Аналитическое продолжение функций

Приведем формулы (6.77), (6.78) и (6.83) к удобному для применения виду с этой целью построим аналитическое продолжение функции Ф(2) в 5+ через ненагруженные отрезки границы. Из формул (6.77) и (6.78) в области 5- имеем [c.153]

Из соотношений (7.2) следует, что если на некотором участке действительной оси выполняется условие 1тФ+( )=0, то функция ф(г) является аналитическим продолжением функции ф(г) в область 0 и наоборот. [c.417]

Свойства симметрии (12.38) и (12.39), доказанные выше только в области сходимости ряда (12.32), после аналитического продолжения функции ф будут выполняться во всей области 2) определения гармонической функции ф, причем область 2) получится симметричной относительно плоскости = 0. [c.175]

Внутри сферы радиуса сходимости ряда (12.32) на плоскости = о функция ф обращается в нуль. Однако это не означает, что ф = о во всех точках плоскости = 0. Если возможно аналитическое продолжение функции ф, то при достаточно больших 5, ц на плоскости = 0 могут появиться части плоскости = о, на которых ф =/= 0 при подходе к этой части плоскости = о с разных сторон значения ф будут отличаться знаком. Область 3) может быть многолистной, на плоскости С = 0 могут появиться особые точки и т. п. [c.175]

Хотя сами по себе спектральные представления (5.2.9) и (5.2.10) не облегчают вычислений, поскольку спектральная плотность — весьма сложная функция частоты, они очень полезны при обсуждении общих свойств корреляционных функций и функций Грина. Отметим, например, что формулы (5.2.9) и (5.2.10) определяют аналитическое продолжение функций (5.1.32) и (5.1.40) из верхней комплексной полуплоскости 2 в нижнюю. Таким образом каждую из этих функций можно рассматривать как единую аналитическую функцию, состоящую из двух ветвей, одна из которых определена в верхней, а другая в нижней полуплоскости комплексной переменной 2 . [c.361]

В дисперсионном уравнении (29.13) диэлектрическая проницаемость как функция со в нижией полуплоскости переменного представляет собой аналитическое продолжение функции, определенной формулой (29.10). [c.109]

В условиях данной теоремы обычно говорят, что функция /2(2) есть аналитическое продолжение функции /1 (г) в области / 2- [c.135]

Так как по условию аналитического продолжения функция Ф( ) должна удовлетворять равенству [c.348]

Уравнение (3.11) можно рассматривать в комплексной плоскости у (см. сноску на стр. 669) и считать, что аН, а — комплексные числа, а и (у) — аналитическое продолжение функции 11, определённой лишь для действительных у. Тогда / будет целой функцией от аН и аН = схз будет особой точкой (если / зависит от аН). Поэтому ряды (3.16) суть асимптотические ряды (или полиномы) по 1/аР. Далее, решения (3.17) будут целыми функциями от а и ряды (3.19) равномерно сходятся для любой конечной области комплексной плоскости а , для закреплённого у, за исключением того случая, когда у = у . В точке у = у . уравнение (3.17) имеет логарифмическую особенность, и это затрудняет выбор пути интегрирования от О до у в (3.20) (при интегрировании приходится переходить через точку, где I) — с). Выбор этот [c.672]

Ср. хорошо известный процесс аналитического продолжения функции комплексного переменного. [c.97]

Последний из интегралов можно найти в конечном виде. Входящую в уравнение (20) функцию ф (ст) можно трактовать как непрерывное аналитическое продолжение функции [c.396]

Рис. 15.6. Схема построения степенного ряда для аналитического продолжения функции /(г)

Наконец, по поводу единственности аналитического продолжения может быть доказано следующее утверждение если функция /1(2), определенная в области (рис. 15.7), и функция /2(2), определенная в области получены аналитическим продолжением функции /(2), заданной первоначально в области Р, и если область Ов (заштрихованная на рисунке), общая для и перекрывается с >, то /1 (2) = /2 (г) в области Ьд. [c.538]

Теорема 1. Аналитическое продолжение функции f(E,t) по В для произвольного действительного фиксированного t удовлетворяет условию [c.160]

Следует ясно представлять, что такое аналитическое продолжение функций, заданных в отдельных точках, на непрерывное множество, конечно, не является однозначным. Существует бесконечно много других аналитических функций, значения которых при А, = У + V2 совпадают с данными значениями и Pj. Достаточно добавить к функциям, приведенным выше, любую другую аналитическую функцию, умноженную на os пХ, чтобы получить еще одно аналитическое продолжение. Сделанный здесь конкретный выбор оправдывается тем, что он удобен для дальнейшего. [c.89]

Мы знаем, что при такой энергии не удается произвести аналитическое продолжение функций а Е) и фа Е) и, следовательно, невозможно и аналитическое продолжение условия (10.66). Далее имеем [c.266]

Связь между /+и/ . Теперь мы можем связать функции f+ и друг с другом, обращаясь к аналитическому продолжению. Функцию f+ [к, г) для значений к, находящихся на положительной действительной полуоси, можно продолжить через верхнюю полуплоскость до функции f+ (—к, г) для значений к на отрицательной действительной полуоси при этом функция f+ (—к, г) удовлетворяет такому же граничному условию, что и функция f (к, г). Отсюда заключаем, что при к> О [c.316]

Движение полюсов функции S . Различие в низкоэнергетическом поведении функции fb когда f (0) = О, в двух случаях / = О и / 1 существенным образом сказывается на движении ее нулей при изменении константы взаимодействия у. Когда 1 = 0, нуль функции f , проходя через начало координат, остается простым. Следовательно, новое связанное состояние, перед тем как стать связанным, является виртуальным состоянием. Когда / 1, из (12.153) следует, что если нуль fj оказывается в точке = О, то он должен быть двукратным. Это означает, что при соответствующем значении у два нуля функции f сливаются в один. Слияние двух симметричных комплексных нулей функции f , которое в случае / = О может иметь место в любой точке на отрицательной мнимой полуоси, при />1 происходит точно в начале координат. Если взаимодействие не настолько сильное, чтобы могло образоваться связанное состояние, то на втором листе (при условии, что потенциал позволяет осуществить аналитическое продолжение функции S ) функция Si имеет два комплексных полюса, расположенных очень близко к началу координат и имеющих очень малую мнимую часть. Эти полюсы ответственны за появление низкоэнергетического резонанса, который рассматривался в гл. И, 2, п. 2. [c.352]

В предположении, что потенциал ведет себя достаточно хорошо, из (12.154> следует, что полюсы S (к) на комплексной /-плоскости отвечают нулям функции f ( ). Рассуждения, приведенные в гл. 12, 2 и 3, легко распространить на случай комплексных значений I. Согласно этим рассуждениям, при фиксированных kur функции fl (k, г) и фг (k, г) будут аналитическими функциями I. Так как граничное условие (12.15) не зависит от I, то / должна быть регулярной во всей комплексной плоскости /. По причине, указанной после (12.132) и в гл. 12, 3, граничное условие для ср с необходимостью зависит от I таким образом, что функция фг должна быть регулярной только в области Re / > — V. .. При весьма общих ограничениях на потенциал существует аналитическое продолжение функции фг в область Re / < — /г, которое имеет только простые полюсы при отрицательных целых и полуцелых значениях I (16501 и 16531, гл. 4). Поскольку, однако, для преобразования Ватсона необходима только область Re / > — V2, то мы не будем здесь касаться аналитического продолжения в область Re / С — [c.380]

Посмотрим теперь, что происходит, когда мы непрерывно изменяем гамильтониан, отправляясь от только что рассмотренной случайной ситуации. Например, мы можем считать, что перед оператором Н а стоит в качестве множителя параметр взаимодействия %, величину которого мы можем изменять. Если возможно аналитическое продолжение функции Е) в окрестность точки Ео, то можно рассматривать изменение положения полюса функции [c.459]

Если точно известна функция Р(х) для некоторой области значений вещественного аргумента х, часто оказывается возможным продолжить эту функцию в комплексную область. Это означает, что можно однозначно определить функцию Р(г) комплексной переменной 2 (в пределах некоторой области комплексной плоскости), обладающую тем свойством, что она регулярна в этой области и равна заданной функции на действительной оси. Этот переход от области действительных переменных в область комплексных переменных называется аналитическим продолжением. Функция Р(г) будет, вообще говоря, комплексной, хотя в некоторых участках она может быть вещественной. [c.342]

Предложение. При А-кратном обходе вдоль пути в Рс, аналитическое продолжение функции Ук на Р возрастает на 2/г-кратный объем тела К. [c.165]

Определим теперь три ф 1г(и) и i = (м) при малых м < О их степенными рядами. Так как коэффициенты этих степенных рядов вещественные и так как функция t u) имеет в точке ы = О нуль третьего порядка, то = lг(t) определяются при малых t сО единственным образом как вещественные аналитические продолжения функций == и ), заданных вначале при малых г > 0. Действительно, поскольку t l) =и р и), где р(0) О, локальная обратная функция и = u t) может быть разложена в [c.411]

Для функции ф( ) на дуге окружности Е СЕ выполняется условие Ф+( ) — Ф ( ) = О, дающее возможность аналитического продолжения функции со(Р через дугу окружности на полуплоскость (рис. 2.9). [c.31]

Естественно, для решения (18.6) следует вычислить поляризационный оператор как функцию комплексного аргумента со. Подчеркнем, что это ни в коей мере не означает аналитического продолжения функции (к, а>) в комплексную плоскость послед-нее, как мы знаем, невозможно). [c.165]

Мы хотим также сравнить правильное выражение для свободной энергии /, справедливое в области III, с аналитическим продолжением функции / из области IV. Такое сравнение удобнее проводить, работая с переменными Wj, . . . , W4, введенными в (10.2.16), а не с весами а, Ь, с, d. Подставляя сопряженные к (10.4.24) выражения в (10.2.16), используя [c.252]

Е. М. Лифишц, 1954). Отраженному от звуковой линии слабому разрыву соответствует в плоскости годографа вторая характеристика Ob на рис. 125,а). Вид функции Ф вблизи этой характеристики устанавливается путем аналитического продолжения функций (121,2) согласно формулам (118,11 — 13). Однако при k= / 2 функция F теряет смысл и поэтому непосредственно воспользоваться этими формулами нельзя. Вместо этого надо положить в них сначала к = / 2- -к, после чего устремить е к нулю. В соответствии с общей теорией гипергеометрического уравнения при этом появляются логарифмические члены. [c.632]

Аппроксиманта Паде — 204 Аналитическое продолжение функций Грина — 81, 169 [c.239]

Однако, воспользовавщись доказательством, из теории аналитического продолжения функции можно легко показать, что (в) имеет смысл только тогда, когда 0<л <1 sфO, —1, —2,. .. следовательно, (г) справедливо при 0< с<1 и Ре(5)> —1. Для 5 = 0 (г) не имеет смысла, но дает правильный результат при определении предела. При дифференцировании (г) по 5 при 5 = —1/2 нетрудно убедиться в том, что [c.210]

Из первого равенства (9) следует, что функция У (г), голоморфная в верхней полуплоскости, представляет собой аналитическое продолжение функции Ф (г) из нижней полуплоскости в верхнюю, что и дока,-зывает аналитическую продолжимость функции Ф(г). Аналогично, на основании второго равенства (9), заключаем, что функция й (г) аналитически продолжима в верхнюю полуплоскость, где она принимает значение-Ф(г). Отсюда на основании формулы (8) следует и аналитическая продолжимость функции Ч (г). Таким образом, наше утверждение доказано. [c.350]

Общий способ решения этой задачи был предложен Д. И. Шерманом (1940). Способ этот основан на аналитическом продолжении функции, подобном изложенному в п. 5.3.5. Согласно этому способу рассматриваемая задача приводится к обычной плоской задаче для полной составной области без каких-либо условий на линии раздела. При этом, однако, вновь полученная задача будет (на наружном контуре) иметь несколько йзмененное граничное условие в правой части равенства, представляющего это условие, появится дополнительное слагаемое, выражающее некоторое фиктивное воздействие на всю систему в целом. [c.63]

Второй метод полуплоскость. Допустим опять, что тело занимает полуплоскость 1т(2)<0, обозначенную через в этой полуплоскости определены комплексные потенциалы. Первый шаг состоит в том, чтобы построить аналитическое продолжение функции Ф(2) = ф (г) в верхнюю полуплоскость через ненагружениые отрезки границы Ь. Из формул (32.16) и (32.17) имеем [c.121]

Согласно выражению (42.13) это соотношение определяет аналитическое продолжение функции Ф (2) в область S через те отрезки L, где dujdx и dvjdx равны нулю. [c.123]

До сих пор мы считали переме 1ные Х действительными. Однако в физических задачах плотность 4-тока задается не для действительных, а для чисто мнимых значений Х4, соответствующих < г (Р). Следовательно, в комплексной плоскости х (рис. 13) 5 задается только на выделенном жирной линией участке мнимой оси. Поэтому, используя аналитическое продолжение функции 5, в подынтегральном выражении (5.39), мы деформируем первоначальный путь интегрирования вдоль действительной оси в контур L вокруг выделенного участка мнимой оси. Тогда выражение (5.39) будет решением уравнения [c.113]

Наш результат показывает, что мы можем аналитически продолжить Хк, у к через особенность t = ti теперь нужно исследовать поведение Хк, у к при прохождении s через si по действительной оси s. В соответствии с разложением (14) t остается при этом действительным и проходит, возрастая, через ti. Вследствие действительности всех коэффициентов разложений в ряды Хк, Ук также остаются действительными при этом аналитическом продолжении. Из разложения (13) можно заметить, что обе материальные точки Pi п Рз, двигаясь по направлению вектора ( f i), сталкиваются при i = ii и затем отталкиваются друг от друга. Это заключение имеет, разумеется, только математический смысл, но не имеет физического значения. Для всех t > t, достаточно близко лежагцнх к ti, опять имеем х > О, и у является конечным. В силу обратной подстановки (7 31), (7 32) можно ввести опять старые координаты Хк, у к вместо f , Щ- При этом значения постоянных в интегралах движения центра инерции, постоянных в интегралах пло-ш,адей и постоянной в интеграле энергии остаются те же, что и для т i < 1, так как они получаются при аналитическом продолжении функций переменной t. То же самое справедливо и для дифференциальных уравнений, поэтому уравнения (7 16) также удовлетворяются, и можно опять перейти от них через (7 6) к системе (7 2). [c.70]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...