Первые интегралы уравнений Лагранжа

Эти равенства, связывающие обобщенные скорости, координаты, время и постоянные интегрирования, являются первыми интегралами уравнений Лагранжа и называются циклическими интегралами. [c.401]

Первые интегралы уравнений Лагранжа [c.233]

Действительно, Т = (1/2)4 2Й( )4 - положительно-определенная квадратичная форма относительно <1, а U(q)-U(qQ)>0 при q qo и достаточно малом Я по условию теоремы. Кроме того, мы знаем, что e(q,q) является первым интегралом уравнений Лагранжа (см. 4.5). Поэтому производная V в силу уравнений Лагранжа равна нулю [c.441]

Получить первые интегралы уравнений Лагранжа для маятника Фуко в сферических координатах. [c.183]

ПЕРВЫЕ ИНТЕГРАЛЫ УРАВНЕНИЙ ЛАГРАНЖА 279 [c.279]

ПЕРВЫЕ ИНТЕГРАЛЫ УРАВНЕНИЙ ЛАГРАНЖА 281 [c.281]

ПЕРВЫЕ ИНТЕГРАЛЫ УРАВНЕНИИ ЛАГРАНЖА 283 [c.283]

Интегрируя (6.190 после исключения из них сИ и (6.200, мьт получим полную систему первых интегралов уравнений Лагранжа в случае Лиувилля в следующем виде [c.283]

I 30. ПЕРВЫЕ ИНТЕГРАЛЫ УРАВНЕНИЙ ЛАГРАНЖА [c.171]

Доказать, что первые интегралы уравнений Лагранжа суть [c.351]

Первые интегралы уравнений Лагранжа. Выполним вывод первых интегралов из уравнений Лагранжа. Введя функцию Гамильтона (22.2) в уравнение (22.1), получим теорему об изменении обобщенной энергии [c.194]

Таков один из первых интегралов уравнений Лагранжа, или интеграл обобщенной энергии. [c.195]

ПЕРВЫЕ ИНТЕГРАЛЫ УРАВНЕНИЙ ЛАГРАНЖА ВТОРОГО РОДА. ТЕОРЕМА НЕТЕР [c.102]

Первым интегралом уравнений Лагранжа второго рода [c.102]

Отыскание первых интегралов движения системы позволяет либо понизить порядок системы дифференциальных уравнений, либо вообще найти ее общее решение. 1 к правило, первые интегралы уравнений Лагранжа второго рода выражают законы сохранения таких характеристик системы, как количество движения, момент количеств движения, энергия системы. [c.102]

Действительно, число независимых постоянных интегрирования равно числу независимых первых интегралов или удвоенному числу независимых вторых интегралов уравнений движения. Но кинематические уравнения движения должны удовлетворять уравнениям геометрических и кинематических связей, не зависящим от постоянных интегрирования. Уравнения геометрических связей можно рассматривать как вторые интегралы уравнений Лагранжа первого рода с исключенными множителями kj и рз, а уравнения кинематических связей, соответственно, как их первые интегралы. Итак, среди интегралов рассматриваемой системы уравнений есть к вторых интегралов и I первых, независимых от постоянных интегрирования. Следовательно, число независимых постоянных интегрирования равно 6/г — 2/г — I. [c.34]

Теорема Ляпунова дает достаточные условия устойчивости движения. Применение этой теоремы требует знания функции F, обладающей вполне определенными свойствами. Общих методов построения таких функций нет. Однако во многих практически важных случаях функцию V можно построить, если известны первые интегралы уравнений возмущенного движения. Например, при доказательстве теоремы Лагранжа об устойчивости положения равновесия консервативной системы в качестве функции V годилась полная механическая энергия системы Е. [c.518]

Дополнительные замечания к теореме Штеккеля. 1) Теорему Штеккеля можно выразить через п первых интегралов уравнений движения Лагранжа для системы, определяемой формулами (18.2.1) — (18.2.3). В самом деле, уравнения (18.2.23) можно представить в форме [c.334]

ОСНОВНЫЕ ПЕРВЫЕ ИНТЕГРАЛЫ УРАВНЕНИЙ ЭЙЛЕРА — ЛАГРАНЖА [c.96]

Канонические преобразования. При изучении движения механической системы, на которую наложены голономные идеальные связи, можно пользоваться уравнениями Лагранжа второго рода. При этом удачный выбор параметров, определяющих положение системы, может значительно облегчить задачу исследования движения. Так, наличие циклических координат дает возможность сразу найти первые интегралы уравнений движения. Циклические координаты иногда могут быть найдены преобразованием первоначальной системы координат. [c.473]

Поскольку движение систем с дифференциальными связями нередко описывают уравнениями, содержащими реакции этих связей или неопределенные множители Лагранжа, то применение теории Рауса к таким системам требует особой внимательности [14, 20]. Дело в том, что указанные выше уравнения систем с дифференциальными связями не могут быть представлены в виде (1), так как для реакций связей или неопределенных множителей Лагранжа нет соответствующих дифференциальных уравнений. Поэтому для применения теории, изложенной в предыдущих параграфах, к неголономным системам, необходимо исключить зависимые скорости из выражений всех первых интегралов указанных уравнений движения системы с помощью уравнений неголономных связей. При этом полученные функции будут представлять собой первые интегралы уравнений движения рассматриваемой системы, записанных в форме Чаплыгина (см. следующий параграф), Воронца, Больцмана-Гамеля и др., которые не содержат реакции связей и неопределенные множители Лагранжа и представимы в виде (1), а сами первые интегралы примут вид (2). [c.436]

Функция ф(ж, х) является первым интегралом уравнения движения X = / х, х). Показать, что общее решение х = ж(жо, о, этого уравнения совпадает с общим решением уравнения Лагранжа [c.129]

К. Геодезические потоки на компактных многообразиях отрицательной кривизны. Пусть М — компактное риманово многообразие, кривизна которого в каждой точке по каждому двумерному направлению отрицательна (такие многообразия существуют). Рассмотрим движение материальной точки массы 1 по многообразию М по инерции, вне поля действия всевозможных внешних сил. функция Лагранжа этой системы равна кинетической энергии, равна полной энергии и является первым интегралом уравнений движения. [c.277]

Каждой циклической координате соответствует первый интеграл уравнений Лагранжа, называемый циклическим интегралом. [c.29]

Когда некоторые из лагранжевых координат оказались циклическими, можно с помощью соответствующих первых интегралов понизить порядок системы дифференциальных уравнений движения. Метод Рауса позволяет выполнить понижение порядка системы, сохранив при этом форму уравнений Лагранжа. [c.564]

Для полного интегрирования системы уравнений Лагранжа необходимо и достаточно получить 2/г первых интегралов этой системы, т. е. 2п соотношений вида [c.368]

В предыдущей главе мы обращали внимание на трудности, возникающие при непосредственном при.менении к решению задач динамики системы уравнений Лагранжа первого рода. Основные теоремы динамики системы позволяют в ряде случаев непосредственно, исходя из условий задачи механики, находить первые интегралы дифференциальных уравнений движения. Иногда эти интегралы движения позволяют найти полное решение задачи. [c.40]

Рассмотрим первые интегралы системы дифференциальных уравнений движения твердого тела вокруг закрепленной точки в случае, исследованном Лагранжем. [c.427]

Функция Лагранжа (29.3), введенная в 29 формальным образом с целью упрощения записи уравнений движения (28.11) для систем с потенциальными и обобщенно-потенциальными активными силами, в действительности является важнейшей функцией состояния механической системы. Глубокий физический смысл ларран-жиана обнаруживается, если обратиться к отысканию важнейших первых интегралов уравнений Лагранжа, связанных с симметрией заданного силового поля и наложенных на систему связей, т. е. законов сохранения. Покажем, что указанные интегралы движения можно достаточно просто отыскать по внешнему виду функции Лагранжа. [c.171]

В аналитической механике Лагранжа, как и в механике ньютоновской, из основных уравнений движения следуют теоремы об изменении мер движения. Из них 1фи некоторых ограничениях следит законы со фанения. Математически законы сохранения представляют собой первые интегралы уравнений Лагранжа. [c.244]

Если в некоторый момент времени / = 1 некоторые множители связей обращаются в нуль, а затем становятся отрицательными, или левые части уравнений каких-либо связей становятся положительными, то это означает, что в этот момент времени система оставляет упомянутые связи. Тогда найденные ранее интегралы уравнений Лагранжа первого рода пригодны лишь на интервале времени от начального момента / = ДО момента i = ,. В момент времени I = оканчивается первый этап движения системы с односторон-ними связями. После момента t — = следует полагать в уравнениях Лагранжа первого рода множители связей, оставленных системой, равными пулю и интегрировать укороченную сТгстему. Начальные условия для этого этапа определяются из найденных ранее интегралов движения. [c.35]

Вместе с тем, установленная Лагранжам взаимосвязь симметрия — сохранение не была им явно сформулирована в виде некоторого общего результата. Если Ньютон постулировал с самого начала определенные свойства пространства и времени, то Лагранж не высказывался непосредственно о тех принципах пространственно-временной симметрии, которые наряду с общей формулой динамики были им неявно положены в основу аналитической механики. С одной стороны, это было связано с общей тенденцией, характерной для механики XVIII и даже первой половины XIX в., избегать обсуждения аксиоматических основ механики с другой — с известной переоценкой динамических законов типа основных уравнений движения механики и недооценкой принципов пространственно-временной симметрии. Рассмотрение законов сохранения как первых интегралов уравнений движения механических систем могло поддерживать иллюзию, что взаимосвязь симметрия — сохранение имеет лишь формально-вычислительное значение и в своей общности и фундаментальности существенно уступает самим уравнениям движения или иной форме динамического закона (при этом не-оол редко упускалось из виду, что структура уравнений сама, в свою очередь, базировалась на определенных представлениях о свойствах симметрии пространства и времени). [c.230]

Вместе с развитием неголономных связей и теории общего их вида приобретают значение новые методы в поисках решений классических задач аналитической механики. Такие новые методы базируются, можно сказать, на двух теоремах. Первая теорема высказана в работах П. В. Воронца в первых десятилетиях нашего века в следующей формулировке каждый первый интеграл уравнений движения некоторой механической системы может считаться уравнением связи, наложенной на систему с соответствующими реакциями, равными нулю . Действительно, примем данный первый интеграл за связь и составим уравнения движения с множителем. Далее, учитывая, что первый интеграл тождественно удовлетворяет левым частям всех уравнений с множителем, мы придем к тому, что данный множитель должен быть равен нулю. Обратная же теорема должна читаться следующим образом. Положим, дана механическая система с заданными, пусть идеальными в смысле Лагранжа — Даламбера, связями и активными силами. Имеются динамические дифференциальные уравнения данной системы. Положим, требуется найти янтеграл заданного вида для дайной системы уравнений. Тогда, 1при-няв данный интеграл за уравнение дополнительной связи, будем составлять уравнения движения с подобной связью. Интеграл же может быть любой аналитической структуры, поскольку мы умеем уже составлять уравнения движения при связях любой, если можно так сказать, неголономности. Далее, если мы решим расширенную систему уравнений движения, т. е. уравнений с множителем вместе с уравнением связи, то могут быть две возможности находятся уравнения движения системы, т. е. обобщенные координаты основной задачи в функциях времени и вместе с ними определяется множитель в функции времени. Но, если при каких-либо параметрах системы, или предполагаемого первого интеграла, или при некоторых начальных данных, множитель обратится в ноль, то тогда действительно уравнение связи окажется первым интегралом данной задачи. Возьмем, к примеру, классическую задачу о движении твердого тела вокруг неподвижной точки. Мы знаем, с каким трудом добывались решения этой задачи и как, по существу, их мало. Всего три случая — общего решения, да и общность относится только к начальным условиям, а на другие параметры — распределение масс и положение центра тяжести — налагаются определенные условия. Частных интегралов больше, но все они находились с трудом (вспомним, например, случай Гесса). Данные же методы наиболее естественны нри выяснении вопроса, является ли заданная связь -первым интегралом уравнений движения данной системы как свободной. [c.13]

Математически оба закона сохранения обобщенных мер движения -обобщенного импульса и обобщенной энергии - представляют собой первые интегралы уравнений движения Лагранжа, т.е. некоторые функции обобщенных координат и скоростей, сохраняюпще постоянные значения при движении системы (в силу уравнений Лагранжа). [c.251]

Если t обобщенных координат будут циклическими, то из i первых интегралов (61.42) можно определить i обобщенных скоростей qh k=, . .., i) и подставип, их в функцию Лагранжа. Тогда функция L зависит от 5—i переменных qu и, следовательно, общее число дифференциальных уравнений движения уменьшается, что упрощает задачу интегрирования этих уравнений. [c.88]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...