Решения частные Лагранжа

Далее в уравнения Лагранжа первого рода вводятся члены, соответствующие реакциям односторонних связей, на которые пришли точки системы, снова строится решение этих уравнений и повторяется исследование, рассмотренное выше. Как видно из сказанного, решение частных задач механики посредством применения уравнений Лагранжа первого рода связано со значительными трудностями. [c.36]

Сделаем еще одно замечание, касающееся теоремы Гамильтона — Якоби. Мы видели ( 16.2), что если S (q а t) представляет собой полный интеграл уравнения в частных производных Гамильтона, то решение задачи Лагранжа мон<но получить из п уравнений [c.492]

Уравнения движения жидкости в форме Лагранжа (вообще говоря, более сложные, чем в форме Эйлера) при решении частных задач в некоторых случаях оказываются более удобными. Их преимущества обнаруживаются, в частности, при изучении движения жидкости, частицы которой обладают некоторыми особыми свойствами, например, когда частицы движутся без ускорения (случай, часто исследуемый в динамической метеорологии) или когда не изменяется энтропия каждой частицы, или плотность частиц (случай, который встречается в исследованиях Ляпунова о фигурах равновесия вращающейся жидкости) и т. д. [c.58]

Условия динамической возможности движения абсолютно сжимаемой жидкости в форме Эйлера, полученные А. Фридманом, оказались очень полезными при решении различных задач гидродинамики абсолютно сжимаемой жидкости. Поэтому в настоящей работе мы устанавливаем эти условия и в форме Лагранжа в то же время мы показываем, как можно приложить эти условия к решению частных задач гидродинамики абсолютно сжимаемой жидкости, задач, для которых форма Лагранжа представляет особые преимущества. [c.58]

Исследуя наиболее общие законы механического движения, присущего в той или иной мере любому физическому процессу и явлению, классическая механика оказывается тесно связанной с другими разделами физики (электродинамикой, оптикой, статистической физикой, теорией относительности, квантовой механикой и т. д.). Многие следствия, вытекающие из основных законов механики (например, законы сохранения энергии, импульса и механического момента вариационные принципы), при соответствующем обобщении приобретают форму фундаментальных законов природы. При решении частных задач механика широко использует математические методы исследования многие из этих методов (например, методы Лагранжа и Гамильтона, вариационные методы и методы теории возмущений), впервые разработанные и апробированные в классической механике, ныне широко используются почти во всех разделах теоретической физики. [c.5]

Наиболее значительного сокращения числа неизвестных в многокомпонентной многофазной системе можно достичь, исключая из (22.9) все переменные. ....n. Такая возможность представляется благодаря особой, седловидной форме поверхности функции L(n, к) вблизи экстремума и ввиду очевидного термодинамического смысла множителей "к (см. (16.20)). Вычислительный процесс при этом организуется иначе вместо минимизации функции L в пространстве переменных п ведется поиск максимума этой функции по переменным к. Такую замену называют переходом от решения прямой задачи к решению сопряженной с ней двойственной задачи. В теории выпуклого программирования доказывают теоремы, позволяющие из формулировки прямой задачи по стандартным правилам составить соответствующую ей двойственную. В общем случае часть целевой функции двойственной задачи, от которой зависят координаты максимума, представляет собой функцию Лагранжа прямой задачи, а вместо ограничений л/< >>0 в прямой задаче выступают ограничения (22.10) в двойственной. Для рассмотренного выше частного примера из области линейного программирования двойственная к (22.2), (22.3) задача формулируется следующим образом найти максимум функции [c.188]

Частное решение Хч(1) можно получить посредством квадратур по методу Лагранжа вариации произвольных постоянных. Этот метод широко используется в механике для изучения движения возмущенных систем. Воспользуемся им. Представим x (t) в виде [c.233]

Ввиду сложности уравнений Лагранжа ограничимся отысканием частного решения, для которого 6( )=0о. В этом случае получим два уравнения [c.210]

Если не накладывать ограничения на начальные условия, то точное решение задачи можно получить только в трех частных случаях — случаях Эйлера, Лагранжа и С. В. Ковалевской. [c.703]

Особое преимущество принципа Гамильтона обнаруживается в механике сплошных сред, поскольку этот принцип приводит не только к дифференциальным уравнениям задачи, но также и к краевым условиям, которым должны удовлетворять решения этих дифференциальных уравнений в частных производных. Во многих случаях необходимо вначале искать функцию Лагранжа L (входящую в выражение вариационного принципа) в зависимости от характера задачи. Это имеет место, например, при движении электрона в магнитном поле, когда действующая сила не имеет потенциала У далее — в теории относительности, когда L нельзя выразить с помощью выведенного нами выражения (4.10) для кинетической энергии. Здесь роль кинетической части принципа наименьшего действия играет выражение [c.277]

Уравнения (5.16) называются каноническими уравнениями движения, или уравнениями Гамильтона. В принципе вывод этих уравнений представляется известным прогрессом, так как они являются дифференциальными уравнениями первого порядка, тогда как уравнения Лагранжа имеют второй порядок. На практике этот выигрыш оказывается в значительной степени иллюзорным. Простейшее условие для удобства интеграции какого-либо из этих уравнений состоит в том, чтобы некоторое или некоторое р явно не входили в функцию Я тогда соответствующее сопряженное переменное сохраняет постоянное значение. Таким образом, решение уравнений приводит к задаче определения системы координат, в которой бы,ло бы достаточное число циклических переменных и р . Это можно провести на основе некоторых правил (изложенных в гл. VII). К сожалению, однако, эти правила включают решение уравнения в частных производных [c.62]

Как известно из теории дифференциальных уравнений, при некоторых ограничениях на Gi (например, при существовании непрерывных частных производных у функций G, которое в механике всегда предполагается) система уравнений (24) имеет единственное решение при произвольных начальных данных qi = qi = при 1 = 1 (г = 1, 3,. .., п). Таким образом, уравнения Лагранжа удовлетворяют условию детерминированности движения (см. п. 45). [c.274]

В этом случае Z, превратятся в нули и уравнение (28) обратится в уравнение (9). Но предположение Я = О есть лишь частный случай, и, принимая его, мы сужаем решение занимающего нас вопроса. Это положение принималось Лагранжем тогда, когда великий геометр, исходя из принципа наименьшего действия, выводил общие уравнения движения. Но если бы мы и здесь следовали этому правилу и не обобщили множитель, на который нужно умножать уравнение условия, с последующим прибавлением к вариации интеграла, который должен иметь минимальное значение, то получили бы результат, аналогичный формуле (28), т. е. совершенно отличный от найденного нами. [c.340]

Следуя Лагранжу, назовем полным решением или полным интегралом уравнения в частных производных всякую функцию, удовлетворяющую уравнению и содержащую столько произвольных постоянных, сколько имеется независимых переменных. [c.352]

Хотя не известно никакого обш его формального решения проблемы трех тел, однако существуют частные решения проблемы, известной как задача Лагранжа ), в которой конфигурация этих тел представляет собой либо жесткую прямую линию, либо треугольник это следующие движения [c.162]

Изучение свободных колебаний привода связано с отысканием частных решений его математической модели, удовлетворяющих заданным начальным условиям. Линеаризованные, недиссипативные модели приводов относятся к классу консервативных систем, у которых все силы потенциальные, а связи — стационарные. Дифференциальные уравнения, описывающие движение консервативной системы в независимых обобщенных координатах qj, можно составить на основе уравнений Лагранжа [c.154]

Таким образом выражение кинетической энергии получилось достаточно простым. Объясняется это тем, что мы применили упрощающий способ распределения масс по отдельным точкам звеньев механизма. Составление уравнений движения, необходимых для дальнейшего решения задачи, производится так же, как и в предыдущем примере, т. е. надо определить частные и полные производные кинетической энергии и подставить их в уравнения Лагранжа второго рода. Обобщенными силами здесь являются момент движущих сил и момент сил сопротивления. Эти моменты приложены к звену / и к звену 4. [c.165]

Рассмотрим вначале решение задачи для случая, когда функция (10.183) или (10.184) достигает минимума внутри области ограничения функции в точках, в которых частные производные обращаются в нуль. Решение задачи в этом случае возможно при помощи метода условного экстремума Лагранжа. Введем следующие обозначения [c.374]

Здесь через Ф , Ф , Фр, Фр, Ф , Ф( , сгр, сгр и а в обозначены частные производные. Решение по-прежнему содержит участки двустороннего и краевого экстремума, сохраняется и вывод об экстремальных роо и г a Дополнительный произвол в выборе (п — 1) множителя Лагранжа служит для удовлетворения такого же числа изопериметрических условий. [c.610]

Как и в 2, с помощью замены переменных е и)=е, а е)=а и частного решения V-a° + f = 0 уравнения равновесия (1.6) можно получить ряд других разновидностей функционала Лагранжа для разрывных полей перемещений и деформаций они представлены в табл. 3.7. Одно из условий стационарности для всех этих функционалов — непрерывность напряжений на D. [c.92]

II свел теорию механики к некоторым общим уравнениям, из которых представилось возможным выводить все необходимые формулы для решения тех или иных частных задач. В предисловии Лагранж обращает внимание читателя на то обстоятельство, что в его книге нет чертежей по той причине, что методы, которыми он пользуется, не нуждаются в геометрических или механических [c.51]

Решение этого уравнения определяет форму упругой линии балки. Но так как оно нелинейно, то его аналитическое решение может быть получено только для некоторых частных случаев изгиба балок постоянной жесткости, которые были исследованы еш е Я. Бернулли, Л. Эйлером, С. Якоби, Ж. Лагранжем. И даже для этих случаев решение связано с преодолением значительных математических трудностей. [c.217]

Принцип, с помощью которого Даламбер решал все задачи динамики, состоял в уравновешивании так называемых потерянных сил или в сведении решения задач динамики формально к уравнениям статики. В гидростатике Даламбер использовал уравнения равновесия идеальной жидкости в частных производных, введенных Клеро. Так были получены первые дифференциальные уравнения движения идеальной жидкости, о которых Лагранж [c.186]

Метод интегрирования Лагранжа состоит в том, что он ищет частные решения в виде [c.266]

Мы говорили выше о замене упругого континуума при анализе его колебаний дискретной системой материальных точек. Но это дополнялось последующим переходом от дискретной системы материальных точек к континууму. Такой переход систематически применялся Д. Бернулли и, вслед за ним, другими исследователями этой эпохи (Эйлер, Лагранж). Но это не был переход от системы обыкновенных дифференциальных уравнений к уравнению в частных производных — предельный переход осуществлялся, так сказать, не в уравнениях движения, а в их интегралах. Например, в решении для дискретной системы, заменявшей струну, от случая п точек, когда [c.266]

Я приступил к решению этой задачи, анализ которой казался мне сам по себе новым и интересным, так как одновременно надо решать уравнения, число которых не является определенным. К счастью, метод, которым я воспользовался, дал мне формулы не слишком сложные, если учесть большое число операций, которые пришлось проделать. Я рассматриваю эти формулы сначала в том случае, когда число движущихся тел конечно, и я легко получаЮ всю теорию смешения простых и правильных колебаний, которую г-н Даниил Бернулли нашел только с помощью частных и косвенных примеров. Я перехожу к случаю бесконечного числа движущихся тел, и, показав недостаточность предыдущей теории в этом случае я извлекаю из моих формул то же построение для решения проблемы колеблющихся струн, которое дал г-н Эйлер и которое так энергично оспаривалось г-ном Даламбером В последнем замечании Лагранж имеет в виду графическое построение Эйлера, которое [c.268]

Подведем итог краткому разбору основных трудов Остроградского по механике выразительной характеристикой, принадлежащей И. Е. Жуковскому Большая часть ученых работ М. В. Остроградского относится к его любимому предмету — аналитической механике. Он писал по разнообразным вопросам этого предмета по теории притяжения, по колебанию упругого тела, по гидростатике и гидродинамике, по общей теории удара, по моменту сил при возможных перемещениях и т. д. Во всех его работах главное внимание сосредоточивалось не на решении частных задач, а на установлении общих теорий. Он с особенной любовью занимался расширением метода Лагранжа о возможных скоростях и устлиовлониом на самых [c.223]

Отметим, что для рещения частных задач достаточно использовать обобщенные уравнения Лагранжа второго рода. Конечно, можно применять и квазиканонические уравнения к решению частных задач, но цель преобразований системы уравнений движения элемента сплошной среды к гамильтоновой квазиканонической форме заключается не в отыскании эффективных способов рещения частных задач, а в подготовке аппарата для разработки общих методов интегрирования уравнений движения. [c.117]

Как уже было сказано, в задаче Кеплера или в приводящейся к пей задаче двух тел финальный тип движения определяется знаком константы энергии и остается одним и тем же как при t -Ьоо, так и при t —оо. В своих мемуарах [39] и [40] Ж. Шази сформулировал аналогичное утверждение и для задачи трех тел, и довольно долго математический, и особенно астрономический, мир был убежден, что такая замечательная симметрия действительно имеет место. В ее пользу говорило также и то, что во всех случаях, когда удавалось получить точные результаты (не использующие численного интегрирования), поведение решений при t сх) оказывалось одним и тем же. Кроме частных решений (Эйлера, Лагранжа, периодических решений Пуанкаре и т. д.) можно упомянуть здесь еще о теоремах Биркгофа [1], гл. 9, из которых следовало, что множества ПН и НЕ ПНЕ содержат внутренние точки. [c.44]

Открытие малых планет на орбите Юпитера вблизи точек и 5 показало, что решение частной задачи трех тел, полученное Ла анжем, представляет ие только теоретический интерес. Эти планеты относятся к группе астероидов, захваченных Юпитером, и носят название троянцев. Решение Лагранжа точно описывает совместное движение Солнца ( 2 ), Юпитера (1712) и каждого из троянцев (т ), которые при движении [c.110]

Большое значение в гидроаэродинамике имеют частные решения дифференциальных уравнений. такие, как интегралы Громеки, Лагранжа, Эйлера, Бернулли. Правильное понимание физического смысла этих интегралов позволяет успещно Ярименять и четко представлять пределы их оправданного использования. [c.74]

В физических и технических проблемах встречаются и другие виды естественных движений, а также некоторые виды движения тех же самых голономных систем, которые, хотя и выражаются уравнениями более общими, чем уравнения Лагранжа, но могут быть сопоставлены с состояниями равновесия голономной системы благодаря тому, что уравнения допускают соответствующие частные решения (статические или меростатические решения). Мы распространим наше исследование и на эти решения. Наконец, мы введем, наряду со строгим определением понятия устойчивости, приближенное понятие, соответствующее устойчивости в течение конечного, но достаточно длительного промежутка врзмени, или линейной устойчивости ), исследованием которой мы и будем часто ограничиваться в силу непреодолимых математических трудностей, возникающих при анализе устойчивости в строгом смысле. [c.352]

Как видим, по своим условиям случай Гесса сущ,ественно отличается от раньше разобранных случаев Эйлера, Лагранжа и Ковалевской тело совершает гессово движение не при произвольных начальных условиях, а только тогда, когда начальные данные связаны ограничением (51.8). Другими словами, мы имеем здесь не обш,ее решение задачи о движении твёрдого тела с определённым распределением масс, как это было в предытущих трёх случаях, а только частное. [c.577]

Выше мы показали возможность вывода основных уравнени й теории пластин исходя из вариационного принципа Лагранжа. Однако главное значение вариационных принципов в расчете пластин состоит в том, что с их помощью можно получить приближенные решения сложных задач, не прибегая к составлению и решению дифференциальных уравнений в частных производных. Некоторые примеры расчетов с использованием прямых методов вариационного исчисления рассмотрены в 8. Точное аналитическое решение общих уравнений изгиба пластины может быть выполнено лишь в частных случаях — для прямоугольных и круглых пластин постоянной толщины, а также для пластин, [c.67]

Теперь для составления уравнения Лагранжа рассматриваемого трансформатора надо определить частные и полные производные кинетической энергии механизма. В 25 исследование было выполнено в общем виде и потому мы можем применить здесь уравнения (174) в качестве уравнений движения трансформатора, считая, что инерционные коэффициенты /п, /и и /44, а также моменты и М 4 известны. Конечно, решение уравнений (174) связано с трудоемкими вычислениями, однако применение быстродействуюш,их электронно-вычислительных машин позволяет значительно ускорить решение задачи этого типа. [c.162]

Чем больше мы проникаем в природу сил, тем больше мы сводня все к взаимным притяжениям и отталкиваниям и тем важнее становится задача определения движения и взаимно притягивающихся тел. Эта задача принадлежит к категории тех задач, к которым приложима наша теория, т. е. которые приводятся к интегрированию уравнения в частных производных, откуда ясна необходимость изучения этих уравнений. Но в течение 30 лет i занимаются только линейными дифференциальными уравнениями в частных производных, в то время как для нелинейных не сделано ничего. Для трех переменных задачу решил уже Лагранж для большего числа переменных Пфафф представил, хотя п имеющую достоинства, но несовершенную работу. По Пфаффу для решения уравнения в частных производных надо сначала проинтегрировать систему обыкновенных дифференциальных уравнений после интегрирования этой последней составляют новую систему дифференциальных уравнений, которая содержит двумя переменными меньше эту систему снова интегрируют и т. д. и таким образом интегрируют, наконец, уравнение в частных производных. Согласно о этим, Гамильтон, приведя дифференциальное уравнение движения к уравнению в частных производных, свел надачу к более трудной, так как но Пфаффу интегрирование уравнения у. частных производных требует интегрирования ряда систем обыкновенных дифференциальных уравнений, в то время как механическая задача требует интегрирования только одной системы обыкновенных дифференциальных уравнений. Поэтому большее значение имело здесь обратное приведение, при помощи которого уравнение в частных производных сводится к одной системе дифференциальных уравнений. Первая система Пфаффа совпадает как раз с той, которая получается в механике и можно показать, что остальные системы тогда не нужны. Очень часто приведение одной задачи к дру- [c.7]

Лагранж дал свой общий метод интегрирования уравнений в частных производных первого порядка, являющийся совершенно новой мыслью в иптв,-гральном исчислении, в одной статье, помещенной в трудах берлинской академии в 1772 году. В этой статье содержится приведение нелинейных уравнений в частных производных первого порядка к линейным устанавливаются понятия полных и общих решений, причем последние выводятся и . первых, и даются методы для нахождения полных решений. Но всё ограничивается только случаем трех переменных, из которых две не зависят друг от друга. Метод Лагранжа заключается в следующем [c.148]

Так как / есть известная функция от х, у, z, р, то это есть линейное уравнение в частных производных относительно р, содержащее три независимых переменных х, у, г таким образом предложенная задача сводится к тому, чтобы найти для этого линейного уравнения с частными производными одно решение p — S> (х, у, z, а) с одной произвольной постоянной а. Го обстоятельство, что требуется знать только odno такое решение, было отмечено Лагранжем. [c.149]

Лагранж в Аналитической механике рассмотрел многие вопросы этой науки, но одна интересная задача теории удара была оставлена им в стороне частный случай ее был изучен вскоре Л. Карно. В мемуаре К общей теории удара (1854 г., опубликовано в 1857 г.) Остроградский исследовал удар систем в предположении, что возникшие в момент удара связи сохраняются и после него. Он распространил здесь принцип возможных пере-мегцений на явление неупругого удара и получил основную формулу аналитической теории удара, из которой легко получается ряд теорем, решение упомянутой задачи и, в частности, обобщение одной теоремы Карно. [c.222]

Другая особенность вариационной задачи Связана с числом моментных уравнений. Если число дополнительных условий, выраженных через моментные функции, ограничено, то плотность вероятности р (х) может принимать множество значений, удовлетворяющих моментным соотношениям. На этом множестве и определен функционал энтропии (2.7), для которого сформулирована вариационная задача. При неограниченном возрастании числа дополнительных условий в нелинейных задачах статистической динамики мощность множества допустимых р (х) сокращается. В пределе бесконечная система моментных уравнений определяет р (х) единственным образом, если выполняются известные условия Карлемана [20]. При этом вариационная задача об условном максимуме функционала энтропии в принципе вырождается, а сам функционал приобретает дельта-образ-ный вид в пространстве р (х). Тем не менее, как будет показано в следующем параграфе, формальное решение вариационной задачи можно выполнить по методу неопределенных множителей Лагранжа. В результате для частных случаев получаются точные аналитические выражения для плотности вероятности р (х). [c.42]

В разд. 1.2 описаны исходные допущения модели и дана постановка задачи. Б разд. 1.3 дан вывод основных уравнений, исходя из принципа возможных перемещений Лагранжа, а также сформулированы граничные условия задачи. Указан способ преобразования исходной системы уравнений к разрешающей системе, основанный на введении функций напряжений с помощью соотношения (1.21). Такой анализ несколько отличается, судя по литературе, от наиболее распространенных подходов и, в частности, от подхода, изложенного в статье [8]. В разд. 1.4 решается задача для пластины с двумя ребрами и различными граничными условиями. Даны численные расчеты. В разд. 1.5 содержится решение системы разрешающих уравнений для случая, когда число ребер произвольное. Использован известный способ решения системы обыкновенных дифференциальных уравнений, приспособленный к специфике данной системы. В разд. 1.6 рассмотрены частные случаи пластин с пятью и шестью ребрами. Приведены подробные численные расчеты и дан анализ влияния параметров пластины и ребер иа характер напряжений. В разд. 1.7 рассмотрена задача оптимального подкрепления пласти-пы произвольным числом ребер переменного сечения. Закон изменения сечения ребер по их длине определяется из условия, что напряжения в ребрах не меняются по длине каждого ребра. В разд. 1.8 и 1.9 описан метод конечных разностей Лля приближенного расчета напряжений в пластине с ребрами, сечение которых лроизвольно изменяется по длине. Точность метода иллюстрируется а примере. В последнем разделе излагается способ приближенного учета поперечной сжимаемости пластины между ребрами, который улучшает картину напряжений в окрестности угловых точек пластины. [c.7]

Во втором мемуаре ) Sur la for e des ressorts plies ( 0 силе плоских пружин ) Лагранж исследует изгиб полосы постоянного сечения, жестко заделанной одним концом и загруженной на другом конце. Он вводит обычное допущение о том, что кривизна пропорциональна изгибающему моменту, и обсуждает несколько частных случаев, могущих представить известный интерес для теории расчета плоских пружин, подобных тем, которые применяются в карманных часах. Форма предложенного Лагранжем решения слишком сложна для практического использования. [c.54]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...