Лагранжевы методы

В своей названной работе (в статье 18) Гаусс выводит уравнение (40.4) из принципа кратчайшего пути. Здесь нам хотелось лишь указать на то, что гауссов метод криволинейных координат на поверхности (40.2) совпадает с лагранжевым методом механики системы. Оба метода инвариантны по отношению к любому преобразованию координат и зависят только от внутренних свойств поверхностей или, соответственно, механических систем. [c.287]

Однако научное значение классической динамики, в частности и ньютоновой динамики, не исчерпываются только физическими предсказаниями, которые делаются непосредственно на их основе. Ньютонова динамика состоит из совокупности математических выводов и заключений, полученных подчинением некоторых простых понятий некоторым простым законам. В математическом развитии предмета были развернуты общие схемы (в частности, лагранжев и гамильтонов метод), которые позволяют заменить первоначальные примитивные понятия более общими (такими как пространство конфигураций и фазовое пространство). Оказалось, что эти новые математические понятия могут быть использованы, чтобы представить физические понятия, отличные от тех, рассмотрение которых было источником понятий математических. Таким образом, ньютонова динамика породила новые физические выводы путем приложения внутренне присущих ей математических идей за пределами их исходной области применения. Примерами этого могут быть применение лагранжевых методов к теории электрических контуров и (что еще более удивительно) применение гамильтоновых методов в развитии квантовой механики. [c.14]

В случае малых колебаний лагранжевы методы предыдущих параграфов приводят к выводу о наличии присоединенной массы, из-за чего удлиняется период свободных колебаний, но затухания колебаний они не дают. Первое теоретическое исследование затухания свободных колебаний, вызванного вязкостью, было выполнено Стоксом в 1850 г. При этом Стокс пренебрегал конвекцией, что обосновано в случае достаточно малых колебаний, и линеаризовал уравнения движения. Вследствие этой линеаризации он получил логарифмический декремент определяемый как логарифм отношения амплитуд последовательных колебаний), который не зависит от амплитуды. Мы кратко изложим схему вычислений. [c.228]

Лагранжевы методы. В форме Лагранжа независимые пространственные переменные относятся к системе координат, связанной с движущейся средой. Лагранжева формулировка уравнений гидродинамики привлекательна для численных расчетов. Здесь отсутствует нефизическая численная диффузия, возникающая при протекании жидкости через границы расчетных ячеек. Кроме того, траектории элементов жидкости сами по себе создают визуализацию течения. Лагранжевы методы естественно использовать при рассмотрении задач гидродинамики со свободными поверхностями, поверхностями раздела сред и другими четкими границами. [c.39]

Лагранжево описание движения 117, 118, 236, 349, 458, 487 Лагранжевы методы 22,110,334,464 [c.604]

При лагранжевом методе (рис.3.4,а) жидкая частица, имеющая при 1 начальную координату Го = (хо, уо, го), движется по траектории, занимая в моменты времени 1о, 1о +А1,1о + 2А1,1о + ЗА положения в пространстве, отмеченные на рисунке точками, то есть в [c.34]

Законы механики формулируются для выделенных механических систем, или совокупностей физических тел. Для сплошной среды это жидкий объём, т.е. выделенный движущийся объём жидкости (текучего тела), сохраняющий при своём движении все составляющие его части (жидкие частицы). Это понятие соответствует лагранжеву методу описания движения текучих тел. [c.35]

Лагранжевы методы, в которых прослеживаются частицы , были доведены до высокой степени совершенства в Лос-Аламосской лаборатории (Фромм [1961]). Вообще говоря, для двумерных задач эйлеровы методы предпочтительнее, однако при их использовании затрудняется расчет ударных волн. Если размер ячейки сетки не меньше, чем толщина ударной волны, то появляются осцилляции, снижающие точность. Эти осцилляции на, дискретной сетке имеют физический смысл (Рихтмайер [1957]). Кинетическая энергия, высвобождающаяся из-за потери скоро- сти при переходе через ударную волну, превращается во внутреннюю энергию случайных соударений молекул при расчетах роль молекул играют ячейки конечно-разностной сетки. [c.22]

Обсудим, наконец, усложнения уравнений Навье — Стокса, вытекающие из различного выбора математического описания лагранжевы методы, методы сращивания и методы Монте-Карло. [c.463]

Когда некоторые из лагранжевых координат оказались циклическими, можно с помощью соответствующих первых интегралов понизить порядок системы дифференциальных уравнений движения. Метод Рауса позволяет выполнить понижение порядка системы, сохранив при этом форму уравнений Лагранжа. [c.564]

Особую роль в этом методе играет выбор лагранжевых координат. Одна и та же задача для некоторого набора лагранжевых координат может допускать разделение переменных, а для другого набора — не допускать. Проиллюстрируем сказанное на задаче определения закона движения одной материальной точки. [c.657]

Так как физические свойства среды в эксперименте определяются для определенной массы частицы, то кинетику и динамику деформируемого твердого тела удобнее излагать в лагранжевых координатах. Необходимые соотношения для использования, часто более удобного, метода Эйлера можно получить из метода Лагранжа как предельные. [c.31]

Таким образом в случае вращающихся или циклических систем мы пришли к необходимости делать различие между устойчивостью в смысле, указанном классическим лагранжевым методом малых колебаний, когда трением пренебрегают, и устойчивостью определяемой критерием Дирихле-Кельвина. Это различие было указано впервые Кельвином, и затем его подтвердил Пуанкаре в своих исследованиях о возможных формах равновесия вращающейся жидкости, частицы которой подвержены действию взаимного притяжения. Различают соответственно два случая обыкновенной" или временной" и практической", постоянной" или вековой" устойчивости, причем последнее наименование связано с приложениями в астрономии. [c.254]

Сопоставим в заключение методы Гамильтона и Лагранжа. В гамильтоновом формализме основными величинами являются , р, и Н. Гамильтониан можно построить с помощью функции Лагранжа и q и р,. Отсюда непосредственно получаются канонические уравнения и динамические переменные. Однако в гамильтоновом формализме время все же играет особую роль по сравнению с пространственными координатами, являясь, по существу говоря, единственной независимой переменной. С одной стороны, это дает возможность провести далеко идущую аналогию с классической механикой, но, с другой стороны, именно поэтому теория оказывается релятивистски неинвариантной. Напротив, в лагранжевом формализме не вводят функции р,-, Н (хотя это и возможно). В лагранжевом методе исходят из вариационного принципа для лагранжиана системы. Из условий для его экстремума получают уравнения движения, а динамические переменные (энергия — импульс, заряд и т. п.) определяются как инварианты, соответствующие различным преобразованиям системы координат и, в случае теории полей, функций поля. В лагранжевом формализме время входит совершенно симметрично с пространством и теория с самого начала релятивистски ковариантна, но зато аналогия с механикой системы точек оказывается гораздо менее отчетливой. [c.878]

Лагранжевы методы позволяют естественным образом включить в расчет упруго-пластические деформации среды [34], химическую кинетику в реагирующих потоках [35] и другие реологические соотношения. Этот подход сочетает простоту с высокой эффективностью при решении одномерных задач. В неодномерном слз ае лагранже-вые сетки могут очень сильно искажаться. В результате расчеты дают большую погрешность и в конце концов становятся неустойчивыми. Обычно, эта проблема решается перестроением сетки в процессе расчета с формированием новой, более регулярной сетки, на которую интерполируются физические величины. [c.41]

Построение сетки Дирихле само но себе является не слишком простой задачей, требуюш,ей снециального рассмотрения. Суш,е-ствуют универсальные индуктивные алгоритмы, нозволяюгцие строить сетку Дирихле для произвольного набора точек в областях не слишком сложной формы. Однако эти алгоритмы требуют большого количества операций и, поэтому, неэкономичны нри построении сетки на каждом временном шаге, как того требуют лагранжевы методы. Поэтому здесь описан экономичный алгоритм, основанный на локальных перестройках. [c.15]

Рассматриваемая здесь дискретная модель уже приводилась в качестве примера в 1.1. Там же отмечалось, что она имеет определенное сходство с лагранжевым методом LIN . В этом методе условие несжимаемости тоже вводилось как требование постоянства объемов ячеек сетки. Близкие дискретные модели, использующие гамильтонов подход, предлагались также в работах Коробицпн, Либип 1975 Гасилов и др. 1979 Волкова и др. 1985. Основным отличием приводимой ниже модели (Франк 1989) от цитированных является способ учета силы тяжести, а также дискретизация по времени. [c.32]

Описанные в предыдущих главах дискретные модели обладают одним общим недостатком, характерным вообще для лагранжевых методов. Они работоспособны только для течений с относительно небольгаими деформациями среды, как, например, описанные выгае волновые движения. В случае течений с интенсивной завихренностью неизбежно возникает перехлест сетки и авост. Для преодоления этого недостатка естественно попытаться построить дискретные модели, в которых отногаение соседства частиц не фиксировано и может со временем изменяться. То есть частицы, бывгаие соседями в начальный момент времени, должны иметь возможность со временем расходиться сколь угодно далеко. Ясно, что основная проблема здесь — это способ введения дискретного условия несжимаемости, которое бы допускало такое движение. Ниже рассматриваются варианты построения таких моделей. [c.104]

Бойнтон и Томсон [1969] разработали метод расчета с продвижением решения но иространственной координате, который является пространственным аналогом нестационарных лагранжевых методов. В этом методе допускается диффузия по нормали к координате, связанной с линией тока, а скачки, как и в методе характеристик, выделяются. [c.334]

В лагранжевых методах применяемые уравнения получаются на основе наблюдения за фиксированной частицей жидкости и прослеживания ее движения через весь поток. Эти методы противостоят принятым в настоящей книге эйлеровым методам, в которых рассматривается фиксированный объем в пространстве с протекающими через него частицами жидкости. Мы уже отмечали некоторые схемы (скажем, метод частиц в ячейках, разд. 5.5.3), в которых применяется смешанное лагранжево и эйлерово описание. Для одномерных течений лагранжев подход часто является более простым, однако для многомерных течений с большими искажениями расчетной сеткп лагранжевы методы становятся неточными и чрезвычайно сложными ). [c.463]

Можно ожидать, что в будущем будут более интенсивно применяться такие методики, как методы сращивания (несмотря на их скромные успехи в настоящее время), смешанные эйлерово-лагранжевы методы и в особенности методики самонастраивающихся преобразований координат и выделения скачков. Другим из возможных путей развития является применение методов конечных элементов ) для расчета невязких дозвуковых течений см. работу Сакетта и Хили [1969], а также обзор Зенкевича [1969] приложения к задачам гидродинамики можно найти в работе Аргирпса с соавторами [1970]. Метод конечных элементов применим также к чисто диффузным задачам, однако [c.465]

Для решения задач динамики механических систем со многими степенями свободы методы, принятые в классической теории механизмов и машин, оказываются несостоятельными. Эти задачи требуют более мощного аппарата общей механики и математики, в частности применения дифференциальных уравнений движения механических систем в лагранжевых и канонических 1еременных, а также теории линейных и нелинейных колебаний. [c.53]

Приняв лагранжев спектр турбулентности, Чен рассмотрел стационарный ) случай, когда начальный момент временя о равен — схз. В. лагранжевой системе координат прослеживается путь частицы и отмечаются статистически осредненные характеристики потока II твердой частицы. Первоначальная методика Чена была модифицирована Хинце в отношении определения интенсивностей и коэффициентов диффузии. Эти теоретические методы, а также методы Лью [497], Со/ [721 [, Фрпдлендера [232] II Ксенеди [134] были обобщены Чао [104] путем рассмотрения приведенного выше. лагранжева уравнения движения как стохастического, к которо.му внача.ле при.меняется преобразование Фурье. Излагаемый ниже метод принадлежит Чао. [c.50]

Рассмотрим турбулентное течение воздуха с частицами углерода диаметром 5 и 50 мк при колшатной температуре и атмосферном давлении. Исходные физические параметры имеют следующие значения V = 0,157 см сек, р = 1,18-10 г см , Рр = 2,25 г см , что дает для частиц меньшего и большего размеров соответственно а = 7,52-10 и а = 7,52-10 сек- р = 0,00079. Лауфер 14701 показал, что при полностью развитом турбулентном течении воздуха в трубе диаметром 254 мм и Не == 5-10 турбулентность на оси трубы практически изотропна и ее интенсивность равна 85,5 см сек, что соответствует примерно 2,8% скорости на оси, или 80% скорости трения. На фиг. 2.7,а представлены данные работы [4701 по энергетическому спектру турбулентности. Включение этих данных в используемую здесь лагранжеву систему осуществлено по методу Майкельсона [24, 537]. На фиг. 2.1,а приведены две кривые, характеризующие изменение в зависи- [c.55]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...