Теория малых колебаний

Решить задачу 906, используя методы теории малых колебаний консервативных систем с одной степенью свободы. [c.460]

По просьбе кафедр теоретической механики различных втузов третье издание дополнено некоторыми вопросами, интересными для их специальностей. Расширена кинематика плоского движения (мгновенный центр ускорений, план ускорений), дополнена геометрия масс, динамика переменной массы, добавлены элементы небесной механики, несколько углублены теория гироскопа, теория малых колебаний, теория потенциала. Добавлено 19 задач, с подробным решением внесены некоторые мелкие исправления и изменения. [c.3]

Механические системы, для которых квадратичные выражения для кинетической и потенциальной энергий (57) и (60), являются точными без отбрасывания членов более высокого порядка, называются линейными. Для линейных систем дифференциальные уравнения (63) являются точными, а не приближенными, как в случае малых колебаний. Математическая теория малых колебаний не отличается от теории линейных колебаний. Но линейные колебания могут быть не обязательно малыми. [c.435]

Важное прикладное значение теории малых колебаний физического маятника состоит в том, что ее можно положить в основу экспериментального определения моментов инерции тел. Для опытного определения момента инерции тела силой тяжести Р относительно какой-либо оси достаточно сделать эту ось горизонтальной осью привеса, определить период малых колебаний тела вокруг этой оси и расстояние от точки привеса до центра масс. Тогда согласно (53) момент инерции относительно горизонтальной оси привеса определится по формуле [c.453]

Поэтому следует с известной осторожностью относиться к результатам применения теории малых колебаний. [c.230]

Возвратимся к теории малых колебаний системы около положения ее устойчивого равновесия. Сначала рассмотрим свободные колебания системы в консервативном силовом поле. В этом случае движение системы полностью определяется выражениями ее кинетической и потенциальной энергий. Как было показано в 88, кинетическая и потенциальная энергии представляются в виде положительно определенных квадратичных форм [c.231]

Выражения встречались в теории малых колебаний ( 98), где они [c.352]

Теория равновесных флуктуаций тесно связана с вопросом устойчивости состояния термодинамического равновесия (см. гл. 6). Их взаимоотношение аналогично отношению теории устойчивости и теории малых колебаний в механике. Подобно тому, как параметры малых колебаний определяются по значениям производных потенциальной энергии механической системы в положении равновесия, в теории равновесных флуктуаций их характеристики определяются значениями термодинамических производных в состоянии равновесия или соответствующими моментами равновесных канонических распределений. Полученные ранее условия устойчивости относительно вариации тех или иных термодинамических параметров соответствуют положительности дисперсии соответствующих величин в теории флуктуаций. [c.292]

В настоящей книге изложены общие основы теории малых колебаний систем с конечным числом степеней свободы. Теория малых колебаний систем является основным разделом общей теории колебаний и широко используется в динамических расчетах различных машин, строительных конструкций, а также в расчетах электрических цепей. [c.3]

Устойчивость равновесия неконсервативной системы определяют путем исследования характера того движения системы, которое возникнет после нарушения ее равновесия. В этом случае обычно пользуются теорией малых колебаний. [c.17]

В этой книге, в особенности в главе IV, 1 и 2, подробно рассмотрен вопрос о влиянии сил Кориолиса на спектры многоатомных молекул однако следует заметить, что для полного понимания этих вопросов необходимо знать основы теории малых колебаний (см. нашу книгу, главу 10), а также основы квантовой механики. [c.162]

Глава 9 этой книги содержит краткое введение в теорию малых колебаний, а глава 10 — математические основы матричной алгебры. Метод изложения несколько отличается от нашего, но так же широко применяется матричная алгебра. [c.375]

Эта книга является инженерным учебником, и общая теория изложена в ней довольно элементарно. Однако колебания систем с двумя и тремя степенями свободы изложены подробно, и многие из рассмотренных примеров полностью решены. Эти сравнительно простые системы дают ясное представление о таких понятиях, как главные колебания, резонанс и т. д., что часто остается менее ясным при абстрактном изложении. В книге рассмотрены также некоторые специальные вопросы, такие, как приближенное решение векового уравнения, или теория малых колебаний системы вблизи установившегося режима движения. [c.376]

Эта книга убедительно доказывает важность теории малых колебаний в современной электротехнике. Значительное внимание уделяется в ней квадратичным формам и преобразованиям к главным осям. Изложение вопросов, связанных с использованием матричной алгебры, проводится на высоком уровне и отличается изяществом. [c.376]

В книге имеется много примеров применение классической теории малых колебаний к вопросам строения молекулы. В ней подробно рассмотрены вопросы об использовании констант движения и свойств симметрии при решении задачи о колебании систем с большим числом степеней свободы, что уменьшает трудности, связанные с решением векового уравнения в этом случае. В книге рассматриваются многие модели молекул и даются соответствующие решения, иллюстрируемые кривыми различных главных колебаний. [c.376]

Одним из наиболее замечательных примеров эффективности аналитических методов является приложение уравнений Лагранжа к теории малых колебаний вблизи положения устойчивого равновесия. Эта теория чрезвычайно важна при изучении упругих свойств твердых тел, колебаний молекулярных структур, теории теплоемкости и других фундаментальных проблем. Наиболее замечательной чертой теории является ее общность. Независимо от степени сложности механической системы ее движение вблизи положения равновесия описывается всегда одинаковым образом. Конкретные вычисления усложняются по мере увеличения числа степенен свободы, однако теоретические аспекты задачи остаются неизменными. [c.175]

Данное нами выше решение включает теорию малых колебаний маятников во всей той общности, которая ей может быть придана. Как известно, Гюйгенс первый дал теорию круговых колебаний, затем Клеро прибавил к ней теорию конических колебаний, имеющих место в том случае, когда маятник, будучи выведен из своего положения покоя, получает толчок, направление которого не проходит через это положение. Но в том случае, когда маятник одновременно получает вращательное движение вокруг своей оси, вызванная этим движением центробежная сила может сильно расстроить колебания, — будь то круговые или конические определение этих новых колебаний представляет собою задачу, которая никогда еще не была полностью разрешена для маятников любой формы. Это обстоятельство и побудило меня заняться здесь указанным вопросом. [c.299]

Свободные колебания. Переходя теперь к теории малых колебаний около положения равновесия, мы рассмотрим сперва случай свободных колебаний, предполагая, что внешних сил нет. [c.220]

Динамическая устойчивость. В 90 мы изложили принадлежащую Лагранжу теорию малых колебаний около положения абсолют иого равновесия, пренебрегая малыми количествами второго порядка Против нее было сделано возражение, что она не может дать вполне определенной меры устойчивости, так как пренебрегаемые члены в процессе движения могут стать существенными. С точки зрения строгой логики возражение правильно, но так как необходимость и достаточность условия устойчивости равновесия в форме требования, чтобы [c.251]

Это последнее направление исследований практических вопросов носит название теории малых колебаний. [c.352]

Эти линейные уравнения получаются из уравнений (6), если считать, что в функции Лагранжа величины Т и П заменены их приближенными выражениями (5) и (3). Теория малых колебаний консервативной системы вблизи устойчивого положения равновесия опирается на такую линеаризацию и рассматривает приближенные выражения (5) и (3) для Т и П как точные. [c.501]

Колебания около положения равновесия. Свой метод Лагран>1. с особо выдающимся успехом применил к теории малых колебаний механической системы около положения устойчивого равновесия. Правда, применяемые там уравнения описывают, движение приближенно, но, несмотря на это. представляют большой интерес, поскольку, как уже отмечалось ранее в 8.1. эти уравнения относятся к числу полностью разрешимых задаваясь значениями q и q при г = О, можно получить явные формулы, дающие решения уравнений для всех последующих значений t. [c.140]

Как и в теории малых колебаний, примем за начало отсчета положение равновесия. При исследовании устойчивости по первому приближению достаточно применить выражение для R, составленное с точностью до членов [c.180]

Разделимые системы встречаются главным образом в теории малых колебаний (гл. IX), когда выбранные лагранжевы координаты являются нормальными. Движение по каждой координате в этом случае совершенно не зависит от движения по другим координатам, и система фактически распадается на п независимых систем. Подобного рода полная разделимость встречается и в других задачах (см. пример в 8.11). Однако в обш ем случае в разделимых системах это не имеет места. Мы не можем изолировать одну какую-либо координату и изучать ее изменение, как для системы с одной степенью свободы. Тем не менее при изучении любой разделимой системы можно в известном смысле приблизиться к подобному идеальному разделению. Как станет далее ясно, изменение одной координаты можно в определенной степени рассматривать независимо от поведения других координат. Смысл этогО пока не очень четкого утверждения станет ясен несколько позже (в 17.3). [c.303]

Так как обе функции, и и 5, содержат h п а, то, казалось бы, естественно ожидать, что путем выбора начальных условий всегда можно получить как периодические, так и апериодические движения. Такая гипотеза, однако, оказывается несостоятельной. Мы знаем, что существуют системы, которые всегда совершают периодические движения, и системы, которые никогда не движутся периодически. Оба типа систем встречаются в теории малых колебаний. Если отношение периодов есть число рациональное, то траектория системы всегда периодична, каковы бы ни были начальные условия если же это отношение есть число иррациональное, то траектория никогда не является периодической (исключая, разумеется, тот случай, когда система совершает главные колебания). Другой достаточно ясный пример — это ньютоновская орбита, которая всегда периодична, каковы бы ни были величина и направление начальной скорости планеты (если, конечно, начальная скорость не превышает того значения, которое она имела бы при движении из бесконечности в начальную точку под действием притяжения к центру). В 18.8 мы вернемся к этому вопросу и выясним причину встречаюш ейся здесь особенности. [c.308]

В теории малых колебаний (гл. IX), где [c.342]

В теории малых колебаний мы исходили из уравнений Лагранжа, которые представляют собой уравнения второго порядка. Здесь же мы имеем уравнения первого порядка, и поэтому при определении устойчивости нужно иметь в виду, что малость г означает как малость самого отклонения, так и малость скорости динамической системы. Рассмотрим, например, простой случай, когда х представляет лагранжеву координату динамической системы с одной степенью свободы и первое из уравнений (19.3.1) имеет вид х = у. Особые точки х , 0) дают конфигурации х = Xq, при которых система может находиться в покое при этом требование малости величины г = [c.370]

Случай, когда функция Гамильтона является однородной квадратичной формой ). в теории малых колебаний, когда применяются главные координаты, функция Гамильтона имеет вид [c.524]

В динамике обтцие теоремы для точки и системы рассматриваются совместно, как ото принято в МГТУ. Теория малых колебаний излагается для систем с одной и двумя степенями свободы без отдельного рассмотрения прямолинейных колебаний точки. [c.3]

В курс включен ряд дополнительных разделов, которые при преобразовании МГТУ в технический университет должны стать основными. В динамике достаточно полно изложена теория малых колебаний систем с двумя степенями свободы. Наряду с приближенной теорией дополнительно изложена теория регулярной прецессии и движения быстровращающегося гироскопа под действием силы тяжести, тюзволяюп ая обосновать допущения приближе1шой теории. [c.3]

Относительная краткость курса потребовала щателыюго отбора теоретического материала и примеров, поясняющих основные разделы курса. В курс включен ряд дополнительных разделов, В динамике достаточно полно изложена общая теория малых колебании механических систем с одной н двумя степенями свободы. В аналитическом динамике даны канонические уравнения Гамильтона и принцип Остроградского—Гамильтона. Расширена глава Динамика твердого тела с одной закрепленной точкой . Наряду с приближенной теорией гироскопа дополнительно изложена точная теория гироскопического момента при регулярной прецессии. В специальных главах изложены также элементы теории искусственных спутников и основные сведения по движению точки переменной массы. [c.3]

Уравнение (11.334)—характеристическое для системы дифференциальных уравнений (II. 331Ь) ). Вычислив корни характеристического уравнения, найдем общее решение системы линейных дифференциальных уравнений (II. 331Ь) так, как это уже было показано в теории малых колебаний. [c.333]

Эта теорема является одной из важнейших в механике. Она служит основой теории малых колебаний, приводящей к столь многим интересным применениям в области физики. Поетому приходится удивляться, что до сих пор эта теорема не была обоснована достаточно строго и удовлетворительно. [c.537]

Это уравнение содержит, таким образом, общую теорию малых колебаний жидкости небольщой глубины и, стало быть, правильную теорию волн, образуемых последовательными и бесконечно малыми подъемами и снижениями стоячей воды, содержащейся в канале или бассейне небольшой глубины. Теория волн, данная Ньютоном в предложении 46 книги второй Рг1пс1р1а>, основана на сомнительном и мало естественном допущении, что вертикальные колебания волн аналогичны колебаниям воды в изогнутой трубке, и поэтому должна быть признана соверщенно недостаточной для разрешения настоящей задачи. [c.362]

Формула (2) или (3) наиболее полезна в теории малых колебаний непрерывных систем. Ею, например, широко пользуется Рэлей в своем труде Theory of Sound" (Теория звука). Для иллюстрации этого ме тода может служить следующий пример. [c.261]

Имеются два важных частных случая, в которых элементы a s матрицы А постоянны. Первый из этих случаев относится к движению в окрестности особой точки он, в частности, включает в себя классическую теорию малых колебаний около пололчения устойчивого равновесия. Во втором из этих случаев невозмущенное движение является установившимся ( 9.6). При этом [c.458]

При этом написанные уравнения мы рассматриваем как точные, а не как приблишенные, как это мы делали в теории малых колебаний. Решение имеет вид [c.476]

На первый взгляд может показаться, что в рассмотренных примерах осуществляется полное разделение системы на п независимых систем, подобно тому как это имело место в теории малых колебаний, когда использовались нормальные координаты. Однако такое разделение является в известном смысле кажущимся. Действительно, мы можем получить соотношение между канедымдГгИ 6 независимо от остальных q,. (см. (26.9.8) и (26.9.16)), но этого не удается сделать для соотношений между q и временем. Следует иметь в виду, что 0 не является истинным временем, соотношение между 0 и f включает в себя все д, поскольку dQ = dt/u. [c.541]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...