Некоторые аналитические решения плоских задач

НЕКОТОРЫЕ АНАЛИТИЧЕСКИЕ РЕШЕНИЯ ПЛОСКИХ ЗАДАЧ 55 [c.55]

Некоторые аналитические решения плоских задач [c.55]

Одним из немногих случаев, для которых можно просто определить непериодическую структуру и получить простое аналитическое решение дифракционной задачи, является случай идентичных параллельных атомных плоскостей (или слоев, составленных несколькими плоскими массивами атомов), уложенных таким образом, что расстояние между ними неодинаково. Нечто подобное наблюдается экспериментально эта модель может считаться правдоподобной для некоторых кристаллов глинистых минералов, например для кристаллов, в которых двумерные бесконечные слои, состоящие из плотно упакованных пакетов атомов кислорода и металлических атомов в октаэдрических или тетраэдрических положениях, связаны между собой слабым взаимодействием. В такой структуре изменение числа либо природы ионов или молекул, лежащих в промежутках между этими пакетами, может изменить расстояние между самими пакетами, не меняя их относительной ориентации. [c.163]

Точные решения (плоская задача). Применение теории аналитических функций в плоских задачах существенно расширяет возможности получения решения в замкнутом виде. Отметим некоторые основные классы таких решений. [c.265]

Таким образом, на основании перечисленных и некоторых других, более частных работ становится очевидным, что радиационно-кондуктивный теплообмен в системах, содержащих объемные источники тепла, изучен явно недостаточно. В частности, не выяснено влияние селективности среды и граничных поверхностей, влияние анизотропии объемного и поверхностного рассеяния. В связи с этим автором было предпринято приближенное аналитическое решение задачи радиационно-кондуктивного теплообмена в плоском слое сре- [c.389]

В целом изложенный приближенный аналитический метод дает возможность без применения эмпирических критериальных уравнений для коэффициентов тепло- и массообмена определить поля температур и концентраций в стационарных процессах взаимосвязанного тепло- и массообмена при непосредственном взаимодействии газа и жидкости в некоторых типах контактных аппаратов, проследить изменение параметров в реактивном пространстве, произвести оптимизацию конструкции и режимов работы аппаратов. Метод может быть трансформирован для решения пространственных задач, так как последние в ряде случаев могут быть приведены к плоским. [c.123]

Изучены неодномерные упругопластические задачи, сложность которых состоит не только в нелинейности уравнений теории пластичности в пластических зонах, но, прежде всего, в том, что форма и размеры пластической области не известны заранее и подлежат определению. Рассмотрены сдвиг, кручение, плоская деформация, плоское напряженное состояние некоторые другие вопросы. Даны не только все наиболее значительные аналитические решения, но и сводка некоторых численных результатов в этой области. [c.2]

Настоящая монография посвящена неодномерным упругопластическим задачам. Сложность этих задач состоит не только в нелинейности уравнений теории пластичности (имеющих место в пластических зонах), но, прежде всего, в том, что форма и размеры пластической области не известны заранее и подлежат определению. Эта проблема родственна задачам трансзвуковой аэродинамики обтекания с местными сверхзвуковыми зонами, однако гораздо сложнее. В книге рассмотрены сдвиг, кручение, плоская деформация, плоское напряженное состояние и некоторые другие вопросы. Даны не только все наиболее значительные аналитические решения, но приведена также сводка некоторых численных результатов в этой области. [c.5]

Численные расчеты с помощью ЭВМ показывают, что пластическая зона развивается по-разному (рис. 78). При плоской деформации пластическая зона вытянута поперек линии трещины, а при плоском напряженном состоянии она простирается вперед по направлению роста трещины. Рассмотренные экспериментальные и численные результаты подтверждают правомерность некоторых упрощенных теоретических моделей, на основании которых можно получить аналитические решения задач о разрушении элементов конструкций за пределами области применимости линейной механики разрушения. [c.121]

Для экспериментальных исследований создавались все более мощные сверхзвуковые трубы, в конце 40-х годов стал применяться новый тип труб — ударные трубы (первые эксперименты проведены в США в 1949 г.), получившие всеобщее признание в 50-х годах. Усовершенствование оптического метода позволило получать более четкие картины течений, проследить процесс появления скачков уплотнения, уточнить структуру течения. Экспериментальные исследования в значительной мере способствовали выяснению причин появления скачков уплотнения, условий устойчивости ударных волн, структуры ударной волны, характера взаимодействия скачков, характера потока за скачком. Эти вопросы подверглись и теоретическому изучению. В 1939 г. А. Е. Донов предложил аналитическое решение задачи о вихревом сверхзвуковом течении. Он исследовал такое течение около профиля, рассматривая некоторые комбинации дифференциальных уравнений характеристик, а также выражения для дифференциала функции тока. Затем А. Ферри (1946) с помощью метода последовательных приближений определил систему характеристик уравнения движения для вихревого сверхзвукового течения, составленного Л. Крокко в 1936 г. Пример точного решения плоской вихревой задачи газовой динамики привел И. А. Кибель (1947), это ре- [c.326]

При аналитическом решении некоторых задач кинематики плоского движения может быть использован метод комплексных чисел. [c.97]

I. Некоторые гармонические функции, связанные с упругими смещениями. В плоской теории упругости существует тесная связь между решениями граничных задач (первой и второй) и теорией аналитических функций комплексной переменной. Эта связь основана на известных представлениях Колосова—Мусхелишвили (см. Мусхелишвили [1]) для составляющих смещений и напряжений, с помощью двух пар аналитических функций эти представления имеют следующий вид [c.595]

Некоторые зависимости между решениями плоской и осесимметричной задач теории упругости и решение осесимметричных задач при помощи аналитических функций. Докл. АН СССР, т. 129, № 4, 1959, стр. 754—757. [c.670]

Задача по определению точных значений перемещений в случае плоского поперечного изгиба весьма трудоемка, и в некоторых слз аях получение аналитического решения принципиально невозможно. Поэтому, как и ранее, пойдем по пути упрощения задачи не будем учитывать компоненты, менее существенные по сравнению с основными, определяющими процесс деформирования и обладающими практической значимостью. [c.437]

Начало было положено статьей [100], где рассматривалась антиплоская задача о распространении трещины в решетке с квадратными ячейками. Антиплоской задаче посвящены, кроме того, статьи [101, 102]. В работе [41] дано решение задачи о динамике трещины при плоской деформации решетки. Более простая задача из этого класса, позволившая провести наиболее полное исследование аналитическими средствами, - одномерная задача о волне разрушения в цепочке [ПО]. Некоторые заключения, относящиеся к динамике трещин в средах со структурой довольно общего вида, сделаны в статьях [103, 104, 105]. В [39, 40] исследовано влияние анизотропии решетки. С тех же позиций и теми же методами исследовано распространение трещины в модели армированного (слоистого) материала [58] и в среде блочной структуры [106]. Роль структуры освещается также в работах [51,52, 60]. [c.236]

Аналитическое решение дифференциальных уравнений теплопроводности возможно лишь для некоторых частных задач при ряде уп-рош,ений. В частности, из задач, представляющих наибольшее практическое значение, имеются решения для неограниченной плоской стенки, круглого цилиндра бесконечной длины и шара. Рассмотрим эти решения. [c.297]

На базе развитой теории структуры советские ученые быстро развили и методы кинематического анализа механизмов. Каждому семейству, классу и виду механизмов, установленному разработанной классификацией, соответствовал свой метод кинематического и силового анализа. Кроме геометрического аппарата исследования, широкое применение получил аналитический аппарат, некоторые методы векторного и винтового исчисления и др. Можно утверждать, что к 50-м годам уже не встречалось никаких принципиальных трудностей в решении задач кинематического анализа плоских механизмов. Была создана стройная научная теория кинематического исследования, доступная самым широким кругам инженеров и конструкторов. На основе разработанных методов было произведено большое количество исследований кинематических свойств отдельных механизмов. Были выведены аналитические зависимости, характеризующие взаимосвязи между различными метрическими и кинематическими параметрами плоских и пространственных механизмов, разработаны графические и графо-аналитические приемы определения этих параметров, построены и рассчитаны графики, номограммы, атласы и таблицы. Все это позволило инженерам и конструкторам производить необходимый выбор того или иного механизма, с помощью которого можно было осуществить требуемое движение. [c.27]

В заключение разберем один из методов построения сетки линий скольжения и определения напряжений при плоской деформации идеально пластического тела. Решая задачу плоской деформации идеально пластического тела, многие исследователи строят в целях детального изучения напряженного состояния два взаимно ортогональных семейства линий скольжения. С этой целью применяются различные приемы численного или аналитического интегрирования системы дифференциальных уравнений (6-4). Приведем еще один, до некоторой степени оригинальный метод решения 172 [c.172]

В работах [17, 55, 66, 73] приводятся решения некоторых плоских и осесимметричных контактных задач о вдавливании без трения жесткого штампа в двухслойное стареющее вязкоупругое основание. Предполагается, что верхний слой тонкий относительно области контакта, неоднородно-стареющий реологические свойства нижнего слоя описываются уравнениями линейной теории ползучести стареющих материалов слои жестко сцеплены между собой область контакта не изменяется с течением времени. В зависимости от соотношений между модулями упругомгновенных деформаций слоев смешанные задачи сводятся к интегральным уравнениям первого или второго рода, содержащим операторы Фредгольма и Вольтерра. Используемый для их решения аналитический метод (см. 9, гл. 1) позволил построить разложения для основных характеристик контактного взаимодействия при произвольным образом меня- [c.465]

В постановках задач о плоском напряженном состоянии с использованием понятия дополнительной энергии в качестве неизвестных в узлах могут приниматься также напряжения и другие силовые параметры. Некоторые авторы (см., например, [9.181) выбирали схемы этого типа для численной проверки верхней границы решения. При этом величины напряжений в треугольных элементах принимаются постоянными, а уравнения для элемента записываются с помощью матрицы жесткости, так что вся конструкция может быть рассчитана методом перемещений. Применение этой аналитической схемы наталкивается на трудности, обусловленные кинематической неустойчивостью (см. разд. 3.3). [c.289]

Метод источников и стоков. Метод источников и стокон широко используют в газовой динамике при решении различных линейных задач, когда может быть применен принцип суперпозиции. Наложение полей течений, соответствующих источникам и стокам различной интенсивности, позволяет получить картину течения при обтекании тел в случае течения в каналах различной формы. В газовой динамике этот метод используют для решения стационарных задач как при дозвуковых, так и при сверхзвуковых скоростях. Поскольку выше для сверхзвуковых скоростей уже приведены некоторые аналитические решения, ограничимся рассмотрением случая течения несжимаемой жидкости, что соответствует малым дозвуковым скоростям. Обычно в рассматриваемом методе используют уравнение для потенциала скорости (2.17), а также точные решения этого уравнения, описывающие течения от источников и стоков. Подбирая системы источников и стоков, можно построить течение в канале заданной формы или около тела заданной формы. Значительно проще обратная задача, позволяющая по заданной системе источников и стоков определить форму поверхностей, которые могут быть приняты за стенки канала или поверхность обтекаемого тела. Рассмотрим, как применяется метод для плоского или осесимметричного течения. [c.71]

А. Виллерсом и Г. Занденом В некоторых случаях отсзггствие аналитического решения задачи может быть восполнено экспериментальными исследованиями распределения напряжений в деформированных телах, и мы считали уместным в техническом курсе упругости остановиться на некоторых приемах экспериментального решения задач. Так, например, мы изложили оптический метод исследования напряжений в прозрачных пластинках с использованием поляризованного света. С помощью этого метода в последнее время был успешно решен целый ряд задач. Далее мы привели аналогию Прандтля, даюшую возможность находить экспериментальным путем распределение напряжений при скручивании призматических стержней, а также указали экспериментальный способ решения плоской задачи, основанный на полном совпадении соответствующего уравнения с уравнением для изогнутой поверхности пластинки. [c.11]

При решении поставленных выше задач применяются как численные, так и аналитические методы в сочетании (в некоторых случаях) с результатами соответствующих экспериментов. Аналитические методы применяются, как правило, для плоских конструкций (бесконечная плоскость с полубесконечной или конечной трещиной, полоса с полубесконечной или конечной трещиной, а также пространство с круговой в плане (дисковидной) трещиной). Аналитические решения задач динамической механики разрушения в случае трещин нормального разрыва, поперечного сдвига и продольного сдвига позволяют сделать важнейшие качественные выводы о процессах, предшествующих хрупкому разрушению при динамическом нагружении, и о распространении фронта разрушения. [c.404]

Решение указанных задач сводится в простейших случаях к совокупности задач Дирихле или смешанных задач Келдыша — Седова теории аналитических функций комплексного переменного. Процедура нахождения решения оказывается принципиально не более сложной, чем для аналогичных задач статики и стационарной динамики. Вначале выводятся общие представления решения через аналитические функции комплексного переменного для произвольного индекса автомодельности и дано описание общего метода решения. Затем метод демонстрируется на некоторых конкретных задачах из указанного класса. Рассмотрение ограничено плоскими задачами для однородного и изотропного тел, однако метод нетрудно обобщить на случай анизотропного кусочно-однородного тела, когда верхняя и нижняя полуплоскости имеют различные упругие постоянные. [c.113]

Решение ряда задач о плоской деформашш было получено применением методов теории функций комплексного переменного и краевой задачи Римана-Гильберта (Л.А. Галин, Г.П. Черепанов). Некоторые упругопластические задачи сводятся к краевым задачам для функций комплексного переменного с аналитическими коэффициентами для решения этих задач был разработан метод функционалышх уравнений, основанный на обобщенном принципе аналитического продолжения (Г.П. Черепанов). [c.7]

Хорошо известно решение одномерной задачи о движении по произвольному закону в покоящемся газе плоского бесконечного поршня, когда в возмугценной области течение газа описывается простой волной Римана. Построение аналитическими методами решений задач о движении в газе криволинейных поршней связано с большими трудностями как в пространственном, так и в плоскопараллельном случае. Некоторые результаты в этом направлении получены с использованием аппарата теории течений с вырожденным годографом скорости, в частности, с использованием уравнений потенциальных двойных и тройных волн [1, 2]. [c.152]

Разработаны и развиты аналитические методы решения парных рядов-уравнений, связанных с разложениями, порождаемыми соответствующими задачами Штурма-Лиувилля, путем сведения их к ИУ с разностным ядром или к БСЛАУ с сингулярной матрицей. Развиты некоторые методы решения полученных ИУ и бесконечных систем первого и второго рода. Получено точное решения одного важного класса ИУ, к которым сводятся некоторые плоские контактные задачи для канонических тел конечных размеров. [c.263]

Введение. Поведение решений теории пластичности вблизи поверхностей трения, на которых удельные силы трения при скольжении равны пределу текучести при чистом сдвиге (условие максимального трения), обладает рядом характерных особенностей, которые, с одной стороны, могут приводить к трудностям при решении краевых задач, а с другой стороны, могут быть использованы для описания физических процессов в тонких слоях вблизи поверхности трения. По-видимому, первое исследование поведения решений в окрестности поверхностей максимального трения было выполнено в [1]. В этой работе была рассмотрена плоская деформация идеальножесткопластического материала, и анализ был основан на методе характеристик. Из результатов этой работы следует, что вблизи поверхности трения сдвиговая скорость деформации (в системе координат, связанной с поверхностью трения) и эквивалентная скорость деформации стремятся к бесконечности обратно пропорционально корню квадратному из расстояния до поверхности трения. Такое поведение поля скорости может быть получено из непосредственного анализа многих аналитических решений, начиная с известной задачи Прандтля (решение этой задачи можно найти в любой книге по теории пластичности, например [2]). Такое же поведение поля скоростей имеет место в осесимметричных решениях. Одно из наиболее известных решений — течение в бесконечном сходящемся канале [3]. Однако в случае осесимметричной деформации уравнения, вообще говоря, не являются гиперболическими (за исключением теории, основанной на условии текучести Треска, и других подобных теорий), хотя изолированные характеристические поверхности могут существовать [4]. Вследствие этого подход, развитый в [1], не мог быть применен для осесимметричных и пространственных задач. В [5-8] был использован другой подход для асимптотического анализа поля скоростей вблизи поверхностей максимального трения для различных условий течения и гладких условий текучести. Во всех этих работах получено, что закон поведения эквивалентной скорости деформации такой же, за исключением некоторых частных случаев, как и при плоской деформации. В [9 аналогичный результат был получен для осесимметричного течения материала, подчиняющегося условию текучести Треска. [c.78]

В книге излагается теория переноса монохроматического излучения, изотропного и анизотропного (глава 2), и излз ения в спектральной линии с полным или частичным перераспределением по частоте (глава 4). Геометрия рассеивающих сред предполагается плоской. Рассматриваются бесконечная и полубесконечная среды, а также плоский конечный слой. Подробно излагается аналитическая теория, в том числе точные, асимптотические и приближенные методы решения модельных задач. В отдельную главу 3 выделен резольвентный метод, позволяющий найти точные выражения для основных функций, характеризующих поля излучения, и асимптотики этих функций. Дается представление о некоторых распространенных численных методах, В последней главе 5 рассматриваются задачи об определении интегральных характеристик полей излучения, таких как среднее число рассеяний, о рассеянии в молекулярных полосах, с частичным перераспределением по частоте, а также с учетом поляризации и движения рассеивающей среды. [c.9]

Общий способ решения этой задачи был предложен Д. И. Шерманом (1940). Способ этот основан на аналитическом продолжении функции, подобном изложенному в п. 5.3.5. Согласно этому способу рассматриваемая задача приводится к обычной плоской задаче для полной составной области без каких-либо условий на линии раздела. При этом, однако, вновь полученная задача будет (на наружном контуре) иметь несколько йзмененное граничное условие в правой части равенства, представляющего это условие, появится дополнительное слагаемое, выражающее некоторое фиктивное воздействие на всю систему в целом. [c.63]

Вопросам применения обобщенных аналитических функций в осесимметричной теории упругости посвящен второй раздел книги. Там приведены основные сведения об этих функциях, рассмотрены свойства обобщенных ин-тех ралов типа Коши и аналогов комплексного логарифма. Далее проводится исследование осесимметричной задачи аналогично тому, как исследуется плоская задача при помощи аналитических функций. Найдено решение некоторых задач путем разложения обобщенных аналитических функций в ряды и интегралы. [c.8]

Монография посвящена неодномерным упруго-пластическим задачам. Рассмотрены сдвиг, крзгчеиие, плоская деформация, плоское напряженное состояние, пространственная задача и смежные вопросы. Даны наиболее важные аналитические решения и приведена сводка некоторых численных результатов. [c.2]

Методы синтеза плоских механизмов применительно к отдельным конкретным механизмам с низшими парами, разрабатывались у нас и за рубежом еще во второй половине XIX в. и в первые Ae HXHnetnH XX в. Немецкие ученые в основном развивали геометрические методы синтеза, основанные на идеях выдающегося немецкого ученого Л. Бурместера. Советские ученые уделяли большое внимание аналитическим методам синтеза, истоки которьсх в работах П. Л. Чебышева. В качестве основного математического аппарата была использована теория приближения функций, при этом наибольшее развитие получили методы интерполирования функций, наилучшего приближения и квадратического приближения. Развиты были также методы, использующие тригонометрические ряды. При решении задач синтеза плоских механизмов с низшими парами использовались и комбинированные приемы, сочетающие метод геометрических мест синтеза с методами, основанными на использовании теории приближения функций. Разработанные советскими учеными методы приближенного синтеза механизмов в 60-х годах были расиространепы и на некоторые виды механизмов, образованных не только низшими, но и высшими парами, например рычажно-зубчатые, рычажно-кулачковые и др. [c.28]

Г. Нейбер [59] и В.В. Соколовский [60] рассмотрели некоторые задачи для упрочняющегося тела в условиях сложного сдвига при специально подобранных аналитических зависимостях между напряжениями и деформациями, аппроксимирующих реальные диаграммы. Заметим, что в случае упрочнения уравнения задачи для сложного сдвига аналогичны уравнениям плоского течения сжимаемой идеальной жидкости, а применяемый прием аналогачен методу Чаплыгина. В работах [59-60], а также в статье В.Л. Добровольского [61] этим методом получены точные решения для некоторых форм выточек в полуплоскости и полосе. В. Пенс рассмотрел сдвиг призматического тела с симметричными острыми надрезами при кусочно-линейном законе напряжение- деформация [62]. В работе Райса [63] методом годографа исчерпьшаю-ще исследована задача для полуплоскости с угловым вырезом при произвольном законе упрочнения. [c.149]

Среди приближенных методов решения задач математической физики особую роль играет теория возмуш,ений, позволяющая построить асимптотические разложения при малых и больших значениях тех или иных характерных параметров. Применению такого подхода к контактным задачам теории упругости для изотропной полосы и изотропного слоя был посвящен специальный параграф в монографии [7]. При этом в качестве малых и больших параметров принимались, как правило, относительные геометрические размеры штампа (отношение ширины штампа к ширине полосы (слоя) или обратная величина). Между тем, в случае анизотропного и, в частности, ортотропного материала появляется еще одна возможность. Обычно некоторые жесткости композитов, моделируемых анизотропными однородными средами, отличаются по порядку величины, и, следовательно, их отношения могут рассматриваться как малые параметры. В последние десятилетия был развит асимптотический метод, основанный на построении разложения по таким параметрам. Этот метод отражен, помимо статей [1, 3, 5], в монографиях [4] и [6]. Первое его применение к контактным задачам содержится в статье Л. И. Маневича и А. В. Павленко [5], где рассмотрено вдавливание в упругую ортотропную полосу жестких штампов при наличии сил трения. В этой работе было показано, что использование малого параметра, характеризующего отношение жесткостей ортотропной среды, позволяет свести смешанную краевую задачу плоской теории упругости к последовательно решаемым задачам теории потенциала. Статья С. Г. Коблика и Л. И. Маневича [3] посвящена контактной задаче для ортотропной полосы при наличии области контакта зон сцепления и скольжения. В этой сложной задаче предложенный метод оказался особенно эффективным бьши получены явные аналитические выражения для нормальных и касательных напряжений в обеих областях, а также для заранее неизвестной границы между этими областями. В работе Н. И. Воробьевой, [c.55]

Если в условиях ооевой симметрии обозначить через г, 0, цилиндрическую систему координат, то, как показал Г. Н. Положий [4], комбинацию 2fx (ги + iw), где и, W — компоненты вектора смещений в направлении осей г и можно выразить через две произвольные jo-ana л итические функции от г + с характеристикой р i /г по формуле, вполне аналогичной представлению Колосова — Мусхелишвили для случая плоской деформации. Эта формула после использования соответствующим образом определенных аналогов интегралов типа Коши для р-аналити-ческих функций позволяет свести решение основных граничных задач в рассматриваемом случае к решению некоторых одномерных интегральных уравнений относительно граничных значений р-аналитических функций комплексного переменного. [c.632]

В числе струйных течений через решетки заслуживают упоминания несколько задач обтекания тел в каналах с параллельными стенками. Эти задачи в результате аналитического продолжения течения через стенки канала дают одновременно поперечное обтекание соответствующей решетки. Первое из таких решений принадлежит Н. Е. Жуковскому, который рассмотрел в 1890 г. своим методом струйное обтекание клина, симметрично расположенного между параллельными стенками, что соответствует решетке клиньев (симметричных ломаных профилей). Были решены аналогичные задачи обтекания плоской пластинки и клина по схеме Эфроса возвратной струйкой, уходящей на другой лист плоскости течения <М. И. Гуревич, 1946, 1953), круга и эллипса (Я. Р. Берман, 1949), некоторых криволинейных дуг со специальным распределением скорости (Г. Н. Пыхтеев, 1955). [c.122]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...