Оператор Фредгольмов

Здесь Л1[ф] — оператор Фредгольма вида [c.397]

Плоские контактные задачи теории упругости при учете износа шероховатых поверхностей взаимодействующих тел, а также ряд смешанных задач для многослойных вязкоупругих оснований, когда относительная толщина и относительная жесткость верхнего слоя достаточно малы, сводятся к исследованию интегрального уравнения второго рода, содержащего оператор Фредгольма по координате и оператор Вольтерра по времени [3, 8, 9, 13-15, 19, 20, 22-25,28, 35], вида [c.131]

В работах [17, 55, 66, 73] приводятся решения некоторых плоских и осесимметричных контактных задач о вдавливании без трения жесткого штампа в двухслойное стареющее вязкоупругое основание. Предполагается, что верхний слой тонкий относительно области контакта, неоднородно-стареющий реологические свойства нижнего слоя описываются уравнениями линейной теории ползучести стареющих материалов слои жестко сцеплены между собой область контакта не изменяется с течением времени. В зависимости от соотношений между модулями упругомгновенных деформаций слоев смешанные задачи сводятся к интегральным уравнениям первого или второго рода, содержащим операторы Фредгольма и Вольтерра. Используемый для их решения аналитический метод (см. 9, гл. 1) позволил построить разложения для основных характеристик контактного взаимодействия при произвольным образом меня- [c.465]

Из того, что левая часть есть оператор Фредгольма, следует, что и оператор [c.144]

Заметим, что уравнения (2.2) и (2.3) (и равным образом (2.5) и (2.3)) являются союзными друг к другу. Для сингулярных уравнений индекс (разность между числом собственных функций исходного уравнения и союзного к нему) может быть, вообще говоря, произвольным целым числом. Покажем, что для построенных выше сингулярных уравнений индекс оказывается равным нулю. Следовательно [35], будет существовать оператор, который преобразует их в эквивалентные регулярные уравнения второго рода, и поэтому к исходным уравнениям окажутся применимы альтернативы Фредгольма. [c.558]

В рассматриваемой постановке при = s G S представление (3.9) выражает собой преобразование вектора напряжений на L в вектор перемещений на S. При известных векторах ы (i) иы°(5) и ядре интегрального оператора система уравнений (3,5) является системой интегральных уравнений Фредгольма первого рода относительно неизвестного вектора напряжений Р/с(х) на L. Решение этой системы представляет собой обратную задачу теории упругости, в которой искомый вектор напряжений недоступен для прямого исследования, а изучается его косвенное проявление в виде вектора перемещений на доступном для измерений участке поверхности. [c.65]

Соотношение (4.8) соответствует решению методом последовательных приближений интегрального уравнения Фредгольма второго ряда, и в данном случае при линейности оператора возможен прямой метод его решения, свободный от указанных выше вычислительных трудностей решений некорректных задач. [c.148]

Уравнению (13) соответствует интегральное уравнение Фредгольма или родственное ему интегро-дифференциальное уравнение (если оператор А — дифференциальный) [c.170]

Схема доказательства. Предложение 1 является прямым следствием свойства компактности 5° и свойства (3.2). Предложение 2 является следствием альтернативы Фредгольма. Покажем для примера, что для достаточно малого s критическое значение Я существует в интервале ]Я° — т], Я°- -г1[. Если это утверждение неверно, то должна существовать сходящаяся к нулю последовательность значений Ъп, такая, что оператор (Л " —Я°5 ")- из (У ") в V " будет иметь норму, равномерно ограниченную величиной с/ц. Тогда для каждого [c.213]

План доказательства теоремы состоит в следующем. Исключив из уравнений (2.2.8) функции h+, h , сведем решение задачи (2.2.1) к решению уравнения h = h + ho с ограниченными операторами и S . Затем докажем, что оператор вполне непрерывен яз Н в Н (лемма 5) и, следовательно, к оператору применима альтернатива Фредгольма. Таким образом доказательство теоремы сводится к исследованию уравнений h — я g — g — оператор, сопряженный и проверке условия ( Sho, )) = О (леммы 6, 7). [c.473]

Здесь функция p ix) удовлетворяет интегральному уравнению Фредгольма второго рода, решение которого строится в форме ряда по собственным функциям оператора Аср структура функции A(i) определяется видом ядер (j = 1,2) связь между постоянными Р , и 0 , [c.132]

Пусть X отлично от О и не является собственным значением оператора Л. Тогда, как это следует из теории уравнений Фредгольма, уравнение (30.4) имеет единственное решение ф (см., например, [9], гл. IX). Его можно искать в виде ряда ф = X подставляя этот ряд в (30.4), легко найдем й, и придем к формуле [c.291]

Пусть TQ — T - - гТз — любой вполне непрерывный оператор в сепарабельном гильбертовом пространстве ф, Г] и Го —его вещественная и мнимая части. Это, как мы знаем, самосопряженные вполне непрерывные операторы (см. формулу (31.13)). Рассмотрим уравнение Фредгольма [c.380]

Настоящая глава посвящается этим вопросам. Здесь исследуются основные свойства сингулярных операторов в различных функциональных пространствах приводятся (без подробных доказательств) теоремы типа теорем Фредгольма и Нетера и устанавливаются свойства дифференцируемости решений сингулярных интегральных уравнений получены теоремы вложения и т. д. [c.123]

Функциональные уравнения резольвенты. Первая теорема Фредгольма. Рассмотрим сингулярное интегральное уравнение с оператором (7.2) [c.187]

И из следствия IV, 6.7 вытекает, что оператор Ку — фредгольмов при у = 1 [c.257]

Эти уравнения отличаются от уравнений (1П) и (IV), рассмотренных в главе VI, только вполне непрерывными слагаемыми, поэтому (см. VI, 3.2) операторы, порожденные левыми частями, суть операторы нормального типа и, кроме того, для этих уравнений справедливы теоремы Фредгольма. Совершенно аналогично к интегральным уравнениям приводятся за- [c.282]

Доказательство законности теорем и альтернативы Фредгольма для сингулярных уравнений граничных задач термоупругости, по существу, получается повторением рассуждений, которые для этой же цели были использованы в главе IV, 7 для оператора (7.2). [c.385]

Заметим, что при конечных оптических толщинах слоя интегральные уравнения переноса являются уравнениями Фредгольма 66]. Покажем это на примере случая изотропного рассеяния. Найдем модуль (точнее, его квадрат) оператора [c.48]

Дается обзор работ, посвященных развитию метода ортогональных функций (ортогональных многочленов) для решения интегральных и интегро-дифференци-альных уравнений смешанных задач. Эти исследования шли, в основном, по трем направлениям 1) получение новых спектральных соотношений для интегральных операторов, соответствующих главным частям интегральных уравнений рассматриваемых задач, с использованием в дальнейшем классической схемы алгоритма ортогональных функций 2) модификация проекционного метода Галеркипа, приближенное построение систем собственных функций и собственных чисел интегральных операторов смешанных задач 3) использование метода ортогональных функций для решения интегральных уравнений эволюционного типа, содержащих оператор Фредгольма по координатам и оператор Вольтерра по времени. [c.125]

Проблема сходимости приближенных решений, построенных по методу Бубнова — Галеркина, к точному решению в том случае, когда оператор — положительно определенный, эквивалентна аналогичной проблеме для процесса Ритца, и поэтому нет нужды в ее самостоятельном рассмотрении. Для других случаев такие исследования выполнены. Рассматривался, например [178], вопрос о решении интегральных уравнений Фредгольма второго рода и было показано, что решение по методу Бубнова — Галеркина совпадает с решением, получаемым при замене ядра на вырожденное при разложении его в ряд по произведениям координатных функций. [c.154]

А. с(.г, х ) u x )dx, к к-рому можно применить теорию Фредгольма. Задача Lu — ku н.мест не более счётного числа собстн. значений Aj, л.2, Яз,. . , , нее К вещественны и не имеют коничпы.ч точек сгущения. Если комплексное число h не является собств. значением оператора L, то мож-но построить Г, ф. G x, х л) оператора L—I.I, где I — единичный оператор. Ф-цпя G(x, х Я), паз. резольвентой оператора L, является м е р о-м о р ф п о й ф у и к ц и с й параметра "к, причём её полюсами служат собств. значения оператора L. Т. о., снсктр оператора L можно найти, изучая его резольвенту С(х, х Я), [c.537]

Корреляц. ф-ции квантового Ш. у, и. могут быть выражены в терминах детерминантов Фредгольма. В пределе X 00 (непроницаемый бозе-газ) корреляц. ф-ции операторов и выражаются через решения классич. системы (2). [c.474]

Для линейных моделей оператора В используются интегральные уравнения Фредгольма, Вольтерра, дифференциальные уравнения, разложения в ряды, а для нелинейных — операторы Уры-сона, Хаммерщтейна, Лихтенштейна — Ляпунова. [c.88]

Анализ корректной разрешимости контактных задач при использовании различных теорий оболочек проведен в [13, 84, 214]. Применительно к осесимметричной контактной задаче для круговых цилиндрических оболочек математические аспекты использования моделей Кирхгофа — Лява, Тимошенко и учета трансверсального обжатия, выяснение условий кор->ектности задач, способы-их регуляризации рассмотрены в 130]. Для строгого изучения этих вопросов применены теория обобш,енных функций и методы решения некорректных задач. Приведены сведения из теории краевых задач для обыкновенных дифференциальных уравнений с постоянными коэ1 )фици-ентами и основные понятия теории обобш,енных функций. С помош,ью фундаментальной системы решений дифференциального оператора построены функции Грина и функции влияния для оболочек Кирхгофа — Лява и Тимошенко. Даны постановки задач о контакте оболочек между собой и с осесимметричными жесткими штампами. Методом сопряжения построены обобщенные решения, поскольку классическое существует только для моделей, учитывающих трансверсальное обжатие. Найдены обобщенные решения интегральных уравнений Фредгольма первого рода, рассмотрены методы их аппроксимации классическими (методы регуляризации). [c.11]

Заметим, что важным обстоятельством для исследования сингулярных интегральных уравнений основных пространственных задач теории упругости является тот факт, что интегральные операторы в (3.6) и (3.8) являются взаимно сопряженными. С. Г. Мих-лин [59] доказал, что к полученным сингулярным интегральным уравнениям применимы альтернативы Фредгольма. В. Д. Купрад-зе [44] установил, что интегральные уравнения (3.6) и (3.8) имеют только действительные характеристические числа, по абсолютной величине меньшие единицы. [c.296]

Название метод граничных элементов , впрямую привязанное к дискретизации границы для проведения вычислений, вряд ли могло появиться до тех пор, пока численное решение сложных задач на ЭВМ не стало общедоступным — интегральные уравнения родились и долгое время оставались не средством численного решения задач, а мощным орудием теоретического исследования проблем математической физики. С их помощью доказывались теоремы существования и единственности решения краевых задач в различных классах функций, выяснялся характер сингулярностей в особых точках, изучались спектры операторов, соотношения между исходными и сопряженными уравнениями и т. д. Эта большая работа оставила заметный след в развитии математики. Достаточно назвать имена Э. Бетти, В. Вольтерры, Д. Гильберта, Ж- Лиувилля, Дж. Лауричеллы, А. М. Ляпунова, К. Неймана, А. Пуанкаре, С. Сомильяны, Э. Фредгольма, чтобы почувствовать сколь значительны результаты, полученные в теории интегральных уравнений. [c.266]

Если обратиться к классической теории потенциала, то сингулярные интегральные уравнения, полученные для решения как первой основной задачи, так и для второй, представляют собой интегральные уравнения Фредгольма второго рода. Разница заключается в том, что для решения первой основной задачи исходят из представления в виде потенциала двойного слоя, а для решения второй основной задачи следует воспользоваться представлением смещений в виде обобщенного потенциала простого слоя. Разумеется, отличие также состоит в физическом смысле искомых функций и значениях правых частей. Для этих сингулярных уравнений индекс (разность между числом собственных функций исходного уравнения и союзного к нему) оказывается равным нулю [152]. Следовательно [153J, будет существовать оператор, который преобразует их в эквивалентные регулярные уравнения второго рода, и поэтому к исходным уравнениям применимы альтернативы Фредгольма. При этом поверхность тела может быть представлена набором кусочно-однородных поверхностей, подчиняющихся условиям Ляпунова, а плотность сингулярного интегрального уравнения должна удовлетворять условию Гельдера — Липшица вместе со своей производной [153] [c.55]

Мы рассматриваем не все задачи, затронутые в главах I и II, а только наиболее типичные и, может быть, наиболее важные из задач, допускающих сведение к уравнениям Фредгольма в Ь 8) или Ь У+), где К+ — область, ограниченная поверхностью (или кривой) 5. Подробный разбор всех вариантов этих задач занял бы слишком много места. Все вторичные математические трудности мы устраняем, предполагая поверхность 5 гладкой и замкнутой, т. е. не имеющей ребер и отверстий, а диэлектрическую проницаемость г х) — меняющейся скачком при переходе через 5. (Таких трудностей особенно много в конкретных прикладных задачах, которые разбирались в главе IV.) К сожалению, в отношении задач, рассмотренных в 6 и 8, пока удалось выяснить очень немногое, и мы о них здесь не будем говорить. Не проанализирован также формальный метод Ритца отыскания стационарных точек функционалов (см. гл. III). Отметим, что другие методы вычисления собственных значений несамосопряженных операторов описаны, например, в [10], [14]. [c.297]

Эта задача эквивалентна уравнению Фредгольма первого рода Лф = . Для его решения снова можно использовать ряды по корневым функциям ф, оператора Л (при любом а > 0). Следует только учесть, что при е//,(5) решение ф лежит в Я5 1(5) и удовлетворяет оценке ЦфИя-](так как Л —оператор первого порядка), так что ряд Фурье со скобками функции ф [c.357]

При численном решении ограничимся конечным числом 2 2Ь — ) уравнений и неизвестных системы (3.4), что соответствует сохранению 2Ь + 1 слагаемых в каждой из бесконечных сумм в левых частях уравнений. Конечная система сингулярных интегральных уравнений с номогцью регуляризуюгцего оператора обрагцения [12] с явным выделением особенности решения в передних кромках профилей позволяет свести задачу к системе интегральных уравнений Фредгольма второго рода, удобной для численного решения. Дискретизация неизвестной нагрузки Ггу (( ) в ку точках профиля и использование метода кол- [c.679]

Докажем теорему 6.4. Пусть К — оператор нормального типа. Тогда существует регуляризатор К (см. теорему 5.6). Таким образом, К К — оператор типа Фредгольма. Отсюда следует, что уравнения [c.171]

Для операторов классической теории упругости, термоупругости и моментной упругости оказалось возможным построить теорию регуляризации и доказать основные теоремы Фредгольма более элементарно, на базе исследования так называемых функциональных уравнений резольвенты такое исследование было начато в работе Giraud [1, 2], продолжено и дополнено в книге Купрадзе [13] эти результаты изложены в 7 настоящей главы. [c.199]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...