Задача Штурма—Лиувилля

Формула обращения обычно находится при помощи разложения функции в ряды по ортогональным функциям соответствующей задачи Штурма — Лиувилля. Поэтому рещения, получаемые этими методами, имеют те же принципиальные недостатки, как и решения, получаемые классическими методами. Так, формулы обращения имеют вид для синус-преобразования [c.83]

Решение дифференциального уравнения (10-2-11) при условиях (10-2-12) — (10-2-13) можно получить методом разделения переменных, используя свойства задачи Штурма—Лиувилля оно имеет следующий вид [c.468]

Задача (4.36), (4.37) есть задача Штурма — Лиувилля, которая, как известно, имеет счетное семейство решений [c.110]

Задача (4.44), (4.45) (задача Штурма— Лиувилля) имеет счетное множество решений [c.110]

Рассмотрим задачу Штурма—Лиувилля [c.19]

Пусть Vn z, и 7п = 7п( ) — собственные элементы задачи Штурма-Лиувилля [c.632]

Заканчивая рассмотрение вопроса об особенностях, объясним причину столь пристального внимания к этому вопросу в данной книге. Дело в том, что с появлением сингулярностей в граничной задаче связаны не только описанные трудности в трактовке конечных результатов решения. Оказывается, что априорное знание характера особенности в рассматриваемой задаче часто дает возможность сделать далеко идущие выводы о свойствах ее решения в целом. Особенно это относится к случаям, когда такое решение ищется в виде рядов по полным системам функции некоторой задачи Штурма — Лиувилля. Важнейшим свойством рядов по ним является зависимость характера убывания коэффициентов разложения от локальных свойств представляемых функций. Часто это позволяет еще до решения задачи найти асимптотические выражения для искомых величин. Такая возможность используется в рассматриваемых в книге задачах и является основой получения удовлетворительной точности в рамках достаточно простых вычислений. [c.36]

Таким образом, для рассматриваемых случаев изгиба и кручения граничные условия удовлетворяются, и задача Штурма — Лиувилля поставлена правильно при R н Р, противоположных по знаку S и Q. Отсюда следует, что собственные решения ортогональны, собственные значения %, действительны н положительны и что произвольная функция на интервале (а,Ь) может быть разложена в сходящийся ряд по собственным решениям. [c.352]

С граничными условиями (0)=0 и R) = 0. Это стандартная задача Штурма — Лиувилля аа нахождение собственных значений, для которой существует ряд собственных решений %,к г) и соответствующих собственных значений со . Поскольку [c.384]

Задача рещения уравнений свободных колебаний при указанных граничных условиях представляет собой стандартную задачу Штурма — Лиувилля о собственных значениях (см. разд. 9.1). Рещение этой задачи дает форму т] (г) и соответствующие собственные значения v . Тоны ортогональны с весом > [c.417]

Таким образом, в качестве решения с F(0) = О годится только F (г) и, следовательно, для уравнения (1.13) необходимо решать краевую задачу Штурма-Лиувилля [c.136]

Если на обоих краях s = и s = оболочки заданы условия заделки u-v = 0, то приходим к двум задачам Штурма — Лиувилля для функций у и у , удовлетворяющих уравнениям (1) и условиям [c.217]

О, то ф = Ф2 =ф (Q и такой набор функций является решением задачи Штурма-Лиувилля [c.94]

Решение задачи Штурма-Лиувилля находится стандартным методом и в переменных X, t равно [c.123]

Для сходимости приближенного решения, получаемого проекционным методом, к точному в качестве координатной системы необходимо выбирать собственные функции оператора, сходного с В. Как известно [85], все ортогональные полиномы являются собственными функциями сингулярных задач Штурма-Лиувилля для дифференциальных уравнений второго порядка. Роль однородных граничных условий в этом случае играют условия ограниченности собственных функций в точках сингулярности. Поэтому всегда можно подобрать соответствующую систему ортогональных с заданным весом полиномов, принадлежащую Нв. Если оператор, собственными функциями которого является эта система, сходен с оператором В, то соответствующие приближенные решения уравнений теории оболочек сходятся к точному решению. [c.18]

При анализе устойчивости состояния равновесия механической системы обычно стараются выяснить пределы измерения параметров нагрузки, при которых данная система имеет единственную форму равновесия. Эйлер, исследуя продольный изгиб стержня, указал путь отыскания этих пределов на основе перехода к задаче Штурма—Лиувилля. [c.137]

Многие смешанные задачи теории упругости для областей конечных размеров (прямоугольник, цилиндр, усеченный клин, усеченный конус, кольцевой сектор, сектор шарового слоя и др.) сводятся к исследованию парных рядов-уравнений по какой-либо полной системе ортонормированных с весом функций, порожденных соответствующей задачей Штурма-Лиувилля на конечном интервале. [c.28]

Здесь ttk — искомые постоянные, y uk,x) и Uk соответственно система собственных функций и собственных чисел осесимметричной задачи Штурма-Лиувилля для дифференциального уравнения второго порядка на конечном интервале [c.28]

Все /3f — вещественные числа, так как являются собственными значениями задачи Штурма-Лиувилля для уравнения Лежандра с граничным условием (4.74) при этом (3k = -к- Далее считаем /Зк > О [c.173]

Собственные функции должны быть ортогональны в любом случае, так как система является частным случаем задачи Штурма—Лиувилля. Читателю полезно в качестве упражнения доказать эту ортогональность, [c.362]

При этом на допустимые управления fi(t) и v t) наложено ограничение t) Л и (i) Л, где Л — заданная постоянная. Здесь норма элемента берется с учетом того конкретного пространства управляющих функций, элементы которого однозначно определяют решение краевой задачи (классическое или обобщенное), представимое в виде ряда Фурье по собственным функциям соответствующей задачи Штурма-Лиувилля. [c.8]

Ортогональность функций х> определяется свойством собственных функций задачи Штурма — Лиувилля (см. ниже). [c.108]

Дальнейшее решение задачи можно вести по-разному используя специфические для этой задачи конечные преобразования Ханкеля, как это делает М. В. Елистратова [26], тогда решение получается в виде рядов по собственным функциям соответствующей задачи Штурма—Лиувилля разлагая входящие в (37) — (39) функции в ряд Ди-ни — Бесселя [c.419]

Следствие. Операторы Ь, построенные по решению уравнения (1), при всех I унитарно эквивалентны в частности, каждое из собственных чисел X задачи Штурма — Лиувилля Lf = kf с нулевыми условиями на бесконечности является первым интегралом уравнения Кортевега — де Фриза. [c.467]

Задача Штурма-Лиувилля для вертикальных мод [c.631]

Если а(г) = 0 и 5(а ) = 0 (граничные условия второго рода), fi = 0 и Tj,Q= onst также являются собственными значениями и собственной функцией задачи Штурма —Лиувилля. Тогда решение примет вид [c.112]

Пусть сначала параметры срединной поверхности и число т таковы, что 31пф = 0. Тогда опять приходим к задаче Штурма — Лиувилля, состоящей из уравнения (3.1) и граничных условий [c.222]

Разработаны и развиты аналитические методы решения парных рядов-уравнений, связанных с разложениями, порождаемыми соответствующими задачами Штурма-Лиувилля, путем сведения их к ИУ с разностным ядром или к БСЛАУ с сингулярной матрицей. Развиты некоторые методы решения полученных ИУ и бесконечных систем первого и второго рода. Получено точное решения одного важного класса ИУ, к которым сводятся некоторые плоские контактные задачи для канонических тел конечных размеров. [c.263]

Заметим, что, как и для всякой задачи Штурма-Лиувилля, значения возрастают с ростом я, т.е. Хо меньше всех остальных X. Это означает, что при больших X в сумме (7.16) преобладает слагаемое с Тогда (7.16) сводится к периодическому стащюнарному решению [c.65]

Доказательство результатов и подробности, касающиеся задачи Штурма — Лиувилля для уравнения (5) на полубесконечпом промежутке, можно найти в работе [4а], а также в монографиях [75а, 386]. [c.460]

Для завершения изложения сведений о задаче Штурма—Лиувилля в полубесконечпом интервале наметим способ построения и приведем выражение для функции р(Х). Используя асимптотическое выражение (16) для функции Ыа(2, X), нетрудно показать, что при оо [c.463]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...