Комплексная переменная и аналитические функции

Комплексная переменная и аналитические функции [c.168]

Здесь и в дальнейшем целесообразно рассматривать функции дифференцируемые. При этом необходимо ввести требование, подобное вводимому в обычной теории функций комплексного переменного для аналитических функций, а именно, чтобы производная, т. е. предел отношения приращения AF (X) функции F (X) к приращению ЛХ комплексной переменной X при ЛХ— 0], если она существует, не зависел от отношения Ах° Ах. [c.20]

Вычеты комплексной скорости, циркуляция и поток скорости. Как известно из теории функций комплексного переменного, структура аналитической функции Р (г) вполне определяется распределением в плоскости г особых точек функции и их характером. [c.141]

В настоящей статье мы занимаемся решением такой задачи. Даны три точки на вещественной оси плоскости комплексного переменного t. Требуется найти две функции Z и F комплексного переменного t, аналитические в верхней полуплоскости t и регулярные в ней всюду за исключением трех данных точек вещественной оси, где эти функции имеют регулярные особенности, причем в каждом из трех промежутков вещественной оси, на которые она делится данными точками, Z и F подчинены двум условиям вида линейная комбинация с постоянными коэффициентами этих двух функций имеет вещественное значение в этом промежутке. При этом мы ограничиваемся рассмотрением того случая, когда условия на трех отрезках плоскости t дают три пересекающиеся окружности на плоскости = F/Z. [c.112]

Мы подробно остановились на данной аналогии не потому, что считаем ее полезной для рещения практических задач теории решеток, а ввиду ее исключительной наглядности, распространяющейся и на вихревые течения. Уместно подчеркнуть, что мембранная аналогия вполне соответствует широко применяемому пространстве шому представлению аналитических функций комплексного переменного и успешно используется также при изложении численных методов решения соответствующих уравнений в частных производных (см. [57]). [c.268]

Пусть ал — выраженные в долях от к или 180° углы при вершинах, и аналитическая функция 2=z( ) осуществляет отображение верхней полуплоскости lm >0 комплексной переменной С=Ц-1Т] на внутренность многоугольника. При этом вершинам Ah будут соответствовать точки ак действительной оси . . [c.306]

Отметим также, что, получив основные формулы, удобнее вернуться к первоначальным переменным и р действительно, при установлении связи между настоящим анализом и основными теоремами об обобщенных аналитических функциях применение комплексной переменной и очень полезно, но оно может быть неудобно при решении конкретных задач. [c.213]

Заметим, что в частном случае несжимаемой жидкости, когда q(p) =/з и q [p) = 1, система Чаплыгина, как и исходная система (1), совпадает с системой Коши — Римана. Это и понятно, ибо в этом случае т — ta = log I f (z) I + i arg f (z), где f — комплексный потенциал, является аналитической функцией как от z, так и от w = f(z). Таким образом, переменные (т, а) и для систем уравнений газовой динамики и в общем случае нелинейных систем вида (2) в известном смысле заменяют производную аналитических функций. Это замечание еще раз подчеркивает важность роли производных систем в общей теории нелинейных квазиконформных отображений. [c.103]

Формула Коши. Пусть f (О—функция комплексного переменного I, аналитическая внутри и на замкнутом контуре С, и пусть г—какая-либо [c.138]

Следовательно, применим аппарат функций комплексного переменного и каждая аналитическая функция комплексного переменного является комплексным потенциалом рассматриваемого фильтр ационного течения. [c.275]

Функция напряжения. В последнем параграфе было показано, что функция кручения ф (ж, у) является двумерной гармонической функцией в области Я поперечного сечения цилиндра. Из теории же функций комплексного переменного известно, что существует также другая двумерная гармоническая функция х, у) такая, что функция ф х, у) -Ь 1)3 (х, у) является аналитической функцией комплексного переменного х + 1у. Функции ф и о)) связаны друг с другом с помощью условий Коши — Римана [c.58]

Правые части формул (9.112), (9.113) и (9.115 вообще говоря, являются функциями комплексных переменных и г, однако по смыслу самой задачи они должны быть действительными. Этого мы достигнем, если четырьмя пока произвольными аналитическими функциями [c.282]

Для важного класса плоских (двумерных) задач теории упругости перемещения, деформации и напряжения зависят только от двух координат на плоскости. Основные уравнения, а также общие методы решения, обсуждавшиеся в гл. 5, получаются как частный случай из соотношений для трехмерной сплошной среды. Это подробно обсуждается в гл. 8. Применение функций напряжений в плоской теории упругости имеет большое практическое значение. Весьма плодотворным является при этом введение комплексной переменной и использование методов теории аналитических функций, приводящих к эффективному методу решения. В основном он был построен Г. В. Колосовым [30] и позднее развит Н. И. Мусхелишвили (см. [31, 32], а также [А7, АЗО]). [c.119]

Как ВИДИМ, В этом случае комплексный потенциал w и комплексная скорость, являющиеся аналитическими функциями переменного Z, в начале координат перестают быть аналитическими, так как [c.130]

Общие сведения. Мощные методы исследования задач плоского движения грунтовых вод, как и всех задач плоского потенциального движения жидкости, предоставляет теория функций комплексного переменного Это объясняется наличием тесной связи между гармоническими функциями, каковыми являются потенциал скорости ф(л , у) и функция тока г )(л , у), и аналитическими функциями комплексного переменного. [c.471]

Для решения поставленной задачи используется метод теории упругости с комплексной переменной и теория аналитических функций. Рассмотрен пример. Рис. 6, библ. 30. [c.404]

Мы покажем сейчас в обшем виде, что компоненты Фурье Pa ik, ш) и лр(А , (Од) суть значения одной и той же функции комплексного переменного ш. аналитической в верхней полуплоскости, взятые в первом случае на вещественной оси, а во втором — в точках ш — 1шд. Доказательство проводится совершенно так же. как это уже делалось в предыдущих главах. Разложим (37.21) и (37.22) в суммы по промежуточным состояниям. Тогда для компоненты Фурье, определенной соответствующим об азом в случае и находим [c.410]

В упоминавшейся выше (см. 5) работе В. И. Моссаковского [91] при решении задач для полупространства вводились плоские гармонические функции, которые выражались через аналитические функции комплексного переменного, и указанные задачи теории упругости при- [c.224]

Н. И. Мусхелишвили [238] первым рассмотрел задачу о штампе, когда коэффициент трения принимает конечное (отличное от нуля) значение, причем на участках соприкасания задавались нормальная составляющая вектора смещения и главный вектор действующих сил, в то время как остальная часть границы свободна от усилий. Эта задача, как И задачи при отсутствии сил трения, сводится к отысканию одной функции комплексной переменной для граничных условий смешанного типа. Автор указывает условия существования решения, имеющего физический смысл (физически пригодное решение имеет место, когда нормальное давление под штампом неотрицательно). Например, в случае штампа с прямолинейным горизонтальным основанием давление под штампом и аналитическая функция Ф(г), дающая решение задачи, имеют вид (д — длина участка соприкасания) [c.16]

Если теперь рассматривать t, 1 ) как функцию двух комплексных переменных и то ясно, что она является аналитической функцией в полуплоскости 1т Г СО и аналитической функцией в полуплоскости 1т > 0. Следовательно, можно воспользоваться теоремой Коши из теории функций комплексного переменного и записать тождество [c.42]

Если точно известна функция Р(х) для некоторой области значений вещественного аргумента х, часто оказывается возможным продолжить эту функцию в комплексную область. Это означает, что можно однозначно определить функцию Р(г) комплексной переменной 2 (в пределах некоторой области комплексной плоскости), обладающую тем свойством, что она регулярна в этой области и равна заданной функции на действительной оси. Этот переход от области действительных переменных в область комплексных переменных называется аналитическим продолжением. Функция Р(г) будет, вообще говоря, комплексной, хотя в некоторых участках она может быть вещественной. [c.342]

Здесь /(w) и F( v) - аналитические функции комплексной переменной и> 7 - контур интегрирования в комплексной плоскости и>, который в частном а учае может охватывать только вещественные значения и>. Как мы увидим в гл. 3 и 4, такие интегралы возникают при решении задачи о звуковом поле сосредоточенного источника в слоистой среде методом разделения переменных. Аналогичные интегралы появляются при исследовании формы импульса, распространяющегося в диспергирующей среде, дифракции волн на телах сложной формы, в квантовомеханической теории соударений и во многих других физических задачах. [c.217]

Выяснить, всегда ли интегралами системы дифференциальных уравнений (П1. 12) и (III. 14) являются мероморфные и однозначные функции времени t если это не так, то найти те зависимости между коэффициентами уравнений (III. 12) и (III. 14), которые обеспечат упомянутый аналитический характер их интегралов на плоскости комплексной переменной t. [c.449]

ЦЕЛАЯ ФУНКЦИЯ — функция, аналитическая во всей плоскости комплексного переменного (см. Аналитические функции). Примеры Ц. ф. алгебраич. многочлен о + + + п-г", функции sin z, os z, e . Для того чтобы / х) была Ц. ф., необходимо и достаточно, чтобы по крайней мере для одпой точки имело место соотпошение [c.390]

Решение ряда задач о плоской деформашш было получено применением методов теории функций комплексного переменного и краевой задачи Римана-Гильберта (Л.А. Галин, Г.П. Черепанов). Некоторые упругопластические задачи сводятся к краевым задачам для функций комплексного переменного с аналитическими коэффициентами для решения этих задач был разработан метод функционалышх уравнений, основанный на обобщенном принципе аналитического продолжения (Г.П. Черепанов). [c.7]

При отыскании случаев интегрируемости уравнений динамики совершенно новая идея была внесена в аналитическую механику К. Вейерштрассом. Рассматривая задачу о движении тяжелого твердого тела вокруг неподвижной точки, он поставил вопрос о том, когда уравнения этой задачи могут быть проинтегрированы в мероморфных функциях времени Подобное применение теории функций комплексного переменного к аналитической механике сразу дало существенные результаты работы С. В. Ковалевской, открывшей новый случай интегрируемости уравнений Эйлера, и работы П. Пенлеве по интегрируемости уравнений второго порядка, приведшие к открытию семейств новых трансцендентных аналитических функций. [c.24]

Дальнейшее развитие получили как точные, так и приближенные методы синтеза плоских механизмов с низшими парами. Весьма существенные результаты были достигнуты в разработке аналитического приближенного синтеза, основанного на идеях П. Л. Чебышева и кинематико-геометрического метода Л. Бурместера и Г. Альта. В ряде работ аналитические методы синтеза механизмов применялись вместе с геометрическими. При этом использовался более или менее сложный математический аппарат, в частности методы теории функций комплексного переменного и матричного исчисления. [c.218]

Понятие к0пф0р51Н0Г0 отображения. В предыдущем номере мы рассмотрели некоторые простейшие аналитические функции комплексного переменного и выяснили, какие течения ими определяются. Теперь перейдем к рассмотрению методов, позволяющих рещить обратную задачу, т. е. найти функцию, определяющую течение вокруг тела заданной формы. [c.149]

Восьмидесятые годы — это годы утверждения теории функций комплексного переменного и годы утверждения аналитической теории дифференциальных уравнений. В Германии это, прежде всего, работы Вейерштрасса, а затем работы Шварца, Рунге, Кенигсбергера и многих других. [c.18]

Связь плоской гидродинамической задачи с теорией функций комплексного переменного. Соотношение (14.1) показывает, что каждый определенный выбор аналитической функция /(г) дает определенную систему линий тока ф = onst, и изопогенциаль-ных линий ср = onst, и, значит, устанавливает определенную кинематическую картину поля скоростей (точнее говоря, две картины в силу сопряженности функций ср и ф). Таким образом, кинематическое изучение плоского движения жидкости теснейшим образом связывается с теорией функций комплексного переменного, и можно наперед ожидать, что многие положения этой глубоко развитой ветви математического анализа найдут свое гидродинамическое истолкование. Не имея возможности в рамках настоящего учебного курса исчерпать все возможные применения теории функций комплексного аргумента, мы ограничимся гидродинамическим истолкованием некоторых важнейших свойств аналитических функций. [c.134]

При этом полз чится функция, аналитическая уже во всей плоскости комплексного переменного z. Эта функция имеет особенность в точке z — — ih, определяемую формулой (19.14) кроме того, она будет иметь особенность в точке z — ih, ибо из формул (19.14) и (19.15) вытекает, что в окрестности этой точки мы будем иметь представление [c.464]

Математика охватывает общие и специальные дисциплины математического анализа арифметику и алгебру, геометрию, тригонометрию, диференциальное и интегральное исчисления, ряды, диференциальные уравнения в полных и частных производных, вариационное исчисление, аналитическую и диференциальную геометрию, векторное исчисление, теорию функций комплексного переменного и элементы прикладного анализа теорию вероятностей и метод наименьших квадратов, приближённые вычисления, построения эмпирических формул и номографию. [c.9]

Понятие / -аналитических функций введено Г. Н. Положием в работе 1102] как одно из обобщений теории аналитических функций комплексного переменного. Свойства этих функций были подробно изучены в последующих работах того же автора и систематизированы в монографии [112]. Установлены аналоги теоремы Коши и формулы Коши, построена классификация особых точек и нулей, доказана теорема Лиувилля, построена теория вычетов, установлена изолированность 4-точек, в которых р-аналитическая функция принимает значения А == onst, доказана теорема о сохранении области, а так--же получены некоторые другие результаты. [c.435]

Положий Г. H., О р, д)-аналитических функциях комплексного переменного и некоторых их применениях. В сб. Исслед. по соврем, проблемам теории функций компл. перем. , Физматгиз, М., 1960, стр. 483—515. [c.457]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...