Лагранжа метод изучения движения уравнение

В предыдущих главах мы пользовались эйлеровым методом описания движений жидкости. При использовании этого метода течение несжимаемой жидкости в момент I характеризуется полем скорости и(Х, 1)у т. е. значениями вектора скорости во всевозможных точках = Хи Х2, Хг) пространства (в настоящем разделе по причинам, которые будут ясны из дальнейшего, нам будет удобно обозначать координаты А /, а не л /, как в предыдущих главах). Уравнения гидродинамики (из которых давление можно исключить с помощью уравнения (1.9)) при этом в принципе позволяют определить значения переменных Эйлера и(Х, t) в любой момент времени > /о по заданным начальным значениям и(Х, о) = ио(Х). Однако для изучения таких явлений, как турбулентная диффузия (т. е. распространение примесей в поле турбулентности) или деформация материальных поверхностей и линий (состоящих из фиксированных элементов жидкости) в тур-булентном течении, более удобным оказывается лагранжев метод описания движений жидкости. Он заключается в том, что вместо скоростей жидкости в фиксированных точках X пространства за основу берется движение фиксированных жидких частиц , прослеживаемое, начиная от некоторого начального момента времени / = to. Под жидкими частицами при этом понимаются объемы жидкости, размеры которых очень велики по сравнению со средним расстоянием между молекулами (так что для соответствующих объемов имеет смысл говорить об их скорости, оставаясь в рамках механики сплошной среды), но все же настолько малы, что скорость и давление внутри частицы можно считать практически постоянными и в течение рассматриваемых промежутков времени эти частицы можно считать перемещающимися как одно целое (т. е. без заметной деформации). Лагранжев метод самым непосредственным образом связан с реальными движениями отдельных элементов жидкости, совокупность которых и составляет течение поэтому его можно считать физически более естественным, чем эйлеров метод описания. В то же время в аналитическом отношении использование переменных Лагранжа, относящихся к индивидуальным частицам жидкости, оказывается гораздо более громоздким, чем использование переменных Эйлера и(Х, t), вслед- [c.483]

При изучении движения среды методом Лагранжа задаются уравнения движения ее точек. Поп изучении движения средь методом Эйлера задается распределение скоростей в пространстве, занятом жидкостью, для каждого момента времени или задается так называемое поле скоростей. [c.223]

Чтобы уравнение (IV.200) определяло действительное движение несвободной материальной точки, следует соответственно определить реакцию R. Таким образом, вопрос об изучении движения несвободной материальной точки усложняется по сравнению с задачами динамики свободной материальной точки тем, что связывается с определением реакции связи R. Чтобы составить в наиболее удобной форме систему уравнений, необходимую для решения задачи о движении несвободной материальной точки, применим координатный способ, связав его с методом множителей Лагранжа. [c.423]

Уравнения Лагранжа. Метод Лагранжа, который мы сейчас изложим, сходен с тем, которым мы пользовались для изучения движения точки по кривой (п. 259). Всегда возможно выразить координаты точки поверхности 5 и. в частности, движущейся точки М, в функции двух параметров и q.y. [c.410]

Одним из наиболее замечательных примеров эффективности аналитических методов является приложение уравнений Лагранжа к теории малых колебаний вблизи положения устойчивого равновесия. Эта теория чрезвычайно важна при изучении упругих свойств твердых тел, колебаний молекулярных структур, теории теплоемкости и других фундаментальных проблем. Наиболее замечательной чертой теории является ее общность. Независимо от степени сложности механической системы ее движение вблизи положения равновесия описывается всегда одинаковым образом. Конкретные вычисления усложняются по мере увеличения числа степенен свободы, однако теоретические аспекты задачи остаются неизменными. [c.175]

В обычно применяемых методах определение движения свободной точки в пространстве под влиянием ускоряющих сил состоит в интегрировании трех обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка, а определение движения системы свободных точек, взаимно притягивающихся или отталкивающихся, — в интегрировании системы подобных уравнений, число которых втрое больше числа притягивающихся или отталкивающихся точек, если только мы предварительно не уменьшим это последнее число на единицу, рассматривая только относительные движения. Таким образом, в солнечной системе, если мы рассматриваем только взаимные притяжения Солнца и десяти известных планет [ ], определение движений последних относительно первого при помощи обычных методов сводится к интегрированию системы тридцати обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка, связывающих координаты и время, или же, при помощи преобразования Лагранжа, — к интегрированию системы шестидесяти обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка, связывающих время и эллиптические элементы. При помощи этих интегрирований тридцать переменных координат или шестьдесят переменных элементов могут быть найдены, как функции времени. В методе, предложенном в данной работе, задача сводится к отысканию и дифференцированию единственной функции, которая удовлетворяет двум уравнениям в частных производных первого порядка и второй степени подобным же образом всякая другая динамическая задача, относящаяся к движениям (как бы многочисленны они не были) любой системы притягивающихся или отталкивающихся точек (даже если мы предполагаем, что эти точки ограничены какими-либо условиями связи, совместными с законом живой силы), сводится к изучению одной центральной функции, форма которой определяет и характеризует свойства движущейся системы и определяется двумя дифференциальными уравнениями в частных производных первого порядка в сочетании с некоторыми простыми соображениями. Таким образом, по крайней мере интегрирование многих уравнений одного класса заменяется интегрированием двух уравнений другого класса, и даже если считать, что этим не достигается никакого практического облегчения, тем не менее можно получить некое интеллектуальное наслаждение от сведения, пожалуй, самого сложного из всех исследований. [c.176]

При изучении общих теорем динамики рассматривались лишь частные случаи систем, обладающих определенным классом возможных перемещений (поступательное, вращательное и т. д.). Для ряда механических систем эти условия общих теорем не выполняются, и последние не могут быть применимы без введения реакций связен. Метод Лагранжа позволяет изучать движение в самом общем случае. Естественно, что если за обобщенные координаты будут взяты параметры, соответствующие перемещениям, допускающим применение общих теорем, то уравнения Лагранжа будут совпадать с уравнениями, полученными из общих теорем. [c.344]

Отметим также некоторые другие обстоятельства изучения движения релятивистских частиц методами теоретической механики. Ограничение скорости релятивистской частицы не позволяет считать её свободной по определению ограничение величины скорости представляет собой неголономную связь в пространстве-времени (другое дело, что пока не вполне ясно, как она реализуется). Известно, что при выводе уравнений движения условие неголономной связи не должно быть использовано в функции Лагранжа, как это было сделано в (15). Эта связь неидеальная в уравнении движения релятивистской частицы [78] в составе сил имеется слагаемое, противоположное скорости. [c.263]

Анализируя процесс вывода уравнений (9), легко видеть, что изучение движения механической системы материальных точек методом уравнений Лагранжа Ьго рода тем труднее, чем больше наложено на нее связей и чем большее число материальных точек входит в рассматриваемую механическую систему. Поэтому этот способ решения задач целесообразно применять только в том случае, когда число точек системы и число наложенных связей невелико. [c.488]

Аксиома об освобождаемости от связей позволяет отказаться от определения уравнения неразрывности как уравнения связи. Уравнение неразрывности — четвертое уравнение, которое в сочетании с тремя уравнениями движения в переменных Эйлера составляет систему дифференциальных уравнений, связывающих компоненты четырехмерного тензора энергии-импульсов в четырехмерном пространственно-временном континууме [38]. Таким образом, создается впечатление о глубоком различии между методами Лагранжа и Эйлера изучения движения сплошной среды. Однако это различие в значительной степени кажущееся. В действительности метод множителей Лагранжа по существу эквивалентен аксиоме об освобождаемости от связей [40]. [c.9]

Рассмотренные примеры показывают, что динамические законы и величины в релятивистской механике отличаются от классических. Для установления их используем важный для современной физики методологический прием будем отыскивать инвариантные по отношению к преобразованиям Лоренца соотношения, ибо верные соотношения должны быть лоренц-инвариантными в силу принципа относительности Эйнштейна. В классической механике изучен метод описания движения Лагранжа, уравнения Лагранжа. Замечательной особенностью уравнений Лагранжа является их инвариантность по отношению к любому (непрерывному, однозначному) преобразованию координат, в том числе и преобразованиям Лоренца. Поэтому метод Лагранжа удобен в рассматриваемом случае релятивистского движения. Для применения этого метода необходимо составить функцию Лагранжа, которая заведомо была бы инвариантом преобразований Лоренца. Тогда получаемые с ее помощью дифференциальные уравнения движения будут иметь инвариантную форму. [c.267]

Кинематика занимается изучением движения жидкости, не интересуясь причинами, которые его вызвали. По образному выражению Н.Е.Жуковского, кинематика изучает геометрию движения . Принципиально можно пойти двумя путями. По первому из них изучается движение каждой отдельной жидкой частицы. Чтобы выделить ее, в начальный момент времени отмечаются ее координаты Хд, и 2 . Движение считается определенным, если в каждый момент времени для каждой частицы известны уравнения, описывающие ее путь во времени, т.е. известны параметрические уравнения траекторий всех частиц. Этот путь предложен Лагранжем. По методу Эйлера изучается изменение скорости и других параметров в точках пространства х, у, z. [c.24]

Общий метод. Уравнения Лагранжа позволяют изучить также малые колебания системы около состояния устойчивого движения. Следуя методу, подобному тому, который был применен при изучении малых колебаний около положения устойчивого равновесия, мы опять придем к интегрированию линейных уравнений, но эти уравнения уже не будут уравнениями с постоянными коэффициентами. [c.306]

Поэтому коэффициенты 1/ j можно трактовать как жесткости этих пружин. Наконец, последний член лагранжиана можно рассматривать как потенциал, вызванный движущими силами = Qj, не зависящими от координат, например гравитационными силами. (Силы могут, однако, зависеть от времени.) Что касается диссипативной функции (2.38), то ее можно считать вызванной наличием диссипативных (вязких) сил, пропорциональных обобщенным скоростям. Такова вторая интерпретация уравнения (2.39) [или функций (2.37), (2.38)]. Согласно этой интерпретации уравнения (2.39) описывают сложную систему масс, связанных пружинами и движущихся в вязкой жидкости под действием внешних сил. Таким образом, мы описали движение двух различных физических систем посредством одного и того же лагранжиана. Отсюда следует, что все результаты и методы исследования, связанные с одной из этих систем, могут быть непосредственно применены и к другой. Так, например, для изучения рассмотренных выше электрических контуров был разработан целый ряд специальных методов, которые применимы и к соответствующим механическим системам. Таким путем было установлено много аналогий между электрическими и механическими или акустическими системами. В связи с этим термины, применяемые при описании электрических колебательных контуров (реактанс, реактивное сопротивление и т. д.), вполне допустимы и в теории механических колебательных систем ). [c.59]

Преобразования координат как метод решения задач механики. Как мы уже видели при изучении лагранжевой формы механики, правильный выбор координат может существенно облегчить задачу решения дифференциальных уравнений движения. Если среди наших координат имелась циклическая, то мы сразу находили первый интеграл уравнений Лагранжа. Поэтому мы пытались получить циклические координаты путем преобразования первоначальной системы координат. [c.225]

Таким образом, показано, что и при существовании связей (голономных) уравнения движения можно записать в форме Лагранжа. Дальнейшее обобщение возможно только применительно к таким неголономным системам, для которых связи выражаются как неинтегрируемые дифференциальные соотношения. Рассмотрение этого случая мы отложим до изучения вариационных принципов в гл. VI. Тогда можно будет изложить и способ (метод неопределенных множителей) для определения величин реакций связей. [c.34]

Двухмерные и трехмерные движения рассматриваются в основном в теоретической гидродинамике. При этом движение жидкости представляется как непрерывная и последовательная деформация сплошной материальной среды. Его изучение имеет цель — выразить математически, в форме дифференциальных уравнений, основные кинематические и динамические характеристики как непрерывные функции координат и времени и может быть выполнено двумя методами Лагранжа и Эйлера. [c.58]

Эллиптические оскулирующие элемен-т ы. Метод Лагранжа вариации элементов орбиты является одним из основных методов небесной механики изучения возмущенного движения планет и спутников. Лагранж преобразовал дифференциальные уравнения возмущенного движения к новым переменным и разработал способы их приближенного интегрирования. В качестве новых зависимых переменных он принял оскулирующие элементы. [c.94]

Введение. Твердое тело представляет собой частный случай механической системы точек, когда расстояния между любыми двумя точками системы остаются постоянными во все время движения. Одним из наиболее эффективных методов изу-чершя движения твердого тела под действием приложенных к нему сил является метод, основанный на применении основных теорем динамики системы. Для изучения поступательного движения тела мы будем исходить из теоремы о движении центра масс при изучении вращения твердого тела около неподвижной оси наиболее рационально пользоваться теоремой об изменении кинетического момента. На примерах изучения простейших движений твердого тела под действием приложенных сил весьма отчетливо выявляется значение основных теорем динамики системы, позволяющих исследовать свойства движений систем ма-териальных точек, подчиненных некоторым дополнительным условиям (связям). Основные теоремы динамики системы были исторически первым, наиболее простым и естественным методом изучения движения несвободных механических систем точек, и в частности изучения динамики твердого тела В последующем развитии механики Лагранжем был создан метод обобщенных координат, позволяющий свести составление дифференциальных уравнений движения системы с 5 степенями свободы к ясной, логически безупречной последовательности алгебраических преобразований, однако физическая наглядность рассуждений была в значительной мере утрачена [c.400]

Трудности составления динамических уравнений движения механических систем точек методом уравнений Лагранжа Ьго рода, вызываемые большим числом налагаемых связей, нельзя преодолеть, оставаясь в рамках метода неопроделенных множителей. По существу метод неопределенных множителей имеет в виду дать сразу ответ на очень большое число вопросов. Ведь, решая динамическую задачу методом уравнений Лагранжа Ьго рода, мы получаем и закон движения каждой точки системы, и реакции всех наложенных на систему связей. Применяя метод обобщенных координат, мы, пользуясь большим числом ограничений, налагаемых связями, принципиально упрощаем рассмотрение, изучая некоторые интегральные характеристики движения системы. Детали движения отдельных точек познаются в новом методе после исследования интегральных характеристик. Реакции связей при изучении движения методом обобщенных координат полностью исключены. Таким образом, трудности, вносимые большим числом связей в методе неопределенных множителей, становятся источником преимуществ в методе обобщенных координат. [c.490]

Другими частными решениями задачи трех тел, существование которых доказано строго, являются периодические орбиты. Работа Пуанкаре ) представляет обширную теорию этого класса орбит. В гл. XII настоящей книги пример такого рода периодических орбит приводится при рассмотрении теории Хилла —Брауна движения Луны. Метод, примененный для изучения орбит в окрестности периодической орбиты, выбранной в качестве первого приближения в теории Луны, применим в большинстве случаев и к периодическим орбитам в ограниченной задаче. Однако в этом случае уравнения в вариациях больше не являются линейными дифференциальными уравнениями с постоянными коэффициентами, как это было для частных решений Лагранжа. Коэффициенты этих линейных уравнений представляют собой периодические функции времени. [c.234]

Многие авторы в своих исследованиях следуют классическому методу Лагранжа. Метод Лагранжа вариации элементов орбиты является одним из основных методов небесной механики. В этой работе изложены идеи метода Лагранжа и предлагается прямой вывод дифференциальных уравнений Лагранжа в оскулирующих элементах. Большое внимание в книге уделяется распространению метода изучения кеплерова невозмущенного движения в плоскости орбиты в полярных координатах" на общий случай неплоского возмущенного движения. Это достигается путем рассмотрения возмущенного движения спутника в подвижной ганзеновской плоскости идеальных координат. [c.5]

Как инструмент для изучения произвольных голономных систем материальных точек получены уравнения Лагранжа второго рода и канонические уравнения Гамильтона [66]. Дается понятие о лагран-жевом формализме [1, 36]. Изучается поведение полной энергии системы в зависимости от структуры обобщенных сил и кинетической энергии. Дается метод циклических координат [5, 58]. Устанавливается, что для голономных систем интегргипы количества движения, кинетического момента и обобщенный интегргия энергии Якоби [70] всегда могут быть представлены как следствие существования соответствующих циклических координат. Указывается на возможность использования аппарата теории групп для поиска интегралов движения [5]. Изложение вариационных принципов Гамильтона и Мопертюи-Лагранжа-Якоби [17, 38, 70] выполнено в соответствии с современной теорией оптимальных процессов [2, 5, 13]. Геометрически наглядная трактовка придана теории малых колеба- [c.12]

Перейдем к изучению наиболее общих методов решения задач механики. Эти методы основываются на общем принципе — принципе возможных перемеицений, или принципе Лагранжа, так как Ж. Лагранж первый придал этому принципу законченную форму и положил его в основу статики. Обч единнв этот принцип с принципом Даламбера, Ж. Лагранж получил общее уравнение динамики, из которого вытекают основные дифференциальные уравнения движения материальной системы и основные теоремы динамики ). [c.107]

Функции Ляпунова. Наиболее эффективным методом исследования устойчивости движения является прямой метод Ляпунова. Этот метод не предполагает нахождения тех или иных решений уравнений возмущенного движения, а связан с отысканием некоторых функций V переменных i, Ж2,..., t и изучением свойств самих этих функций и их производных, функции V будем в дальнейшем называть функциями Ляпунова. В основе прямого метода Ляпунова лежат соображения, использованные Дирихле в его доказательстве теоремы Лагранжа об устойчивости положения равновесия консервативной системы (см. п. 225). [c.515]

МЕТАЛЛОФИЗИКА — раздел физики, в котором изучаются структура и свойства металлов МЕТОД [аналогии состоит в изучении какого-либо процесса путем замены его процессом, описываемым таким же дифференциальным уравнением, как и изучаемый процесс векторных диаграмм служит для сложения нескольких гармонических колебаний путем представления их посредством векторов встречных пучков используется для увеличения доли энергии, используемой ускоренными частицами для различных ядерных реакций Дебая — Шеррера применяется при исследовании структуры монохроматических рентгеновских излучений затемненного поля служит для наблюдения частиц, когда направление наблюдения перпендикулярно к направлению освещения Лагранжа в гидродинамике состоит в том, что движение жидкости задается путем указания зависимости от времени координат всех ее частиц ин1 ерференционного контраста служит для получения изображений микроскопических объектов путем интерференции световых воли, прошедших и не прошедших через объект меченых атомов состоит в замене атомов исследуемого вещества, участвующего в каком-либо процессе, их радиоактивными изотопами моделирования — метод исследования сложных объектов, явлений или процессов на их моделях или на реальных установках с применением методов подобия теории при постановке и обработке эксперимента статистический служит для изучения свойств макроскопических систем на основе анализа, с помощью математической статистики, закономерностей теплового движения огромного числа микрочастиц, образующих эти системы совнадений в ядерной физике состоит в выделении определенной группы одновременно происходящих событий термодинамический служит для изучения свойств системы взаимодействующих тел путем анализа условий и количественных соотношений происходящих в системе превращений энергии Эйлера в гидродинамике заключаегся в задании поля скоростей жидкости для кинематического описания г чения жидкости] [c.248]

Наиболее замечате-ньные результаты были получены в XIX в. в области исследования плоских установившихся потенциальных течений несжимаемой жидкости. Еще Ж. Лагранж (1781) ввел функцию тока для плоских течений удовлетворяющую для безвихревых течений, как и потенциал скорости, уравнению Лапласа. Кинематическое истолкование функции тока было дано В. Ренкином Разработка аппарата теории функций комплексного переменного дала возможность широко развить методы исследования плоских задач движения несжимаемой жидкости, которые в самом начале развивались совместно со смежными исследованиями задач электростатики. Первые работы, в которых при помощи теории аналитических функций исследуются простейшие задачи электростатики и гидродинамики, относятся к 60-м годам. Существенное развитие области применения теории функций в гидродинамике связано с изучением открытого Г. Гельмгольцем класса так называемых струйных течений жидкости — течений со свободными ли-78 ниями тока, на которых давление сохраняется постоянным. Интерес к этим течениям возник в связи с попытками получить на основе модели идеальной жидкости реальные картины обтекания тел с образованием силы лобового сопротивления и без бесконечных скоростей. [c.78]

Общим интегралом этих уравнений как раз и являются уравнешш (1), где а, 6, с суть произвольные постоянные. Таким образом, метод Лагранжа дает больше сведений о кинематике потока, нежели метод Эйлера если исходить из метода Эйлера, то траектории частиц можно получить лишь после интегрирования системы дифференциальных уравнений, тогда как в методе Лагранжа траектории непосредственно даны. Но метод Лагранжа зато гораздо сложнее. В дальнейшем мы будем встречаться чаще с кинематическим описанием потока по методу Эйлера однако в некоторых вопросах, именно при изучении деформаций жидкой частицы, отдельных видов се движения, мы, по сути дела, будем применять метод Лагранжа. [c.116]

Прямой метод Ляпунова заключается в отыскании некоторых функций вещественных переменных t, хи Хч,и в изучении свойств их производных, взятых в силу дифференциальных уравнений возмущенного движения. В основе метода лежит изложенный ранее способ, использованный Леженом Дирихле при доказательстве теоремы Лагранжа об устойчивости равновесия. [c.573]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...