Малые колебания системы

Материальная точка А массы mi движется в вертикальной плоскости по внутренней гладкой поверхности неподвижного цилиндра радиуса /. Материальная точка В массы m2, присоединенная к точке А посредством стержня АВ длины /, может колебаться вокруг оси А, перпендикулярной плоскости рисунка. Положения точек А п В определены с помощью углов а и ф, отсчитываемых от вертикали. Составить дифференциальные уравнения движения системы. Написать дифференциальные уравнения малых колебаний системы. Массой стержня АВ пренебречь. [c.365]

Малые колебания системы с одной степенью свободы [c.403]

Жесткий стержень ОВ длины / может свободно качаться на шаровом шарнире около конца О и несет шарик веса Q на другом конце. Стержень удерживается в горизонтальном положении посредством нерастяжимого вертикального шнура длины Л. Расстояние ОА = а. Если шарик оттянуть перпендикулярно плоскости рисунка и затем отпустить, то система начнет колебаться. Пренебрегая массой стержня, определить период малых колебаний системы. [c.403]

Найти период малых колебаний системы. Массой стержня пренебречь. [c.411]

Два одинаковых маятника длины I и массы т каждый соединены на уровне к упругой пружиной жесткости с, прикрепленной концами к стержням маятников. Определить малые колебания системы в плоскости равновесного положения маятников, [c.417]

Перейдем теперь к отысканию закона малых колебаний системы. При этом считаем угол ф и смещение х малыми величинами одного и того же порядка малости, т. е. полагаем, что (p=efj (t), x=e.f2 (0. где е — малая величина, а fi t), /j (О — некоторые функции от времени (ограниченные вместе с их производными), определяющие закон колебаний. Очевидно, что при этом н скорости x=efi(t) будут также малыми величинами порядка е. [c.385]

Уравнения (е), (ж) и определяют закон малых колебаний системы. Частота /г этих колебаний дается равенством (д). [c.385]

МАЛЫЕ КОЛЕБАНИЯ СИСТЕМЫ ОКОЛО ПОЛОЖЕНИЯ УСТОЙЧИВОГО РАВНОВЕСИЯ [c.387]

Таким образом, точки системы тоже совершают малые колебания с частотой k и амплитудами 1л (0)1Д. Из найденных результатов вытекают следующие свойства малых колебаний системы [c.390]

Уравнение (140) совпадает с уравнением (76) из 95. Следовательно, для малых колебаний системы с одной степенью свободы имеют место все результаты, полученные в 95 для точки. Таким образом [c.393]

Дифференциальные уравнения движения механической системы в обобщенных координатах были получены Лагранжем. Уравнения Лагранжа определяют движение механической системы в наиболее общей форме. Эти уравнения Лагранж применил к исследованию малых колебаний системы, имеющих большое практическое значение. [c.6]

При малых колебаниях системы можно пренебречь малой величиной 4-го порядка siп aa Тогда T-=y a [c.406]

Удобным способом составления дифференциальных уравнений малых колебаний системы является использование уравнений Лагранжа. Эти уравнения для системы с одной степенью свободы имеют вид [c.586]

Наряду с уравнениями Лагранжа, для составления дифференциальных уравнений малых колебаний системы с двумя степенями свободы могут быть применены общие теоремы динамики. [c.597]

Применим уравнения Лагранжа для составления дифференциальных уравнений малых колебаний системы. Находим выражение кинетической энергии системы [c.599]

В добавление к тому, что было сказано в пункте 1° относительно составления дифференциальных уравнений малых колебаний системы, следует учесть при составлении главного момента внешних сил и момент сил вязкого трения. Эги силы считают пропорциональными первой степени скорости и направленными прямо противоположно скорости. [c.613]

Рассматривая малые колебания системы около положения невозмущенного движения (2), полагаем [c.656]

Задача 1289 (рис. 695). Три одинаковых однородных стержня длиной / и массой т каждый соединены шарнирно и могут двигаться в вертикальной плоскости. К стержню АВ на расстоянии от неподвижной точки Л, а к стержню D на расстоянии 4 от неподвижной точки С прикреплены пружины жесткостью каждая. Пренебрегая трением и массой пружин, определить величину с , при которой вертикальное положение стержней АВ и D будет положением устойчивого равновесия, если при этом пружины не напряжены. Найти также период малых колебаний системы около этого положения. [c.461]

Задача 1290. Четыре стержня длиной I и массой т каждый, находящиеся в вертикальной плоскости, образуют систему, показанную на рис. 696. Система удерживается в вертикальном положении при помощи двух спиральных пружин. Пренебрегая трением и считая все соединения шарнирными, определить, при каком значении жесткости второй пружины вертикальное положение системы будет положением устойчивого равновесия, а также период малых колебаний системы вблизи этого положения, если жесткость первой пружины равна с и при вертикальном положении системы пружины не напряжены. [c.461]

Задача 1298 (рис. 703). Два одинаковых однородных стержня ОА и АВ длиной Ь каждый соединены между собой шарнирно я могут перемещаться в вертикальной плоскости. Конец О стержня ОА закреплен шарнирно, а конец В стержня АВ поддерживается нитью ВС длиной I, закрепленной в точке С. Определить, при каком соотношении длин Ь и I положение системы, показанное иа рисунке, будет устойчивым. Найти также период малых колебаний системы около этого положения равновесия. [c.464]

При решении задач на малые колебания системы с двумя степенями свободы полезно придерживаться такой последовательности [c.468]

Две материальные точки ч с массами т и т , соединенные между собой невесомым стержнем длиной /, движутся в вертикальной плоскости хОу, причем точка M движется без трения по параболе х 12р. Составить дифференциальные уравнения малых колебаний системы около положения равновесия и найти собственные частоты и k . [c.471]

Задача 1315 (рис. 714). Жесткая Т-образная невесомая конструкция может без трения вращаться вокруг неподвижной горизонтальной оси О в вертикальной плоскости. В точках А и В конструкции закреплены точечные массы М и т соответственно. Третья точечная масса D величиной т может колебаться при помощи пружины жесткостью с по перекладине АС около точки С, причем СА = АВ = АО = /. Приняв за обобщенные координаты угловую координату ф поворота кон- Рис. 714 струкции и относительную координату S точки D относительно точки С, составить уравнения малых колебаний системы около положения равновесия и найти собственные частоты. [c.471]

Невесомый стержень ОА закреплен с помощью шарнира О и двух одинаковых пружин жесткости с каждая. В точках А 1 D стержня размещены два одинаковых груза, масса каждого из которых равна т. Определить круговую частоту k малых колебаний системы, если в положении равновесия стержень ОА горизонтален и OB = BD=DE=EA. [c.162]

Малые колебания системы спутник — стабилизатор в плоскости орбиты в окрестности положения равновесия описываются уравнениями [31 ] [c.91]

Предполагая, что движение происходит в центральном ньютоновском поле сил, можно получить следующие уравнения малых колебаний системы в окрестности положения равновесия па круговой орбите [30] [c.92]

МАЛЫЕ КОЛЕБАНИЯ СИСТЕМЫ [c.435]

Пользуясь принципом Гам [ль-топа — Остроградского, составить уравнения малых колебаний системы, состоя-птей из консольной балки длины / и груза массы т, прикрепленного к балке и к основанию пружинами жесткости с. Плотность материа.яа балки р, модуль продольной упругости Е, площадь поперечного сечения Е, момент инерции поперечного сечения У. [c.378]

Маятник состоит из ползуна массы М, скользящего без трения по горизонтальной плоскости, и шарика массы т, соединенного с ползуном стержнем длины I, мо1ущпм вращаться вокруг оси, связанной с ползуном. К ползуну присоединена пружина жесткости с, другой коней, которой закреплен неподвижно. Определить частоты малых колебаний системы. [c.418]

Чтобы составить дифференциальные уравнения малых колебаний системы, надо в уравнениях (б) сохранить только члены порядка е, а малые более высокого порядка отбросить. Для этого в слагаемом р/ф os ф, которое входит в первое из уравнений, надо положить со5ф=1, а во втором уравнении принять sin ф=ф, OS ф= 1 и член лф sin ф отбросить целиком как имеющий порядок е. В результате уравнения (б) примут вид [c.385]

Равенства (152), содержащие четыре произвольных постоянных А , А , i, г, определяемых по начальным условиям, да10т общее решение уравнений (145) и определяют закон мальа колебаний системы. Эти колебания слагаются из двух главных колебаний с частотами Aj и и не являются гармоническими. В частных случаях, при соответствующих начальных условиях, система может совершать одно из главных колебаний (например, первое, если -42=0) и колебание будет гармоническим. [c.395]

Собственные частоты ftj, fej и коэффициенты формы nj, не зависят от начальных условий и Гвляются основными характеристиками малых колебаний системы решение конкретных задач обычно сводится к определению этих характеристак. [c.395]

В задачах этого типа рассматриваются малые колебания системы с одной (первая группа) или двумя (вторая группа) степенями свободы около положения устойчивого равновесия. В этих задачах положение усгойчивого равновесия следует принять за начало отсчета обобщенных координат и, далее, пользуясь уравнениями Лагранжа, составлять дифференциальные уравнения движения системы. [c.405]

Пример 188. Составить дифференциальное уравнение малых колебаний системы, показанной на рис. 226, около ее равновесного положения и найти период этих колебаний, если известны массы т, и грузов А и D, жесткость с пружины BE и длины стержней 0/4 = / , ОВ = 0С D = 1 . Массами пружины и стержней, а также размерами груза А можно пренебречь. При горизонтальном положении стержня А В вес груза А уравновеши-ваегся силой упругости пружины. При малых отклонениях систег ы от равновесного положения можно считать, что пружина остается вертикальной. [c.405]

При малых колебаниях системы около положения равновесия ввиду иезначительносгн угла а можно положить [c.407]

Задача 1296 (рис. 701). Лва одинаковых однородных стержня длиной I каждый соединены между собой в точке А шарнирно, а концами В и С могут скользить без трения по горизонтальной направляющей. К шарниру А присоединена вертикальная пружина, длина которой в недеформиронаяном состоянии равна /, а жесткость такова, что равновесие системы имеет место при ф = 30 . Определить период малых колебаний системы около этого положения равновесия, пренебрегая массами ползунов. [c.463]

Рассмотрим колебания плоского гироскопического маятника изображенного на рис. 5.25, предполагая, что на кожух гироскопа действует специальный момент, создаваемый с помощью асинхронного мотора [16]. Пусть а — уюл отклонения маятника от вертикального положения, р — угол поворота кожуха, ю — собственная угловая скорость 1 ироскопа. Будем рассматривать малые колебания системы. Тогда кинетическая энергия может быть представлена в виде ) [c.170]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...