Вращение твердого тела около неподвижной оси

Вращение твердого тела около неподвижной оси. Мы знаем, что для равновесия такого тела необходимо и достаточно выполнение одного условия сумма моментов активных сил относительно оси вращения должна быть равна нулю. [c.90]

Сложный маятник (фиг, 62). Сложным маятником называется твердое тело произвольной формы, вращающееся около горизонтальной оси под действием собственного веса ). Следовательно, мы имеем здесь вращение твердого тела около неподвижной оси и поэтому должны применить только что полученное уравнение (17). Активная движущая сила здесь есть вес тела, который нужно считать приложенным в центре тяжести его О. Назовем массу всего тела через т и расстояние [c.93]

Но сумма тг есть не что иное, как момент инерции тела относительно оси О. Следовательно, в случае вращения твердого тела около неподвижной оси момент количеств движения относительно оси вращения равен произведению из угловой скорости на момент инерции тела для оси вращения. [c.199]

Вращение твердого тела около неподвижной оси. Пусть тело, вначале находившееся в покое, приведено во вращение ударом. При вращении около неподвижной оси условие равновесия сил заключается в том, что сумма моментов всех сил относительно оси вращения равна нулю. Следовательно, мы получим уравнение движения, выразив, что момент удара, сложенный с моментом потерянных количеств движения, дает в сумме нуль. [c.302]

Здесь мы имеем случай вращения твердого тела около неподвижной оси, т. е. тот же вопрос, как и в предыдущем примере. Но, рассматривая ядро и маятник как одну систему, [c.304]

Вращение твердого тела около неподвижной оси 90 и д. [c.358]

Вектор количества движения системы Q не может быть динамической характеристикой вращательного движения системы как целого. Чтобы пояснить это утверждение, рассмотрим случай вращения твердого тела около неподвижной оси, проходящей через центр масс тела. По формуле (46) получим, что [c.369]

При вращении твердого тела около неподвижной оси силы давления на опоры (подшипники или подпятники) будут, вообще говоря, отличаться от сил давления, развивающихся при отсутствии вращения. Как будет видно из дальнейшего, при постоянной угловой скорости вращения динамические силы реакции, перпендикулярные к оси вращения, будут увеличиваться пропорционально квадрату этой угловой скорости. Так как в современной технике угловые скорости вращения (например, коленчатых валов, роторов турбин, винтов геликоптеров и др ) [c.409]

На основании этих значений для вд и tg i следует, что при вращении твердого тела около неподвижной точки полные ускорения всех его точек пропорциональны расстояниям этих точек до неподвижной оси вращения и направлены под одним и тем же углом к своим радиусам. [c.351]

Теорема Эйлера — Даламбера. Рассмотрим теперь движение абсолютно твердого тела, имеющего одну неподвижную точку. Докажем, что в этом случае имеет место теорема Эйлера — Даламбера Всякое перемещение твердого тела около неподвижной точки можно полечить одним только поворотом тела вокруг определенной оси, проходящей через эту точку и называемой осью конечного вращения. Доказывается эта теорема аналогично теореме и на стр. 102. Как известно, положение твердого тела в пространстве определяется положением любых трех его точек, не лежащих на одной прямой ( 7, п. 1). Если точка О тела неподвижна, то его положение определится положением любых двух других точек, не лежащих на одной прямой с точкой О. Опишем из неподвижной точки О тела, как из центра, сферу произвольного радиуса и на этой сфере возьмем две точки А Vi В (рис. 132) тогда положение тела можно определить положением дуги АВ большого круга рассматриваемой сферы. [c.132]

Движение твердого тела около неподвижной точки.—Если твердое тело закреплено в одной точке О, то скорость этой точки постоянно равна нулю, поэтому движение тела в каждый момент времени представляет собой мгновенное вращение вокруг оси OR, проходящей через точку О (п° 65). Если движение тела не есть непрерывное вращение вокруг неподвижной оси, мгновенная угловая скорость постоянно изменяется по направлению и по величине как в неподвижном пространстве, так и в движущемся теле. Геометрическое место мгновенных осей в пространстве есть коническая поверхность с вершиной в точке О (неподвижный аксоид), геометрическое место этих осей в теле есть другая коническая поверхность с вершиной в той же точке (подвижный аксоид). В каждый момент времени [c.83]

ТЕОРЕМА Эйлера конечное перемещение отрезка в плоскости можно осуществить одним поворотом относительно некоторой неподвижной точки Эйлера — Даламбера всякое перемещение твердого тела около неподвижной точки можно получить одним только поворотом тела вокруг определенной оси, проходящей через эту точку и называемой осью конечного вращения ) [c.284]

Пример 11. Рассмотрим вращение тяжелого твердого тела около неподвижной точки. Расстояние от точки подвеса до центра масс тела обозначим е и будем считать малой величиной. При е = 0 получаем задачу Эйлера—Пуансо (гл. 4). Переменные действие — угол /ь /г, в, фи фг, А для этой задачи описаны в [12] (см. также гл. 3, п. 2.3). Напомним, что /г — модуль вектора кинетического момента тела, а 0 — его вертикальная проекция, О — угол поворота вектора кинетического момента вокруг вертикали, переменные и ф1. фг при заданном /г определяют положение тела в системе осей, жестко связанной с вектором кинетического момента и вертикалью (рис. 20). [c.183]

Динамика твердого тела. Вращение около неподвижной оси. [c.136]

Составим дифференциальное уравнение вращения маховика, рассматривая его как твердое тело, вращающееся около неподвижной оси О, [c.216]

Вращательным называют такое движение, при котором все точки твердого тела движутся по окружностям, центры которых расположены на одной прямой, называемой осью вращения. Конечно, предполагается, что вращение рассматривается в некоторой определенной системе отсчета. Если в этой системе отсчета ось вращения неподвижна, то говорят, что тело вращается около неподвижной оси. Очевидно, все точки, находящиеся на осп вращения, будут в данной системе неподвижны. Если ось вращения в выбранной системе сама движется, то говорят, что тело вращается около движущейся оси. Например, вращение цилиндра, катящегося по плоскости (рис. 9.1), можно рассматривать относительно покоящейся системы отсчета К, связанной с плоскостью качения, или относительно поступательно движущейся системы К жестко связанной с осью цилиндра. В системе отсчета К вращение тела происходит относительно оси цилиндра, которая сама перемещается в пространстве. В системе же К ось вра- щения (ось цилиндра) непо- [c.218]

Физический маятник — это твердое тело, имеющее неподвижную ось вращения, не проходящую через его центр тяжести. Будучи выведенным из положения равновесия, тело совершает около оси крутильные колебания. Выясним, будут ли эти колебания гармоническими. Для этого найдем выражение для возвращающего момента. При отклонении тела на произвольный угол а (рис. 11.17) возвращающий момент равен [c.335]

Все частицы тела совершают плоское движение, причем скорости и ускорения различных частиц, вообще говоря, различны чем дальше частица от оси, тем больше ее скорость. А угловая скорость вращения одинакова для всех частей тела она полностью определяет движение всего твердого тела при его вращении около неподвижной оси. [c.180]

Рассмотрим твердое тело (фиг. 180), вращающееся около неподвижной оси АВ, и допустим для общности рассмотрения, что неподвижность оси вращения достигнута закреплением двух точек Л и В (практически это значит, что в точках Л и В поставлены подпятники или сферические шарниры). В этом слу- [c.410]

Предположим, что мы находимся в пространстве без действия внешних сил (сил тяготения и сил сопротивления). Такое пространство будем, по Циолковскому, называть свободным пространством. Если рассмотреть в таком свободном пространстве вращение твердого тела с заданной массой М около неподвижной оси, то могут иметь место следующие два случая [c.416]

В то время как тело движется около точки О, вместе с ним движется также и Неизменно связанный с ним эллипсоид, но так, что он во всякий момент касается неподвижной плоскости в мгновенном полюсе Q (фиг. 12) а так как эта точка касания (положение которой, вообще говоря, изменяется как на эллипсоиде, так и на плоскости) принадлежит всегда мгновенной оси вращения, то движение твердого тела происходит так, как если бы эллипсоид инерции, связанный с телом, катился без скольжения по неподвижной плоскости. [c.87]

Так, в современных гироскопических приборах угловая скорость со собственного вращения достигает иногда 40 000—50 ООО об/мин, а угловая скорость со, вращения оси гироскопа равна одному обороту за 2—3 мин и даже за 20 мин (для гирокомпасов). Рассмотрим сначала случай, когда гироскоп движется около неподвижной точки. Если выбрать начало координат в этой точке О и направить ось г по оси симметрии гироскопа, то оси X, у, Z оказываются главными осями инерции гироскопа в неподвижной точке (рис. 10.21). Момент инерции является полярным моментом инерции гироскопа, а. и 1у — экваториальными моментами инерции. В связи с наличием в твердом теле оси симметрии имеем/ < у [c.530]

Конечно, система соосных тел может вести себя так, как ведет себя одно отдельное твердое тело, находящееся под воздействием неподвижного момента внешних сил, но она может также воспроизводить движение одного тела, на которое действует момент внешних сил, вращающийся около геометрической оси системы со скоростью (по величине и направлению), отличной от скорости собственного вращения. Это свойство, а также полезное понятие моделирующее тело можно использовать для выяснения свойств движения систем соосных тел, в которых некоторые тела вращаются в противоположных направлениях, — систем, которые выглядят достаточно сложными. [c.27]

Введение. Твердое тело представляет собой частный случай механической системы точек, когда расстояния между любыми двумя точками системы остаются постоянными во все время движения. Одним из наиболее эффективных методов изу-чершя движения твердого тела под действием приложенных к нему сил является метод, основанный на применении основных теорем динамики системы. Для изучения поступательного движения тела мы будем исходить из теоремы о движении центра масс при изучении вращения твердого тела около неподвижной оси наиболее рационально пользоваться теоремой об изменении кинетического момента. На примерах изучения простейших движений твердого тела под действием приложенных сил весьма отчетливо выявляется значение основных теорем динамики системы, позволяющих исследовать свойства движений систем ма-териальных точек, подчиненных некоторым дополнительным условиям (связям). Основные теоремы динамики системы были исторически первым, наиболее простым и естественным методом изучения движения несвободных механических систем точек, и в частности изучения динамики твердого тела В последующем развитии механики Лагранжем был создан метод обобщенных координат, позволяющий свести составление дифференциальных уравнений движения системы с 5 степенями свободы к ясной, логически безупречной последовательности алгебраических преобразований, однако физическая наглядность рассуждений была в значительной мере утрачена [c.400]

Уравнения Эйлера. Многие исследования о вращении твердого тела около неподвижной точки под действием внешних сил или при их отсутствии основываются на замечательной системе уравнений, установленных Эйлером (1758) и известных под его именем. Было уже замечено ( 38), что употребление неподвижной системы координат неудобно для уравнений движения, так как коэфициенты инерции непрерывно изменяются. Поэтому Эйлер наметил план введения осей координат, неизменно связанных с телом и движущихся вместе с ним. Для большего упрощения в качестве таких осей принимают главные оси инерции ОА, ОВ, ОС, относящиеся к неподвижной точке О. Пусть Ох, Оу, Oz — система осей, неподвлжных в пространстве, но ориентированных так, что они в данный момент t времени совпадают соответственно с осями ОА, ОВ и ОС. Через промежуток времени Ы положение главных осей инерции определится, как результат трех поворотов рЫ, qbt, rbt, соответственно, вокруг осей ОХ, 0Y, 02. Если мы пренебрежем квадратами и произведениями малых количеств, то для нас будет несущественно, в каком порядке происходят эти повороты. Поворот вокруг Оу не изменит положения ОВ, но поворот вокруг Ог повернет ОБ в сторону от оси Ох на угол гЫ. Поворот же вокруг Ох не изменит угла между ОВ и Ох. Таким образом косинус угла между ОВ и Ох станет равен теперь — rZt. Далее поворот около Oz не изменит положения ОС, а поворот вокруг Оу приблизит ОС к Ох на угол дЫ. Косинус угла между ОС и Ох станет теперь равен -[-Наконец, угол между О Л и Ох бесконечно мал. Таким образом косинусы углов, образованных осями ОА, ОВ и ОС с осью Ох, будут соответственно равны [c.118]

В главе I подробно исследованы уравнения свободного вращения твердого тела около неподвижной точки, В результате проведенного качественного анализа такого движения получены аналитические зависимости пределов нутации оси собственного вращения от начальных усювий. Выявлена аналитическая природа движений. Глава 1 дает обоснования для использования тех или иных предположений о характере движения, которые сделаны в последующих главах. [c.2]

Дифференциальное уравнение вращатель-ного движения твердого тела около неподвижной оси. Положение твердого тела, которое может вращать ся около неподвижной оси, определяется углом поворота (р-некоторой плоскости, неизменно связанной с твердым телом, по отношению к неподвижной плоскости (фиг. 178). Пусть осью вращения тела является ось Ог реакции двух закрепленных точек оси вращения /5 и В обозначим -> -> через NA и Практически закрепление оси осуществляется при помощи подшипников и подпятников. [c.405]

А. Ампер (1775—1836) предложил выделить в самостоятельный раздел изучение движения только с геометрической стороны и назвал его кинематикой (от греческого xivi ioio — движение). Л. Пуансо (1777—1859) впервые указал на возможность сложения и разложения вращений и ввел понятие о мгновенной оси вращения ему мы обязаны подробными геометрическими исследованиями движения твердого тела около неподвижной точки. [c.144]

Задача о движении тяжелого твердого тела около неподвижной точки издавна привлекала внимание всех крупных механиков и математиков. Эйлер в 1758 г. впервые рассмотрел решение этой задачи для случая, когда центр масс совпадает с неподвижной точкой. В 1788 г. Лагранжем был исследован другой случай движения тяжелого твердого тела, когда эллипсоид инерции, построенный для неподвижной точки, является эллипсоидом вращения, а центр масс твердого тела находится на оси симметрии этого эллипсоида. После открытия Лагранжа в течение целого столетия, несмотря на усилия многочисленных ученых, в том числе таких крупных математиков, как Пуассон, Якоби, Пуансо, не было получено новых существенных результатов. В 1886 г. Парижская академия наук объявила конкурс на соискание премии Бордена за лучшее сочинение на тему о движении твердого тела около неподвижной точки. Эту премию получила С. В. Ковалевская, пред- [c.399]

Если в твердом теле только одна точка неподвижна и тело произвольно вращается около этой точки, то такое движение называется сферическим. Оно состоит из вращения вокруг произвольных осей вращения, которые, однако, всегда проходят через неподвижную точку О. Представим себе в точке О, как в начальной точке координат, систему координат X, у, 2 и выразим вектор угловой скорости ш через его прямоугольные составляющие ш,, (03 мы увидим таким образом, что имеются ОО различных сферических движений. Вращению твердого тела вокруг неподвижной точки соответствуют таким образом три степени свободы. Ось меняет свое положение по отношению к твердому телу и по отношению к неподвижному пространству. Если представить себе, что следующие одно за другим положения осей вращения зафиксированы в коордт натнач системах одна из которых связана с твердым телом, а другая — с пространством, то получим два полюсных конуса с общей вершиной, причем конус, связанный с телом, будет катиться по полюсному конусу, находящемуся, по отношению к пространству, в неподвижности. Общая образующая обоих конусов в какой-нибудь момент времени называется мгновенной осью вращения. [c.286]

После того как Эйлером и Пуансо, Лагранжем и Пуассоном были исследованы два случая вращения тяжелого твердого тела около неподвижной точки (случай, когда центр тяжести совпадает с точкой опоры, и случай симметричного эллипсоида инерции, когда центр тяжести лежит на неравной другим оси ирерции), наступило затишье в исследованиях, относящихся к этой задаче. [c.157]

Наконец, если твердое тело имеет неподвижную ось, то речь будет идти о системе только с одной степенью свободы, поэтому достаточно будет только однрго уравнения, чтобы выразить в Лунк-ции времени единственную обобщенную координату — угол, определяющий положение тела при вращении его около оси. Таким уравнением, содержащим только приложенные силы, а не реакции, возникающие в точках закрепления оси, здесь также, как и в статическом случае (т. I, гл. XIII, пп. 6—ТО), будет скалярнпе уравнение моментов относительно неподвижной оси. [c.8]

ПРАВИЛО (Стокса длина волны фотолюминесценции обычно больше, чем длина волны возбуждающего света фаз Гиббса в гетерогенной системе, находящейся в термодинамическом равновесии, число фаз не может превышать число компонентов больше чем на два ) ПРЕОБРАЗОВАНИЯ [Галилея — уравнения классической механики, связывающие координаты и время движущейся материальной точки в движущихся друг относительно друга инерциальных системах отсчета с малой скоростью калибровочные — зависящие от координат в пространстве — времени преобразования, переводящие одну суперпозицию волновых функций частиц в другую каноническое в уравнениях Гамильтона состоит в их инвариантности по отношению к выбору обобщенных координат Лоренца описывают переход от одной инерци-альной системы отсчета к другой при любых возможных скоростях их относительного движения] ПРЕЦЕССИЯ — движение оси собственного вращения твердого тела, вращающегося около неподвижной точки, при котором эта ось описывает круговую коническую поверхность ПРИВЕДЕНИЕ системы <к двум силам всякая система действующих на абсолютно твердое тело сил, для которой произведение главного вектора на главный момент не равно нулю, приводится к динаме к дниаме (винту) — совокупность силы и пары, лежащей в плоскости, перпендикулярной к силе скользящих векторов (лемма) всякий скользящий вектор, приложенный в точке А, можно, не изменяя его действия, перенести в любую точку В, прибавив при этом пару с моментом, равным моменту вектора, приложенного в точку А скользящего вектора относительно точки В ) ПРИНЦИП (есть утверждение, оправданное практикой и применяемое без доказательства Бабине при фраунгоферовой дифракции на каком-либо экране интенсивность диафрагмированного света в любом направлении должна быть такой, как и на дополнительном экране ) [c.263]

ПРЕЦЕССИЯ (от лат, prae edo — предшествую) — движение оси собственного вращения твердого тела, вращающегося около неподвижной точки, при котором эта ось оп 1сывает коническую поверхность. [c.266]

В данной статье описывается движение оси системы соосно устанЪвленных п тел около неподвижной точки, когда к одному из тел системы приложен момент внешних сил. Показано, что ось системы описывает в пространстве эпициклоиду. Показано также, что число витков этой эпициклоиды зависит от угловой скорости тела, к которому непосредственно приложен момент, от скорости нутации всей системы. Получены выражения наибольшей амплитуды нутации за заданное время действия приложенного момента оценено итоговое изменение углового положения, обусловленного демпфированием движения нутации найдены угловые положения вектора момента сил, при которых имеют место наибольшая и нулевая амплитуды нутации. Показано, что эпициклоида приводится к кардиоиде, когда система сводится к единственному телу, такому, что отношение его осевого момента инерции к экваториальному равно 2. Построено одиночное твердое тело, моделирующее всю систему в том смысле, что такое тело обладает тем же движением, что и система тел, установленных на общей оси и способных вращаться около этой оси независимо одно от другого ), если вектор внешнего момента вращается со скоростью, отличной от скорости собственного вращения моделирующего тела. [c.9]

Задача Ге.1ьнгольца о колебаниях около неподвижной оси шара, наполненного трущеюся жидкостью. Для первого примера рассмотрим задачу Гельмгольца о колебании около неподвижной оси тела, содерисащего в своей шаровой полости радиуса а трущуюся жидкость и находящегося под действием пары, момент которой пропорционален угловому перемещению тела, считая от положения его равновесия. Примем в формуле (5) ось Ох за ось вращения тела и определим А, присоединив к твердому телу эквивалентное тело, которое в нашем с.пучае будет материальною точкою, равною по массе жидкости и помещенною в центре шара. [c.281]

Момент количеств движения для твердого тела, вращающегося около неподвижной оси. Чтобы дать более определенное представление о новом введенном нами понятии момент количеств движения , вычислим этот момент для твердого тела, вращаюп1егося около неподвижной оси эту ось и примем за ось моментов. Каждая частица тела движется в плоскости, перпендикулярной к этой оси О. Пусть угловая скорость вращения будет со. Возьмем некоторую частицу тела, находящуюся на расстоянии г от оси и имеющую массу т. Скорость ее будет or, она направлена по перпендикуляру к радиусу г. Количество движения имеет величину [c.198]

В качестве примера далее рассматривается случай вращения около вертикали тяжелого твердого тела, имеющего неподвижную точку О. Через Л, В, С обозначаются главные моменты инерции относительно осей связанной с телом системы координат Oxyz причем в опорном движении ось Oz, на которой расположен центр инерции тела, направлена по вертикали ОС. В возмущенном движении положение тела определяется эйлеровыми углами ф, О, ср, причем угол О будет малым. Проекции угловой скорости тела на связанные с ним оси равны [c.736]

МГНОВЕННАЯ ОСЬ ВРАЩЕНИЯ твердого тела, движущегося около непо-д в и ш и ой точки, — прямая, все точки к рой имеют в данный момент времени скорости, равные нулю. М. о. в. может быть найдена как линия пересечения плоскостей, проходящих через неподвижную точку тела перпендикулярно к векторам скоростей других ого точек. При движении тела М. о. в. всо время меняет своо направление в пространстве и в само.м теле. Геометрич. место М. о. в. образует конич. новерхиости, наз. а к с о и д а м п. Скорости всех точек тела в данный момент времени такие же, как если бы М. о. в. была неподвижной осью вращ(шия тела. Отношение линейной скорости к.-н. точки тела к ее расстоянию до М. о. в. дает угловую скорость ш тола в данный момент. Если эту угловую скорость изобразить вектором <в, направленным по М. о в., то ур-ния мгновенной оси относительно осей системы [c.164]

Твердое тело свободно вращается около неподвижной точки О. Пусть а, Ь, с — координаты его центра масс относительно главных осей инерции в точке О, а (/, т, п) — направлящие косинусы вертикали относительно тех же осей. Доказать, что вращение тела вокруг вертикали может быть равномерным при условии [c.109]

Напротив, на вращающемся теле во вращающемся потоке, оси вращения которых совпадают, или на вращающемся вокруг своей оси тела в неподвижной жидкости имеет место трехмерный (в полном смысле этого слова) пограничный слой. Простейшие случаи таких течений обсуждались ранее, а именно Бёдевадтом [3], рассматривался вращающийся на твердом основании поток, а Кохрэном [4] — вращающийся диск в неподвижной жидкости. Л. Хоуартом [5] недавно была предпринята попытка рассчитать с помощью ряда пограничный поток около шара, вращающегося в неподвижной жидкости. Рассмотрение подобного потока с помощью ряда привело Нигэма [6] к результатам, отличным от результатов Хоуарта. Феднис [7] обобщил основные положения работы [6] на случай вращающегося эллипсоида вращения. [c.251]

Принято число независимых движений, из которых составляется движение твердого тела, называть числом степеней свободы. Свободное тело имеет 6 степеней свободы. Тело, вращающееся около неподвижной (закрепленной) оси, имеет одну степень свободы. Катящийся по рельсам цилиндр, например, имеег две степени свободы (одну — поступательного и одну — вращательного движений). Скользящий по поверхности стола брусок имеет три степени свободы две — поступательного и одну — вращательного движений (вращение может происходить относительно оси, перпендикулярной плоскости скольл<ения). [c.223]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...