Лагранжево движения

Лагранжевы движения. Мы видели выше, что благодаря взаимодействию двух материальных точек каждая из них движется относительно их барицентра так, как если бы она притягивалась некоторой массой, поме-ш,енной в барицентре. [c.184]

Лагранжевы движения трех тел 184 [c.337]

Лагранжевы движения. В 1772 г. Ж. Лагранж нашел решение задачи трех тел, предполагая, что равнодействующая сил, приложенных к каждой частице, проходит через центр масс С, а их величины пропорциональны расстоянию от С. Эта ситуация соответствует известной теореме статики о трех силах (одна из них — во вращающейся системе отсчета — центробежная сила инерции). Покажем, что в этом случае каждая частица движется по коническому сечению, причем в любой момент времени частицы находятся в вершинах правильного треугольника [30, 35]. [c.66]

Рассматривая какое-либо из треугольных лагранжевых движений как невозмущенное, составим прежде всего дифференциальные уравнения возмущенного движения. [c.375]

Притом, если мы положим здесь = т) = О, то это будет только равносильно предположению, что вместо первоначального невозмущенного лагранжева движения берется для сравнения с возмущенным некоторое другое, тоже лагранжево, в котором постоянные дик бесконечно мало отличаются от своих прежних значений ). [c.381]

Величина и может быть постоянной в двух случаях во-первых, для всякой функции Р р) (т. е. для всякого закона притяжения, включая, конечно, и закон Ньютона), если рассматриваемое невозмущенное лагранжево движение есть постоянное (р и (О постоянны) во-вторых, для всякого лагранжева движения, но при некотором определенном типе функции Р р). [c.383]

Заметим, что первое из них есть условие возможности периодических лагранжевых движений, бесконечно близких к рассматриваемому постоянному. [c.383]

Нетрудно убедиться, что в этом случае лагранжевы движения будут периодическими, только когда 1 — а > О и р > 0. [c.383]

Полезно напомнить еще раз, что все приведенные нами условия устойчивости являются только достаточными условиями устойчивости лагранжева движения по первому приближению и что никаких заключений об устойчивости вообще из этих условий вывести нельзя. [c.384]

Мы будем рассматривать в дальнейшем только тот случай, когда исследуемое невозмущенное лагранжево движение является периодическим, что в случае закона притяжения Ньютона соответствует случаю, когда каждая из трех масс описывает эллиптическую орбиту (с одним и тем же эксцентриситетом) вокруг общего центра масс всей системы. [c.384]

Отсюда следует, что если признаком устойчивости считать (как это было принято выше) то обстоятельство, что в возмущенном движении стороны треугольника М МуМ ) должны бесконечно мало отличаться от тех длин, которые им соответствовали бы в невозмущенном движении в тот же момент времени, то периодические лагранжевы движения вообще неустойчивы. [c.385]

Когда мы переходим от одного периодического лагранжева движения к другому, то при этом вообще изменяется и период Т, а отсюда следует, что если даже постоянные g и h, характеризующие новое движение, отличаются сколь угодно мало от своих прежних значений, то все же разности между одновременными длинами сторон треугольника в обоих движениях не могут оставаться всегда бесконечно малыми. Последнее возможно только при условии, что период Т не изменился ). [c.385]

В предыдущем параграфе было показано, что всякое периодическое лагранжево движение вообще неустойчиво относительно величин I и г , а следовательно, если в начальный [c.385]

Иными словами, будем рассматривать задачу об орбитальной устойчивости периодического лагранжева движения, так как при новой постановке вопроса орбиты двух точек М. и Мг относительно Мо в возмущенном движении будут сколь угодно мало отличаться от орбит этих точек в невозмущенном движении, хотя возмущенные и невозмущенные положения точек (и скорости, разумеется ) вовсе не будут оставаться близкими во всякий момент времени. [c.386]

Для решения вопроса об устойчивости в этом смысле мы можем сравнивать возмущенное движение не с первоначальным невозмущенным движением, а с каким-либо другим периодическим лагранжевым движением, в котором постоянные g и h имеют значения, бесконечно мало отличающиеся от соответствующих значений в первоначальном невозмущенном движении. [c.386]

В непредельных случаях условий (8.100) нулевое решение системы (8.94), несомненно, устойчиво, а поэтому невозмущенное лагранжево движение будет устойчиво, по крайней мере в первом приближении. [c.389]

Отсюда видно, что условиями устойчивости периодических лагранжевых движений при достаточно малых значениях Я вообще служат неравенства [c.394]

В случае притяжения, обратно пропорционального квадрату расстояния, всякое периодическое лагранжево движение устойчиво, если масса одной из точек достаточно велика по сравне-нию с массами двух остальных. [c.395]

В заключение рассмотрим вкратце, как решается задача об устойчивости, когда невозмущенное движение достаточно близко к постоянному лагранжеву движению. При этом будем предполагать, что тела, движения которых нас интересуют, притягиваются по закону Ньютона. Тогда функция и в уравнениях [c.395]

Действительно, положим сначала е = О, т. е. рассмотрим постоянное (круговое) лагранжево движение. [c.396]

Выше было показано, что круговое лагранжево движение будет устойчивым, если выполняется условие [c.396]

Примечание. Полезно еще раз напомнить, что в случае периодических лагранжевых движений имеется в виду орбитальная устойчивость в определенном выше смысле и что задача об устойчивости рассмотрена только в первом приближении. [c.397]

Теорема Арнольда [80]. Если массы планет, эксцентриситеты и наклоны их орбит достаточно малы при некотором / = 0, то для большинства начальных условий движение планет имеет условно-периодический характер для всех вещественных значений времени —оо < / < оо ы мало отличается от лагранжева движения с подходящими начальными условиями. [c.840]

Лагранжевы решения неограниченной задачи трех тел неустойчивы в смысле определения 1 ( 3.01). Действительно, если рассматривать некоторое частное решение неограниченной задачи трех тел, определенное начальными условиями, близкими к лагранжевым, то для этих начальных данных центр масс системы будет двигаться в неподвижной системе координат со скоростью, отличной от скорости, определенной лагранжевыми начальными данными. А это приводит к тому, что по истечении некоторого конечного промежутка времени точки, изображающие возмущенное движение, будут находиться на достаточно большом расстоянии от точек, изображающих лагранжево движение в абсолютной системе координат. [c.843]

Как и при рассмотрении переноса количества движения, используется лагранжева система координат. На физическую систему накладываются с.ледующие дополнительные ограничения [c.77]

Если использовать лагранжеву систему координат, то уравнение сохранения количества движения в направлении г имеет вид [c.481]

Указанную выше последовательность действий, позволяющую для любой системы координат, действуя стандартным образом, выписать уравнения движения, называют иногда лагранжевым формализмом. [c.134]

Конечно, эти уравнения можно было бы получить непосредственно из уравнений (1) или (2), выписанных для плоского движения материальной точки здесь они получены с помощью стандартной процедуры — лагранжева формализма. [c.135]

Если мы хотим, чтобы при этом движение по-прежнему определялось из уравнений Лагранжа однозначно (по начальным данным), то мы не можем произвольным образом, без всяких ограничений, постулировать лагранжиан L как функцию q, q w t. Действительно, основная теорема лагранжева формализма была доказана в предположении, что кинетическая энергия, а значит и лагранжиан, имеет вполне определенную структуру. Если лагранжиан задается каким-либо иным образом и имеет другую структуру, основная теорема лагранжева формализма, вообще говоря, не выполняется. Следовательно, вообще говоря, уравнения Лагранжа, полученные при этой иной функции Лагранжа, могут оказаться неразрешимыми относительно старших производных, и для них уже не будет верна теорема о существовании и единственности решения при заданных начальных данных. Для того чтобы сохранить это важное свойство уравнений Лагранжа, надо ограничить выбор лагранжиана L при его аксиоматическом задании. Легко видеть, что это ограничение должно быть представлено в форме [c.165]

Совокупность обобщенных координат, обобщенных скоростей и времени называют лагранжевыми переменными некоторой системы, а совокупность для этой же системы обобщенных координат, обобщенных импульсов и времени —ее гамильтоновыми переменными. Задания движения системы в лагранжевых и гамильтоновых переменных эквивалентны в том смысле, что всегда существует взаимно однозначный переход от одной системы переменных к другой. [c.261]

В правых частях уравнений (20) стоят функции только гамильтоновых переменных. Поэтому система уравнений (20) замкнута относительно этих переменных и представляет собой систему 2п дифференциальных уравнений первого порядка, которые полностью определяют изменение во времени координат q и обобщенных импульсов р, если заданы начальные условия, т. е. значения координат и импульсов в момент = 0. Если заданы начальные значения лагранжевых переменных, то, используя формулы (9), можно подсчитать начальные значения обобщенных импульсов, получить таким образом начальные данные для уравнений (20), и, проинтегрировав эту систему уравнений, полностью определить движение в гамильтоновых переменных. Зная, как изменяются во времени координаты и обобщенные импульсы, можно затем, если это необходимо, по формулам (12) подсчитать, как изменяются во времени скорости q. [c.263]

С добавлением конвективного члена, уравнение (7.3), обеспечивающее лагранжево движение узлов и, как следствие, частиц, становится обязательным только для узлов на свободной поверхности. Узлы внутри жидкости можно двигать, вообще говоря, с произвольными скоростями, то есть мы фактически получаем полностью консервативный эйлерово-лагранжев метод на произвольной многоугольной сетке. [c.136]

Имеющийся в нашем распоряжении набор точно решаемых интегрируемых задач невелик (одномерные задачи, движение точки в центральном поле, эйлерово и лагранжево движения твердого тела, задача двух неподвижных центров, движение по геодезическим на эллипсоиде). Однако, с помощью этих интегрируемых случаев можно получить довольно значительную информацию о движении многих важных систем, рассматривая интегрируемую задачу как первое приближение. [c.365]

А именно, следуя Ляпунову, мы будем считать периодическое лагранжево движение устойчивым, когда после всяких сколь угодно малых численно начальных возмущений треугольник М МхМг) всегда бесконечно мало отличается от равностороннего, причем стороны его изменяются между пределами, бесконечно мало отличающимися от прежних. [c.386]

Теорема Лапласа в сочетании с теорией вековых возмущений второго порядка позволяет лишь утверждать, что на конечном хйтя, быть может, и весьма большом промежутке времени (тем большем, чем меньше массы планет) движение планет имеет условно-периодический характер. Такие движения Арнольд назвал лагранжевыми движениями в планетной задаче [36] (они, естественно, отличны от лагранжевых равновесных решений). Существенное добавление к решению проблемы устойчивости принадлежит Арнольду. [c.840]

Приведенные рассуждения не являются строгими. В последнее время существенный прогресс в решении проблемы устойчивости солнечной системы был достигнут В. И. Арнольдом [27], который доказал теорему Если масса, эксцентриситеты и наклонности планет достаточно малы, то для большинства начальных условий истинное движение условно периодично и мало отличается от лагранжева движения с подходящими нaчaльны ш условиями в течение всего бесконечного промежутка времени — оо<(<4-оо . Однако и сейчас еще нельзя утверждать справедливость теоремы. Лапласа. (Прим. перев.) [c.224]

Далее оказывается, что усредненная система имеет устойчивое положение равновесия, соответствующее движению всех планет в одной плоскости а одну сторону по круговым орбитам. Движение планет, соответствующее малым колебаниям в линеаризованной около этого равновесия усредненной системе, называется лагранжевым движением. Оно имеет простую геометрическую интерпретацию. Вектор, направленный из фокуса в перигелий планеты и имеющий длину, пропорциональную ее эксцентриситету (вектор Лапласа), в проекции на основную плоскость системы координат является суммой п—1 равномерно вращаюшлхся векторов. Набор угловых скоростей этих векторов одинаков для всех планет. Вектор, направленный по линии пересечения плоскости орбиты планеты с основной плоскостью (линии узлов) и пропорциональный по длине наклонению планеты, является суммой п—2 равномерно вращающихся векторов". Если в некоторый момент времени эксцентриситеты и наклонения достаточно малы, то в усредненной системе они останутся малыми и во все время движения. В частности, оказываются невозможными столкновения планет и уходы на бесконечность. Это утверждение называется теоремой Лагранжа — Лапласа об устойчивости Солнечной системы. С момента доказательства теоремы (1784 г.) центральная математическая задача небесной механики состояла в том, чтобы перенести этот вывод об устойчивости с усредненной системы на точную. На этом пути возникли многие разделы теории динамических систем, в том числе теория возмущений и эргодическая теория. Сейчас решение рассматриваемой задачи значительно продвинуто. Оказывается, при достаточно малых массах планет большая доля области фазового пространства, соответствующей не-зозмущенном движению в одну сторону по кеплеровским эллипсам малых эксцентриситетов и наклонений, заполнена условно-периодическими движениями, близкими к лагранжевым (см. 3). Таким образом, устойчивость имеет место для большинства начальных условий. При начальных условиях из исключительного множества эволюция больших полуосей если и происходит, то очень медленно — ее средняя скорость экспо- [c.186]

Для решения задач динамики механических систем со многими степенями свободы методы, принятые в классической теории механизмов и машин, оказываются несостоятельными. Эти задачи требуют более мощного аппарата общей механики и математики, в частности применения дифференциальных уравнений движения механических систем в лагранжевых и канонических 1еременных, а также теории линейных и нелинейных колебаний. [c.53]

Приняв лагранжев спектр турбулентности, Чен рассмотрел стационарный ) случай, когда начальный момент временя о равен — схз. В. лагранжевой системе координат прослеживается путь частицы и отмечаются статистически осредненные характеристики потока II твердой частицы. Первоначальная методика Чена была модифицирована Хинце в отношении определения интенсивностей и коэффициентов диффузии. Эти теоретические методы, а также методы Лью [497], Со/ [721 [, Фрпдлендера [232] II Ксенеди [134] были обобщены Чао [104] путем рассмотрения приведенного выше. лагранжева уравнения движения как стохастического, к которо.му внача.ле при.меняется преобразование Фурье. Излагаемый ниже метод принадлежит Чао. [c.50]

Эксперименты хорошо подтверждают расчетные значения интенсивностп движения частиц (средней кинетической энергии) в соответствии с допущением 4 теории Чена. Однако это же допущение приводит к выводу об идентичности коэффициента диффузии частиц и лагранжева коэффициента турбулентной диффузии, что не отвечает экспериментальным результатам для частиц конечного размера (разд. 2.8). [c.67]

Применительно к системе без механических связей уравнения Лагранжа имеют одно основное преимущество они ковариантны по отношению к точечным преобразованиям координат. В случае же, когда система стеснена механическими идеальными связями, применение лагранжева формализма имеет дополнительные пре имущества по сравнению с непосредственным применением урав нений Ньютона. Оно позволяет уменьшить порядок системь уравнений, описывающих движение, до 2п, где л —число степе ней свободы, и избежать определения реакций идеальных связей Возможность выписать уравнения движения, не интересуясь нор мальньши реакциями и вообще подсчетом реакций в случае, когда трение отсутствует, является одним из важных преимуществ применения лагранжева формализма к механическим системам со связями. [c.156]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...