Методы решения парных рядов-уравнений

Излагаются аналитические методы и результаты решения большого круга неклассических задач механики контактных взаимодействий упругих тел. Рассмотрены статические и динамические контактные задачи теории упругости для тел сложной конфигурации, неоднородных тел и контактные задачи с усложненными условиями в зоне контакта. Для решения указанных задач разработаны эффективные аналитические методы решения парных рядов-уравнений, интегральных уравнений и бесконечных систем линейных алгебраических уравнений. Получен ряд качественно новых и важных результатов, касающихся зависимости контактных напряжений, жесткости системы штамп-упругое тело, размеров области контакта и деформации свободной поверхности от параметров задач. [c.1]

Методы решения парных рядов-уравнений [c.28]

Решение парного ряда-уравнения (2.118) так же, как и парного ряда-уравнения (1.1), может быть получено методом сведения его к исследованию бесконечной системы линейных алгебраических уравнений первого рода с сингулярной матрицей коэффициентов (1.6). [c.89]

Для решения парного ряда-уравнения воспользуемся также методом сведения его к бесконечной системе линейных алгебраических уравнений первого рода с сингулярной матрицей. Функция К и) из парного ряда обладает необходимыми для этого свойствами. Для преодоления в дальнейшем трудностей, связанных с факторизацией функции К и), аппроксимируем ее на действительной оси функцией (1.13) при В = А. [c.94]

В этом параграфе в полярной системе координат методом сведения парных рядов-уравнений к бесконечным системам линейных алгебраических уравнений с сингулярной матрицей и методом однородных решений исследован ряд контактных задач для кольцевого сектора, кольца и усеченного клина. [c.118]

Для решения парного ряда-уравнения (31), (33) используем метод сведения его к бесконечной системе [25], применявшийся выше. Отметим, что парный ряд (31), (33) обладает всеми необходимыми для этого свойствами. [c.234]

В этой главе дается краткая постановка рассматриваемых в книге контактных задач теории упругости и излагаются некоторые общие методы решения интегральных уравнений, парных рядов-уравнений и бесконечных систем, к которым сводятся поставленные контактные задачи, а также некоторые другие результаты, имеющие общий характер. [c.22]

Задача приведена к парному ряду-уравнению, решение которого сводится к бесконечной системе линейных алгебраических уравнений с сингулярной матрицей. Излагается метод решения этой системы. Для некоторых распространенных моделей резиноподобных материалов вычислены контактные напряжения и жесткость цилиндра в зависимости от степени предварительного бокового сжатия или растяжения, а также геометрических параметров — цилиндра. 211 [c.79]

Здесь для решения парного ряда (2.104)-(2.105) использован метод (см. 1.2) сведения его к исследованию бесконечной системы линейных алгебраических уравнений первого рода с сингулярной матрицей коэффициентов вида (2.62). [c.82]

Для описания свойств упругого тела используется модель нелинейного несжимаемого изотропного материала [343]. Задача приведена к парному ряду-уравнению по тригонометрическим функциям, для решения которого используется метод сведения его к бесконечной системе алгебраических уравнений с сингулярной матрицей. После регуляризации найдено решение системы и проведен числовой анализ поставленной задачи в зависимости от различных параметров задачи [292. [c.111]

Метод парных рядов—уравнений не является единственно возможным прн решении контактных задач для упругого шара. В работе [c.234]

К настоящему времени существует довольно большой набор аналитических методов решения собственно смешанных задач для тел конечных размеров канонической формы. Подробный обзор таких методов можно найти в [13, 312]. Назовем только некоторые из них метод сечения [111], метод парных рядов [17, 19, 40, 58, 59, 187-189, 291-294, 310, 311, 315, 337], метод интегральных уравнений первого рода с периодическими ядрами [13, 54, 201], метод [c.10]

Предлагаемая схема опирается на работы [80, 81]. Решение исходной задачи представляется в виде суперпозиции решений более простых задач для кольца, которые эквивалентны соответствующим задачам для сектора кольца с одним или несколькими штампами с известными условиями на торцах и могут быть сведены к парным (тройным и т.д.) рядам-уравнениям и далее к бесконечным системам линейных алгебраических уравнений первого рода с сингулярной матрицей. Последние урезаются специальным образом с учетом асимптотического поведения их решения [305, 319] и решаются любым прямым методом. Приводятся результаты численной реализации решения задачи с четырьмя штампами, когда три штампа неподвижны, а перемещение четвертого задано. Исследована зависимость величин контактных напряжении, сил и моментов для каждого штампа в зависимости от параметров задачи. Периодические контактные задачи для кольца рассматривались в работах [66, 98, 187, 280] и др. [c.131]

Осесимметричная задача консолидации для круглого проницаемого штампа, лежащего без трения на полупространстве, насыщенном несжимаемой жидкостью, исследовалась в [20]. После применения интегральных преобразований задача сведена к парным интегральным уравнениям, строится приближенное решение путем разложения в ряд по косинусам, обращение преобразования по времени выполняется методом трапеций. Приведены численные результаты, иллюстрирующие влияние коэффициента Пуассона на осадки штампа. [c.568]

Решение этой задачи методом парных уравнений сводится к интегральному уравнению Фредгольма второго рода, решение которого строится в виде ряда по степеням отношения радиуса штампа к толщине верхнего слоя. [c.251]

В 1.2 излагается метод решения парных рядов-уравнений, к которым сводятся некоторые рассмотренные в монографии задачи, путем сведения их к БСЛАУ первого рода с сингулярной матрицей коэффициентов. Излагается также два подхода получения приближенного реше- [c.13]

Разработаны и развиты аналитические методы решения парных рядов-уравнений, связанных с разложениями, порождаемыми соответствующими задачами Штурма-Лиувилля, путем сведения их к ИУ с разностным ядром или к БСЛАУ с сингулярной матрицей. Развиты некоторые методы решения полученных ИУ и бесконечных систем первого и второго рода. Получено точное решения одного важного класса ИУ, к которым сводятся некоторые плоские контактные задачи для канонических тел конечных размеров. [c.263]

В приведенном методе решения парных рядов получены путем сведения их к алгебраическому уравнению. Простота этого метода становится особенно очевидной, если его сравнить с методом Трантера [423, 424]. [c.449]

Глава 2 посвящена решению осесимметричных контактных задач для цилиндрических тел конечных размеров канонической формы, когда штамп воздействует на плоскую или цилиндрическую части их границы. Для решения задач применяется метод сведения парных рядов-уравнений к БСЛАУ первого рода с сингулярной матрицей с последующей регуляризацией (п. 1.2.1) и метод однородных решений. Метод однородных решений позволяет свести задачи к решению БСЛАУ второго рода типа Пуанкаре-Коха с экспоненциально убывающими элементами матрицы и правой части и хорошо изученным ИУ для слоя с различными правыми частями. Как известно, решение таких бесконечных систем может быть получено при любых значениях параметров методом редукции. [c.14]

Глава 3 посвяшена исследованию контактных задач для упругих тел канонической формы, имеющих в сечении форму четырехугольников в декартовой или полярной системах координат. Для решения этих задач будут использованы метод сведения парных рядов-уравнений к БСЛАУ первого рода с сингулярной матрицей коэффициентов, метод однородных решений и асимптотический метод больших Л. [c.15]

В 3.2 рассмотрена задача Q4 для предварительно напряженного прямоугольника методом сведения парных рядов-уравнений к БСЛАУ первого рода с сингулярной матрицей коэффициентов. Граничные условия для добавочного напряженно-деформированного состояния такие же, как и в задаче Q[. Для решения БСЛАУ использовался метод ре- [c.15]

В 3.3 в полярных координатах рассмотрены контактные задачи для таких областей как кольцевой сектор, усеченный клин и кольцо. Использовались метод сведения парных рядов-уравнений к БСЛАУ и метод однородных решений. [c.16]

Методом сведения парных рядов-уравнений к БСЛАУ первого рода с сингулярной матрицей коэффициентов рассмотрена задача Qs для кольцевого сектора, когда штамп несимметрично вдавливается в цилиндрическую поверхность. По постановке задача аналогична задаче (5з для прямоугольника. Методом однородных решений исследована аналогичная симметричная задача Qe для кольцевого сектора. Произведен расчет контактных напряжений и жесткости системы штамп-кол ьцевой сектор. Здесь также, как и для задач (7з, Q и Q2, обнаружена аналогичная немонотонная зависимость жесткости системы штамп-прямоугольник от относительного расстояния боковой грани от края штампа. Кроме того для задачи Qs показано, что возможно такое несимметричное расположение штампа, когда момент контактных напряжений под штампом будет равен нулю. [c.16]

Рассмотрена также обобшенно-периодическая контактная задача Qj для кольца, когда на ее внешней поверхности периодически расположено несколько штампов и при этом один из штампов перемешается в направлении радиуса к центру кольца, а другие неподвижны. Для решения такой задачи используется подход М. Л. Бурышкина. Согласно этому подходу задача сводится к ряду периодических задач типа Qe, которые решаются методом сведения парного ряда-уравнения к БСЛАУ первого рода с сингулярной матрицей коэффициентов. Подробно исследован случай четырех штампов. Произведен под каждым штампом расчет контактных напряжений, вектора и момента контактных напряжений. [c.16]

В 4.2 рассматривается задача теории упругости 5з о взаимодействии шара с внутренней поверхностью сферического упругого слоя, внешняя поверхность которого жестко закреплена. Такая задача достаточно хорошо моделирует работу сферического самосмазывающего подшипника, особенно при нагрузках, когда размер площадки контакта соизмерим с шириной подшипника. Для решения используется метод сведения парного ряда-уравнения к БСЛАУ первого рода с сингулярной матрицей коэффициентов. Предполагая, что толщина слоя мала, а радиусы шара и внутренней сферы слоя близки, получено асимптотическое решение БСЛАУ. В результате получены простые удобные для инженерных расчетов формулы для контактных напряжений, размера области контакта и жесткости системы штамп-сферический слой. [c.17]

Для получения решения парного ряда-уравнения (3.51) воспользуемся методом, изложенным в [19, 336]. Приведем (3.51) к виду (1.1) при y un,x) — osUnX или к виду (2.126) [c.114]

К настояш,ему времени имеется довольно большой спектр аналитических и полуаналитических методов решения рассматриваемых в этом параграфе задач [3,4,11,12]. Среди них наибольшее распространение получили такие методы, как метод однородных решений [1, 5, 14, 57, 59, 60], метод сведения парных рядов-уравнений к интегральным уравнениям [44, 45], метод сведения парных рядов-уравнений и интегральных зфавнений с сумматорными ядрами к бесконечным системам линейных алгебраических уравнений (БСЛАУ) первого рода с сингулярной матрицей [2, 13, 25, 60], метод кусочно-однородных решений [41], метод сечений [26], вариационные методы [19-22, 24] и др. [c.157]

Для решения этой задачи использовался метод однородных решений (см. сноску на с. 157), схема которого изложена в п. 1.3. В случае симметрии, когда Ъ = с, использовался метод сведения парных рядов-уравнений к БСЛАУ первого рода с сингулярной матрицей (см. п. 1.2), а в работе [37] для решения задач в случае Ь = с использовался метод больших Л . [c.171]

Большое внимание в монографии уделено разработке новых и развитию известных аналитических и численно-аналитических методов перечисленных выше задач. Основными из них являются 1) метод сведения парных интегральных уравнений (ИУ) и парных рядов-урав-нений к бесконечным системам линейных алгебраических уравнений (БСЛАУ) первого рода с сингулярной матрицей специальный способ решения этих систем 2) метод однородных решений применительно к телам конечных размеров канонической и неканонической формы 3) метод сведения парных интегральных уравнений к ИУ 1-го и 2-го рода с разностным ядром 4) метод больших Л, построение всех членов разложения с помощью алгебраических рекуррентных соотношений [c.13]

Для получения решения парного ряда ((3.132) используем метод сведения его к бесконечной системе линейных алгебраических уравнений (БСЛАУ) с сингулярной матрицей коэффициентов [19], который в сочетании со специальным методом решения получаемой БСЛАУ [305] позволяет исследовать задачи при любых значениях их параметров. Вместе с тем метод позволяет получить достаточно простое асимптотическое решение при относительно малых толщинах кольцевого слоя. [c.142]

Для решения этой и аналогичных задач было использовано несколько методов, которые в совокупности позволяют полностью провести исследования на всем диапазоне изменения параметров. Был разработан метод, заключающийся в сведении парных рядов-уравнений к БСЛАУ первого рода с сингулярной матрицей коэффициентов [13,61]. Поставленная выше задача может быть сведена к исследованию следующего парного ряда-уравнения, который выпишем здесь в более общем виде [c.158]

На смежных гранях прямоугольника заданы условия отсутствия нормальных перемещений и касательных напряжений. Для описания свойств упругого тела используется модель нелинейного несжимаемого материала [70]. Как это было сделано в задачах 6 и 8 для предварительно напряженных цилиндров, здесь задача сведена к парному ряду-уравнению по тригонометрическим функциям, для решения которого также используется метод сведения его к БСЛАУ с сингулярной матрицей. После регуляризации системы найдено ее решение и проведен численный анализ задачи в зависимости от ее параметров. Расчеты проводились для материалов Муни и Бартенева-Хазановича и отражены в таблицах и графиках [46]. [c.173]

В работах [143, 283, 293] рассмотрены задачи о контакте упругого прямоугольника либо с жесткой, либо с упругой [143, 293] полуплоскостью. В работах [45, 48, 89, 90, 291, 315] рассмотрены задачи о симметричном контакте упругого прямоугольника с жесткими штампами конечной ширины. При этом в [89, 90, 291, 315] рассмотрено симметричное обжатие прямоугольника двумя штампами, в [45] —на каждой грани прямоугольника действуют два штампа, в [48] — один штамп. Обычно при решении указанных задач считают, что касательные напряжения отсутствуют по всему контуру прямоугольника, а на участках вне области контакта действует известная нормальная нагрузка. Функция напряжений берется в виде (4.1). Удовлетворяя условию отсутствия касательных напряжений на контуре прямоугольника, находим два уравнения попарной связи между коэффициентами В , С , Р , 0 в конечной форме. Оставшиеся граничные условия заданы на отрезках каждой стороны прямоугольника, а именно на части стороны заданы контактные условия, а на оставшейся - нормальные напряжения. Это усложняет решение контактной задачи в отличие от смешанных задач, разобранных ранее. Удовлетворяя указанным граничным условиям, авторы приходят к парным рядам-уравнениям. Далее, применяя к ним методы решения, предложенные в работах [44, 163, 319], сводят их к совокупности двух бесконечных систем линейных алгебраических уравнений. Далее в работах [45, 47, 48, 89] доказана их квазивполнерегулярность. В остальных работах пе устанавливается факт регулярности. [c.144]

В работах [14, 34, 35, 66] рассмотрен ряд плоских и антиплоских контактных задач для кольцевого сектора, для решения которых были использованы метод однородных решений [14, 66] и метод сведения парных или тройных рядов-уравнений к БСЛАУ с сингулярной матрицей [34, 35]. [c.173]

Предложенная схема опирается на работу [23]. Решение исходной задачи представляется в виде суперпозиции решений более простых задач для кольца, которые эквивалентны некоторым задачам для сектора кольца типа рассмотренных выше. Здесь эти задачи также сводятся к парным (тройным и т.д.) рядам-уравнениям и далее к БСЛАУ первого рода с сингулярной матрицей. Последние урезаются специальным образом с учетом асимптотического поведения их решения [53] и решаются любым прямым методом. Приводятся результаты численной реализации задачи с четырьмя штампами, когда три штампа неподвижны, а перемещение четвертого известно. [c.174]

Теоретический анализ взаимосвязанных физико-химических, динамических и радиационных процессов и явлений в средней и верхней атмосфере представляет чрезвычайно сложную задачу. Наиболее полное и строгое исследование подобной среды может быть проведено в рамках кинетической теории многокомпонентных смесей многоатомных ионизованных газов, исходя из системы обобщенных интегро-дифференциальных уравнений Больцмана для функций распределения частиц каждого сорта смеси (с правыми частями, содержащими интегралы столкновений и интегралы реакций), дополненной уравнением переноса радиации и уравнениями Максвелла для электромагнитного поля. Такой подход развит, в частности, в монографии авторов Маров, Колесниченко, 1987), где для решения системы газокинетических уравнений реагирующей смеси применен обобщенный метод Чепмена-Энскога. Однако ряд упрощений, часто вводимых при решении сложных аэрономических задач (например, учет только парных столкновений взаимодействующих молекул, предположение об отсутствии внутренней структуры сталкивающихся частиц вещества при определении коэффициентов молекулярного обмена и т.п.), существенно уменьшает преимущества, заложенные изначально в кинетических уравнениях. [c.68]

К. Е. Егоров (1960) применил сходную методику к случаю неосевого вдавливания штампа. В статье В. А. Пупырева и Я. С. Уфлянда (1960) и в монографии последнего (1967) дано решение общей смешанной задачи для упругого слоя, а также рассмотрен случай сцепления слоя и основания. Существенно указать, что метод парных интегральных уравнений позволил эффективно рассмотреть и более сложную осесимметричную задачу о сжатии слоя двумя штампами различных радиусов (Ю. Н. Кузьмин и Я. С. Уфлянд, 1967). И. И. Ворович и Ю. А. Устинов (1959) получили сингулярное интегральное уравнение непосредственно для функции Ф (А,) и разработали приближенный метод его решения путем разложения в ряд по степеням а к. Аналогичный метод был применен Д. В. Грилицким к задаче о кручении многослойной среды при помощи сцепленного с ней штампа, а также к ряду сходных контактных задач. Метод парных интегральных уравнений позволил ряду авторов (см., например, Г. М. Валов, 1964 [c.37]

Изложенные выше исследования, охватывающие смешанные задачи теории функции комплексного переменного и их приложения к плоским контактным задачам теории упругости, позволяют сделать вывод о том, что к началу 50-х годов разработка методов решения таких задач для однородной области была в основном закончена. Дальнейшие исследования в этом направлении были связаны как с постановкой физически новых задач, так и с решениями смешанных задач для областей гораздо более сложной геометрии, что, в свою очередь, привело к разработке таких математических методов решения этих задач, как интегральные преобразования и парные интегральные уравнения, парные тригонометрические ряды, интегральные и иитегро-дифференциальные уравнения и системы уравнений и др. [c.17]

В статье [41] отыскивается распределение давления на контакте невесомого штампа, круглого в плане, с-упругим полупространством. Под воздействием силы P- -Qe , приложенной к штампу, в полупространстве возникают колебания с частотой т. Подошва штампа задана уравнением z=w r, ф). Полагается, что функция w допускает разложение в ряд Фурье по угловой координате. Автор приводит эту задачу к парным интегральным уравнениям и затем методом Кука — Лебедева — к одному интегральному уравнению второго рода. Исследуется только симметричный случай. Получено приближенное решение в виде отрезка ряда по степеням малого параметра задачн. В результате получена формула для определения давления на площадке контакта. [c.330]

Как было отмечено в 5.4, большое нретшуш ество компактного представления типа метода когерентного потенциала пли его обобпцеиий состоит в возможности выявить многие типы сложного аналитического поведения плотности состояний путем решения лишь небольшого числа алгебраических или интегральных уравнений. С другой стороны, просто обрывая ряды, возникаюш ие при разложении исходных уравнений, этого добх ться не удается приходится суммировать ту или иную бесконечную подпоследовательность слагаемых, как в уравнении Дайсона. Хотя для вычисления многих таких сумм моншо использовать диаграммную технику, здесь все же приходится руководствоваться теми же феноменологическими соображениями, которые непосредственно используются в компактных уравнениях. Например, при обобш,ении метода когерентного потенциала сразу видно, что главную роль играет взаимодействие между соседними узлами в решетке (т. е. узлами, лежаш,ими в пределах данного кластера), а формально образованные с помощью графиков парные слагаемые, отвечающие более удаленным узлам, дают лишь пренебрежимо малый вклад. По этой причине использование граничных условий Бете ( 11.4), позволяющих расширить кластер без резкого его обрыва, приводит к очень хорошим результатам [40]. [c.403]

Вторая часть монографии посвящена микроскопическому описанию трещиноватых упругих и пороупругих сред и проблеме рассеяния волн на случайных неоднородностях. Основное её содержание сводится к применению методов квантовой теории поля и диаграммной техники Фейнмана [1] для вычисления усредненного поля деформахщй и его среднеквадратичных флуктуаций в трещиноватых упругих и пороупругих средах. Физическая мощь этих методов обусловлена тем, что они не связаны никакими ограничениями со стороны длин и частот распространяющихся в среде волн, ни с характером распределения случайных и регулярных неоднородностей. Математическая их мощь заключается в том, что они позволяют получить точные уравнения для одночастичной и двухчастичной функций Грина, контролирующих динамику усреднённого поля деформаций и его двухчастичной (парной) функции корреляций, и, в частности, амплитуду и энергию распространяющихся, отраженных, преломленных и рассеянных волн. Ядра этих уравнений (массовые операторы) нелокальны во времени и пространстве, их преобразования Фурье являются комплексными функциями частоты и волнового вектора. Тем самым они учитывают временную и пространственную дисперсию сейсмических и акустических волн и полностью определяют их спектр и затухание в трещиноватых упругих и пороупругих средах. К сожалению, эти ядра не могут быть вычислены точно (что было бы эквивалентно решению проблемы многих тел), и для их приближенного расчёта разработана диаграммная техника, позволяющая просуммировать бесконечную последовательность наиболее важных членов ряда, отвечающих за тот или иной процесс взаимодействия волн со средой. [c.40]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...