Работа упругого тела

Равенство (8.22) позволяет сформулировать следующую теорему дополнительная работа упругого тела, рассматриваемая как функционал произвольной системы напряжений, удовлетворяющей уравнениям равновесия внутри тела и на его поверхности, принимает минимальное значение для системы напряжений, фактически реализуемой в упругом теле. [c.215]

Проделав необходимые элементарные вычисления, которые мы здесь не приводим, получим следующий результат. Работа будет состоять из двух частей, первая часть — периодическая функция от t, т. е. полностью обратимая работа упругих тел. Но вторая часть оказывается пропорциональной времени t, следовательно, это та часть работы, которая рассеивается необратимым образом, превращаясь в тепло. Величина необратимой работы в единицу времени называется мощностью диссипации Z) выделяя из интеграла работы множитель при t, получим [c.596]

Внешние силы, деформируя тело, совершают работу. Эта работа переходит в потенциальную энергию деформации. Если тело деформируется упруго, то эта энергия после снятия внешних сил полностью восстанавливается и может быть, в свою очередь, превращена в работу. Упругое тело, таким образом, может рассматриваться как аккумулятор энергии. Это свойство упругих тел широко используется в практике. Даже заводя ежедневно свои наручные часы, вы совершаете работу. Эта работа невелика и для вас необременительна, но энергии заведенной пружины достаточно для исправной работы часов на ближайшие сутки. И таких примеров аккумулирования энергии деформации можно привести очень много. [c.70]

Работу заклепочного соединения можно рассматривать как совместную работу заклепочного стержня и сил трения. При этом работу заклепочного стержня можно принять как работу упругого тела (до предела текучести), а работу сил трения — как работу упруго пластического материала. [c.578]

Известны три вариационные принципа теории упругости. Принцип минимума потенциальной энергии (принцип возможных перемещений) потенциальная энергия упругого тела, рассматриваемая как функционал произвольной системы перемещений, удовлетворяющей кинематическим граничным условиям, принимает минимальное значение для системы перемещений, фактически реализуемой в упругом теле. Принцип минимума дополнительной работы Кастильяно (понятие о дополнительной работе дано в конце этого параграфа) дополнительная работа упругого тела, рассматриваемая как функционал произвольной системы напряжений, удовлетворяющей уравнениям равновесия внутри тела и на его поверхности, принимает минимальное значение для системы напряжений, фактически реализуемой в упругом теле. Наконец, в вариационном принципе Рейсснера варьируются независимо друг от друга и перемещения, и тензор напряжений. [c.308]

Из уравнений (1.5.4) и (1.5.5) следует, что при изотермическом процессе дополнительная работа, совершаемая упругим телом, равна возрастанию термодинамического потенциала Гиббса, тогда как при этом же процессе работа упругого тела равна уменьшению свободной энергии. [c.25]

Согласно закону сохранения энергии, работа внешних сил не исчезает, а трансформируется в потенциальную энергию, накапливаемую в упругом теле. Следовательно, величина накопленной потенциальной энергии деформации определяется величиной работы внешних сил. Эта энергия проявляется в виде работы, совершаемой при разгрузке внутренними силами. Снимая, например, часть гирь, приложенных к балке (рис. 385), заметим, что балка несколько выпрямится и при- Рис. 385 поднимет оставшиеся гири. Таким образом, упругое тело способно аккумулировать механическую энергию, которую можно вернуть при разгрузке. [c.386]

Впервые правильное решение основных случаев сжатия упругих тел дано методами теории упругости в работах немецкого физика Г. Герца, относящихся к 1881—1882 гг. Дальнейшее развитие контактной проблемы принадлежит главным образом советским ученым. [c.651]

Когда упругое тело (система) под влиянием какой-либо нагрузки переходит из недеформированного состояния в деформированное уравновешенное состояние, суммарная работа, произведенная в этом процессе внешними и внутренними силами, равна нулю [c.66]

Принцип наименьшей работы справедлив для линейно-де-формируемых (т. е. подчиняющихся закону Гука) упругих тел и систем. Он предоставляет в наше распоряжение любое нужное нам число уравнений (и притом линейных) для определения искомых неизвестных величин. [c.67]

Внешние силы, приложенные к упругому телу, совершают работу. Обозначим ее через А. В результате этой работы накапливается потенциальная энергия деформированного тела и. Кроме того, работа идет на сообщение скорости массе тела, т. е. преобразуется в кинетическую энергию К. Баланс энергий имеет вид [c.38]

Рассмотрим упругое тело, нагруженное произвольной системой сил и закрепленное тем или иным способом, но так, чтобы были исключены его смещения как жесткого целого (рис, 186). Пусть потенциальная энергия деформации, накопленная в объеме тела в результате работы внешних сил, равна U. Одной из сил, например [c.173]

Рассмотрим упругое тело, к которому приложены сила Р в точке А и сила Р-2 в точке В (рис. 207). Полагая, что 1( системе может быть применен принцип независимости действия сил, определим работу, которую совершат си-Л1>1 Р] и Ра при прямом и обратном порядке приложения. [c.192]

Выдающийся математик и механик Л. Эйлер (1707—1783), швейцарец по происхождению, тридцать лет жил и работал в России, профессор, а затем действительный член Петербургской Академии наук, автор 850 научных трудов, решил ряд задач по кинематике и динамике твердого тела, исследовал колебания и устойчивость упругих тел, занимался и вопросами практической механики, исследовал, в частности, различные профили зубьев зубчатых колес и пришел к выводу о том, что наиболее перспективный профиль — эвольвентный. [c.5]

Доказательство проведено для двух точек абсолютно твердого тела, за которые мы можем принять любые точки тела, а потому оно относится ко всем точкам твердого тела. В случае упругого тела или изменяемой системы точек сумма работ внутренних сил не равна нулю. Так, например, при падении камня на Землю силы взаимодействия между камнем и Землей (внутренние силы системы Земля — камень) равны и противоположны, но сумма работ этих сил не равна нулю. [c.374]

Заметим, что работа упругой силы выражается полученным равенством не только в рассмотренном нами частном случае. Эта формула относится в равной мере ко всем случаям упругой деформации, в которых упругая реакция подчиняется закону Гука F = сх, где X—перемещение точки приложения реакции, отсчитанное от положения этой точки при недеформированном состоянии тела, ас — постоянный коэффициент. Сюда относятся растяжение и сжатие прямолинейного бруса, изгиб балки и т. п. [c.375]

Внешние силы, деформирующие упругое тело, совершают работу. При статическом нагружении работа внешних сил целиком обращается во внутреннюю энергию тела, называемую потенциальной энергией деформации. [c.181]

Если внешние силы qi или перемещения Д,- на поверхности тела отсутствуют, то работа внешних сил равна нулю. Следовательно, будет равна нулю потенциальная энергия деформации, накопленная в упругом теле. Но тогда из формул (6.14), (6.20), (6.21) следует, что а,/ = 0, е,/ = 0. [c.120]

В отличие от теории упругости, где при использовании выражения Р по обобщенному закону Гука формула (151) дает элементарную работу упругих взаимодействий в теле и, следовательно, приводит к выражению потенциальной энергии упругого взаимодействия, которая в процессе деформирования [c.255]

Предполагая, как и раньше, что кристалл ведет себя как упругое тело, вычислим энергию дислокации. При этом воспользуемся моделью винтовой дислокации, изображенной на рис. 3.22. Чтобы произвести смещение краев разреза (см. рис. 3.22), необходимо приложить силы, распределенные по поверхности этого разреза. Очевидно, что энергия дислокации Ed равна работе, совершенной этими силами для создания смещения Ь, т. е. [c.106]

Для того чтобы удар был абсолютно упругим, тела должны обладать вполне определенными свойствами. Прежде всего все силы, возникающие Б телах, должны зависеть только от деформаций. Если бы в телах возникали силы, зависящие от скоростей деформаций, т. е. подобные силам трения, и деформации не исчезали бы полностью после прекращения взаимодействия тел, то часть работы сил, действующих [c.152]

Картину течения энергии в упругом теле мы рассмотрим детально позднее ( 114). Но уже сейчас мы должны принять во внимание течение упругой энергии в ремне, если хотим проследить процесс передачи работы от ведущего шкива к ведомому. [c.160]

При деформации тел внешняя сила, вызывающая деформацию, совершает работу. С другой стороны, деформированное тело при исчезновении деформации само совершает работу. Если бы деформируемое тело было абсолютно упруго, то оно могло бы совершить такую же работу, которая была затрачена на деформацию тела. В абсолютно упругих телах вся работа, затраченная на деформацию тела, идет на увеличение потенциальной энергии упругой деформации. В реальных телах это не имеет места возникающие в них силы всегда зависят не только от величин деформаций, но и от скорости изменения дефор- [c.476]

При разгрузке деформированного тела за счет потенциальной энергии деформации производится работа. Это свойство упругих тел широко используется в технике, в частности, в амортизирующих и предохранительных устройствах, для возврата движущихся деталей в исходное положение, в часовых механизмах и т. д. В такого рода устройствах широкое применение нашли пружины. [c.238]

Воспользуемся для примера вариационным принципом Лагранжа, который заключается в том, что вариация работы внутренних и внешних сил на возможных перемещениях, согласующихся с геометрическими граничными условиями, равна нулю. При этом предполагается, что во всех точках тела не возникает разгрузка (другими словами, рассматривается вариационный принцип Лагранжа для нелинейно-упругого тела). Вариация работы внутренних сил 6J7 определяется выражением [c.306]

Пусть на упругое тело действуют поверхностные силы 7" н объемные силы pF. Придадим этим силам приращения соответственно dTn и pdF. В силу этого вектор перемещения и изменится на d и. Тогда работа dV сил Тп и р/ при дополнительном деформировании тела будет [c.62]

Пусть линейно-упругое тело под действием поверхностной силы Тп и объемной силы pF находится в состоянии покоя. Работа упомянутых сил на перемещениях Uh равна [c.73]

Это и есть теорема взаимности Бетти. Из нее следует, что работа первой системы внешних сил на перемещениях упругого тела, вызванных второй системой внешних сил, равна работе второй системы внешних сил на перемещениях того же тела, вызванных первой системой сил. [c.211]

Таким образом, для упругого тела принцип наименьшей работы деформации и уравнения совместности деформаций тождественны (хотя в теории и расчетах они не могут полностью заменять друг друга). [c.22]

Под действием внешних сил упругое тело испытывает деформацию, при которой силы совершают работу. Эта работа превращается в потенциальную энергию и в последующем при удалении внешних сил расходуется на восстановление первоначальной (т. е. недеформирОванной) формы тела. [c.25]

Тепловой эффект при деформации упругих твердых тел. Предположим для определенности, что упругий твердый стержень, находящийся в среде с постоянными давлением и температурой, подвергается растяжению внешней силой. Работа упругих сил стержня при удлинении на у равняется — Рду (здесь Р — внешняя сила, действующая на стержень Р/И — напряжение, [c.160]

В настоящее время для анализа устойчивости квазистати-ческого подрастания трещины обычно используют концепцию Уд-кривых и модуля разрыва [33, 219, 339, 426]. Суть /д-подхода заключается в допущении, что процесс разрушения, происходящий у вершины субкритически развивающейся трещины, контролируется двумя параметрами приращением длины трещины AL и /-интегралом Черепанова—Райса, введенным для нелинейно-упругого тела. Иными словами, предполагается, что зависимость J (AL) однозначно определяет сопротивление субкри-тическому росту трещины независимо от вида приложенной нагрузки (при условии монотонного характера нагружения) и геометрии образца. В то же время во многих работах указывается на уязвимость этого подхода, в частности на неинвариант-ность /н-кривых к типу нагружения и геометрии образцов. Поэтому не случайно появление в последние годы большого количества работ, посвященных модификации /д-подхода путем введения различного вида энергетических интегралов [33, 276, 287, 288]. Наиболее значительные результаты получены при использовании интеграла Т [33, 287, 288]. В то же время методичес- [c.253]

Значительное внимание в теории упругости уделено проблеме давления и деформации таких упругих тел, как две сферы, находящиеся в контакте или участвующие в процессе столкновения, причем основные определения были даны Герцем и Редеем в работе [813]. Релей установил, что продолжительность контакта очень велика по сравнению с периодом низшей гармоники колебаний рассматриваемых сфер. Согласно Релею, продо.лжите.льность кон- [c.226]

При разгрузке тела за счет потенциальной энергии производится работа. Таким образом, упругое тело является аккумулятором энергии. Это свойство упругих тел широко используется, например, в заводных пружинах часовых механизмов и в различных упругих амортизируюнтих элементах (рессоры, пружины, торсионные валы и др.). [c.38]

Характерной особенностью подобных систем является то, что внешние силы при неремеще ниях упругого тела совершают работу, величина которой зависит не только от пройденного расстояния, но и от того, по какому пути было пройдено это расстояние. Такою рода системы носят название некон-серв/тшвных. [c.453]

За 30 лет работы в Российской Академии иаук Эйлер создал боль-пюе количество работ по математике, механике твердого и упругого тела, гидромеханике и небесной механике. [c.5]

Механическое движение нигде и никогда не может произвести работу, если оно не будет но видимости уничтожено как таковое, если оно не превратится в какую-нибудь другуюформу движения . Так, например, работа сил трения, тормозящих движение тела, работа сил тяжести поднимаемого груза, работа сил упругости пружины, останавливающей движущееся тело, являются мерами уничтожаемого механического движения, которое превращается в теплоту, потенциальную энергию, энергию упругого тела. [c.158]

Появление науки о прочности и механике упругих тел связано с именем Галилея, знаменитая книга которого под названием Беседы и математические доказательства, касающиеся двух новых отраслей науки, относящихся к механике и местному движению была издана в 1638 г. Первая ее часть касалась теории падения твердых тел, а вторая — посвящена прочности стержней и балок. В XVII и XVIII вв. быстро развиваются механика, астрономия и другие естественные науки. Появляется интерес к экспериментальным работам. Роберт Гук (1635—1703), обладавший разносторонними знаниями и талантами, имел особую склонность к экспериментам и провел первые исследования механических свойств материалов. В 1678 г. им выпущена книга О восстановительной способности, или упругости , в которой описывались его опыты с упругими телами. [c.6]

Пусть трещина оказывается в условиях, характеризуемых точкой Аз, расположенной выше кривой Сткр = / ( кр) (рис. 12.15). Выделяемая энергия d5 будет тем больше потребляемой работы разрушения d 4, чем дальше точка Лз от А , и этот избыток потенциальной энергии переходит по равенству (12.28) в кинетическую энергию движения частиц пластины у острия трещины dT. Как показывают более подробные расчеты, распространение трещины происходит со скоростями порядка скоростей распространения волн деформаций в упругом теле. Например, для стали скорость распространения продольных деформаций с 5600 м/с. Во всяком случае, эта скорость может быть достаточно большой, что и создает впечатление взрывоподобного разрушения тела. [c.386]

Энергия, переданная системой с изменением ее внешних параметров, также называется работой W (а не количеством работы), а энергия, переданная системе без изменения ее внешних параметров,— количеством теплоты Q. Как видно из определения теплоты и работы, эти два рассматриваемых в TepMOAHHaiviHKe различных способа передачи энергии не являются равноценными. Действительно, в то время как затрачиваемая работа W может непосредственно пойти на увеличение любого вида энергии (электрической, магнитной, упругой, потенциальной энергии системы в поле и т. д.), количество теплоты Q непосредственно, т. е. без предварительного преобразования в работу, может пойти только на увеличение внутренней энергии системы. Это приводит к тому, что при преобразовании работы в теплоту можно ограничиться только двумя телами, из которых одно тело (при изменении его внешних параметров) передает при тепловом контакте энергию другому (без изменения его внешних параметров) при превращении же теплоты в работу необходимо иметь по меньшей мере три тела первое отдает энергию в форме теплоты (теплоисточник), второе получает энергию в форме теплоты и отдает энергию в форме работы (рабочее тело) и третье получает энергию в форме работы от рабочего тела. [c.26]

Измерительные тензопреобразователи. В практике научных исследованийе для измерения переменного во времени давления, а также деформации деталей механизмов и машин широкое распространение получили тензопреобразователи. (тензорезисторы). Работа их основана на зависимости электрического сопротивления упругого тела от его деформации. Измерительный тензопреобразова-тель работает обычно совместно с одним из видов упругих чувствительных элементов (плоской мембраной, трубчатой пружиной и т. д.) и служит для получения выходного сигнала, удобного для дистанционной передачи на вход в измерительное устройство давления. [c.162]

Основы теории упругости были разработаны почти одновременно Навье (1821), Коши (1822), Пуассоном (1829). Независимо друг от друга они получили по существу все основные уравнения этой теории. Особо выделялись работы Коши. В отличие от Навье и Пуассона, привлекавших гипотезу молекулярных сил, Коши, опираясь на метод, в котором используется статика твердого тела, ввел понятия деформации и нагфяжения, установил дифференциальные уравнения равновесия, граничные условия, зависимости между деформациями и перемещениями, а также соотношения между напряжениями и деформациями для изотропного тела, первоначально содержавшие две упругие постоянные. В эти же годы появились исследования М. В. Остроградского о распространении волн в упругом теле при возмущении в его малой области. На эти исследования ссылается в своих работах Пуассон, впервые (1830) доказавший существование в однородной изотропной среде двух типов волн (волны расширения и искажения). [c.5]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...