Колебания около положения равновесия. Устойчивость

Колебания около положения равновесия. Устойчивость. Если система рассмотренного выше типа консервативная и если U обозначает ее потенциальную энергию, то при отсутствии внешних сил мы имеем равенство [c.167]

Как и в 148, будем считать, что рассматриваемая механическая система при (7=0 находится в положении устойчивого равновесия. Исследуем ее малые колебания около положения равновесия еще в двух случаях. [c.392]

Колебательные движения механических систем удобно описывать уравнениями Лагранжа в обобщенных координатах. При составлении уравнений мы будем отсчитывать обобщенные координаты всегда от положения устойчивого равновесия, относительно которого и происходят колебания механических систем. В большинстве случаев эти уравнения нелинейны и их интегрирование связано с большими трудностями. Однако при решении многих технических задач оказывается возможным в этих уравнениях отбрасывать квадраты и более высокие степени координат и скоростей. Такая операция называется линеаризацией уравнений. Линеаризованные уравнения не могут, конечно, в точности отобразить движения системы и дают несколько искаженную картину явления. Искажения тем менее существенны, чем меньше отброшенные члены уравнений в сравнении с оставшимися. Если значения координат и скоростей во все время движения остаются очень малыми, то их квадратами и высшими степенями вполне можно пренебречь, подобно тому, как в дифференциальном исчислении пренебрегают бесконечно малыми высших порядков. Таким образом, мы пришли к заключению, что колебания, описываемые линеаризованными уравнениями при сделанном выборе начала отсчета, должны быть только малыми колебаниями около положения равновесия. [c.435]

При устойчивом положении равновесия система, выведенная из положения равновесия достаточно малыми возмущениями в виде начальных отклонений и скоростей, которые сообщаются всем точкам системы или их части, совершает колебания около положения равновесия или приближается к нему без колебаний. [c.408]

Колебания около положения равновесия возникают в случае устойчивого равновесия. В случае неустойчивого равновесия система при малейшем отклонении удаляется от положения равновесия и колебания около этого положения не возникают. Поэтому при изучении малых колебаний механических систем важно знать критерий устойчивости равновесия этих систем. [c.5]

Колебания около положения равновесия. Свой метод Лагран>1. с особо выдающимся успехом применил к теории малых колебаний механической системы около положения устойчивого равновесия. Правда, применяемые там уравнения описывают, движение приближенно, но, несмотря на это. представляют большой интерес, поскольку, как уже отмечалось ранее в 8.1. эти уравнения относятся к числу полностью разрешимых задаваясь значениями q и q при г = О, можно получить явные формулы, дающие решения уравнений для всех последующих значений t. [c.140]

Довольно подробно рассматривается обп ая теория малых колебаний около положения равновесия показывается, как вводятся нормальные координаты. Теория иллюстрируется на примерах малых колебаний двойного маятника, молекулярных колебаний в некоторых простых молекулах, нормальных колебаний одномерного кристалла. Рассмотрены двухатомные и линейные и нелинейные трехатомные молекулы типа А В. В заключение обсуждается простой случай колебаний около равновесного (устойчивого) движения. [c.67]

ТВЁРДОЕ ТЕЛО — агрегатное состояние вещества, характеризующееся стабильностью формы и характером теплового движения атомов, к-рые совершают малые колебания около положений равновесия. Различают кристаллич. и аморфные Т. п. Кристаллы характеризуются пространств. периодичностью в расположении равновесных положений атомов (см. Дальний и ближний порядок). В аморфных телах атомы колеблются вокруг хаотически расположенных точек. Согласно классич. представлениям, устойчивым состоянием (с мин. внутр. энергией) Т. т. является кристаллическое. Аморфное тело находится в мета-стабильном состоянии и с течением времени должно перейти в кристаллич. состояние, однако время кристаллизации часто столь велико, что метастабильность вовсе не проявляется (см. Аморфное состояние. Стеклообразное состояние). [c.44]

Мерой степени устойчивости механической системы может служить скорость, с которой тело после некоторого сдвижения возвращается в положение равновесия при колебаниях около положения равновесия такой мерой служит частота колебаний. Степень устойчивости для регуляторов—см. т. II, отд.. Детали машин . [c.258]

Динамический метод предполагает изучение малых колебаний стержня около положения равновесия. Ближе к природе явления рассматривать колебания стержня с учетом распределенной по длине стойки массы. Однако, если влиянием собственного веса стойки на потерю устойчивости можно пренебречь, то, как показывают расчеты, допустимо рассматривать колебания около положения равновесия некоторой сосредоточенной массы т, закрепленной на стержне. В дальнейшем будем исходить из [c.295]

Можно также вывести критерий устойчивости из уравнений, описывающих малые колебания около положения равновесия. Пусть система отнесена к ее главным координатам. Обозначая координаты через 9, ср,. .., будем иметь [c.416]

Если в положении равновесия и имеет максимум для всех возможных перемещений системы, то все коэффициенты Ьц, >22,. .. отрицательны. Каким бы ни было сообщаемое системе возмущение, она будет совершать колебания около положения равновесия и, следовательно, это положение равновесия устойчиво. Если и имеет максимум для одних перемещений и минимум для других перемещений, то одни из коэффициентов Ьц, будут [c.416]

При этом, пока сжимающие нагрузки малы, частоты получаются вещественными, а прогиб пластинки представляется гармонической функцией, описывающей колебания около положения равновесия, характеризуемого плоской формой срединной поверхности. Следовательно, такое положение равновесия является устойчивым. [c.273]

Надлежащим выбором начала отсчета энергии устраняется первый член правой части. Однако второй член также исчезнет, если разложение провести относительно такого состояния, которое соответствует положению равновесия. В консервативных системах положения равновесия характеризуются экстремальными значениями потенциальной энергии и для них первые производные обращаются в нуль. Если положение равновесия устойчиво, то потенциальная энергия имеет в нем минимум, и следовательно, третий член разложения должен быть в этом случае положительной квадратичной формой координат системы. Далее мы будем рассматривать малые колебания около положения равновесия и поэтому сможем пренебрегать членами высших порядков. Это полностью соответствует обычной при методе малых колебаний линеаризации уравнений движения. Если использовать обозначения [c.272]

Итак, при движении консервативной системы в окрестности положения устойчивого равновесия соответствующего по условию минимуму потенциальной энергии) каждая из главных координат совершает около положения равновесия гармоническое колебание с одной из собственных частот. [c.239]

Период малых колебаний около положения устойчивого равновесия будет [c.479]

Задача 1329 (рис. 725). Линейка АВ длиной I и массой m своим концом А может скользить вдоль вертикальной оси Oz, а концом fi —вдоль горизонтальной оси Ох, вращающейся вокруг оси Ог с постоянной угловой скоростью со. Перемещению конца В препятствует пружина, которая при вертикальном положении стержня не напряжена. Определить положения относительного равновесия линейки и исследовать их иа устойчивость. Найти также период малых колебании около положения устойчивого равновесия. [c.480]

Так, например, на рис. 223, а и (5 изображен физический маятник в состоянии равновесия, но в положении, изображенном на рис. 223, а, потенциальная энергия маятника минимальна и равновесие устойчиво, а на рнс. 223, б потенциальная энергия максимальна и равновесие неустойчиво. Такой маятник является механической системой с одной степенью свободы. Колебания систем со многими степенями свободы складываются из простых колебаний около положения устойчивого равновесия. Указанный Лагранжем метод изучения колебаний (см. 62) имеет громадное применение в различных отраслях науки н техники и, в частности, в теории вибрации машин. [c.401]

Возвратимся к теории малых колебаний системы около положения ее устойчивого равновесия. Сначала рассмотрим свободные колебания системы в консервативном силовом поле. В этом случае движение системы полностью определяется выражениями ее кинетической и потенциальной энергий. Как было показано в 88, кинетическая и потенциальная энергии представляются в виде положительно определенных квадратичных форм [c.231]

Как известно, закон двий<ения точки в случае ее свободных линейных колебаний около положения устойчивого равновесия определяется равенством [c.278]

В реальных системах помимо такой восстанавливающей силы всегда действуют и силы другого типа, прежде всего силы трения. Если они достигают значительной величины, то их влияние может существенно нарушить гармоничность колебаний. Но если эти силы малы, то для тела, обладающего одной степенью свободы, малые колебания около положения устойчивого равновесия всегда близки к гармоническим. [c.590]

Расстояние Rq, соответствующее минимуму потенциальной энергии, есть расстояние между атомами в устойчивом равновесии. При изменении расстояния возникают силы, стремящиеся восстановить его. Эти силы в комбинации с силами инерции приводят к возникновению колебаний атомов молекулы около положения равновесия. [c.320]

Если точкам механической системы, находящейся в состоянии устойчивого равновесия, сообщают малые отклонения и малые начальные скорости, то система совершает свободные колебания около положения устойчивого равновесия. [c.20]

При интегрировании системы (18.2), представляющей собой систему двух однородных дифференциальных уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами, исходим из того, что механическая система совершает малые колебания около положения устойчивого равновесия. Частные решения этих уравнений, предположив, что координаты qi и изменяются по простому гармоническому закону, можно представить в следующем виде [c.83]

Относительно других примеров мы отошлем к сочинению Рауса, содержащему большое число изящных упражнений, в частности примеров качения шара по сфере, по цилиндру, по конусу и малых колебаний около положения устойчивого равновесия или устойчивого движения. [c.233]

Малые колебания, вызванные периодической возмущающей силой. Рассмотрим такую же систему, как и та, для которой мы только что исследовали малые колебания около положения устойчивого равновесия, соответствующего [c.304]

Общий метод. Уравнения Лагранжа позволяют изучить также малые колебания системы около состояния устойчивого движения. Следуя методу, подобному тому, который был применен при изучении малых колебаний около положения устойчивого равновесия, мы опять придем к интегрированию линейных уравнений, но эти уравнения уже не будут уравнениями с постоянными коэффициентами. [c.306]

Это уравнение тождественно с уравнением движения простого (математического) маятника длиной I и с переменным углом наклона к вертикали 1, если предположить силу тяжести направленной по О г (положение устойчивого равновесия оси Ог). Таким образом, ось Ог совершает периодические колебания около положения устойчивого равновесия. Если амплитуда колебаний мала, то период полного колебания на основании теории математического маятника равен [c.186]

Динамическая устойчивость. В 90 мы изложили принадлежащую Лагранжу теорию малых колебаний около положения абсолют иого равновесия, пренебрегая малыми количествами второго порядка Против нее было сделано возражение, что она не может дать вполне определенной меры устойчивости, так как пренебрегаемые члены в процессе движения могут стать существенными. С точки зрения строгой логики возражение правильно, но так как необходимость и достаточность условия устойчивости равновесия в форме требования, чтобы [c.251]

Колебания около положения равновесия. Устойчивость. Коорди наты X, у возможных положений равновесия в консерва1ивном поле (которое здесь для простоты принято двухразмерным) определяются условиями [c.79]

Здесь Ра — первая критическая сила. Формула (6.11.2) показывает, что при Р<Ра со действительна таким образом, балка может лишь совершать колебания около положения равновесия. При Р>Ра ( > становится мнимой и движение стержня апериодично, прогиб неограниченно растет со временем. Таким образом, парадокс, связанный со статической постановкой задачи устойчивости, оказывается разрешенным, хотя существование и величина критической силы предсказываются правил]эН0 и статическим решением. [c.206]

Однако эти равновесные состояния качественно различны, так как после малых возмущений стержень, свисающий вниз, совершает малые колебания около положения равновесия и от него не удаляется (равновесие устойчиво), тогда как стержень, поднятый вверх, после любого малого отклонения от этого положения в равновесное положение не вернется, а будет от него удаляться (равновесие неустойчиво). Понятие устойчивости можно более конкретизировать, если ввести его следующим образомг Пусть qt — координаты системы, которые в положении равновесия принимают нулевые значения. Это всегда можно сделать путем изменения начала отсчета. Пусть — отклонения (возмущения) координат, появившиеся вследствие внешних воздействий, а б и е — малые числа. Если можно указать такие границы начальных возмущений 1 1 г =sS е, что при этом всегда < б, то положение системы устойчиво. Здесь е зависит от б, т. е. е (б), следовательно, границы до- [c.345]

В работах XVIII в. использовалось понятие устойчивости равновесия или движения без уточнения его содержания и без введения для него количественной меры. Это в значительной мере верно и для работ дальнейшего периода, охватывающего почти весь XIX в. — от Лагранжа до Пуанкаре и Ляпунова. Теория малых колебаний около положения равновесия или движения оставалась основным аппаратом теории устойчивости. Она была усовершенствована за это время математически Дж. Сильвестр, К. Вейерштрасс, К. Жордан дали полный анализ всех случаев, которые могут представиться при решении однородной системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. К. Вейерштрасс и, независимо от него. [c.119]

Пусть тело поставлено на горизонтальный стол и закручено так, как описано в п. 251 (случай 1). Когда касате пьные к линиям кривизны параллельны главным осям, коэффициенты квадратного уравнения относительно л- содержат только четные степени п, и изменение направления врап ения, т. е. замена п на —п не сказывается на его корнях. Тело будет одинаково устойчиво вращаться в обоих направлениях. Однако если касательные к линиям кривизны не параллельны главным осям, то коэффициенты уравнения относительно включают /г и в нечетных степенях. Поэтому изменения знака у п отражается на уравнении так, что еслн его корни были вещественными при одном знаке п, то они могут и не быть таковыми при другом знаке. При одном направлении вращения будут малые колебания, при другом — в решении появятся вещественные эксноненты, присутствие которых дестабилизирует движение ). Когда вращательное движение начнет исчезать, днижение приобретет характер колебаний около положения равновесия. Из п. 2Г>3 (случай 2) известно, что возникнет новое вращение, не обязательно в том же. ч нравлении, что исходное. [c.233]

Зависимость устойчивости равновесия от коэффициента жесткости. Во всех рассмотренных выше случаях речь шла о колебаниях около положения заведомо устойчивого равновесия формальным признаком устойчивости слугкпт нолонштельность коэффициента жесткости с, равного значению второй производной П"(0) потенциальной энергии в положении равновесия. В реальных механических системах может оказаться, что с < 0. [c.35]

Задача 906. В условиях задачи 873 составить дифференциальное уравиеиие малых колебаний точки (для абсциссы л) около положения ее устойчивого равновесия, предполагая, что оно имеется, а также найти период этих колебаний. [c.327]

Собственные колебания представляют собой колебания около положения устойчивого равновесия. Амплитуда этих колебаний определяется величиной начального отклонения и начальной скорости, т. е. величиной той энергии, которая сообщена телу начальным толчком. Вследствие наличия трения эти колебания затухэют собственные колебания в системе никогда не могут быть незатухающими (стационарными). Для поддержания колебаний система должна обладать ка-ким-либо источником энергии, из которого она могла бы пополнять убыль энергии, обусловленную затуханием. Чтобы колебания были стационарными, система за период колебаний должна отбирать от источника как раз столько энергии, сколько расходуется в ней за это же время. Для этого система должна сама управлять поступлением энергии из источника. Такие системы называются автоколебательными, а незатухающие колебания, которые они совершают, — автоколебаниями. К классу автоколебаний относятся, например, рассмотренные в 52 колебания, которые совершает груз, положенный на движущуюся ленту и удерживаемый пружиной. Как было показано, состояние равновесия груза оказывается неустойчивым и он начинает совершать колебания около этого неустойчивого состояния равновесия в том случае, когда скорость движения ленты лежит на падающем участке кривой, выражающей зависимость силы трения F от скорости скольжения V. Но именно в этом случае часть работы двигателя, приводящего в движение ленту, идет на увеличение энергии колебаний груза. [c.602]

Простое гармоническое движение. Рассмотрим случай притяжения материальной точки к неподвижной точке, нахолящейся на линии движения, с силою, пропорциональною расстоянию от этой неподвижной точки этот случай важен как типичный для самого общего случая динамической системы с одною степенью свободы, совершающей колебания около положения устойчивого равновесия. [c.27]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...