Метод неопределенных множителей

Рассмотрим решение прямой задачи оптимизации распределения надежностей элементов [26]. Для этого воспользуемся методом неопределенных множителей Лагранжа. Составим вспомогательную функцию [c.80]

Эти три уравнения могут быть скомбинированы по методу неопределенных множителей Лагранжа. Первое уравнение надо умножить на чистое число X, второе уравнение — на постоянную х, имеющую размерность, обратную энергии складывая три уравнения, получаем [c.96]

С помощью метода неопределенных множителей Лагранжа можно найти, что [c.98]

Используя метод неопределенных множителей Лагранжа, найдем [c.100]

Для определения максимального значения аддитивного критерия F(V, N) с учетом ограничения на массу автомата воспользуемся методом неопределенных множителей Лагранжа. В результате решения задачи оптимизации получаем =100 м/с, =0,445 м, Ngp =65. На рис. 1.2 данному решению соответствует точка В. [c.20]

Метод обобщенных координат. Для определения положения равновесия, кроме метода неопределенных множителей Лагранжа, можно пользоваться методом независимых параметров (обобщенных или криволинейных координат). [c.290]

При решении задачи методом неопределенных множителей Лагранжа каждое из уравнений (17.7) — (17.13) умножается на свой произвольный множитель и складывается с уравнением [c.149]

Чтобы определить реакции идеальных связей, можно воспользоваться методом неопределенных множителей Лагранжа. Умножим каждое уравнение системы, определяющей виртуальные перемещения IV, Г = на некоторый скалярный множитель ЛJ и [c.338]

Замечание 4.6.2. Метод неопределенных множителей Лагранжа есть математическая формулировка принципа освобождения от идеа.тьных связей (определение 3.8.1). В такой форме этот принцип механики можно успешно использовать в произвольных задачах на условный экстремум. В частности, пусть требуется найти экстремум скалярной функции (функционала, см. 8.11) F(x), х Л (или X ( 2)", если F(x ) — функционал) при выполнении ограничений [c.340]

Воспользуемся методом неопределенных множителей Лагранжа. Умножим каждое уравнение системы для виртуальных перемещений на скалярный множитель, и все результаты вычтем из общего уравнения динамики, которое предполагаем выполненным для любого виртуального перемещения. Получим [c.379]

Достаточность. Пусть общее уравнение теории удара выполнено. Тогда оно выделяет единственные значения приращений количеств движения точек системы. Это доказывается аналогично теореме 5.1.1 по методу неопределенных множителей Лагранжа. [c.432]

Найдем площадки, на которых касательное напряжение Tv принимает экстремальные значения. Ориентация каждой площадки характеризуется единичным вектором нормали v, определяемым формулой (2.3) и условием (2.18). В этом случае в соответствии с методом неопределенных множителей Лагранжа достаточно найти безусловный экстремум функции [c.49]

Пример 138. С помощью метода неопределенных множителей определить натяжения шнуров в примере 1.37 154. [c.387]

Применим метод неопределенных множителей ( 144). Умножим обе части уравнений (88) на произвольные множители и сложим эти результаты почленно с уравнением (89) тогда получим [c.420]

Решая совместно уравнения (6.1) и (6.2) методом неопределенных множителей Лагранжа, можно найти конкретные условия равновесия данной механической системы. [c.120]

Чтобы найти значения Ху в точке минимума воспользуемся методом неопределенных множителей. [c.529]

Из вышеизложенного следует, что требуется найти минимум функционала Аи, и) при условии и,и)= 1. Воспользуемся методом неопределенных множителей Лагранжа и образуем функцию X—произвольный множитель) [c.148]

Варьируя функционал при условиях (8.7.7), мы воспользуемся методом неопределенных множителей Лагранжа, т. е. будем рассматривать следующий функционал [c.257]

Для нахождения значений х, в точке минимума As воспользуемся методом неопределенных множителей. Умножим второе уравнение для dXj на множитель Ь и вычтем его из предыдущего уравнения. Тогда [c.520]

Умножим это уравнение на А. и сложим его с предыдущим по методу неопределенных множителей получим, приравнивая нулю коэффициенты при каждой вариации, [c.308]

Тяжелая материальная точка скатывается с вершины круглого вертикального обруча. Вычислить реакцию обруча с помощью метода неопределенных множителей Лагранжа. Найти высоту, на которой материальная точка покидает обруч. [c.70]

Колесо катится вниз по наклонной плоскости, составляющей с горизонтом угол а. Получить решение для случая двумерного движения этого колеса, пользуясь уравнением Лагранжа и методом неопределенных множителей. [c.202]

Дополнительные условия. Метод неопределенных множителей Лагранжа. Задача нахождения минимума функции не всегда задается в той форме, о которой говорилось выше. Число измерений пространства конфигураций, в котором движется точка Р, может оказаться меньшим, чем п, из-за наличия каких-то определенных кинематических соотношений между координатами. Подобные кинематические условия называются дополнительными условиями соответствующей вариационной задачи. Если такие условия не [c.65]

Лагранж предложил прекрасный метод рещения задач с дополнительными условиями, так называемый метод неопределенных множителей , который, не прибегая к исключению некоторых переменных, сохраняет их симметрию и тем не менее сводит задачу к задаче о свободной вариации. Этот метод очень общий. Он применим при любом количестве дополнительных условий и даже в случае не-голономных условий, заданных в виде неинтегрируемых соотношений между дифференциалами переменных. [c.66]

Из формул (2.5.7) и (2.5.9) видно, что все коэффициенты в сумме (2.5.6) обращаются в нуль, как если бы все вариации Ьи были свободными. В результате идея метода неопределенных множителей Лагранжа может быть сформулирована следующим образом вместо изучения условий обращения в нуль вариации можно рассматривать обращение в нуль выражения [c.67]

Резюме. Метод неопределенных множителей Лагранжа сводит вариационную задачу с дополнительными условиями к свободной вариационной задаче. Функция F, для которой ищется стационарное значение, преобразуется путем прибавления левых частей дополнительных условий, каждая из которых умножается предварительно на некоторый неопределенный множитель К. Вариационная задача для преобразованной функции решается как свободная. Получающиеся условия стационарности вместе с имеющимися дополнительными условиями определяют искомые значения переменных и множители X. [c.70]

Можно исключить какие-то m переменных q , выразив их через остальные переменные, и уменьшить тем самым число степеней свободы до п — т после этого становятся применимыми дифференциальные уравнения Эйлера — Лагранжа. Однако исключение переменных может оказаться практически трудно выполнимым кроме того, связи между переменными могут быть даны в таком виде, который затрудняет разделение переменных на зависимые и независимые. В этих случаях хорошие результаты дает метод неопределенных множителей Лагранжа, описанный выше в п. 5. [c.86]

Резюме. Метод неопределенных множителей Лагранжа позволяет избежать исключения лишних переменных при наличии дополнительных условий и учитывает дополнительные условия без уменьшения числа переменных. Подинтегральное выражение L заданной вариационной задачи преобразуется путем прибавления левых частей имеющихся дополнительных условий, каждое из которых умножается предварительно на множитель X. Полученная новая задача рассматривается как свободная вариационная задача. Множители Я определяются затем как функции t путем удовлетворения имеющихся дополнительных условий. [c.88]

Неголономные условия. Метод неопределенных множителей Лагранжа применим и в том случае, когда дополнительные условия вариационной задачи заданы в виде не алгебраических, а дифференциальных соотношений (ср. гл. I, п. 6, и гл. И, п. 6). Мы снова получаем уравнения (2.12.5) с той только разницей, что df dq заменены коэффициентами Aik неголономных условий (2.6.1). Различие имеется лишь в вопросе о начальных условиях. Координаты qi теперь не связаны какими бы то ни было условиями, связи наложены только на их дифференциалы. Поэтому начальные [c.88]

Резюме. Вариационную задачу с неголономными дополнительными условиями нельзя привести к такому. виду, чтобы решение получилось путем приравнивания к нулю вариации какой-то определенной величины. Однако уравнения движения можно получить при помощи метода неопределенных множителей так же, как и в случае голономных условий. [c.89]

Этот же метод неопределенных множителей применим и тогда, когда изопериметрическое условие (2.14.1) зависит не только от Qj,, но и от производных по времени t [c.91]

Физическая интерпретация метода неопределенных множителей Лагранжа. Пусть мы имеем механическую систему с п степенями свободы, определяемую обобщенными координатами q , q , на которую наложено кинематическое условие вида [c.107]

Резюме. Физический смысл метода неопределенных множителей Лагранжа заключается в том, что этот метод позволяет получить силы реакции, возникающие вследствие наличия кинематических связей. В случае голономных связей эти силы можно получить из некоторой силовой функции в случае неголономной связи такой функции не существует, однако силы реакции можно получить и в этом случае. [c.110]

В качестве действия Эйлер и Лагранж использовали тот же самый интеграл, который является основой принципа Якоби — разница заключалась только в параметре т. Более того, Эйлер и Лагранж использовали соотношение (5.6.15) в качестве дополнительного условия, что эквивалентно исключению Г из этого выражения. Как известно, дополнительные условия можно учитывать либо путем исключения переменных, либо при помощи метода неопределенных множителей, Первый способ соответствует методу Якоби, а второй — методу Лагранжа. При этом второй способ приводит к появлению новой формы интеграла действия [c.164]

Резюме. При параметрическом задании движения время является дополнительной координатой, которая может принять участие в процессе варьирования. Импульс, соответствующий временной координате, является полной энергией, взятой с обратным знаком. Для склерономных систем время становится циклической координатой, а соответствующий импульс — константой. Это приводит к теореме сохранения энергии для консервативных систем. Исключение времени как циклической координаты позволяет сформулировать новый принцип, определяющий лишь путь механической системы, а не ее движение во времени. Это — принцип Якоби, аналогичный принципу Ферма в оптике. Этот же принцип может быть сформулирован как принцип наименьшего действия . В последнем случае интеграл по времени от удвоенной кинетической энергии минимизируется с дополнительным условием, что при движении и вдоль истинного, и вдоль проварьированного пути должна выполняться теорема о сохранении энергии. Если этот принцип рассматривать с помощью метода неопределенных множителей, то в качестве результирующих уравнений получаются уравнения движения Лагранжа. [c.165]

Метод Ритца — Лагранжа. Этот метод представляет собой комбинацию метода Ритца и метода неопределенных множителей Лагранжа. В методе Ритца функции (p k выбирают таким образом, чтобы каждая из них удовлетворяла геометрическим граничным условиям. В некоторых случаях это требование выполнить трудно. Тогда можно использовать неопределенные множители Лагранжа так, чтобы граничные условия удовлетворялись не каждой из функций, а в целом всем выражениям для прогиба w. В этом случае коэффициенты Aik будут удовлетворять некоторым дополнительным соотношениям вида [c.129]

Следуя далее обычным для метода неопределенных множителей ( 144) рассуждениям, подчиним s множителей условию обращения в нуль выражений в каких-нибудь s круглых скобках в предыдущем уравнении. Тогда оставшаяся сумма будет состоять из Зп — 5 скобок, умножаемых на Зп — s произвольных вариаций координат. Поскольку эта сумма должна быть равна нулю при любых значениях вариаций, и выражения, стоящие в остальных Зп — s скобках, должны обращаться в нуль. Таким образом, вырансения, стоящие в Зп круглых скобках в уравнении (3), равны нулю, что приводит к системе Зп уравнений [c.386]

Далее, следуя известному методу неопределенных множителей Лагранжа, находятся необходимые и достаточные y jmBHfl максимума энтропии как функции импульсов и делается весьма [c.168]

Следуя методу неопределенных множителей Лангранжа и учитывая (5.Г4), представим условие стационарности (5.63) в следующем вид 1 [c.104]

Теперь мы можем воспользоваться уравнениями (2.23) и сократить число виртуальных перемещений, оставив только независимые вариации q. Исключение этих лишних виртуальных перемещений мы проведем по так называемому методу неопределенных множителей Лагранока. [c.54]

В этой книге представляет интерее глава X, в которой рассмотрено обобщение уравнений Лагранжа на случай неголономных систем с применением метода неопределенных множителей Лагранжа. [c.71]

Таким образом, замечательный метод неопределенных множителей Лагранжа проясняет природу голономцых и неголономных кинематических связей, показывая, что голономные связи механически эквивалентны моногенным силам с другой стороны, неголономные связи механически эквивалентны полигенным силам. Голономная связь поддерживается при помощи моногенных сил-, не-голономная связь поддерживается при помои и полигенных сил. [c.109]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...