О значении вариационных принципов

О значении вариационных принципов. Так как вариационные принципы играют большую роль в динамической теории, интересно выяснить их истинное значение для динамики. Иными словами какими специальными свойствами обладают уравнения Лагранжа, Гамильтона и Пфаффа, получающиеся из соответствующих вариационных принципов, рассмотренных выше [c.67]

III. к ВОПРОСУ О СМЫСЛЕ И ЗНАЧЕНИИ ВАРИАЦИОННЫХ ПРИНЦИПОВ [c.863]

Но не только этим, даже, пожалуй, не столько этим исчерпывается значение вариационных принципов. Они в наиболее краткой форме описывают суть механических и физических явлений, включая в себя не только дифференциальные уравнения, но и граничные условия, отражая в определенной мере направление рассматриваемого физического процесса. Кроме того, характеризуя модель среды в целом, вариационный принцип связан с экстремумом скалярной величины, так что он формулируется независимо от выбора системы координат. Можно сказать, что в этой единственной скалярной функции (функционале) заложена вся информация и о системе дифференциальных уравнений движения, и о физических процессах, описываемых вариационным принципом. [c.438]

Установленное выше утверждение о том, что прямой путь доставляет действию по Гамильтону стационарное значение, называется вариационным принципом (или началом) Гамильтона. Принцип Гамильтона замечателен тем, что он выделяет прямой путь среди всех окольных путей, которые могут быть проведены между двумя точками расширенного координатного пространства, устанавливает общее свойство прямого пути, его отличие от иных кинематически возможных, но не реализующихся в рассматриваемом потенциальном поле путей ). [c.279]

Сформулировать вариационный принцип для задачи о собственных значениях Я, определяемых уравнениями (57,12). [c.318]

Для вывода вариационного принципа Кастильяно, рассмотрим воображаемое напряженное состояние бац такое, что j = О, = О, xi е 5т. Значения, которые принимают величины 8ац на части поверхности 5ц, могут быть произвольны. Поскольку состояние 5ац удовлетворяет условиям равновесия, составим уравнения равновесия в форме Лагранжа, приняв за виртуальные перемещения истинные перемещения щ ж соответствующие [c.259]

Как оказалось, в задачах сдвижении существенны лишь стационарные значения некоторых определенных интегралов. Поэтому имеется заметное различие между вариационным исчислением — ветвью чистой математики, с одной стороны, и его приложением к задачам механики—с другой. С точки зрения чистой математики задача о нахождении стационарных значений не представляет большого интереса. После установления критерия для стационарных точек идут дальше и ищут дополнительные критерии для истинных экстремумов. Для вариационных принципов механики, однако, эти последние исследования представляют интерес только при решении задач устойчивости, когда ищется дей-ЗВ [c.59]

Известны три вариационные принципа теории упругости. Принцип минимума потенциальной энергии (принцип возможных перемещений) потенциальная энергия упругого тела, рассматриваемая как функционал произвольной системы перемещений, удовлетворяющей кинематическим граничным условиям, принимает минимальное значение для системы перемещений, фактически реализуемой в упругом теле. Принцип минимума дополнительной работы Кастильяно (понятие о дополнительной работе дано в конце этого параграфа) дополнительная работа упругого тела, рассматриваемая как функционал произвольной системы напряжений, удовлетворяющей уравнениям равновесия внутри тела и на его поверхности, принимает минимальное значение для системы напряжений, фактически реализуемой в упругом теле. Наконец, в вариационном принципе Рейсснера варьируются независимо друг от друга и перемещения, и тензор напряжений. [c.308]

Выполнение нулевых граничных условий на торце с помощью вариационного принципа [281 ] приводит к бесконечной системе, которая решается способом редукции. Вопрос о достоверности результатов, получаемых с использованием такого способа при последовательном увеличении порядка конечной системы, исследовался в работах [281, 282] и особенно подробно в работе [288]. Из полученных в [281 ] результатов наибольший интерес представляют данные, которые описывают поведение коэффициентов и Ла в (5.1). Из закона сохранения энергии, очевидно, следует, что Ai = А,, (Ло — считаем вещественным и положительным). При анализе резонансных ситуаций, однако, большое значение имеют фазовые характеристики. В связи с этим положим [c.265]

В соответствии с принципом А.Кастилиано среди множества СВ-полей напряжений Р-поле сообщает функционалу А.Кастилиано максимальное значение. Применение этого вариационного принципа продемонстрируем на примере задачи о движении изотропной, однородной линейно-вязкой среды в прямолинейной полосе с граничными условиями, представленными на рис. 52. [c.186]

Преимущество применения вариационного принципа 6/1 = О с функционалом (12.29) заключается в том, что 1[ содержит лишь функции координат, относительно которых проще делать предварительные предположения, нежели относительно /г кроме того, для некоторых задач с той или иной симметрией этот принцип сводится к принципу истинного максимума или минимума [49, 50, 52]. Наконец, часто удается связать значение, достигаемое 1 при й = и, с суммарными величинами, представляющими основной интерес (сопротивление, расход, поток тепла, вращающий момент и т. д.). Это вытекает из того факта, что РКи = Р/(/г, Аи = иКН, и( ) = П[/ о, где — источник в уравнении (10.1), а П — проектор на подпространство с базисом (а = 0, 1,. .., /V) (для простоты мы принимаем Но = 0). Таким образом, для 1г = Н имеем [c.257]

Хотя система (1) имеет особенность на оси вращения г = О, на нее, тем не менее, можно распространить теорему Римана о существовании и единственности отображений. В основу доказательства можно положить вариационные принципы, которые, как отмечалось в гл. П1, справедливы и для квазиконформных отображений. (Заметим, что в рассматриваемых нами задачах варьировать границу надо лишь для значений г [г ,г [, где Го > О, Г1 < ОС, а для таких г система (1) сильно эллиптична.) [c.207]

Математически нарушение вариационного принципа в пространственных задачах связано с тем, что здесь поверхности, образованные линиями тока, вообще говоря, не являются поверхностями уровня гармонических функций. А для поверхностей уровня гармонических функций вариационный принцип остается справедливым в следующей форме. Пусть О —область типа пространственного слоя, которая ограничена поверхностями Го г = 2о х, у) и Г 2 = г х, у), где го и 2 — гладкие функции, определенные во всей плоскости, и всюду го х,у)<. <.г х,у). Через б мы обозначим такую же область, ограниченную поверхностями Го г = го(х,у) и Г 2 = = г х,у), а через и и й — гармонические в Д и соответственно в О функции, непрерывные в замыкании этих областей, которые на Го принимают значение О, а на Г и Г равны 1. Через Г и Гь где О < / < 1, соответственно обозначим поверхности уровня и х,у,г)= I и й х, у, г) — I. [c.216]

Назначение этого параграфа связано с анализом дискретных схем интегрирования уравнений движения (дискретных моделей). Вопросы, которые здесь обсуждаются, связаны с первую очередь с вопросами механики. При переходе к описанию уравнений движения в конечных разностях законы сохранения могут нарушаться. В связи с этим обсуждаются способы формирования численных схем, которые не приводят к нарушению законов сохранения. По существу речь идет о методах построения таких дискретных моделей, которые содержат в себе законы сохранения исходной непрерывной модели законы сохранения полной энергии, импульса, фазового объема и т. д. Необходимо заметить, что анализ этих вопросов имеет большое значение для механики. Это связано с тем, что предельные теоремы о равномерной сходимости ломаных Эйлера к решению дифференциальных уравнений движения имеют чисто теоретическое значение, так как при использовании ЭВМ этого предельного перехода не производится, а в качестве приближенного решения рассматривается соответствующая ломаная с достаточно малым, но не равным нулю шагом интегрирования И. Одним из возможных методов получения дискретных моделей служит вариационный принцип [c.290]

Вариационные принципы. Вариационные принципы Лагранжа и Кастильяно для задач ползучести являются, очевидно, простой перефразировкой соответствующих принципов для нелинейно упругого тела, поскольку исходная гипотеза состоит в допущении зависимости потенциального типа между напряжениями и деформациями или скоростями деформации. Систематическое развитие приближенных методов, основанных на принципе Кастильяно, принадлежит Л. М. Качанову. При степенном законе установившейся ползучести с возрастанием показателя п в ряде случаев распределение напряжений мало отличается от того, которое соответствует предельному состоянию идеального жестко-пластиче-ского тела. Таким образом, вводится понятие о предельном состоянии ползучести напряжения о / для этого состояния находятся по схеме жестко-пластического тела, причем предел текучести зависит от характера нагрузки. Приближенные значения скоростей находятся прямым применением теоремы Кастильяно. Более точные результаты получаются, если представить компоненты напряжения в виде [c.134]

Возникновение вариационных принципов исторически связано, по-видимому, с идеей о том, что природные явления обладают экстремальными свойствами и протекают так, что некоторые величины достигают своего максимального или минимального значения. [c.439]

Значительная часть книги посвящена вариационным принципам и аналитической динамике. Характеризуя аналитическую динамику в своих Лекциях о развитии математики в XIX столетии , Ф. Клейн писал, что физик для своих задач может извлечь из этих теорий лишь очень немного, а инженер — ничего . Развитие науки в последующие годы решительно опровергло зто замечание. Гамильтонов формализм лег в основу квантовой механики и является в настоящее время одним из наиболее часто употребляемых орудий в математическом арсенале физики. После того как было осознано значение симплектической структуры и принципа Гюйгенса для всевозможных задач оптимизации, уравнения Гамильтона стали постоянно использоваться в инженерных расчетах в этой области. С другой стороны, современное развитие небесной механики, связанное с потребностями космических исследований, привело к новому возрождению интереса к методам и задачам аналитической динамики. [c.9]

Вариационный принцип используют, чтобы с помощью разложения по ППВ (11.16) рассчитать Е [1 ]. При этом мы получаем приближенное выражение для Ш (к) = Е [я )к], зависящее от коэффициентов ск- Требование стационарности Е [ фк] приводит к условиям дЕ дс- = О, дающим систему однородных уравнений для ск- Коэффициенты этой системы зависят от искомой энергии % (к) как из-за зависимости от (к), содержащейся в ППВ, так и из-за того, что значение Е [г к] в стационарной точке есть t (к). Приравнивая нулю детерминант, составленный из коэффициентов с , получаем уравнение, корни которого определяют % (к). [c.206]

Подлежащая исследованию область изменения искомых функций разделяется на ряд подобластей простой формы. Искомые функции аппроксимируются в пределах каждой подобласти полиномами так, что коэффициенты аппроксимирующих полиномов выражаются через значения искомых функций в конечном числе так называемых узловых точек подобласти. Подобласть с выбранными узловыми точками называется конечным элементом. Силовое взаимодействие между конечными элементами осуществляется только в узловых точках. Определение искомых функций в узлах сетки конечных элементов является, по существу, решением задачи Задача об определении узловых значений решается обычно с использованием подходящего вариационного принципа. Принятые для искомых функций аппроксимации сводят задачу о нахождении условий стационарности соответствующего функционала к задаче об экстремуме функции многих переменных. Условие экстремума такой функции представляет собой систему линейных алгебраических уравнений относительно значений искомых функций в узлах, которая, по сути, является системой разрешающих уравнений МКЭ. [c.5]

Вариационные принципы позволяют поставить задачу об определении границ, внутри которых заключены эффективные характеристики систем определенного класса, иными словами, построить вилку для точного значения эффективной характеристики. Очевидно, вилка будет тем уже, чем больше информации о рассматриваемой системе, а точнее о классе систем, к которому она принадлежит, будет использовано при построении границ. Так, если не ограничивать класс рассматриваемых систем, т. е. не использовать никакой дополнительной информации, вариационные границы дают универсальную вилку эффективная проводимость любой среды заключена между средней гармонической и средней арифметической проводимостями. Эта вилка, по-видимому, впервые была установлена Винером [43]. [c.109]

Как мы увидим дальше, функция Лагранжа чрезвычайно удобна для описания движения механических систем с голономными связями при условии потенциальности активных сил, — удобна тем, что доставляет основную информацию о характере движения системы. Но не только в этом состоит значение функции Лагранжа. Благодаря тому месту, которое функция Лагранжа и ее обобщения занимают в теории интегральных вариационных принципов, функция Лагранжа широко используется во многих,— уже немеханических, — разделах теоретической физики. В квантовой теории на основе функции Лагранжа строится оператор, называемый лагранжианом ). [c.221]

Интегральный вариационный принцип, о котором пойдет речь,, возник значительно раньше принципа Гамильтона в 1744 г., почти одновременно и независимо, появились работы Мопертюи и Эйлера, содержащие в зародыше изложение этого принципа. Мопертюи, формулировка которого была весьма не ясной, придавал высказанному им принципу некий всеобщий телеологический смысл — принцип выражал будто бы целенаправленность действий природы. Эйлеру принадлежит первая отчетливая формулировка математического содержания, которое следует вложить в понятие принципа принцип наименьшего действия есть интегральный вариационный принцип, позволяющий вывести дифференциальные уравнения движения — уравнения экстремалей. В работах, посвященных принципу наименьшего действия, Эйлером быv м созданы основы вариационного исчисления и показано значение интегрального вариационного принципа в механике. Но несмотря на это, сам Эйлер всегда подчеркивал приоритет Мопертюи. Можно предполагать, что выступления Эйлера на стороне Мопертюи в спорах того времени по поводу философского смысла и научно-познавательного значения принципа привели к тому, что имя Мопертюи удержалось в названии принципа. Отметим, кстати, что само название принцип наименьшего действия ,, сохранившееся ло наших дней, принадлежит Мопертюи. [c.251]

Принцип (18) имеет самостоятельное значение из-за предположения о независимости значений функций г/а, пли, точнее, о произвольности и независимости вариаций Ьуа. от вариационных параметров Ша внутри интервала ifo, [c.318]

Якоби дал также новую формулировку принципа наименьшего действия для случая независимости от времени, который рассматривали Эйлер и Лагранж. Он критиковал их формулировку на том основании, что область интегрирования у них не удовлетворяет условию варьирования при фиксированных граничных значениях. Хотя в действительности Эйлер и Лагранж применяли свой принцип вполне корректно, исключение времени из вариационного интеграла, произведенное Якоби, привело к новому принципу, определяющему траекторию движущейся точки без всякого указания на то, как движение происходит во времени. Сходство этого принципа с принципом Ферма о наименьшем времени распространения света, из которого может быть определена траектория светового луча, непосредственно устанавливало аналогию между оптическими и механическими явлениями. [c.392]

Это означает, что мы выразим половину Т, относительной живой силы системы как функцию скоростей ц любых отметок относительного положения и затем, взяв вариацию Т относительно р, заменим эти вариации вариациями самих отметок положения вычтем начальное значение результата из конечного и сложим вариации конечной и начальной функций <р, и Ф,, которые входят в уравнения условий д>, = О, Ф, = О (соединяющие конечные и начальные отметки относительного положения), соответственно помноженные на неопределенные множители А,, Л, наконец, приравняем полный результат величине б V, —t дН,, где Н, является независимой от времени величиной в уравнении (50) относительной живой силы, а V, является относительным действием, вариацию которого мы хотим найти. Нет необходимости останавливаться здесь на демонстрации этого нового правила (У ), которое легко можно вывести либо на основе уже изложенных принципов, либо исходя из закона живой силы, при помощи вариационного исчисления в сочетании с дифференциальными уравнениями второго порядка относительного движения. [c.197]

Вариационные уравнения по-прежнему имеют вид б/ = О, но I ФО на действительном напряженном состоянии. Итак, действительное поле тензора напряжений отличается от всех статически возможных полей тем, что сообщает функционалам (XIV.60), (XIV.61) минимальные значения. В этом и состоит принцип возможных изменений напряженного состояния. Примеры применения этого принципа для решения задач обработки металлов давлением, в том числе с использованием метода разрывных решений, приведены в монографии В. Л. Колмогорова. [c.321]

Аналогичная задача, но для оболочки конечной длины, решена вариационно-разностным методом [71, форма потери устойчивости также принята осесимметричной. Для определения границ зон контакта использован принцип оптимальности Р. Беллмана, но с априорной оценкой параметров управления. Предельным переходом получены значения о для абсолютно жесткого одностороннего основания при шарнирном опирании а = 1,09 для жесткого защемления о = 1,7. Сделан вывод о независимости а от геометрического параметра оболочки hR iRL y, что противоречит эксперименту. [c.19]

К аналитическим методам оптимизации относятся методы дифференциального и вариационного исчисления, а также принцип максимума Понтрягина. При использовании методов дифференциального исчисления оптимальное значение функции одной переменной Ф (х) находится из уравнения = О, если ограничения [c.186]

В статье Изыскания о наибольших и наименьших значениях, обнаруживающихся при действии сил Эйлер рассмотрел с помощью методов вариационного исчисления различные задачи равновесия гибкой нити под действием каких-либо сил при различных условиях. Использовав при рассмотрении этих задач принцип наименьшего действия, Эйлер расширил сферу его применения, распространив его на упругие силы. [c.199]

Возникает вопрос, можно ли принцип Гамильтона—Остро-градского при наличии неголономных связей трактовать как связанную задачу вариационного исчисления — изопериметрическую задачу Лагранжа о разыскании стационарного значения функционала ) [c.669]

Если речь идет о линейных системах (16.1) и область U и функция Ф в (16.2) обладают подходящими свойствами выпуклости (или вогнутости), то многие такие задачи о минимаксе укладываются в схемы, обсужденные в 10 (см. стр. 193—197). В нелинейных случаях, а также в некоторых линейных нерегулярных случаях приложение описанных выше способов исследования (в частности, принципа максимума или классических критериев вариационного исчисления) потребовало их усовершенствования. Весьма общий подход к выводу необходимых условий экстремума для проблем вариационного исчисления, охватывающий, в частности, широкий круг задач об оптимальном управлении, описан в работах А. Я. Дубовицкого и А. А. Милютина (1963—1965). В этих работах были выведены необходимые условия минимума F (w ) для функционала F (w), заданного на элементах w из некоторого нормированного пространства ly . Допустимые значения предполагаются стесненными условием типа равенств или неравенств. При широких предположениях о геометрических свойствах этих ограничений, которые вместе с условием экстремума порождают в пространстве гг некоторые выпуклые конусы и линейные подпространства вариаций, выводятся искомые необходимые условия минимума. Эти условия сводятся к отсутствию общих точек у открытых частей упомянутых конусов и подпространств. Формулировка этого геометрического факта в терминах линейных функционалов и составляет содержание [c.213]

В этой главе прежде исего будет рассказано о том, как можно описать движение механической систел1ы с 5 стеиенями свободы в 25-мерном фазовом пространстве. Канонические уравнения выводятся из уравнений Лагранжа, Канонические преобразования обсуждаются весь 1а кратко, более подробно рассматриваются свойства скобок Пуассона, их инвариантность относительно канонических преобразований, их значение для отыскания интегралов движения и связь с бесконечно малыми контактными преобразованиями. Бегло рассмотрен случай движения заряженной частицы Б электромагнитном поле. В последнем параграфе принцип наименьшего действия выводится из вариационного принципа Гамильтона и обсуждается вопрос о том, как молено рассматривать время на равных правах со всеми остальными координатами q . [c.123]

В предыдущем параграфе мы ознакомились с вариационными принципами для задачи о свободных колебаниях. Когда установлены вариационные принципы, то удобно использовать метод Релея — Ритца, который является эффективным средством нахождения приближенных собственных значений. Взяв за основу этот метод, рассмотрим в качестве примера задачу о свободных колебаниях балки. [c.69]

Вариационные принципы газовой динамики. В этом пункте мы рассмотрим некоторые экстремальные свойства установивщегося дозвукового течения. Изучение этих свойств объясняется, с одной стороны, желанием обобщить теорему Кельвина о минимуме кинетической энергии на случай течений сжимаемой жидкости, а с другой стороны,—необходимостью создания методов расчета таких течений. Заметим, что установленная в п. 15 теорема Херивела — Линя не является вариационным принципом в точном значении этого слова, однако идея Херивела о выборе в качестве функции Лагранжа при формулировке принципа Гамильтона величины 2 — Ё в дальнейшем будет служить нам ориентиром при выборе подинтегральной функции. [c.143]

Вариационный метод симметризация. Вопрос о существовании струйных течений можно трактовать также как изо-периметрическую задачу, используя вариационный принцип Рябущинского (гл. IV, п. 10 и 11). Так, например, если тело В минимизирует приведенную массу к В) среди всех тел, частично ограниченных заданными фиксированными границами 5г и имеющих заданный объем, то, согласно теореме 15, гл. IV, остальная часть границы тела В должна состоять из свободных линий тока. Это означает, что при некотором значении множителя Лагранжа О выражение к В)—С-объем (В) реализует экстремум множитель О представляет собой число кавитации (4.44). Следовательно, всякое тело, которое минимизирует выражение к (В) — О объем (В), должно быть ограничено поверхностями 5г и свободными ЛИНИЯМИ тока такая формулировка задачи является вариационной. [c.224]

Разобранная в предыдущем параграфе задача с простой геометрией позволяет понять некоторые характерные свойства возмущений в магнитном поле. Можно провести и общее ис следование некоторых свойств спектра, не делая специальных предположений о форме полости. Такое исследование было проделано в работах В. С. Сорокин и И. В. Сушкин рас смотрели поведение декрементов при слабых полях и сформулировали вариационный принцип для монотонных возмущений. М. И. Шлиомис в общем виде исследовал вопрос о возникновении колебательных возмущений в магнитном поле и установил, что их появление связано со слиянием (при конечных значениях напряженности поля) вещественных уровней сцектра. Мы изложим далее основные результаты этих исследований. [c.180]

Выражение (116) no форме совпадает с (1), отличаясь от него использованием квантовомеханической плотности вероятностей Поэтому при фиксированных значениях и Яг для оценки Е] (ai, аг) можно использовать метод Метрополиса и др. В соответствии с вариационным принципом наилучшими значениями этих параметров являются те, при которых энергия минимальна. Выполнив серию расчетов с различными значениями и аг, Мак-Мпллан нашел оптимальные величины этих параметров при экспериментальном значении плотности жидкого Ще при О атм и О К. Эти значения составляют примерно = 2,6 А, Сг = 5 соответствующее минимальное значение ЕIf примерно на 18% превышает экспериментальное. При увеличении плотности вплоть до плотности при фазовом превращении жидкость — твердое тело при 25 атм и выше параметр оставался фиксированным и равным 5, а параметр варьировался таким образом, чтобы минимизировать дг при каждом значении плотности. Разрыв в полученной таким образом кривой зависимости ai от плотности интерпретировался как следствие превращения жидкость — твердое тело. На фиг. 1 и 2, взятых из статьи Мак-Миллана, изображены найденная кривая зависимости энергии от плотности и вычисленная радиальная функция распределения при экспериментальной плотности при нулевом давлении здесь же для сравнения приведены экспериментальные данные. Согласие весьма обнадеживающее, если учесть, насколько простая форма пробной волновой функции (114) использовалась в расчетах. Много подобных расчетов независимо проводилось различными авторами [81, 39] при этом были получены такие же результаты. [c.319]

Фиг. 1. Сравнение вычисленной методом Монте-Карло на основе вариационного принципа зависимости внутренней энергии твердого 1и жидкого "Не от плотности с экснерименталь ными значениями при О К [57].

В задаче 28.2 мы видели, что линейный закон Онсагера можно получить из некоторых вариационных принципов (например, минимизацией разности О — 2од по отношению к потокам Это дает метод нахоя дения приближенных решений уравне-нпя (28.2.2) для потоков (выраженных через заданные силы) в случае, когда значение N велико, и поэтому трудно найти матрицу, обратную матрице М. Будем считать, что решение уравнения (28.2.2) содержит набор неопределенных параметров (число которых меньше чем Н), и найдем оптимальные значения этих паралтетров путем минимизации разности о,- — 2о относительно изменений параметров. Удобно ввести эти параметры в виде неопределенных констант в линейную комбинацию заданных векторов. Поэтому будем искать решение для /р в виде [c.623]

При каждом фиксированном значении параметра ц уравнения (50) можно рассматривать как уравнения движения механической системы с функцией Лагранжа о и оо связью а 9 = = 0. Таким образом, мы имеем целое семейство внутренне непротиворечивых математических моделей движения. Каждая из них является сиитезом традиционной неголономной механики, основанной на принципе Даламбера—Лагранжа, и вакономной динамики, в основу которой положен вариационный принцип [c.59]

Для решения более сложных задач широкое применение находят вариационные методы, сущность которых заключается в том, что система уравнений равновесия, условий шастичности и граничных условий заменяется эквивалентным ей принципом возможных перемещений. Использование данного метода возможно лишь при наличии данных (экспериментальных, численных и т.п ) о скоростях деформаций в различных точках исследуемой конструкции, необходимых для нахождения функции распределения скоростей деформации по сечению, отвечающему минимальному значению энергии деформации. Изложенный метод, с связи с этим, по с ти своей является приближенным, гюскольк минимизирующие функции подбираются эмпирически. [c.99]

См. fl.Il, стр, 25, 30—36, 39-—40 [соответственностр. 37, 43—50, 54 русского перевода], Замечание. Основное ( отношение, связывающеё кривизну с изгибающим моментом, впервые было получено Яковом Бернулли, хотя ему не удалось найти правильное значение п<х тоянной, входящей в это соотношение. Тем не менее его работа должна рассматриваться как первый вклад в решение задач о больших прогибах балок. Следуя совету Даниила Бернулли, Эйлер вновь вывел дифференциальное уравнение линии прогибов и приступил к решению различных задач об эластике см. [1.1J, стр. 27 стр. 39 русского перевода], 1.2], т. 1, ip. 30 и 34, а также 1.3], стр. 3 [стр. 17 русского перевода]. В I6.20] приведена известная статья Эйлера о линиях прогиба. После этого задачей об эластике занимался Жозеф Луи Лагранж (1736—1813), выдающийся итальянский математик ), впервые сформулировавший принцип возможной работы и сделавший весьма существенный вклад в динамику. Он рассмотрел консольную балку с нагрузкой на незакрепленном конце (см. 1.1], стр. 39—40 стр. 54 русского перевода], и [1.2], т. 1, стр. 58—61, а также статью Лагранжа [6.21]) краткая биография Лагранжа приведена в[6.4] на стр. 133 и в 6.5] на стр. 250. К числу первых ученых, занимавшихся теорией упругости, относится и Джиованни Антонио Амадео Плана (1781—1864), племянник Лагранжа, исправивший ошибки в работах Лагранжа по теории упругих кривых (см. [1,2], т. I, стр. 89—90, а также работу Плана [6,22]) биографические сведения о нем можно найти в [6.5]. Макс Борн в своей диссертации 6.23] исследовал эластику при помощи вариационных методов (см. [1.13], стр. 927—928 и 932 [c.553]

Для доказательства принципа Бейтмена — Кельвина мы введем величину 0 = ру и заметим, что уравнение Бернулли позволяет рассматривать V, а следовательно, и 3 как функцию от О- (Как было указано в п. 37, каждому значению величины С соответствует два различных значения величины скорости д. Мы выбираем, естественно, то значение, которое соответствует дозвуковому течению.) Выбор в качестве основной переменной не V, а С объясняется тем, что при помощи О легче сформулировать условия вариационной задачи. Например, условие с11у(/ у) = 0 принимает вид [c.146]

Принцип максимума и методы классического вариационного исчисления, рассмотренные выше, приспособлены прежде всего для решения задач о программном оптимальном управлении. Соответствующие дифференциальные уравнения, описывающие оптимальное движение и множители Лагранжа Я, (г), или вектор-функцию г) (0> являются уравнениями типа уравнений Эйлера — Лагранжа и Гамильтона. Они определяют управление в виде функции от времени . Во многих случаях, однако, ставится задача о синтезе оптимальной системы, работающей по принципу обратной связи, и тогда требуется, например, определение управления и в виде функции от текущих фазовых координат Хг 1) объекта. Здесь, конечно, возможен следующий естественный путь решения задачи. Для реализовавшегося в данный момент времени 1 х состояния х х х) решается вспомогательная задача о программном управлении (0[т, а (т)] (i>т), которое минимизирует тот же функционал и при тех же концевых условиях и ограничениях, какие заданы в исходной проблеме синтеза. Далее полагается, что [т, д (т)] = (т )[т, я (т)]7 и такие значения и = [т, X (т) ] при каждом = т > о используются в ходе реального процесса управления. В случае, если алгоритм вычисления ( )[г, д (т)] путем решения вспомогательных программных задач можно осуществлять значительно быстрее, чем протекание самого процесса х (т), такой путь может оказаться целесообразным, тем более, что по ходу процесса при т > 0 приходится на деле лишь корректировать величины (т)[т, а не решать в каждый момент = т заново всю программную задачу. Здесь, правда, еще остается нелегкая чисто математическая проблема, < остоящая в доказательстве того, вообще говоря, правдоподобного факта, что найденные таким путем функции [т, х (т)] при подстановке и = = [ , X ( )] в исходные уравнения (2.1) действительно разрешают проблему синтеза оптимальной системы. Это строгое обоснование того факта, что описанный переход [т, а (т) ] = (т)[т, а (т)] действительно дает оптимальный синтез, наталкивается, например, на следующую [c.202]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...