Флоке теория

Флоке теория 300 Фокус устойчивый (неустойчивый) 54,57,62 [c.391]

Согласно теории Флоке, волновые решения уравнений, описывающих движение периодической среды, выражаются через периодические функции, т. е. [c.296]

Для исследования гармонических упругих волн в композиционной среде Кон с соавторами [37] использовали методы, основанные на теории Флоке и Блоха. Этот подход весьма подробно рассмотрен также в статье Ли [40]. Основная идея всех этих работ состоит в применении вариационных принципов в интегральной форме к отдельной ячейке композита. Эти вариационные принципы дают способ определения фазовых скоростей и распределения напряжений в волнах Флоке, распространяющихся в композиционной среде без изменения формы при переходе от ячейки к ячейке. Различные авторы использовали как принцип минимума потенциальной энергии деформации, так и принцип максимума дополнительной работы. [c.382]

Исследование устойчивости системы в вариациях (29) проводилось на основе теории Флоке [3, 4]. Решения X (х) системы (29) находились численно на ЭЦВМ методом Рунге — Кутта на отрез- [c.47]

Отсюда следует, что матрица Р—периодическая, с начальными условиями Я(0) = /. Таким образом, установлено, что решение системы с периодическими коэффициентами должно состоять из экспоненциального сомножителя, который может быть нарастающим или затухающим, что определяется постоянной матрицей р, и чисто периодического сомножителя Р. Это — основной результат теории Флоке. [c.345]

Сравнение вычислений для исследования устойчивости, проведенных по методу осреднения, с вычислениями по теории Флоке ( i = Сг = 0,1 / = 0,1) [c.88]

Было найдено, что 3-фотонное сечение равно 2 10 см с . Полученные результаты приведены на рис. 5.5 вместе с результатами различных расчетов — в рамках нестационарной теории возмущений [5.22], методом Келдыша (см. разд. 2.2) как без учета, так и с учетом кулоновской поправки, и методом Флоке [5.23] (см. разд. 2.4). Видно, что все расчеты дают правильный порядок величины сечения. Однако на данный момент нельзя отдать предпочтение какому-либо из методов. Необходимы более точные измерения, в частности, с монохроматическим излучением (разд. 3.5). [c.124]

Рис. 5.5. Сравнение измеренных выходов фотоэлектронов с теоретическими оценками 1 — теория возмущений, 2 — метод Флоке, 3 — приближение Келдыша-

Области устойчивости. Уравнение Матье (17.3) является линейным дифференциальным уравнением с периодическими коэффициентами. Поэтому можно использовать теорему Флоке и записать обш,ее решение уравнения (17.3) в виде [c.528]

При переменной во времени скорости йу(47) системы уравнений (50) и (51) имеют периодически изменяющиеся коэффициенты. Исследование устойчивости системы (51) можно провести (на ЭВЦ), используя теорию Флоке (например [5]). Аналогич-346 [c.346]

Приведем простейшие сведения из теории дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами и, в частности, теорему Флоке, которая определяет структуру решения системы линейных дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами. В общем случае теорема формулируется так система с п степенями свободы, описываемая дифференциальным уравнением порядка 2п с периодическими коэффициентами периода Т, имеет 2п линейно независимых решений, образующих фундаментальную систему, причем каждое из этих решений имеет вид Xi t) = Ф (i) exp(Aii), где Фi(i) — периодическая функция с периодом Т. Экспоненты exp(Aii) называют ляпунов-скими экспонентами, числа — ляпуновскими характеристическими показателями, а Ф ( ) — функциями Флоке. [c.219]

Поясним теорему Флоке для системы второго порядка, т. е. для уравнения (11.4). [c.219]

Согласно результатам численного интегрирования переменные л ,- по сравнению с г/,- колеблются с удвоенным периодом. Для получения условий существования таких решений (условия резонанса) в соответствии с теорией Флоке (см., например, [170, 234, 251]) будем искать решения системы (23) в виде [c.149]

Таким образом, Y (t) 2я-периодична, а из (3.5), кроме того, видно, что она непрерывно дифференцируема. Из (3.5) следует еще, что фундаментальная матрица X (t) представима в виде (3.2). Это и доказывает теорему Флоке. [c.36]

В одномерном случае эту теорему впервые доказал Флоке, поэтому для одномерного случая ее часто называют теоремой Флоке. [c.140]

Решения задачи (114), (1.16), (1.17) мы будем по аналогии с теорией обыкновенных линейных дифференциальных уравнений называть решениями Флоке, а и — показателем Флоке. Как окажется в дальнейшем, используя уравнения лучевого метода в малом, эту задачу в некотором смысле можно решить, точнее свести к решению обыкновенных дифференциальных уравнений. Для возможности такого решения геодезическая I должна удовлетворять условию устойчивости в первом приближении (ср. гл. 4, 7). При этом оказывается, что существует счетное множество показателей Флоке и, которым соответствуют решения задачи (1.14), (1.16), (1.17). Каждому и отвечает конечное множество решений Флоке. [c.235]

Учитывая теорему Флоке [150], решение уравнений (13.21) будем искать в виде [c.69]

В одномерном случае ответ на поставленный вопрос дает известная теорема Флоке [42] в теории обыкновенных дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами. Для систем с несколькими степенями свободы строгое доказательство аналога этой теоремы в общем случае отсутствует. [c.87]

Это уравнение имеет многочисленные применения в технике. Однако мы ограничимся изложением лишь элементов относящейся сюда теории, разработанной Флоке для уравнений с периодическими коэффициентами, и более подробно остановимся на двух частных случаях, имеющих наибольшее практическое значение. [c.181]

Из теории Флоке известно, что уравнения (3.1.63) и (3.1.64) имеют нормальные решения вида [c.79]

Хотя теория бифуркаций в ее современном виде исключает из рассмотрения флуктуации, некоторые из последних работ по теории бифуркации посвящены изучению окрестности ветвящегося решения. Специалисты по теории динамических систем и теории бифуркации заметят, что в нашей книге по ходу изложения мы выходим на передний край современных исследований и получаем новые результаты. Один из таких результатов (аналог теоремы Флоке) относится к виду решений линейных дифференциальных уравнений с квазипериодическими коэффициентами. Нам удалось изучить широкий класс таких уравнений с помощью вложения. Другой результат относится к бифуркации п-мерного тора в другие торы. Наконец, принцип подчинения включает в себя в качестве частных случаев ряд важных теорем, например теорему о центральном многообразии, теорему о медленном многообразии и различные алгоритмы адиабатического исключения переменных. [c.363]

Аналитический вцд решений системы (17.8). Теория Флоке [c.300]

Формула (17.16), дающая основной результат теории Флоке, выражает общее решение системы линейных дифференциальных уравнений (17.8) с периодическими коэффициентами для случая простых корней уравнения (17.14). [c.302]

Укоренилось мнение, что в параметрических системах возможна неустойчивость только с указанными признаками. Это безусловно справедливо в сосредоточенных системах, для которых в сущности и развита теория Флоке. Применительно же к распределенным системам оно вызывает серьезные возражения во-первых, краевые задачи в частных производных сводятся к решению независимых уравнений с периодическим коэффициентом типа Хилла, как правило, лишь приближенно и, во-вторых, в последние годы появились теоретические и экспериментальные исследования по параметрической неустойчивости распределенных систем, обладающей свойствами принципиально отличными от указанных выше [4.5-4.15, 4.18-4.20]. [c.139]

Для исследования этих задач был разработан эффективный метод, основанный на теории Флоке-Ляпу нова [185] и связанный с построением специального оператора перехода , который позволяет по значениям вектора перемещений и тензора напряжений на одном поперечном сечении волновода находить их значения на другом поперечном сечении, отстоящем от первого на расстоянии, равном величине минимального периода изменения свойств волновода. С помощью этого метода удалось получить ряд результатов, связанных с особенностью распространения колебаний в таких волноводах. Показано, например, что для таких волноводов на всем бесконечном интервале изменения частот существуют чередующиеся конечные интервалы, когда колебания в волноводе при удалении от источника затухают (волновод заперт) или распространяются (волновод открыт) соответственно. Кроме того, на интервалах затухания амплитуда колебаний тяжелого щтампа может неограниченно возрастать, т. е. могут существовать В-резонан-сы [90]. Отметим, что открытие резонансов в полуограниченных телах было сделано И. И. Воровичем, и поэтому они получили название В-ре-зонансов. [c.223]

НИЮ различных теэрий их происхождения. В настоящее время наибольшим признанием пользуется теория, согласно которой флокены вызываются растворенным в жидкой стали водородом. [c.309]

Такие дифференциальные уравнения встречаются в небесной механике часто. Их теория, начатая Эрмитом, в первое время систематически публиковалась Флоке в Annales de l E ole Normale (1883-1884). [c.23]

Трехмерные уравнения Навье-Стокса для несжимаемой жидкости решаются численно в [146] с применением спектральных разложений Фурье-Чебышева с целью исследования нелинейной эволюции вихрей Тейлора-Гертлера в двумерных пограничных слоях и взаимодействия с ними волн Толлмина-Шлихтинга. Отмечается качественное согласование с результатами [147], полученными с помощью метода многих масштабов и теории Флоке. В случае трехмерного невозмущенного [c.10]

В 1—3 излагается работа В. М. Бабича [6]. Случай т= 1 был ранее рассмотрен в работе В. М. Бабича и В. Ф. Лазуткина [1]. Свойства системы координат (s, у, . .., Ут), используемые в 1—3, известны (см., например, монографию Мил нор а [1]). Теория уравнения Якоби ( 2) изложена по образцу классической теории линейных гамильтоновых систем с периодическими коэффициентами (см. М. Г. Крейн [1]). Формула (3.9) хорошо согласуется с тем, что уравнению Шредингера с квадратичным потенциалом можно точно удовлетворить выражениями, имеющими вид квази-классического приближения. Об интегрировании уравнения Шредингера с квадратичным потенциалом см. Сегал [1] и Н. А. Черников [1]. Сведение задачи об асимптотике собственных чисел и функций к нахождению решений Флоке уравнения (1.14) и вывод формул для этих решений (см. 3) принадлежит В. М. Бабичу. Решение матричных уравнений Риккати, аналогичных уравнению (3.3), можно найти в учебнике И. М. Гельфанда и С. В. Ф о м и н а [1]. [c.443]

Качественную природу уравнения (3.1.17) можно описать, используя теорию Флоке (см., например, Коддингтон и Левинсон [1955, гл. 3]). Это уравнение имеет нормальное решение вида [c.71]

В теории Флоке (см., например, Коддингтон и Левинсон [1955], гл. 3) показано, что уравнение (3.1.17) имеет решение вида (3.1.18), где ф—периодическая функция с периодом л или 2л, а у—действительная или комплексная постоянная. После подстановки [c.74]

НИ9, С осью Ji в плоскости [X—е. Кроме того, как известно из теории Флоке, переходным кривым соответствуют периодические решения с периодами 2л и 4л. В интервале 0 fxпереходная кривая, совпадаюш,ая с осью е. Ниже мы приведем анализ, данный Найфэ и Кеме-лом [1970а], и определим переходную кривую, пересекающую ось Ji в точке fio-Предположим [c.77]

Согласно теории Флоке линейных дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами, плоскость параметров б—е разбивается переходными кривыми на области устойчивости и неустойчивости, причем на самих кривых решенке и периодично с периодом я или 2л. В п. 3.1.2 были определены приближения к переходным кривым с помощью метода Линдштедта — Пуанкаре. В данном пункте будут найдены не только переходные кривые, но также и решения и, следовательно, степень устойчивости или неустойчивости, как это было сделано в п. 3.1.3 с помощью метода Уиттекера. Чтобы выполнить это, положим при положительном соо [c.272]

Иногда нагрев стали связывают с образованием в ней внутренних пороков — флокснов. Мы НС даем здесь подробного обзора исследований, относящихся к теории образования флоке-нов, но заметим, что главной причиной образования флокенов современная наука считает выделение водорода при температуре примерно 200° в стали, обладаюшей достаточной хрупкостью при этой температуре. Мероприятия для уменьшения появления флокенов сводятся к попияссн1гю содержаняя водорода в жидкой стали. [c.47]

Гедан и др. [119] измерили быструю флокуляцию частиц полистирола. Хотя, вопреки уравнению Смолуховского, было показано, что скорость образования дублетов, триплетов и квадруплетов одинакова, тем не менее до сих пор считается, что теория Смолуховского вполне справедливо описывает скорость флоку- [c.165]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...