Аналогия Прандтля

В случае поперечных сечений сложной формы решение задачи о кручении может оказаться весьма трудоемким. В этом случае весьма эффективно использование так называемой мембранной аналогии Прандтля. Суть.ее заключается в том, что основные уравнения задачи о кручении стержня и задачи о деформации упругой мембраны, условно натянутой на контур поперечного сечения стержня и подвергнутой равномерному поперечному давлению q (рис. 8.4), аналогичны. [c.177]

Для решения данной задачи (рис. 8.7) воспользуемся методом мембранной аналогии Прандтля. Представим себе мембрану, натянутую на контур поперечного сечения и нагруженную равномерно распределенной нагрузкой q. Мембрана получит прогибы из, удовлетворяющие уравнению [c.181]

На соотношениях (5.19), (5.24) основана так называемая мембранная аналогия Прандтля. Представим себе нерастяжимую мембрану, натянутую на упругий контур такого же очертания, как и контур поперечного сечения скручиваемого стержня. Усилия натяжения мембраны N одинаковы во всех направлениях. Мембрана загружается равномерно распределенной нагрузкой q, которая связана с усилием N соотношением [c.136]

Аналогия Прандтля дает возможность наглядно представить и распределение касательных напряжений в поперечном сечении стержня. Рассмотрим линии уровня поверхности, описываемой функцией напряжений z = F (х, у). На этих линиях должно выполняться [c.136]

Рассмотрим пример использования аналогии Прандтля для расчета напряжений скручиваемого стержня, поперечное сечение которого представляет собой вытянутый прямоугольник (рис. 38). [c.84]

Аналогия Прандтля позволяет по известной форме провисания мембраны, определяемой функцией №, заданной в аналитическом виде или отыскиваемой экспериментально, установить следующее [c.66]

Так как согласно аналогии Прандтля функция п) идентична функции ф, приходим к выводу, что [c.67]

Поскольку имеется зависимость (11.95) и, кроме того, вследствие аналогии Прандтля имеется равенство [c.67]

Если поперечное сечение скручиваемой призмы многосвязно, то аналогия Прандтля приобретает следующий вид. Для отождествления функций ф и щ, отыскиваемых из уравнений [c.67]

Свободное кручение призмы с прямоугольным поперечным сечением, имеющим большое отношение сторон. Пусть в прямоугольном поперечном сечении Ь/с 1 (рис. 11.29, а). Используем аналогию Прандтля. Приближенно форму провисания мембраны, закрепленной на всем контуре (рис. 11.29, б), представляем как форму, получающуюся в случае закреп.ления лишь на двух противоположных длинных сторонах (рис. И 29, в). При этом поверхность провисания цилиндрическая с поперечным сечением, имеющим такую же форму как и форма провисания нити при воздействии на нее равномерно распределенной нагрузки, т. е. эта форма — квадратная парабола (см. 1 том, стр. 1.59) (рис. 11.29, г). Распор единицы ширины мембраны определяется по той же формуле, как и распор нити (формула (2.46)) [c.69]

Рис. 11.29. К построению приближенного решения (с использованием аналогии Прандтля) задачи о свободном кручении призмы прямоугольного поперечного сечения с большим отношением сторон а) поперечное сечение призмы б) горизонтали мембраны, натянутой на контур, совпадающей с контуром поперечного сечения призмы (точная картина) в) то же (приближенная картина) г) поперечное сечение мембраны д) эпюра касательного напряжения на линии, параллельной короткой стороне поперечного сечения е) эпюра касательных напряжений по линиям, параллельным короткой и длинной сторонам прямоугольного поперечного сечения скручиваемой призмы,

Согласно аналогии Прандтля касательное напряжение выражается формулой [c.70]

СОСТОЯТ из прямоугольников, и, исходя из аналогии Прандтля, представляется возможным записать следующую приближенную зав исимость ) [c.72]

Формула для перемещения щ в тонкостенном стержне замкнутого профиля при чистом кручении. Рассмотрим тонкостенный стержень замкнутого поперечного сечения, фрагмент последнего показан на рис. 11.35, а. На этом рисунке изображены и две системы осей М т) — подвижная и Ол (/ —неподвижная. В подвижной системе ось направлена по касательной к контуру в текущей его точке М, а т) —по нормали к контуру. Обе системы левые. Исходя из аналогии Прандтля и допуская некоторую весьма несущественную погрешность, будем считать, что полные касательные напряжения по толщине б распределены равномерно и параллельны — касательной к контуру, т. е. Тг = Тг, Тгг, = 0. Аналогично по толщине б будем считать распределенными равно.мерно и перемещения да. [c.77]

Мембранная аналогия Прандтля (1904). Известно, что задача о равновесии мембраны, закрепленной по наружному контуру Го и нагруженной поверхностной нагрузкой р, сводится к краевой задаче для уравнения Пуассона [c.395]

Мембранная аналогия Прандтля задачи кручения [c.467]

В главе VI ( 185) для теоретического решения некоторых задач об определении прогиба в балках мы использовали веревочную аналогию. Таким же образом, мембранную аналогию Прандтля можно положить в основу приближенного теоретического решения задач кручения. [c.469]

ГИДРОДИНАМИЧЕСКАЯ АНАЛОГИЯ И АНАЛОГИЯ ПРАНДТЛЯ 67 [c.67]

Для определения углового сопротивления кручению профиля, составленного из двух или большего числа узких прямоугольников, лучше всего основываться на аналогии Прандтля, хотя здесь оказывается удобной и теорема Стокса. При применении аналогии Прандтля мы можем воспользоваться сохранившимся в нашей памяти опытом, накопившимся у нас в детстве, когда мы еще играли с мыльными пузырями. До известной степени этот практический опыт может заменить нам эксперимент, производимый указанным выше образом для определения углового сопротивления при кручении. [c.82]

С практической точки зрения это, однако, не является недостатком формулы (59), так как и независимо от этого, все наши теоретические выводы нуждаются в последующей проверке и в подтверждении путем опыта. Говоря так, мы имеем в виду неточные измерения рельефа мыльных пленок, а сравнение результатов вычислений с результатами специальных опытов, поставленных для проверки точности найденной формулы. Роль же аналогии Прандтля полностью исчерпывается тем, что она привела нас к общей формуле для углового сопротивления кручению J, отражающей достаточно близко к действительности истинное положение вещей. [c.84]

Сперва мы сообразим, как изменится аналогия Прандтля при обобщении ее на случай полого сечения. Представим себе, что мыльным пузырем затянуто отверстие, соответствующее сплошному контуру. Срежем верхнюю часть пузыря горизонтальной плоскостью и наложим на нижнюю часть пузыря пластинку соответствующей формы. Нижняя часть мыльной пленки пристанет к краям этой пластинки так же, как она соединялась раньше с верхней удаленной частью пленки. При сохранении пластинкой своего положения условия, в которых находится нижняя часть пленки, не изменятся, и она попрежнему останется в равновесии. Если пластинку, так же как и мыльную пленку, считать невесомой, то она также будет оставаться в равновесии. Это доказывается следующими соображениями. К пластинке будут приложены в сущности те же внешние силы, которые раньше удерживали в равновесии верхнюю часть пленки, так как очевидно, что давление воздуха на площадь пластинки статически эквивалентно давлению воздуха на внутреннюю поверхность верхней части мыльного пузыря это можно обнаружить непосредственно, рассмотрев равновесие объема воздуха, заключающегося между обеими упомянутыми поверхностями. [c.87]

До сих пор все здесь было просто и понятно, но, к сожалению, вся эта теория применима лишь к тому простому случаю, когда расчетные формулы для полого сечения заключаются уже в формулах для сплошного сечения, именно к случаю, когда внутренний контур полого сечения совпадает с одной из траекторий касательных напряжений сплошного сечения. Можно показать, что аналогия Прандтля может быть подробным же образом проведена и в самом общем случае полого сечения с совершенно произвольным внутренним контуром. Однако в этом случае дело будет обстоять значительно сложнее, так что рассчитывать на решение задачи опытным путем из-за встречающихся трудностей нельзя. Тем не менее и в этих случаях аналогия сохраняет значение, по крайней мере, в том отношении, что она дает наглядную иллюстрацию задачи, которую можно с успехом применить для приближенной оценки напряжений. [c.88]

Эти рассуждения указывают на тесную связь между аналогией Прандтля, с одной стороны, и теоремой Стокса, с другой. Точно так же и для любой другой горизонтальной плоскости, которую можно провести через холм напряжений, сумма вертикальных составляющих капиллярных натяжений, действующих [c.90]

В случае стержня, поперечное сечение которого представляет собой вытянутый прямоугольник (рис. 69), аналогия Прандтля позволяет сразу уста- [c.129]

Когда трубчатый стержень имеет промежуточные стенки (рис. 75), мы также можем воспользоваться аналогией Прандтля. Каждый из простых контуров располагается при этом на определенном уровне и соединяется с другими контурами посредством мембраны. Если прене- [c.132]

К такому же результату мы придем, исходя из аналогии Прандтля. Определение функции ф приводится, как мы видели, к разысканию провисания мембраны, равномерно нагруженной и удерживаемой на контуре равномерно распределенными растягивающими усилиями. При определении формы равновесия мембраны воспользуемся началом возможных перемещений. Искомая форма равновесия характеризуется тем, что на всяком возможном отклонении от этой формы работа всех приложенных к мембране сил равна нулю. Бели считать мембрану нерастяжимой, то при провисании ее необходимо допустить некоторое смещение краев. При таком смещении растягивающие мембрану усилия совершат отрицательную работу, величину которой получим, умножая усилие, приходящееся на единицу длины контура мембраны, на разность между площадью мембраны до провисания и проекцией мембраны на плоскость контура после провисания. При малых провисаниях величина этой работы представится так [c.134]

Помимо мембранной аналогии Прандтля имеют место гидродинамические аналогии с ламинарным течением вязкой жидкости (аналогия Буссинеска), с потенциальным течением идеальной несжимаемой жидкости (аналогия Томсона и Тета) и аналогия Гринхилла с вихревым течением идеальной несжимаемой жидкости. [c.151]

Таким образом, окончательно аналогия Прандтля, в случае многосвязных поперечных сечений призм, выглядит так натягивается мембрана на все контуры — внешние и внутренние в предположе- [c.68]

Общие положения. Как и в случае кручения тонкостенного стержня открытого профиля воспользуемся аналогией Прандтля, но с учетом многосвязности поперечного сечения. [c.73]

Результаты аналитического исследования, проведенного Прандтлем, учитывают влияние числа Рг, и полученные зависимости качественно согласуются с экспериментальными. Однако количественное соответствие расчетных и опытных данных не вполне удовлетворительно. Аналогия Прандтля, безусловно, представляет собой шаг в правильном направлении, однако и она еще основана на слишко м упрощенной модели. [c.190]

Мембранная аналогия известна в основном как аналогия Прандтля (см. [58]) в задаче теории упругости о кручении цилиндрических стержней произвольного профиля. В задачах гидродинамики эта аналогия была использована Ку харским (см. [140] ). [c.264]

Такого рода решения недавно опубликованы А. Н. Динником. См. Д и н-н и к А. Н. Аналогия Праидтля в теории кручения. Влияние радиальной трещины иа жесткость сплошного и трубчатого валов. Известия Донского политехнического института в Новочеркасске, 1912, том 1, отдел 2, стр. 309—336. [Перепечатка Д и н н и к А. Н. Избранные труды. Том 3. Киев, Изд-во АН Укр. ССР, 1956, стр. 238—254. Диниик А. Н. К аналогии Прандтля в теории кручения. Журнал Русского физико-химического общества, 1912, том 44, физический отдел, вып. 5, стр. 257—260.] [c.270]

А. А. Гриффитс (А. А. Griffith) и Дж. Дж. Тейлор (G. J. Taylor) в работе, напечатанной в журнале Engineering в 1917 г., стр. 652, при помощи аналогии Прандтля с мыльной пленкой экспериментально доказали, что у двутаврового сечения в тех местах, где вертикальная стенка переходит в горизонтальные полки, действительно получаются замкнутые траектории касательных напряжений, так как мыльная пленка, натянутая над сечением, имела над профилями полок местные возвышения. [c.86]

Теперь мы можем легко обобщить аналогию Прандтля и на эту задачу. Для этой цели представил себе, что ординаты поверхности естественного откоса уменьшены в одно и то же число раз, так чтобы их можно было в сравнении с размерами поперечного сечения считать малыми, и затянем контур сечения мыльнJй пленкой. Если мыльная пленка будет подвергнута изнутри избыточному давлению, то сперва образуется мыльный пузырь, соответствующий, как мы видели раньше в 68, одним упругим деформациям. Но если мы нагрузку будем увеличивать дальше, так что в материале частично начнется пластическая деформация, то этому значению нагрузки будет соответствовать такое избыточное давление, при котором мыльная пленка будет частично прилегать изнутри к поверхности естественного откоса и притом на тем большей площади, чем будет больше нагружен стержень, т. е. чем больше будет избыточное давление р. Проекция кривой, по которой мыльная пленка соприкасается с поверхностью естественного откоса, дает границу между упругими и пластическими областями. Все теоремы относительно поверхности напряжений, доказанные Прандтлем (см. 68), сохраняют свою силу и в данном случае. [c.141]

А. Виллерсом и Г. Занденом В некоторых случаях отсзггствие аналитического решения задачи может быть восполнено экспериментальными исследованиями распределения напряжений в деформированных телах, и мы считали уместным в техническом курсе упругости остановиться на некоторых приемах экспериментального решения задач. Так, например, мы изложили оптический метод исследования напряжений в прозрачных пластинках с использованием поляризованного света. С помощью этого метода в последнее время был успешно решен целый ряд задач. Далее мы привели аналогию Прандтля, даюшую возможность находить экспериментальным путем распределение напряжений при скручивании призматических стержней, а также указали экспериментальный способ решения плоской задачи, основанный на полном совпадении соответствующего уравнения с уравнением для изогнутой поверхности пластинки. [c.11]

Основы теории упругости и пластичности (1990) -- [ c.136 ]

Прикладная механика твердого деформируемого тела Том 2 (1978) -- [ c.64 , c.67 , c.69 , c.70 , c.72 , c.74 , c.77 ]

Уравнения и краевые задачи теории пластичности и ползучести (1981) -- [ c.184 ]

Теория упругости Изд4 (1959) -- [ c.232 ]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...