Лагранжа метод изучения движения

Лабораторные термометры — см мометры лабораторные Лаваля сопло 91, 521 Лагранжа метод изучения движения жидкости 503 Ламберта закон 156 Ламинарное течение 467 Лампы накаливания 225 [c.542]

Лабиринты радиальные 4 — 732 Лаваля сопло 2 — 91. 521 Лагранжа метод изучения движения жидкости 2 — 503 [c.434]

Существует два метода изучения движения частиц. Один из них, называемый методом Лагранжа, изучает движение в пространстве каждой индивидуальной частицы, другой, называемый методом Эйлера, изучает движение, происходящее в каждой точке пространства в любой момент времени, а поведением отдельных частиц не интересуется. [c.36]

Температура самовоспламенения 427 Метод Лагранжа для изучения движения жидкости 666, 667 [c.718]

В механике существуют два метода изучения движения жидкости метод Ж. Лагранжа и метод Л. Эйлера. [c.22]

В предыдущих главах мы пользовались эйлеровым методом описания движений жидкости. При использовании этого метода течение несжимаемой жидкости в момент I характеризуется полем скорости и(Х, 1)у т. е. значениями вектора скорости во всевозможных точках = Хи Х2, Хг) пространства (в настоящем разделе по причинам, которые будут ясны из дальнейшего, нам будет удобно обозначать координаты А /, а не л /, как в предыдущих главах). Уравнения гидродинамики (из которых давление можно исключить с помощью уравнения (1.9)) при этом в принципе позволяют определить значения переменных Эйлера и(Х, t) в любой момент времени > /о по заданным начальным значениям и(Х, о) = ио(Х). Однако для изучения таких явлений, как турбулентная диффузия (т. е. распространение примесей в поле турбулентности) или деформация материальных поверхностей и линий (состоящих из фиксированных элементов жидкости) в тур-булентном течении, более удобным оказывается лагранжев метод описания движений жидкости. Он заключается в том, что вместо скоростей жидкости в фиксированных точках X пространства за основу берется движение фиксированных жидких частиц , прослеживаемое, начиная от некоторого начального момента времени / = to. Под жидкими частицами при этом понимаются объемы жидкости, размеры которых очень велики по сравнению со средним расстоянием между молекулами (так что для соответствующих объемов имеет смысл говорить об их скорости, оставаясь в рамках механики сплошной среды), но все же настолько малы, что скорость и давление внутри частицы можно считать практически постоянными и в течение рассматриваемых промежутков времени эти частицы можно считать перемещающимися как одно целое (т. е. без заметной деформации). Лагранжев метод самым непосредственным образом связан с реальными движениями отдельных элементов жидкости, совокупность которых и составляет течение поэтому его можно считать физически более естественным, чем эйлеров метод описания. В то же время в аналитическом отношении использование переменных Лагранжа, относящихся к индивидуальным частицам жидкости, оказывается гораздо более громоздким, чем использование переменных Эйлера и(Х, t), вслед- [c.483]

Методы изучения движения жидкости. Для характеристики движения жидкости надо знать гидродинамические элементы во всех точках пространства, занятого ею. Существует два метода изучения движения жидкости в пространстве метод Лагранжа и метод Эйлера. [c.57]

Параллельно с аналитическим методом в механике развивались и геометрические методы, получившие наиболее яркое развитие в работах замечательного французского ученого Пуансо (1777—1859). Он впервые (1803 г.) изложил статику в таком аспекте, в каком ее и теперь излагают во всех высших технических учебных заведениях. Много открытий и геометрических интерпретаций законов механики Пуансо сделал и в кинематике и в динамике. К их числу относится работа Пуансо по изучению геометрическими методами движения тела с одной неподвижной точкой. Эта важная задача механики имеет, как показала С. В. Ковалевская (1850—1891), однозначное решение только в трех случаях 1) движение тела по инерции вокруг центра тяжести (случай Эйлера — Пуансо) 2) движение симметричного тела вокруг точки, лежаш,ей на оси симметрии (случай Лагранжа), и 3) движение не вполне симметричного тела с определенным распределением массы (случай, открытый Ковалевской и названный ее именем). [c.16]

Частное решение Хч(1) можно получить посредством квадратур по методу Лагранжа вариации произвольных постоянных. Этот метод широко используется в механике для изучения движения возмущенных систем. Воспользуемся им. Представим x (t) в виде [c.233]

При изучении движения среды методом Лагранжа задаются уравнения движения ее точек. Поп изучении движения средь методом Эйлера задается распределение скоростей в пространстве, занятом жидкостью, для каждого момента времени или задается так называемое поле скоростей. [c.223]

Чтобы уравнение (IV.200) определяло действительное движение несвободной материальной точки, следует соответственно определить реакцию R. Таким образом, вопрос об изучении движения несвободной материальной точки усложняется по сравнению с задачами динамики свободной материальной точки тем, что связывается с определением реакции связи R. Чтобы составить в наиболее удобной форме систему уравнений, необходимую для решения задачи о движении несвободной материальной точки, применим координатный способ, связав его с методом множителей Лагранжа. [c.423]

Переменные Лагранжа. Объектом изучения по методу Лагранжа служат отдельные частицы жидкости, рассматриваемые как отдельные материальные точки (рис. 6.2). Изучение движения сплошной среды с использованием переменных Лагранжа заключается в решении следующих задач 1) определение поведения во [c.230]

Если стержень нерастяжим, то w зависит только от времени (от а не зависит). В этом случае при изучении движения участка стержня постоянной длины, находящегося между точками А и В, переменные Лагранжа неудобны. Нас интересует поведение участка стержня между точками А и В ъ целом, а не элемента стержня т. Для большей наглядности метода Эйлера представим, что стержень находится в абсолютно гибкой безынерционной трубке, тогда для описания движения участка стержня между точками А и В достаточно знать положение трубки во времени и внутренние силовые факторы в стержне (в фиксированном сечении трубки). Такое разделение движения на переносное (скорость V) и относительное (скорость у) весьма эффективно при изучении, например, динамики стержней (трубопроводов), заполненных движущейся жидкостью. В этом случае движение жидкости рассматривается совместно с движением стержня. Если жидкость несжимаема, то относительная скорость при заданном расходе не зависит от движения стержня. [c.18]

Уравнения Лагранжа. Метод Лагранжа, который мы сейчас изложим, сходен с тем, которым мы пользовались для изучения движения точки по кривой (п. 259). Всегда возможно выразить координаты точки поверхности 5 и. в частности, движущейся точки М, в функции двух параметров и q.y. [c.410]

В обычно применяемых методах определение движения свободной точки в пространстве под влиянием ускоряющих сил состоит в интегрировании трех обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка, а определение движения системы свободных точек, взаимно притягивающихся или отталкивающихся, — в интегрировании системы подобных уравнений, число которых втрое больше числа притягивающихся или отталкивающихся точек, если только мы предварительно не уменьшим это последнее число на единицу, рассматривая только относительные движения. Таким образом, в солнечной системе, если мы рассматриваем только взаимные притяжения Солнца и десяти известных планет [ ], определение движений последних относительно первого при помощи обычных методов сводится к интегрированию системы тридцати обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка, связывающих координаты и время, или же, при помощи преобразования Лагранжа, — к интегрированию системы шестидесяти обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка, связывающих время и эллиптические элементы. При помощи этих интегрирований тридцать переменных координат или шестьдесят переменных элементов могут быть найдены, как функции времени. В методе, предложенном в данной работе, задача сводится к отысканию и дифференцированию единственной функции, которая удовлетворяет двум уравнениям в частных производных первого порядка и второй степени подобным же образом всякая другая динамическая задача, относящаяся к движениям (как бы многочисленны они не были) любой системы притягивающихся или отталкивающихся точек (даже если мы предполагаем, что эти точки ограничены какими-либо условиями связи, совместными с законом живой силы), сводится к изучению одной центральной функции, форма которой определяет и характеризует свойства движущейся системы и определяется двумя дифференциальными уравнениями в частных производных первого порядка в сочетании с некоторыми простыми соображениями. Таким образом, по крайней мере интегрирование многих уравнений одного класса заменяется интегрированием двух уравнений другого класса, и даже если считать, что этим не достигается никакого практического облегчения, тем не менее можно получить некое интеллектуальное наслаждение от сведения, пожалуй, самого сложного из всех исследований. [c.176]

Изучение движения жидкости может быть произведено двумя методами. В первом методе, развитом Лагранжем, рассматривается движение с течением времени отдельных жидких частиц во втором методе, раз витом Эйлером, объектом изучения является не сама жидкость, а пространство, заполненное движуш,ейся жидкостью, и при этом изучаются изменения различных элементов движения с течением времени в каждой фиксированной точке пространства и изменения этих [c.666]

По сравнению с ур-ниями в декартовых координатах (см., напр., ур-пия Лагранжа 1-го рода) ур-пия (3) обладают том важным преимуществом, что число их равно числу степеней свободы системы и не зависит от кол-ва входящих в систему материальных частиц или тел кроме того, при идеальных связях из ур-ний (3) автоматически исключаются все наперёд неизвестные реакции связей. Л. у. 2 го рода, дающими весьма общий и притом достаточно простой метод решения задач, широко пользуются для изучения движения разл. механич. систем, в частности н динамике механизмов и машин, в теории гироскопа, в теории колебаний и др. [c.542]

Метод Лагранжа заключается в изучении движения каждой отдельной частицы жидкости. В этом случае движение задается положением [c.22]

При изучении общих теорем динамики рассматривались лишь частные случаи систем, обладающих определенным классом возможных перемещений (поступательное, вращательное и т. д.). Для ряда механических систем эти условия общих теорем не выполняются, и последние не могут быть применимы без введения реакций связен. Метод Лагранжа позволяет изучать движение в самом общем случае. Естественно, что если за обобщенные координаты будут взяты параметры, соответствующие перемещениям, допускающим применение общих теорем, то уравнения Лагранжа будут совпадать с уравнениями, полученными из общих теорем. [c.344]

По методу Лагранжа предусматривается изучение законов движения каждой индивидуальной частицы. [c.51]

Отметим также некоторые другие обстоятельства изучения движения релятивистских частиц методами теоретической механики. Ограничение скорости релятивистской частицы не позволяет считать её свободной по определению ограничение величины скорости представляет собой неголономную связь в пространстве-времени (другое дело, что пока не вполне ясно, как она реализуется). Известно, что при выводе уравнений движения условие неголономной связи не должно быть использовано в функции Лагранжа, как это было сделано в (15). Эта связь неидеальная в уравнении движения релятивистской частицы [78] в составе сил имеется слагаемое, противоположное скорости. [c.263]

Анализируя процесс вывода уравнений (9), легко видеть, что изучение движения механической системы материальных точек методом уравнений Лагранжа Ьго рода тем труднее, чем больше наложено на нее связей и чем большее число материальных точек входит в рассматриваемую механическую систему. Поэтому этот способ решения задач целесообразно применять только в том случае, когда число точек системы и число наложенных связей невелико. [c.488]

Второй путь изучения движения жидкости, называемый методом Лагранжа, в отличие от метода Эйлера рассматривает движение индивидуальных жидких частиц вдоль их траектории. Так как жидких частиц бесчисленное множество, то следует как-то характеризовать данную частицу. Это можно сделать, если в качестве характеристики жидкой частицы выбрать ее координаты в начальный момент времени t=0. Пусть при i=0 координаты данной частицы будут а. Ь, с. Это означает, что из всей бесчисленной сово купности траекторий данной частице будет принадлежать та, которая проходит через точку а, Ь, с. Таким образом, координаты рассматриваемой жидкой частицы х, у, z будут зависеть от величин а, Ь, с а t, называемых переменными Лагранжа, т. е. [c.34]

Траектория движения частицы жидкости и линия тока. След движения отдельной частицы жидкости в пространстве называют траекторией движения частицы жидкости (рис. 11.4). Таким образом, при изучении движения жидкости по методу Лагранжа рассматривается траектория движения отдельной частицы жидкости. Если в поле скоростей [c.58]

Аксиома об освобождаемости от связей позволяет отказаться от определения уравнения неразрывности как уравнения связи. Уравнение неразрывности — четвертое уравнение, которое в сочетании с тремя уравнениями движения в переменных Эйлера составляет систему дифференциальных уравнений, связывающих компоненты четырехмерного тензора энергии-импульсов в четырехмерном пространственно-временном континууме [38]. Таким образом, создается впечатление о глубоком различии между методами Лагранжа и Эйлера изучения движения сплошной среды. Однако это различие в значительной степени кажущееся. В действительности метод множителей Лагранжа по существу эквивалентен аксиоме об освобождаемости от связей [40]. [c.9]

Рассмотренные примеры показывают, что динамические законы и величины в релятивистской механике отличаются от классических. Для установления их используем важный для современной физики методологический прием будем отыскивать инвариантные по отношению к преобразованиям Лоренца соотношения, ибо верные соотношения должны быть лоренц-инвариантными в силу принципа относительности Эйнштейна. В классической механике изучен метод описания движения Лагранжа, уравнения Лагранжа. Замечательной особенностью уравнений Лагранжа является их инвариантность по отношению к любому (непрерывному, однозначному) преобразованию координат, в том числе и преобразованиям Лоренца. Поэтому метод Лагранжа удобен в рассматриваемом случае релятивистского движения. Для применения этого метода необходимо составить функцию Лагранжа, которая заведомо была бы инвариантом преобразований Лоренца. Тогда получаемые с ее помощью дифференциальные уравнения движения будут иметь инвариантную форму. [c.267]

Кинематика занимается изучением движения жидкости, не интересуясь причинами, которые его вызвали. По образному выражению Н.Е.Жуковского, кинематика изучает геометрию движения . Принципиально можно пойти двумя путями. По первому из них изучается движение каждой отдельной жидкой частицы. Чтобы выделить ее, в начальный момент времени отмечаются ее координаты Хд, и 2 . Движение считается определенным, если в каждый момент времени для каждой частицы известны уравнения, описывающие ее путь во времени, т.е. известны параметрические уравнения траекторий всех частиц. Этот путь предложен Лагранжем. По методу Эйлера изучается изменение скорости и других параметров в точках пространства х, у, z. [c.24]

Метод Лагранжа заключается в изучении движения каждой отдельной частицы жидкости, В этом случае движение задается положением частиц в функции от времени и от их начальных координат Хд, УоИ ZqB некоторый момент времени t= to, т. е. [c.23]

В зависимости от св-в механич. системы и применяемого метода изучения её движения рассматривают разные выражения для величины Д. Если ввести т. н. функцию Лагранжа Ь— Г — П, где Г и И — кинетич. и потенц. энергии системы, то величина [c.146]

Существует два метода изучения движения жидкости. По методу Лагранжа изучают движение в пространстве индивидуальных частиц жидкости. По методу Эйлера изучают движение, происхо,аящее в некоторой точке простран ггва в любой момент времени, причем естествеин<5, что через фиксированную точку пространства проходят различные частицы жидкости. Таким образом, по методу Эйлера объектом изучения является не сама жидкость, а фиксированная часть пространства, заполненная жидкостью. Исследованию подлежит изменение различных элементов [c.22]

Оба метода изучения движения сплошной среды являются вполне строгими и адекватными. Если, следуя методу Лагранжа, мы нашли вектор перемещения физических частиц и(х, /), а значит, и j (x, t)=x + u(x, t), то поле вектора скорости в эйлеровом пространстве v(j , i) найдем по формулам (3.23) — (3.25). Пользуясь обратной функцией вида (3.23), найдем поле и других параметров движения как функции от х и t, т. е. построим их в эйлеровом пространстве. [c.65]

Введение. Твердое тело представляет собой частный случай механической системы точек, когда расстояния между любыми двумя точками системы остаются постоянными во все время движения. Одним из наиболее эффективных методов изу-чершя движения твердого тела под действием приложенных к нему сил является метод, основанный на применении основных теорем динамики системы. Для изучения поступательного движения тела мы будем исходить из теоремы о движении центра масс при изучении вращения твердого тела около неподвижной оси наиболее рационально пользоваться теоремой об изменении кинетического момента. На примерах изучения простейших движений твердого тела под действием приложенных сил весьма отчетливо выявляется значение основных теорем динамики системы, позволяющих исследовать свойства движений систем ма-териальных точек, подчиненных некоторым дополнительным условиям (связям). Основные теоремы динамики системы были исторически первым, наиболее простым и естественным методом изучения движения несвободных механических систем точек, и в частности изучения динамики твердого тела В последующем развитии механики Лагранжем был создан метод обобщенных координат, позволяющий свести составление дифференциальных уравнений движения системы с 5 степенями свободы к ясной, логически безупречной последовательности алгебраических преобразований, однако физическая наглядность рассуждений была в значительной мере утрачена [c.400]

Если стержень нерастяжим, то w зависит тольк от времени. Если стержень растяжимый, то продольная скорость w зависит и от времени, и от координаты s. В последнем случае при изучении движения участка стержня постоянной длины, находящегося между точками Л и В, переменные Лагранжа неудобны. Нас интересует поведение участка стержня между точками А иВ в целом, а не движение индивидуальных точек. Для большей наглядности метода Эйлера представим, что стержень находится в абсолютно гибкой безынерционной трубке (см. рис. 4.4). Для описания движения достаточно знать положение трубки во времени и внутренние силовые факторы в стержне в фиксированном сечении трубки. Таког разделение дви жения на переносное (скорость I ) и относительное (скорость w) весьма эффективно при изучении динамики шлангов (абсолютно гибких стержней) и Стержней, заполненных движущейся жидкостью (рис. 4.6). [c.95]

Эфф. методы изучения равновесия и движения несвободной механич. системы (см. Связи механические) дают вариационные принципы механики, в частности возможных перемещений принцип, найм, действия принцип, а также Д Аламбера принцип. При решении задач М. широко используют вытекающие из её законов или принципов дяфференц. ур-ния движения материальной точки, твёрдого тела и системы материальных точек, в частности ур-ния Лагранжа, канонич. ур-ния, ур-ния Гамильтона — Якоби, а в М. сплошной среды — соответствующие ур-ния равновесия или движения этой среды, ур-ние неразрывности (сплошности) среды и ур-ние энергии. [c.127]

Метод Лагранжа. Координаты x х (вектор х) называются лагранжевыми координатами точек тела. Это, вообще говоря, криволинейные координаты, хотя при t—to они выбраны нами как декартовы. Действительно, семейство физических плоскостей х =соп51 при /= 0, как видно из (3.23) и ясно из физических соображений, преобразуется в некоторое семейство поверхностей. Метод Лагранжа основывается на использовании лагранжевых координат и состоит в изучении движения частиц сплошной среды и всех необходимых параметров в виде функций х и Вместо радиуса вектора х=ф при этом часто используется вектор перемещения частицы и(х, ). Скорость и ускорение частицы выражаются формулами (3.24 ). [c.64]

Трудности составления динамических уравнений движения механических систем точек методом уравнений Лагранжа Ьго рода, вызываемые большим числом налагаемых связей, нельзя преодолеть, оставаясь в рамках метода неопроделенных множителей. По существу метод неопределенных множителей имеет в виду дать сразу ответ на очень большое число вопросов. Ведь, решая динамическую задачу методом уравнений Лагранжа Ьго рода, мы получаем и закон движения каждой точки системы, и реакции всех наложенных на систему связей. Применяя метод обобщенных координат, мы, пользуясь большим числом ограничений, налагаемых связями, принципиально упрощаем рассмотрение, изучая некоторые интегральные характеристики движения системы. Детали движения отдельных точек познаются в новом методе после исследования интегральных характеристик. Реакции связей при изучении движения методом обобщенных координат полностью исключены. Таким образом, трудности, вносимые большим числом связей в методе неопределенных множителей, становятся источником преимуществ в методе обобщенных координат. [c.490]

Траектория движения частицы жидкости и линия тока. След движения отдельной частицы жидкости в пространстве называется траекторией движения ее (рис. П.4). Следовательно, при изучении движения жидкости по методу Лагранжа раосматрива-ется траектория движения отдельной частицы жидкости. Бели в поле скоростей через ряд точек потока жидкости провести кривую таким образом, чтобы к ней были касательны векторы скоростей частиц жидкости 1в каждой точке, то получим линию, характеризующую направление движения ряда последовательно рааположенных частиц в данный момент времени, называемую линией тока. При установившемся движении линии тока и траектории движения частицы жидкости совпадают. При неустановившемся движении линии тока не будут сояпадать с траекториями движения частицы жидкости, так как с течением времени будут меняться направление и величина скорости отиельньга частиц жидкости частицы жидкости, находившиеся в какой-то момент времени яа одной линии тока, в следующий момент могут оказаться на разных линиях тока. [c.58]

Изучение движения жидкости можно про-иодить двумя различными. методами. Можно, начиная с некоторого начального момента, проследить за движением отдельных частиц жидкости, определив для них траекторию движения скорость и гидродинамическое давлеиие (метод Лагранжа). [c.413]

Многие авторы в своих исследованиях следуют классическому методу Лагранжа. Метод Лагранжа вариации элементов орбиты является одним из основных методов небесной механики. В этой работе изложены идеи метода Лагранжа и предлагается прямой вывод дифференциальных уравнений Лагранжа в оскулирующих элементах. Большое внимание в книге уделяется распространению метода изучения кеплерова невозмущенного движения в плоскости орбиты в полярных координатах" на общий случай неплоского возмущенного движения. Это достигается путем рассмотрения возмущенного движения спутника в подвижной ганзеновской плоскости идеальных координат. [c.5]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...