно функции напряжений Ф и нормального прогиба W. [c.512]

Краевая задача (1.7)-(1.8) или (1.11)-(1.12) имеет много общего с задачей Трикоми для уравнения смешанного типа — гиперболического при г > о и эллиптического при г < 0. [c.94]

Это верно также и без линеаризации, но в таком случае М будет зависеть от координат. Следовательно, возможны трансзвуковые потоки и соответствующие им дифференциальные уравнения смешанного типа (эллиптические в одних областях и гиперболические в других), как показано в 6. [Смешанным течениям посвящена обширная литература см., например, [7 ] и [8 ].— Ярил, ред.] [c.34]

Одним из наиболее простых уравнений смешанного типа, на важность применения которого к решению газодинамических задач с переходом через скорость звука указал Ф. И. Франкль ) (1945), является уравнение Трикоми ) [c.36]

Для получения решений корректно поставленных задач используются современные вычислительные методы, позволяющие, применительно к классам математических задач для уравнений смешанного типа, проводить вычисления с высокой точностью, ограничиваемой лишь техническими возможностями компьютера. [c.10]

Преобразование переменной а ту (а) позволяет получить другую каноническую форму уравнения Чаплыгина как уравнения смешанного типа [c.47]

Некоторые сведения из теории линейных уравнений смешанного типа 49 [c.49]

Приведем в эвристическом изложении основные понятия и результаты теории линейных уравнений смешанного типа, представляющие интерес с точки зрения задач трансзвуковой аэродинамики. [c.49]

Произвольное линейное уравнение смешанного типа при достаточно слабых ограничениях может быть приведено к одной из двух канонических форм [92] [c.49]

Задача Трикоми состоит в отыскании решения уравнения смешанного типа в области, содержащей отрезок линии вырождения и ограниченной (в подобласти гиперболичности) характеристиками, выпущенными из его концов. Условие для искомой функции ставится на незамкнутом контуре, состоящем из одной характеристики и границы эллиптической подобласти без отрезка линии вырождения. На рис. 1.19 указана область определения задачи Трикоми и ряда родственных задач. [c.51]

Это соотношение можно принять за краевое условие. Тогда сформулированная выше задача в прямоугольнике АВС В для уравнения смешанного типа сводится к краевой задаче для вырождающегося на звуковой линии эллиптического уравнения в прямоугольнике. Аналогичная формула имеет место и для уравнения Чаплыгина в этом более общем случае формула (3) представляет собой главный член ее асимптотического разложения. [c.106]

В соответствии с формулировкой задачи, (10) является уравнением смешанного типа, так как W ,y) > О, W —oo,y) < 0. Для сопла конечной длины W B,y) <0, О у 1. [c.112]

Однако методы установления сходятся довольно медленно. Существенно увеличить скорость сходимости при численном решении уравнений смешанного типа позволяет использование метода верхней релаксации [153]. [c.125]

В области между телом и отошедшей ударной волной поток движется как с дозвуковой, так и со сверхзвуковой скоростью, поэтому течение имеет трансзвуковой характер — описывается уравнениями смешанного типа. [c.220]

В. И. Кузнецов принял те же допущения, что и Г. Э. Проктор — постоянство давления основания по ширине балки и постоянство осадок в поперечном направлении, причем автор оперирует не с уравнениями осадок, а с уравнениями реактивного давления. В. И. Кузнецов исходит из равенства суммы перемещений (смятия края, прогибов балки и осадок основания) постоянной величине, подставляет в него найденные выражения и получает интегральное уравнение смешанного типа. Интегрирование проводится численным методом по трапециям с разбивкой балки на равные участки. [c.98]

Одним из наиболее ярких достижений современной газовой динамики явилось познание закономерностей перехода через скорость звука. Трансзвуковая газодинамика дала толчок развитию новой области математической физики — теории уравнений смешанного типа. Вместе с тем модели околозвуковых, а также гиперзвуковых течений особенно тесно примыкают к практическим задачам. Однако сегодня их разработку вряд ли можно считать законченной. Теоретическая газовая динамика еще далеко не разрешила всех своих проблем и нуждается в дальнейшем развитии. [c.218]

Как уже указывалось, при решении плоской кавитационной задачи (V.3.13) и (V.3.14) следует рассматривать как интегродиф-ференциальные уравнения смешанного типа. [c.207]

Система (7.56), (7.57) — есть система интегральных уравнений смешанного типа (по t — типа Вольтерра, а по Хг — типа Фред-гольма). [c.293]

Развитием описанной расчетной модели может служить дискретно-континуальная модель, т. е. твердое тело (штамп), заглубленное в упругое полупространство, модель которого может иметь различные виды (чисто упругое, уйругопластическое, среда с односторонним видом деформаций и т. д.). Математической моделью этого случая будет система дифференциальных уравнений смешанного типа шесть обыкновенных дифференциальных нели- [c.322]

Естественным развитием последней модели может быть описанная модель, опертая на упругое полупространство (дискретноконтинуальная модель). Математическая модель — система дифференциальных уравнений смешанного типа. [c.323]

Отметим одну характерную особенность, которая может быть использована как упрощающее обстоятельство при описании пространственных движений модели тела или системы тел, соединенных с упругим полупространством. Упругое пространство можно дискретизировать и представить системой конечных элементов — тел или точек (рис. 98). При этом математическая модель из дифференциальных уравнений смешанного типа приводится к системе обыкновенных нелинейных дифференциальных уравнений, допускающих более простое алгоритмизирование ее для ЭЦВМ. [c.323]

В последние годы численные исследования ползучести оболочек проводятся также методом конечных элементов [89, 94]. Однако для задач осесимметричногс деформирования оболочек рациональнее использовать метод Ритца, применяемый на основе вариационных уравнений смешанного типа, так как напряженно-деформированное состояние оболочек может быть описано достаточно точно относительно небольшим числом координатных функций. [c.12]

Анализируя различные подходы к решению геометрически и физически нелинейных задач теории оболочек, выбираем вариационный подход. При построении вариационного уравнения термоползучести используем допущения технической теории гибких оболочек, успещ-но применяемой в расчетах упругих пологих оболочек, и физические соотношения в форме связи тензоров скоростей изменения деформаций и напряжений с учетом ползучести материала. Вариационное уравнение смешанного типа, в котором независимому варьированию подвергаются скорости изменения прогиба и функции усилий в срединной поверхности, позволяет использовать для описания реологических свойств материала хорошо обоснованные теории ползучести типа течения и упрочнения. Задачи мгновенного деформирования решаем методом последовательных нагружений, а задачи ползучести — методом шагов по времени. [c.13]

Полученное вариационное уравнение технической теории термоползучести гибких неоднородных анизотропных оболочек переменной толщины с начальными несовершенствами (11.20) является уравнением смешанного типа, так как в него входят независимо варьируемые [c.24]

Систему (1)— (7) можно рассматривать также как краевую задачу для уравнения смешанного типа с сингулярными коэффициентами, эллиптического при у <0 и параболического при г/> 0. Общая теория уравнений смешанного типа и особенно случай гиперболически-эллип-тического уравнения рассмотрены в работе [5]. [c.80]

Новая краевая задача для уравнения смешанного типа сформулирована в 1949 г. М. А. Лаврентьевым и А. В. Бицадзе К этой задаче могут быть сведены исследования истечения сверхзвуковой струи из несимметричного сосуда с плоскими стенками при максимальном расходе и безотрывного обтекания звуковым потоком профиля с плоской нижней поверхностью под некоторым углом атаки. [c.334]

В обсуждаемом случае пололшм o(u) Он будем исходить из условия контакта (5.15), не считаясь с соотношением (5.8). Разрешающее уравнение задачи получим, если в (5.24) формально положим Оо( ) = О, а а о( )/(,1 + ч) заменим на То( ). В результате получим интегральное уравнение смешанного типа [c.329]

Первые вариационные формулировки нелинейной теории оболочек были построены по интуиции. Среди них назовем вариационные уравнения смешанного типа обобщенной теории Кармана (Н. А. Алумяэ 1950 М. А. Колтунов, 1952 ], а также уравнения обп1.ей нелинейной теории (К. 3. Галимов, 1956). [c.235]

Функция К называется функцией Чаплыгина, При любой связи между и р эта функция положительна при дозвуковых скоростях и отрицательна — при сверхзвуковых. Отсюда следует, что уравнение (6.3) имеет эллиптический тип, если соответствующая течению область плоскости годографа лежит внутри окружности V = и гиперболический тип, если эта область лежит вне окружности У = Если область в плоскости годографа содержит участок линии V = т. е. если в части области течения скорость дозвуковая, а в части — сверхзвуковая, то уравнение (6.3) является уравнением смешанного типа — эллиптико-гиперболическим. [c.270]

Математическая теория уравнений смешанного типа стала интенсивно развиваться после основополагающих исследований Трикоми. Фундаментальные результаты были получены Франклем, Геллерстедтом, Бабенко. Содержание теории составляет обоснование новых краевых задач в областях, являющихся объединениями подобластей эллиптичности и гиперболичности, установление их корректности в соответствующих классах функций, отыскание эффективных методов построения решений. К важным разделам теории следует отнести также исследования корректности классических задач для эллиптических и гиперболических уравнений, когда граница области содержит отрезки линии вырождения. [c.48]

Современное состояние теории линейных уравнений смешанного типа и вырождающихся эллиптических и гиперболических уравнений представлено в монографиях [92, 93, 20]. Движение идеального газа описывается квазилинейными уравнениями смешанного типа. Использование теории линейных уравнений для изучения свойств трансзвуковых течений оправдано тем, что каждое решение нелинейного уравнения принадлежит множеству решений некоторого линейного уравнениями, значит, свойства трансзвуковых течений принадлежат совокупности свойств решений линейных уравнений. В связи с этим ряд теорем теории линейных уравнений может быть выражен в терминах аэрогазодинамики. Однако при такой интерпретации могут возникать трудности при формулировке условий реализации свойств, классифицируемых по типам линейных уравнений. Линейное уравнение Чаплыгина в плоскости годографа скорости и его упрощенный вариант — уравнение Трикоми — стали первыми и наиболее полно разработанными объектами теории. Следует все же отметить, что большинство полученных математических результатов имеют пока лишь ограниченное или косвенное приложение в трансзвуковой аэродинамике. Это связано с тем, что области определения считаются заданными и, следовательно, рассматриваемые задачи могут иметь отношение лишь к проблеме профилирования контура тела. В то же время одна из главных задач аэродинамики — прямая задача внешнего или внутреннего обтекания тела заданной формы, формулируемая в плоскости годографа как задача со свободной границей, остается мало обоснованной. [c.49]

Вопрос о постановке корректной задачи в М-области относится к компетенции теории нелинейных уравнений смешанного типа. Наиболее существенным образом нелинейность уравнений проявляется вблизи звуковой линии — линии изменения типа уравнения. Действительно, если предположить, что коэффициенты квазилинейного уравнения, которые на самом деле зависят от решения краевой задачи, известны, то полученное таким образом линейное уравнение может быть приведено к одной из канонических форм. Тип канонической формы и определяет характер вырождения уравнения вблизи звуковой линии, который проявляется наиболее существенным образом в вопросе о правильной постановке основных краевых задач. Так, теорема М. В. Келдыша (см. гл. 1, 18) в зависимости от типа канонической формы устанавливает корректность либо задачи Дирихле, либо задачи Е в области эллиптичности, примыкающей к линии вырождения. [c.223]

В настоящее время для этой задачи теорема существования не доказана даже для уравнения Трикоми единственность решения для уравнения Чаплыгина — при достаточно малом значении была доказана Ф.И. Франклем [104]. (Для простейшей модели уравнения смешанного типа—так называемого уравнения Лаврентьева-Бицадзе — существование и единственность решений задачи сверхзвукового обтекания конечного [c.225]

Исторически становление теоретической газовой динамики послужило не только пониманию и описанию общей структуры происходящих в сжимаемых средах физических процессов. 1 азовая лина.мика оказала также заметное влияние на развитие математики, главным образом ее части, связанной с теорией дифференциальных уравнений. Она вдохнула жизнь в целые математические направления — теорию разрывных решений дифференциальных уравнений, теорию уравнений смешанного типа, теорию квазиконформных отображений. Она стимулировала развитие теории сингулярных интегральных уравнений, группового анализа дифференциальных уравнений, фуик-ционально-аналитических и топологических методов исследования краевых задач. Она обогатила математику рядом важных понятий, таких как вырождение типа дифференциальных уравнений, сильный и слабый разрывы в решениях, градиентная катастрофа, сильная и слабая нелинейности, инвариантное и частично инвариантное решения, автомодельное решение и т. п. [c.10]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...