Якоби энергии

Физический маятник массы М вращается вокруг неподвижной горизонтальной оси. Момент инерции маятника относительно этой оси равен /, расстояние от центра масс маятника до оси равно I. Составить дифференциальное уравнение Якоби — Гамильтона, найти его полный интеграл и первые интегралы движения маятника (нулевой уровень потенциальной энергии взять на уровне оси маятника). [c.376]

Мы установим сначала, какую форму принимает для таких систем интегральный инвариант Пуанкаре — Картана после этого рассмотрим, как записать для них систему уравнений, вид которой напоминает уравнения Лагранжа или уравнения Гамильтона, но порядок ниже (за счет использования интеграла энергии) далее выясним, как выглядят в этом случае вариационный принцип Гамильтона и уравнение Гамильтона — Якоби и какие возможности открываются для определения полного интеграла этого уравнения. [c.326]

Предположим теперь, что удалось решить систему уравнений Уиттекера или Якоби. Это значит, что удалось найти все д, (/ = 2,. .., п) как функции и такого числа произвольных постоянных, каков порядок системы, т. е. 2 —2. Кроме того, эти решения будут, разумеется, содержать начальную энергию И, которая с самого начала входит в выражение для К (либо для Р). Таким образом, мы определим [c.329]

Тогда справедлив обобщенный интеграл энергии Якоби [c.210]

Материальная точка т вынуждена двигаться вдоль прямой, вращающейся с постоянной угловой скоростью. Реакция связи, перпендикулярная этой прямой, не равна нулю и совершает работу на абсолютном перемещении точки. Механическая энергия системы в этом случае не сохраняется, хотя сила пружины, действующая на точку, потенциальна. Вместе с тем имеет место обобщенный интеграл энергии Якоби. [c.546]

Следствие 8.2.3. Гироскопические силы не влияют на изменение полной энергии системы. Они не нарушают интеграл энергии или обобщенный интеграл энергии Якоби. Диссипативные силы стремятся уменьшить полную энергию. [c.549]

Следствие 8.4.3. Если функция Лагранжа не зависит явно от времени, а силы, не обладающие силовой функцией, являются гироскопическими или отсутствуют, то имеет место обобщенный интеграл энергии Якоби [c.556]

Учтем обобщенный интеграл энергии Якоби [c.618]

Показать, что если связи склерономны, то обобщенный интеграл энергии Якоби переходит в интеграл энергии, соответствующий теореме Г). 1.8. [c.622]

Показать, что гироскопические силы не нарушают обобщенный интеграл энергии Якоби. [c.622]

Выполнить доказательство существования обобщенного интеграла энергии Якоби в случае, когда Лагранжиан не зависит явно от времени. [c.622]

Рассмотренные примеры убеждают, что случаи, когда эффективно работает метод разделения переменных, встречаются достаточно часто. Полезно иметь критерий, устанавливающий факт разделимости переменных на основе анализа структуры уравнения Гамильтона-Якоби. Для систем, кинетическая энергия которых зависит только от квадратов обобщенных скоростей, такой критерий доставляет теорема Штеккеля. [c.654]

В рассматриваемом случае функция Я не зависит явно от времени. Поэтому справедлив принцип Якоби (следствие 8.12.3). Вычислим действие по Мопертюи для фазовой кривой, соответствующей постоянной энергии О- [c.690]

На рис. 6.8 показаны значения температур и давлений в перегретой жидкости и паре в некоторый произвольный момент роста пузырька в условиях одновременного влияния энергетических и инерционных эффектов. Вдали от пузырька ( на бесконечности ) жидкость существенно перегрета по отношению к температуре насыш,е-ния при актуальном давлении жидкости р . Однако в условиях больших чисел Якоба этот перегрев оо Т (роо), используемый как параметр в энергетической схеме роста, выступает лишь как предельная расчетная величина, не достигаемая при экспериментальном исследовании процесса. Действительный перегрев ДГ, = Гоо - Т", который следует теперь использовать в граничных условиях для уравнения энергии (6.25), всегда меньше А.Т . Температура Т" и давление р" в пузырьке связаны как параметры на линии насыщения (кривая 1 на рис. 6.8). Эти параметры, в отличие от тех, что принимаются в предельных схемах роста, непрерывно изменяются (уменьшаются) по мере увеличения объема пузырька. Давление пара р" всегда меньше, чем его предельное расчетное значение р (Тао), но на начальной стадии роста пузырька (практически при г < 1 мс для условий Ja > 500) это различие еще не слишком велико, тогда как на этой стадии АГ, АТ . Это означает, что ранняя стадия роста пузырька управляется главным образом динамически- [c.258]

Иногда вытекающее из основного уравнения (3-45) уменьшение полезной внешней работы адиабатически изолированной системы с возрастанием энтропии системы из-за необратимости происходящих в ней реальных процессов связывают с якобы действующей в природе тенденцией всех процессов приводить к обесцениванию или деградации энергии. Согласно этой точке зрения во Вселенной, которая рассматривается как изолированная система, с течением времени энтропия возрастает и вследствие этого уменьшается возможность превращения теплоты в работу, или, другими словами, происходит деградация энергии. В результате этого Вселенная в конце концов должна достигнуть состоя- [c.97]

Замечание. — Определение траекторий при помощи принципа Якоби сводится к чисто геометрической задаче нахождения экстремума интеграла (2), представляющей собой задачу на определение геодезических линий. "Время при этом исключается из рассмотрения, и мы имеем экстремальную задачу, если оставить в стороне механическую интерпретацию интеграла (2). Некоторые авторы сохраняют за этим интегралом название действия вдоль траектории. Следует, однако, заметить, что рассматриваемый интеграл представляет собой действие в механическом смысле лишь при условии, что вводится гипотеза, согласно которой при движении материальной системы ее энергия Т — 7 остается постоянной. [c.324]

Действие этого постулата не ограничивается областью статики. Он приложим также и к динамике, где принцип виртуальных перемещений соответствующим образом обобщается принципом Даламбера. Так как все основные вариационные принципы механики — принципы Эйлера, Лагранжа, Якоби, Гамильтона — являются всего лишь другими математическими формулировками принципа Даламбера, постулат А есть в сущности единственный постулат аналитической механики и поэтому играет фундаментальную роль Принцип виртуальных перемещений приобретает особое значение в важном частном случае, когда приложенная сила Fi моногенная, т. е. когда она получается из одной скалярной функции — силовой. В этом случае виртуальная работа равна вариации силовой функции LJ qi,. .., ( ). Так как силовая функция равна потенциальной энергии, взятой с обратным знаком, то можно сказать, что состояние равновесия механической системы характеризуется стационарностью потенциальной энергии, т. е. условием [c.100]

Якоби раскритиковал рассуждения Лагранжа, касающиеся принципа наименьшего действия , указав на важность того обстоятельства, что варьирование происходит при определенных граничных значениях последнее невозможно, если в качестве аргумента выбрано время. В этом случае верхний предел интеграла действия должен варьироваться определенным образом с тем, чтобы обеспечить сохранение энергии вдоль истинного и варьированного путей. Тем не менее если соответствующим образом понять формулировку принципа наименьшего действия, данную Эйлером и Лагранжем, то окажется, что их выкладки совершенно правильны, а их принцип отличается от принципа Якоби лишь формально. Как мы видели, принцип Якоби представляет собой результат следующих операций. [c.163]

Резюме. При параметрическом задании движения время является дополнительной координатой, которая может принять участие в процессе варьирования. Импульс, соответствующий временной координате, является полной энергией, взятой с обратным знаком. Для склерономных систем время становится циклической координатой, а соответствующий импульс — константой. Это приводит к теореме сохранения энергии для консервативных систем. Исключение времени как циклической координаты позволяет сформулировать новый принцип, определяющий лишь путь механической системы, а не ее движение во времени. Это — принцип Якоби, аналогичный принципу Ферма в оптике. Этот же принцип может быть сформулирован как принцип наименьшего действия . В последнем случае интеграл по времени от удвоенной кинетической энергии минимизируется с дополнительным условием, что при движении и вдоль истинного, и вдоль проварьированного пути должна выполняться теорема о сохранении энергии. Если этот принцип рассматривать с помощью метода неопределенных множителей, то в качестве результирующих уравнений получаются уравнения движения Лагранжа. [c.165]

Резюме. При благоприятных обстоятельствах дифференциальное уравнение Гамильтона — Якоби непосредственно интегрируется в квадратурах. Это происходит в том случае, когда уравнение для энергии распадается на п уравнений, каждое из которых содержит лишь одну пару сопряженных переменных <7/г, pk. При этом функция S может быть записана в виде суммы п функций, каждая из которых зависит лишь от одной из переменных Константы интегрирования появляются в процессе разделения переменных. [c.279]

Этот принцип сходен с принципом Якоби (5.6.12), если только в последнем опустить член с потенциальной энергией V. Кроме того, ds —это уже не линейный элемент трехмерного пространства, а элемент (9.3.8) четырехмерного пространства. Минковского. Предположим, что с помощью некоторого точечного преобразования мы переходим от прямоугольных к произвольным криволинейным координатам. Тогда тот же самый линейный элемент ds примет форму (1.5.16), с суммированием от 1 до 4 13 [c.371]

Уравнения Уиттекера и Якоби. Пусть движение системы описывается каноническими уравнениями (12). Если функция Гамильтона не зависит явно от времени, то существует обобщенный интеграл энергии [c.289]

Уравнения движения точки Р могут быть записаны в форме канонических уравнений Гамильтона. Функция Гамильтона явно от времени не зависит, поэтому существует обобщенный интеграл энергии — интеграл Якоби [c.326]

Принцип Мопертюи-Лагранжа. При заданной константе энергии h уравнения движения консервативной или обобщенно консервативной системы могут быть записаны в форме уравнений Якоби (см. уравнения (36) п. 152). Эти уравнения имеют форму уравнений Лагранжа второго рода, где в качестве функции Лагранжа L выступает функция Якоби Р, а роль независимой переменной играет обобщенная координата qi. По аналогии с действием S по Гамильтону введем действие по Лагранжу [c.483]

Принцип Якоби и геодезические линии в координатном пространстве. Рассмотрим консервативную систему с п степенями свободы. Ее кинетическая энергия — определенно положительная квадратичная форма обобщенных скоростей [c.486]

Уравнение (154) и является уравнением Гамильтона — Якоби для консервативных (Я = —энергия системы) или обобщенно консервативных (Я — обобщенная энергия) систем. Таким образом, чтобы составить уравнение Гамильтона — Якоби для консервативной (обобщенно консервативной) системы, нужно просто записать закон сохранения энергии (обобщенной энергии) и в выражении энергии заменить все импульсы часинлми производными искомой функции V по соответствующим координатам. [c.333]

Это выражение называется обобщенным интегралом энергии (интегралом Якоби). Вспомтая, что- —д д-vj q, , [c.101]

Как было показано в предыдущих параграфах, применение метода разделения переменных позволяет получить полный интеграл уравнения Гамильтона — Якоби. Однако этот меуод не всегда применим. Поэтому естественно заранее выяснить, при каком виде гамильтоновой функции (или отдельно кинетической и потенциальной энергий) возможно применение метода разде- [c.166]

Как инструмент для изучения произвольных голономных систем материальных точек получены уравнения Лагранжа второго рода и канонические уравнения Гамильтона [66]. Дается понятие о лагран-жевом формализме [1, 36]. Изучается поведение полной энергии системы в зависимости от структуры обобщенных сил и кинетической энергии. Дается метод циклических координат [5, 58]. Устанавливается, что для голономных систем интегргипы количества движения, кинетического момента и обобщенный интегргия энергии Якоби [70] всегда могут быть представлены как следствие существования соответствующих циклических координат. Указывается на возможность использования аппарата теории групп для поиска интегралов движения [5]. Изложение вариационных принципов Гамильтона и Мопертюи-Лагранжа-Якоби [17, 38, 70] выполнено в соответствии с современной теорией оптимальных процессов [2, 5, 13]. Геометрически наглядная трактовка придана теории малых колеба- [c.12]

Материгильная точка массы т вынуждена двигаться по кольцу, вращающемуся вокруг вертикального диаметра длины 2 Д с постоянной угловой скоростью д. Действует сила тяжести. Выписать обобщенный интеграл энергии Якоби. Выписать выражение для полной механической энергии. Почему полная механическая энер1 ия не сохраняется при движении точки [c.300]

Следствие 9.2.3. Система канонических уравнений Гамильтона имеет первый интеграл вида Н = к, где к — постоянная инте-грирования, тогда и только тогда, когда функция Гамильтона Н не зависит явно от времени дH/дt = 0. Для систем материальных точек этот интеграл эквивалентен обобщенному интегралу энергии Якоби, для склерономных систем с потенциальными силами — интегралу полной механической энергии. [c.634]

Пример (К. Якоби). Пусть рассматривается движение системы со стационарными голономнымн связями в консервативном силовом поле. Тогда существует интеграл энергии [c.368]

Как известно из механики, движение материальных частиц может быть определено с помощью уравнения Гамильтона-Якоби, являющегося, как и уравнение (67,3), уравнением в частных производных первого порядка. Аналогичной г 5 ве.1ичииой является гфи этом действие 5 частицы, а производные от действия определяют импульс р и функцию Гамильтона Н (энергию) частицы согласно формулам р = <35/(3г, Н =-—dS/dt, аналогично формулам (67,2). Известно, далее, что уравнение Гамильтона-Якоби эквивалентно уравнениям Гамильтона, имеющим вид р = —dHfdr, v = r = dH/dp. Вследствие указанной аналогии между механикой материальной частицы и геометрической акустикой мы можем непосредственно написать аналогичные уравнения для лучей [c.366]

Иногда вытекающее из основного уравнения (2.99) уменьшение полезной внешней работы адиабатически изолированной системы с возрастанием энтропии системы из-за необратимости происходящих в ней реальных процессов связывают с якобы действующей в природе тенденцией всех процессов приводить к обесцениванию или деградации энергии. Согласно этой точке зрения, во Вселенной, которая рассматривается как изолированная система, с течением времени энтропия возрастает и вследствие этого уменьшается возможность йревращения теплоты в работу, или, другими словами, происходит деградация энергии. В результате этого Вселенная в конце концов должна достигнуть состояния абсолютного теплового равновесия ( тепловой смерти по Клаузиусу и Томсону), при котором всякие процессы в ней прекратятся, а превращения энергии станут невозможными. [c.156]

Энергию связи, Бознпкающ,ую в результате попарного обобществления электронов, называют часто обменной, так как ока возникает в результате якобы обмена атомов электронами. В действительности она является электростатической энергией взаимодействия электронного облака повышенной плотности, формирующегося между атомами, с ядрами этих атомов. Приблилсенно ее можно пред- ставить следующим выражением [c.18]

Резюме. Принцип Якоби связывает движение голо-номных консервативных систем и риманову геометрию. В частности, если система движется под действием собственной инерции в отсутствии приложенных сил, то изображающая эту систему С-точка описывает геодезическую (кратчайшую) линию в пространстве конфигураций, которое является п-мерным римановым пространством. Из теоремы о сохранении энергии следует к тому же, что движение происходит с ио-стояннной скоростью. Все это является естественным обобщением обычного закона инерции, который утверждает, что при наличии лишь собственной инерции частица движется по прямой линии с постоянной скоростью. [c.168]

Таким образом оценки мировых энергетических ресурсов различными исследователями лишний раз подтверждают несостоятельность получившей распространение на Западе теории якобы надвигающейся на человечество угрозы скорого истощения первичных источников энергии — энергетического голода . Правда, многие авторы этой теории подчеркивают, что скорое истощение первичных источников энергии относится не к углю, а в первую очередь к наиболее дешевым, высококачественным и ныне широко применяемым нефти и газу. Так, Г. Люстинг утверждает, что угля человечеству хватит до 2500 г., нефти — до 2100 г. и природного газа — до 2015 г. [c.7]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...