Решение дифференциального уравнения теплопроводности

Общность всех методов, разработанных для исследования теплофизических свойств различных классов материалов, состоит в том, что любой из них основан на решении дифференциального уравнения теплопроводности при определенных начальных и граничных условиях [c.123]

Моделирование непрерывного температурного поля электрическими сетками с сосредоточенными параметрами равнозначно переходу от решения дифференциального уравнения теплопроводности к решению его конечно-разностной аппроксимации. В этом [c.81]

Значительно сложнее установить связь между е г) и (т) в случае, когда д является некоторой функцией времени. Установление этой связи может быть осуществлено путем решения дифференциального уравнения теплопроводности при соответствующих условиях однозначности. Последние формулируются исходя из конкретной конструкции датчика. Решение такой задачи рассматривается, например, в [4]. [c.290]

Приведены методы численного решения дифференциальных уравнений теплопроводности. [c.3]

Методы нестационарной теплопроводности. Данные методы базируются на частных решениях дифференциального уравнения теплопроводности [c.185]

Кроме указанного метода для решения дифференциального уравнения теплопроводности могут быть использованы другие явные и неявные конечно-разностные уравнения. Методы решения их приведены в специальной литературе. Решение системы конечно-разностных уравнений выполняется, как правило, с помощью ЭВМ. [c.117]

Регулярный тепловой режим. Анализ решений дифференциального уравнения теплопроводности показывает, что все они представляют собой быстросходящийся ряд. При Fo 0,25 без особой погрешности можно воспользоваться первым членом ряда и представить решение, например, для неограниченной пластины в виде формулы [c.164]

После решения дифференциального уравнения теплопроводности совместно с условиями однозначности можно найти температурное поле, а на основании закона Фурье — соответствующие тепло- вые потоки. Заметим, что аналитическое решение данной задачи возможно лишь для тел правильной геометрической формы и при достаточно простых условиях однозначности. В остальных случаях такие задачи решаются численными или экспериментальными методами. [c.164]

Для решения дифференциальных уравнений теплопроводности могут использоваться и другие явные и неявные конечно-разностные уравнения. Методы их решения излагаются в специальной л пературе. [c.192]

Граничное условие первого рода. В этом случае задается температура t на поверхности тела в любой момент времени т. В частном случае температура на поверхности может оставаться неизменной за время процесса распространения теплопроводности. Неизвестны температурный градиент, а следовательно, и поверхностная плотность теплового потока q. Температурный градиент определится в итоге решения дифференциального уравнения теплопроводности (с учетом указанного граничного условия). Тем самым определится и поверхностная плотность теплового потока q, а также закон распределения температур по объему тела для данного момента времени т. [c.278]

Общее решение дифференциального уравнения теплопроводности [c.380]

Убедиться в том, что формула (31.33) является решением дифференциального уравнения теплопроводности, можно, подставляя значения t(x, т) в это уравнение [c.381]

Правые части уравнений (31.33) и (31.33а) равны, поэтому равны и их левые части, а следовательно, и формула (31.33) является решением дифференциального уравнения теплопроводности. [c.381]

Решить задачу нестационарной теплопроводности — это значит найти зависимости изменения температуры и количества переданного тепла во времени для любой точки тела. Такие зависимости могут быть получены путем решения дифференциального уравнения теплопроводности (см. 2-2). Аналитическая теория ставит себе целью получение общего решения задачи. Такие решения получаются достаточно сложными даже для тел простой формы пластины, цилиндра и шара. Для ряда тепловых задач такие решения имеются в [Л. 19, 60 и др.]. [c.206]

Задача теплообразования и теплопроводности при ударе единичной неровности по полупространству сводится к решению дифференциального уравнения теплопроводности для линейного теплового потока [c.120]

Основным численным методом решения дифференциальных уравнений теплопроводности является метод конечных разностей [23]. Формально он базируется на приближенной замене в дифференциальном уравнении и граничных условиях производных разностными соотношениями между значениями температур в узлах конечно-разностной сетки. В итоге для каждого узла с неизвестным значением температуры получается алгебраическое уравнение, которое для задачи стационарной теплопроводности может быть также получено из условия баланса тепловых потоков в дискретной модели тела, состоящей из теплопроводящих стержней [12, 18]. Методы решения таких уравнений хорошо разработаны [24], а для реализации этих методов в математическом обеспечении современных ЭВМ предусмотрены стандартные программы. Алгебраическому уравнению для каждой узловой точки можно дать вероятностную интерпретацию и использовать для решения задач метод статистического моделирования (метод Монте-Карло) [12]. [c.44]

МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ [c.22]

Здесь = Гн — Г, Т , R — начальная температура и радиус капли ( )=0-/ а = // S — текущий радиус капли. В первом приближении величина (d0/( S)g j может быть определена согласно решению дифференциального уравнения теплопроводности для случая нагревания жидкого шара при заданной температуре его поверхности [7-8] [c.195]

Неявные методы решения дифференциального уравнения теплопроводности имеют определенные преимущества по сравнению с явными методами лишь в тех случаях, когда условия на границах остаются 7 99 [c.99]

В данной постановке задачи решение дифференциального уравнения теплопроводности согласовать со всеми краевыми условиями затруднительно. Поэтому разлагаем совокупность заданных краевых условий на две группы и для каждой группы будем находить решение, удовлетворяющее краевым условиям. Пусть такими решениями будут функции [c.115]

Тогда сумма T=W+V также является решением дифференциального уравнения теплопроводности в силу его линейности. Полагая, что [c.115]

Постоянные А и В определяются из граничных условий (3-28) и (3-29). Потребуем, чтобы решение дифференциального уравнения теплопроводности (3-31) удовлетворяло граничному условию (3-28). С этой целью находим производную от решения (3-31) [c.117]

Заменяя в уравнении (3-31) постоянные Л и fi по соотношениям (3-36) и (3-35), получаем решение дифференциального уравнения теплопроводности для изображения при заданных граничных условиях [c.119]

Зависимость (3-44) является решением дифференциального уравнения теплопроводности (3-26), которое удовлетворяет краевым условиям (3-27) — (3-29). [c.122]

Решение дифференциального уравнения теплопроводности (3-21) при заданных краевых условиях (3-13) — (3-15) в общем виде может быть получено подстановкой частных решений (3-44) и (3-54) в уравнение (3-16). Осуществляя указанную подстановку, получаем [c.124]

Подстановка уравнений (3-79) и (3-80) в равенство (3-74) дает частное решение дифференциального уравнения теплопроводности (3-67) [c.129]

Решение дифференциального уравнения теплопроводности при этих граничных условиях имеет вид Л. 1] [c.91]

Применительно к основной стадии процесса теплопроводности можно ограничиться двумя слагаемыми ряда, причем второе слагаемое составляет всего 4—5% от первого. Если температурная разность может быть найдена из эксперимента, то рассматриваемое решение дифференциального уравнения теплопроводности дает возможность получить расчетное уравнение для определения коэффициента температуропроводности. Оно имеет следующий вид [c.100]

Для перечисленных условий решение дифференциального уравнения теплопроводности имеет в ид [c.113]

Решение дифференциального уравнения теплопроводности для полу-ограниченного тела при граничном условии второго рода (2) имеет вид [c.562]

Пример. Проведём решение дифференциального уравнения теплопроводности (1) методом преобразования для изотропной пластины, имеющей в начальный момент-с = О температуру ) = 0 и помещаемой, в среду с температурой при условии о.-у со [c.185]

Решение дифференциального уравнения теплопроводности с граничными условиями (1) возможно лишь с помощью приближенных, численных методов. [c.318]

В нестационарных методах различают методы начальной стадии (Fo 0,55) и методы регулярного режима (Fo 0,55). Последние в соответствии с [90, 91] могут быть подразделены на группы методов регулярного режима первого, второго и других видов. Следует отметить, что в [101] введен общий признак регуляризации процесса нагревания тел, справедливый для всех видов регулярных режимов, в соответствии с которым систематизация методов может быть осуществлена по краевым условиям, заданным при решении дифференциального уравнения теплопроводности [121]. [c.309]

Решение дифференциального уравнения теплопроводности при заданных условиях одноз)1ачности позволяет определить температурное поле во всем объеме тела для любого момента времени или найти функцию [c.356]

Это уравнение, справедливое для веществ, теплофизнческие характеристики которых не зависят от температуры, устанавливает связь между временными и пространственными изменениями температуры в теле под действием источника тепла. Поскольку температурное поле тела зависит от его тепловых свойств, то по найденному изменению температуры в одной или в нескольких точках исследуемого тела -можно вычислить коэффициенты тепло- или температуропроводности. Но эти решения дифференциальных уравнений теплопроводности второго порядка сложны, и при разработке методов исследования стремятся использовать закономерности для одномерных тепловых потоков, которые можно реализовать в теплофизическом экоперимеите при определенных начальных и граничных условиях. Под начальными условиями понимается известное распределение температуры в теле в начальный момент времени, а под граничными условиями — закон взаимодействия тела с окружающей средой. Совокупность начального и граничногс, условий называют краевыми условиями [76, 78]. [c.123]

Большинство задач нестационарной теплопроводности связаны с определением температурного поля тела и полного количества теплоты, отданной или полученной телом по истечении определенного промежутка времени. В других задачах требуется найти длительность процесса, по завершении которого температура тела примет определенное, наперед заданное значение. Решения этих задач могут быть получены аналитическим путем, т. е. путем решения дифференциального уравнения теплопроводности (2.44) с учетом к]заевых условий. Заметим, что таким путем решаются сравнительно простые задачи. Для решения же более сложных задач применяются приближенные методы. [c.177]

Решение дифференциального уравнения теплопроводности при этих граничных условиях приводит к следующей зависимости для распределения температуры по толщине пластины и цилинд])а неограниченных размеров, а также по толщине шара для любого момента времени [c.128]

Решение дифференциального уравнения теплопроводности совместно с указанным краевым уравнением (116) для постоянной температуры среды (t = onst) позволяет получить зависимость [c.190]

Будрин Д. В., Гидростатический интегратор для решения дифференциального уравнения теплопроводности с учетом зависимости теп-лофизических свойств (коэффициента теплопроводности в объемной теплоемкости) от температуры. Труды Уральского политехнического института имени С. М. Кирова, сб. 53, Свердловск, 1955. [c.346]

В основу одного из методов кладется математическое решение дифференциального уравнения теплопроводности применительно к двум шолуограниченньш телам. Если два тела выполнить в форме полуограниченных стержщей и равномерно нагреть каждый до своей температуры, а потом привести в соприкосновение своими концами, то изменение температуры со временем в каждом из стержней подчиняется определенным математическим зависимостям. Эти зависимости содержат в себе температуру и физические параметры, характеризующие материал стержней, и поэтому могут быть использованы для опытного определения этих параметров. Тогда, если измерить температуру поверхности соприкосновения и температуру стержней па некотором -расстоянии от ее, то можно вычислить коэффициент температуропроводности обоих стержней если знать еще теплоемкость одного из стержней, то можно определить теплоемкость другого стержня и, кроме того, найти коэффициент теплопроводности для обоих стержней. [c.112]

При решении дифференциального уравнения теплопроводности пр инимается, что потери тепла с боковой поверхности стыкующихся образцов отсутствуют распределение температуры по их объему в начальный момент времени равномерное, а по поперечному сечению сохраняется равномерным для любого момента времени после стыка торцов длина стержней велика по сравнению с их поперечныМ И размерами, вследствие чего можно принять, что температура стержней при х—>оо не изменяется со временем ib 1месте стыка стержней их поверхности плотно соприкасаются между собой, и тепловое сопротивление контакта между ими отсутствует. [c.113]

Предлагаемый нами метод решения дифференциального уравнения теплопроводности с помощью преобразования температурного поля можно применить для решения весьма разнообразных задач по тепло- и массообмену в материалах с термофизическими коэффициентами, выраженными в функциональной зависимости от температуры, прочности и влажности материалов. Решение задач можно выполнить с любой, заранее заданной степенью точности. [c.186]

Расчетное уравнение для определения коэффициента а, полученное при решении дифференциального уравнения теплопроводности с учетом зависимости теплофизических параметрвв от температуры применительно к образцу в форме неограниченного сплошного цилиндра при равномерном нагревании его боковой поверхности, имеет вид [c.313]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...