Простая волна

Движение, описываемое решением (101,4—5) часто называют простой волной-, ниже мы будем пользоваться этим термином. Изученное в 99 автомодельное движение является частным случаем простой волны, соответствующим равной нулю функции [(и) в (101,5). [c.528]

Из сказанного выше ясно, что образование в конце концов разрывов должно произойти во всякой простой волне, в которой" имеются участки, на которых плотность убывает в направлении распространения волны. Единственный случай, когда разрывы вообще не образуются, — волна, в которой плотность монотонно возрастает в направлении распространения на всем ее протяжении (такова, например, волна, возникающая при выдвигании поршня из заполненной газом бесконечной трубы см. задачи к этому параграфу). [c.530]

Хотя после образования разрыва волна и перестает быть простой, но самые момент и место образования разрыва могут быть определены аналитически. Мы видели, что с математической точки зрения возникновение разрывов связано с тем, что в простой волне величины р, р, v как функции х (при заданном i) становятся многозначными для моментов времени, превышающих некоторое определенное значение о, между тем как при [c.530]

Решение, Если поршень выдвигается из трубы (U = —at), то возникает простая волна разрежения, передний фронт которой распространяется вправо по неподвижному газу со скоростью Со а области х j газ неподвижен. На поверхности поршня скорость газа должна совпадать со скоростью поршня, т. е. должно быть о = —at при х t > 0. Это условие дает для функции f(v) в (101,8).- [c.531]

Если поршень вдвигается в трубу (U = at), то возникает простая волна сжатия соответствуюш,ее решение получается просто изменением знака у а в формуле (1) (рис. 81,6). Оно применимо, однако, лишь до момента образования ударной волны этот момент определяется по формуле (101,15) и равен [c.532]

П])ичем второе уравнение надо заменить просто равенством т = О, если речь идет об образовании разрыва на переднем фронте простой волны. [c.533]

При п > 1 ударная волна возникает не на переднем фронте простой волны, а в некоторой промежуточной точке, определяемой уравнениями (3). Определив из (3) значения т и можно затем по (2) найти и место образования разрыва. Вычисление дает [c.533]

Плоская бегущая звуковая волна как точное решение уравнений движения тоже представляет собой простую волну. Мы можем воспользоваться полученными в предыдущем параграфе общими результатами для того, чтобы выяснить некоторые свойства звуковых волн малой амплитуды во втором приближении (понимая под первым приближением то, которое соответствует обычному линейному волновому уравнению). [c.535]

Изменение же скорости v вдоль некоторого участка длины оси х в простой волне равно интегралу [c.536]

Простое вычисление с помощью разложения в ряд показывает, что оба написанных выражения отличаются друг от друга только в членах третьего порядка (при вычислении следует иметь в виду, то изменение энтропии в разрыве есть величина третьего порядка малости, а в простой волне энтропия вообще постоянна). Отсюда следует, что с точностью до членов второго порядка звуковая волна с каждой стороны от образовавшегося в ней разрыва остается простой, причем на самом разрыве будет выполнено надлежащее граничное условие. В следующих же приближениях это уже не будет и.меть места, что связано с появлением отраженных от поверхности разрыва волн. [c.536]

С точностью до членов первых двух порядков эта величина равна значению производной d pv)/dp, взятому в точке, где аргумент и равен полусумме и = vi + i>2)/2. Поскольку же в простой волне d pv)/dp = у + с, то согласно (102,1) имеем [c.536]

ВОЙ линией изображен профиль распределения скоростей, соответствующий простой волне, и пусть отрезок ае есть возникающий в волне разрыв (xs — его координата). Разность заштрихованных на рисунке площадей аЬс и de определяется интегралом [c.537]

Из этого свойства характеристик С+ простой волны можно в свою очередь заключить, что они представляют собой семейство прямых линий в плоскости X, V, скорость имеет постоянные значения вдоль прямых x = t[v - v) +/(о) (101,5), В частности, в автомодельной волне разрежения (простая волна с f(v) = 0) эти прямые образуют пучок с общей точкой пересечения— началом координат плоскости х, t. Ввиду этого свойства автомодельную простую волну называют центрированной. [c.543]

На рис. 86 изображено семейство характеристик для простой волны разрежения, образующейся при ускоренном выдвигании поршня из трубы. Это есть семейство расходящихся нря мых, начинающихся на кривой x = X t), изображающей движение поршня. Справа от характеристики х = ot простирается область покоящегося газа, в которой все характеристики параллельны друг другу. [c.543]

Выясним теперь, в каком взаимоотношении с найденным здесь общим решением газодинамических уравнении находится решение, описываюш,ее простую волну. Последнее отличается тем свойством, что в нем vnw являются определенной функцией друг от друга, v = v w), и поэтому обращается тождественно в нуль якобиан [c.555]

Между тем при преобразовании к переменным v, w нам пришлось разделить уравнение движения на этот якобиан, в результате чего решение, для которого А = О, оказалось потерянным. Таким образом, простая волна не содержится непосредственно в общем интеграле уравнений движения, а является их особым интегралом. [c.555]

Выражая частные производные от через х и t согласно (105,1), получим отсюда соотношение х = (и + с) /- -/(о), т. е. ка < раз уравнение (101,5) простой волны. Соотношение же (101,4), устанавливающее связь. между и и с в простой волне, автоматически выполняется в силу постоянства У вдоль характеристики Г . [c.556]

Условие сшивания простой волны с общим решением на граничной характеристике получается подстановкой выражений [c.556]

Кроме того, в простой волне (и на граничной характеристике) имеем [c.556]

СТАЦИОНАРНЫЕ ПРОСТЫЕ ВОЛНЫ бОГ [c.601]

Стационарные простые волны [c.601]

СТАЦИОНАРНЫЕ ПРОСТЫЕ ВОЛНЫ 603 [c.603]

Изложенные свойства рассматриваемого движения в математическом отношении полностью аналогичны свойствам одномерных простых волн, у которых одно из семейств характеристик представляет собой семейство прямых линий в плоскости х, t (см. 101, 103, 104). Поэтому рассматриваемый класс течений играет в теории стационарного плоского (сверхзвукового) движения такую же роль, какую играют простые волны в теории нестационарного одномерного движения. Ввиду этой аналогии эти течения тоже называют простыми волнами. В частности, волну разрежения, соответствующую случаю = О, называют центрированной простой волной. [c.603]

Как и в нестационарном случае, одно из важнейших свойств стационарных простых волн заключается в том, что течение ва всякой области плоскости х, у, граничащей с областью однородного потока, есть простая волна (ср. 104). [c.603]

Покажем теперь, каким образом может быть построена простая волна для обтекания заданного профиля. [c.603]

СТАЦИОНАРНЫЕ ПРОСТЫЕ ВОЛНЫ [c.605]

Полученный интеграл представляет собой простую волну, поскольку функции V, W зависят только от и. Зильберглейт 5 , Бондаренко [6] и Овсянников [7] нашли решение типа двойной волны, когда одна составляющая скорости зависит от двух других (пример см. в Приложении 2). В работе [7] показано, что общее решение уравнений (2.1) представляет постоянное (равномерное) движение, простую волну или двойную, и что эти три движения могут сосуществовать в одном общем течении, непрерывно примыкая друг к другу. С целью получения вязких течений здесь будет рассмотрено решение (2.3). [c.184]

Выпишем в явном виде соотношения для простой волны впо-литропном газе для определенности будем считать, что в волне есть точка, в которой и = О, как это обычно бывает в различных конкретных задачах. Поскольку формула (101,6) совпадает с формулой (99,6), то аналогично формулам (99,14—16) имеем [c.528]

Эти условия должны быть видоизменены, если простая волна граничит с неподвижным газом и ударная волна возникает как раз на этой границе. И здесь в момент возникновения разрыва кривая v = v ) должна стать вертикальной, т. е. производная dxfdv)t должна обратиться в нуль. Обращение же в нуль второй производной не обязательно вторым условием здесь является просто равенство нулю скорости на границе с неподвил -ным газом, так что имеем условие [c.531]

Решение. Если а < О, т. е. поршень выдвигается из трубы, то возникает простая волна разрежения, в которой ударные волны вообш.е не образуются. Ниже предполагается а > О, т. е. поршень вдвигается в трубу, создавая простую волну сжатия. [c.532]

В качестве примера рассмотрим характеристики простой волны. Для волны, распространяющейся в пoлoж iтeльиoм направ-ленип оси X, имеем согласно (101,5) х = t v с) + f (v). Дифференцируя это соотношение, имеем [c.543]

С другой стороны, вдоль характеристики С+ имеем dx = v- -- - )dt сравнивая оба равенства, найдем, что вдоль характеристики dv[tt у v) = Q. Выражение в квадратных скобках не может быть равно нулю тождественно. Поэтому должно быть dv=Q, т, е. и == onst. Таким образом, мы приходим к выводу, что вдоль каждой из характеристик С+ остается постоянной скорость, а с нею и все остальные величины (в волне, распространяющейся влево, таким же свойством обладают характеристики С ). Мы увидим в следующем параграфе, что это обстоятельство не случайно, а органически связано с математической природой простых волн. [c.543]

На рис. 87 дан аналогичный чертеж для простой волны сжатия, образующейся ири ускоренном вдвигании поршня в трубу. В этом случае характеристики представляют собой сходящийся пучок прямых, которые в конце концов должны пересечься дру" с другом. Поскольку каждая характеристика несет свое иостояк-ное значение у, их пересечение друг с другом означает физически бессмысленную многозначность функции v(x, /).Это — геометрическая интерпретация результата о невозможности неограниченного существования простой волны сжатия и неизбежности [c.544]

Решение. В цеЕ1трированной простой волне, распространяющейся в сторону находящегося справа от нее неподвижного газа, имеем [c.546]

Сравнение с формулой (101,4) показывает, что инварианты Римана (104,2) совпадают с темн величинами, которые в простых волнах постоянны вдоль всей области движения в течение всего времени в простой волне, распространя[ощейся вправо, постоянно а в волне, бегущей влево, постоянно С математической точки зрения это есть основное свойство простых волн. Из пего следует, в частности, и указанное в предыдущем параграфе свойство — прямолинейность одного из семейств характеристик. Пусть, например, волна распространяется вправо. Каждая из характеристик несет свое постоянное значение У+ [c.548]

Весьма существенное значение в теории изэнтропического одномерного движения имеет следующее свойство простых волн течение в области, граничащей с областью постоянного течения (течения с о = onst, р = onst), есть непременно простая волна. [c.548]

Свойство характеристик переносить вдоль себя постоянные определенных величии проливает свет на обнхую постановку вопроса о задании начальных и граничных условий Простая волна к уравнениям [c.549]

В 104 было показано, что если в некоторой части плоскости X, t решение уравнений движения сводится к постоянному течению, то в граничащих с нею областях должна иметься простая волна. Поэтому движение, опнсываюш,ееся общим решением [c.556]

Что касается области существования простой волны при обтекании вогнутого профиля, то вдоль линий тока, проходящих над точкой О, оно применимо вплоть до места пересечения этих линий с ударной волной. Липин же тока, пролодящие под точкой О, с ударной волной вообще не пересекаются. Однако отсюда нельзя сделать заключение о том, что вдоль них рассматриваемое решение применимо везде. Дело в том, что возникающая ударная волна оказывает возмущающее влияние и на газ, текущий вдоль этих линий тока, и таким образом нарушает движение, которое должно было бы иметь место в ее отсутствии. В силу свойства сверхзвукового потока эти возмущенггя будут, однако, проникать лишь в область газа, находящуюся вниз по течению от характеристики ОА, исходящей из точки начала ударной волны (одна из характеристик второго семейства). Таким образом, рассматриваемое здесь решение будет применимым во всей области слева от линии АОВ. Что касается самой линии ОА, то она будет представлять собой слабый разрыв. Мы видим, что непрерывная (без ударных волн) во всей области простая волна сжатия вдоль вогнутой поверхности, аналогичная простой волне разрежения вдоль выпуклой поверхности, невозможна. [c.606]

Рассмотрев стационарные простые волны, перейдем теперь к общей задаче о произвольном стационарном плоском потенциальном движении. Говоря о потенциальном течении, мы подразумеваем, что движение изэнтропично и что в нем отсутствуют ударные волны. [c.607]

В предыдущем параграфе мы рассмотрели частный случай сверхзвукового стационарного двухмерного течения (простую волну), характерный тем, что в нем величина скорости является функцией только ее направления и = у(0). Это решение не могло бы быть получено из уравнения Чаплыгпна для него тождественно 1/Д = 0, и оно теряется, когда при преобразованни к плоскости годографа приходится умножать уравнение движения (уравнение непрерывности) на якобиан Д. Положение здесь аналогично тому, что мы имели в теории одномерного нестационарного движения. Все сказанное в 105 о взаимоотношении между простой волной и общим интегралом уравнения (105,2) полностью относится и ко взаимоотношению между стационарной простой волной и общим интегралом уравнения Чаплыгина, [c.610]

Интегрирование уравнения (117,2) дает соотношения вида (у 6) = onst, /-(и, 0) — onst. Функции /+ и I- представляют собой величи Ы, остающиеся постоянными соответственно вдоль характеристик С+ и (инварианты Римана). Для политропного газа уравнение (117,2) может быть проинтегрировано в явном виде. Нет, однако, необходимости производить эти вычисления заново, так как результат может быть написан заранее с помощью формул (115,3—4). Действительно, согласно общим свойствам простых волн (см. 104) зависимость у от 0 в простой волне как раз и определяется условием постоянства во всем про- [c.612]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...