Лагранжева механика

Наконец, в лагранжевой механике не существует какого-либо общего метода упрощения функции Лагранжа. Не существует никакого систематического приема для получения циклических переменных и их можно получить лишь путем удачной догадки. В гамильтоновой механике может быть предложен определенный метод получения циклических переменных и упрощения функции Гамильтона. Этот метод сводит всю задачу интегрирования к нахождению одной фундаментальной функции, являющейся производящей функцией некоторого преобразования. Он играет центральную роль в теории канонических уравнений и, как будет показано в следующей главе, предоставляет широкие возможности для различных обобщений. [c.226]

Поскольку переменными в лагранжевой механике являются одни Qi, произвольное точечное преобразование лагранжевой механики имеет вид [c.229]

ЛАГРАНЖЕВА механика НА МНОГООБРАЗИЯХ [c.69]

Часть III Лагранжева механика [c.106]

Классические труды по лагранжевой механике описывают предыдущую редукцию в терминах пренебрежимой переменной. Пусть угол в таков, что ж = л/7 os 0, а у = л/7 sin 9. Если корректно выбрать области определения, то преобразование (ж, у, ж, у) (J, J, К, в) — это регулярная замена переменных. Система (2.3) превращается в три уравнения (2.4) и уравнение [c.10]

Лагранжева механика включается в гамильтонову как частный случай (фазовое пространство в зтом случае есть кокасательное расслоение конфигурационного, а функция Гамильтона — преобразование Лежандра функции Лагранжа). [c.142]

Перейдем от описания специальной ситуации систем с дискретным временем к общей постановке задач лагранжевой механики, сформулированной в 5.3. Мы хотим показать, что решение уравнения Лагранжа (5.3.2), переписанное ниже как (9.4.2), которое описывает ньютонову динамику, эквивалентно решению вариационной задачи, т. е. нахождению критических точек некоторого функционала. В отличие от случая дискретного времени, которым мы занимались до этого, естественно определенный функционал действия оказывается заданным на некотором бесконечномерном пространстве. Это приводит к существенным техническим усложнениям и требует развития локальной теории. Со временем мы научимся находить минимумы такого функционала действия (определенного ниже), как мы уже умеем делать в случае дискретного времени. Прежде всего найдем взаимосвязь между уравнением Лагранжа и вариационными задачами. [c.371]

Поэтому сначала развивается лагранжева механика сплошной среды как несвободной системы при выборе переменных поля из совокупности известных функций, определяющих состояние системы. Затем из обобщенного принципа Даламбера — Лагранжа, с привлечением метода множителей Лагранжа, находятся уравнения движения элемента сплошной среды. Определяются реакции внутренних связей и дается их физическое истолкование. После этого указывается новый вариант выбора переменных поля. [c.13]

ЛАГРАНЖЕВА МЕХАНИКА СПЛОШНОЙ СРЕДЫ КАК НЕСВОБОДНОЙ СИСТЕМЫ [c.14]

Итак, нами рассмотрена в общем виде определенность задачи о движении сплошной среды как несвободной системы. На вопрос об определенности задачи, поставленной в пределах лагранжевой механики, получен положительный ответ в тех случаях, когда можно отделить механические процессы от иных, напрнмер физико-химических. [c.47]

Вдоль главной диагонали матрицы тензора кинетических напряжений, определенного в переменных Эйлера, как видно из формулы (2.78), располагаются слагаемые, входящие в кинетическую энергию системы, а также плотность р и соответствующие реакции внутренних связей, введенные в состав как консервативные силы. Как известно из лагранжевой механики, кинетическая энергия системы является основной величиной, определяющей движение системы. По-видимому, этим и объясняется возможность составления уравнений движения без привлечения остальных компонент тензора Н1к к построению системы уравнений (4.13), определяющих обобщенные импульсы. [c.97]

С уравнениями Лагранжа. В лагранжевой механике существенной является функция L, представляющая собой разность между кинетической и потенциальной энергией. При попытке упростить выражение для потенциальной энергии кинетическая энергия может приобрести слишком сложный вид, и наоборот. Одновременное упрощение выражений и для потенциальной и для кинетической энергий является довольно трудной задачей. В гамильтоновой механике положение более благоприятное, потому что основная функция, функция Гамильтона Н, зависит лишь от самих переменных и не содержит каких бы то ни было производных. Поэтому ее можно сравнить с потенциальной энергией в лагранжевой задаче. Кинетическая же энергия приводится к нормальному виду piqi и не участвует в задаче преобразования. Ею определяется общий класс преобразовании, которые могут применяться. Оставаясь внутри этого класса, мы можем полностью сконцентрировать свое внимание на функции Гамильтона Н. [c.226]

Точечные преобразования Лагранжа. В лагранжевой механике позиционными координатами являются величины qi. Уравнения движения Лагранжа остаются инвариантными по отношению к произвольным точечным преобразованиям этих координат. В гамнльтоновой механике мы снова встречаемся с задачей Лагранжа, но уже при наличии 2п переменных qi и pi. Пространством конфигураций гамильтоновой механики является 2л-мерное фазовое пространство. На первый взгляд может показаться, что в нашем распоря- [c.227]

Мы сталкиваемся здесь с задачей, аналогичной стандартной задаче лагранжевой механики, а именно с определением движения механической системы с помощью минимизации зависящего от времени интеграла от функции Лагранжа L. Функция F может быть, таким образом, интерпретирована с механичеекой точки зрения как функция Лагранжа L ана.1итической механики. [c.321]

Впервые С. п. был введён как потенциал ньютоновского поля тяготения распределённой гравитирующей массы, затем стал применяться как потенциал обобщённой силы в лагранжевой механике. В связи с этим для характеристики любых физ. полей часто используют поннтня, заимствованные из механики, такие, как цотенц. рельеф, потенц. яма, потенц. барьер и т. п [c.536]

Связи, налагаемые на материальные системы, могут появляться и в движениях естественного вида, реализуясь при взаимодействии мате-эиальных тел например, при движении одних тел по поверхностям других тел классическая неголономность возникает вследствие отсутствия, при определенных условиях скольжения. Но могут возникать управляемые движения с программами в виде уравнений неголономных связей. Реализация связей может потребовать воздействий, отличных от изучаемых в классической механике, например, гидравлических, электромагнитных и других. Но аналитические выражения искомых воздействий доставляются все же лагранжевой механикой в виде определенных функций времени. Задача нахождения реальных воздействий, функционирующих должным образом, является технической задачей, вполне разрешимой при современном состоянии науки и техники. [c.14]

Рассматривается применение теории дифференцируемых многообразий к лагранжевой механике. Введение симплектической структуры на касательном расслоении конфигурационного пространства позволяет задать лагранжеву динамическую систему, соответствующую голономной склерономной механической системе как векторное пол з на касательном расслоенном пространстве. Обобщение этих понятий на более сложныс неголономные системы, требующее ряда дополнительных построений, составляет основное содержание статьи. [c.127]

Лагранжева механика описывает движение механической системы при помощи конфигурационного пространства. Конфигурационное пространство механической системы имеет структуру ди ференцируемого многообразия. На дифференцируемом многообразии действует группа диффеоморфизмов. Основные понятия и теоремы лагранжевой механики (даже если они и формулируются в терминах локальных координат) инвариантны относительно этой группы ). [c.52]

Далее мы обнаружим, что это поле действует на дислокацию некими силами. В соответствии с представлениями лагранжевой механики следует рассмотреть работу 5Л всех сил на виртуальном перемещен1 и 6г дислокации если [c.270]

Конечно, неправильно противопоставлять лагранжеву механику механике гамильтоновой. По существу, в области механики это лищь две различные формы описания механических движений. Однако гамильтонов способ оказался более плодотворным. Этот способ позволил найти далеко идущие обобщения, указывающие, например, подходы к изучению микромира, и войти в форме этих обобщений в квантовую механику, в статистическую физику и т. д. [c.7]

Из принципа Журдена принцип Остроградского не вытекает. Это видно непосредственно из рассмотрения размерностей левых частей равенств (2.43), (2.46) и равенства (2.52). Равенство (2.52) выражает один из основных принципов аналитической механики. Как видно, его форма в случае континуальной механической системы не отличается от формы, известной из лагранжевой механики. [c.30]

Уравнения движения элемента сплошной среды в переменных поля первого рода можно получить из общего уравнения динамики (2.42) или (2.45), применяя рассуждения, известные из лагранжевой механики. Точно также можно воспользоваться равенствами (2.43) и (2.46), вытекающими из принципа Журдена. [c.30]

Определенность постановки задачи о движении фолошной среды в пределах лагранжевой механики [c.45]

Подводя итоги, следует отметить, что метод множителей Лагранжа оказался плодотворным в области механики сплошной среды. Этот метод позволил ввести в пределы лагранжевой механики классическое представление о тензоре напряжений и тензоре кинетических напряжений. Было обнаружено не рассматриваемое ранее поле напряжений, описываемое тензором ,1 . Это поле в линейном приближении не связано с законом движения элементов сплошной среды. При привлечении нелинейных членов в рассмотренных уравнениях эта связь может быть обнаружена. Такое утверждение основывается на составё ковариантных производных, входящих в уравнения движения и содержащих символы Кристоффеля, выраженные равенствами [c.51]

Вариации и экстремали. Лагранжева система на гладком многообразии М задается одной единственной функцией L TMxA- -R, где Д —интервал оси времени R = i - Точку еЛ будем называть положением системы, а касательный вектор v TqM — скоростью В положении q. Пара q, v называется еще состоянием системы. В лагранжевой механике многообразие М принято называть пространством положений, касательное расслоение ТМ — пространством состояний, L — функцией Лагранжа или лагранжианом, а dim М — числом степеней свободы. [c.20]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...