Задача вариационного исчисления

Задача Б представлена в форме общих задач вариационного исчисления. В зависимости от вида функционала Яо и компонентов вектор-функционала Н задачи вариационного исчисления имеют различные формы и различные методы их решения [60]. Выбор той или иной формы задачи во всех случаях обусловлен удобством и эффективностью решения. Методы решения вариационных задач делятся на две большие группы аналитические и прямые (численные). [c.76]

И. Бернулли поставил задачу, которую считают исторически первой конкретной задачей вариационного исчисления. Он предложил найти среди кривых, соединяющих две точки А и В, не ле-д жащие на одной вертикали, та- [c.438]

Методы решения математических задач по нахождению оптимальных значений управляющих переменных величин называют математическим программированием. Общих математических методов нахождения экстремумов функций любого вида при наличии произвольных ограничений не существует. В частных случаях пользуются специальными методами. Если ограничения отсутствуют, а операция описывается обыкновенными дифференциальными уравнениями, пользуются классическими методами нахождения экстремума с помощью дифференциального и вариационного исчислений. При наличии ограничений применяют принцип максимума Понтрягина, развивающий и обобщающий задачи вариационного исчисления. [c.458]

Основная задача вариационного исчисления легко обобщается на случай, когда / есть функция многих независимых переменных Уг и их производных (Конечно, все эти величины рассматриваются как функции переменной. v .) Тогда вариация интеграла / будет равна [c.49]

Это важное обстоятельство нужно иметь в виду уже в геометрических задачах вариационного исчисления Вейерштрасс постоянно подчеркивал его в своих лекциях. [c.541]

Составим теперь то же самое уравнение, но при другой точке зрения на варьирование. Мы теперь не будем больше требовать, чтобы вариации положений были виртуальными перемещениями, но мы потребуем, чтобы варьированная траектория удовлетворяла тому же самому дифференциальному уравнению (13), которому мы подчиняем траекторию, подлежащую варьированию. Теперь перед нами стоит совсем другая задача вариационного исчисления, из которой, вообще говоря, не вытекают действительные траектории материальной точки. В этой задаче вариации следует подчинить условию (17), т. е. уравнению [c.554]

Возвращаясь к рассмотрению общего направления этой работы, напомним, как мы уже отметили, что само заглавие подчеркивает сугубо математический характер этого сочинения Лагранжа. Действительно, в нем не затрагивается ни одна из проблем, связанных с обоснованием механики. В этой работе проблемы механики представляют собой лишь определенный класс задач вариационного исчисления. [c.797]

Основная задача вариационного исчисления может быть сформулирована так среди всех допустимых по условиям данной задачи функций найти такую функцию у = у (л), которая доставляет заданному функционалу экстремальное значение. Необходимым условием экстремума функционала, как и необходимым условием экстремума функции, является условие стационарности [c.305]

В статье показано, что при некоторых допущениях отыскание оптимальных управлений сводится к решению известных задач вариационного исчисления, Трудности чис.ленного решения этих задач делают актуальной проблему разработки методов управления, более простых для вычисления и в то же время близких (по значениям функционала качества) к оптимальным. Этот вопрос подробно исследуется в статье на примере так называемого идеального манипулятора — простейшего плоского трехзвенного механизма с избыточностью. Для такой системы получены точные решения, что позволило сравнить эффективность оптимальных п приближенных управлений для различных двигательных задач. [c.27]

Сформулирована задача построения оптимальных (по интегральному критерию качества) законов движения манипуляторов при выполнении ими транспортных и технологических операций и показано, что ее можно свести к известным задачам вариационного исчисления. Применительно к плоскому манипулятору с тремя степенями свободы оптимальные движения построены в явном виде. Приводится сравнительный анализ оптимальных решений для транспортной и технологической операций и сопоставление этих результатов с приближенным решением, полученным методом локальной оптимизации. [c.181]

Поставленная задача относится к числу изопериметрических задач вариационного исчисления. [c.226]

Простейшая задача вариационного исчисления состоит в определении функции у =/(. ) такой, чтобы заданный интеграл [c.251]

Идеи и методы Т. многообразий в ряде случаев удаётся применить к изучению функциональных пространств, рассматривая их как бесконечномерные многообразия. Важнейшими примерами являются пространство путей с фиксированными концами, расположенных на данном многообразии А/", а также пространство петель (замкнутых кривых) на М". Т. пространства путей и пространства петель на многообразии М" оказывается тесно связанной с Т. многообразия Л/". Это обстоятельство исключительно важно для решения задач вариационного исчисления в целом (см. ниже). [c.146]

Наиболее выдающиеся исследования Остроградского относятся к обобщениям основных принципов и методов механики. Он внес существенный вклад в развитие вариационных принципов. Вариационные принципы механики входят в круг вопросов, интересовавших Остроградского в течение всей его жизни. Постоянное возвращение к вариационному исчислению и вариационным принципам механики роднит ого с Лагранжем — одним из создателей вариационного исчисления и творцом аналитической механики. Ранее нами указывалось, что вариационными принципами механики занимались такие корифеи науки, как Ферма, Мопертюи, Эйлер, Лагранж, Гамильтон. Мы также отметили, что новый этап в разработке принципа наименьшего действия связан с именем Лагранжа, который поставил целью свести динамику к чистому анализу. В работах Лагранжа проблемы механики представляют собой лишь определенный класс задач вариационного исчисления. [c.214]

Задача разыскания равновесного состояния линейно-упругого тела сведена к вариационной задаче об определении вектора и, сообщающего минимум функционалу Ф над ним и принимающего заданные значения на 0. Известно, что задаче вариационного исчисления сопоставляется эквивалентная ей краевая задача. Дифференциальные уравнения и краевые условия последней получаются из рассмотрения вариации минимизируемого функционала—это уравнения Эйлера и натуральные краевые условия, соответствующие этому функционалу. [c.151]

Здесь Еж,. . , Yzx — линейные формы компонент тензора напряжений Т, определяемые по (3.2.8) гл. III и выражаемые формулами (3.1.8) гл. III е—тензор, задаваемый этими формами его компонент и, значит, представимый формулой (1.1.4). Вариации компонент тензора бГ под знаком интегралов в (2.5.10) не независимы, а должны удовлетворять зависимостям (2.5.3). Пришли к связанной задаче вариационного исчисления и, следует известному правилу, вводим в объеме V лагранжев вектор X это позволяет, представив теперь (2.5,10) в виде [c.158]

Импульсная теория включает в себя также следующую задачу вариационного исчисления. Необходимо найти величину индуктивной скорости у (г), при которой затраты мощности при заданной силе тяги минимальны. Рассмотрим выражения затрачиваемой мощности и силы тяги через интегралы [c.51]

Задача вариационного исчисления 51, 53, 55 [c.1013]

МЫ получим ДЛЯ W дифференциальное уравнение в частных производных (104), выведенное уже ранее из условий равновесия элемента пластинки. Интегралом (h) можно, однако, с успехом воспользоваться и в приближенном исследовании Изгиба пластинки. С этой целью заменим задачу вариационного исчисления задачей об отыскании минимума некоторой функции, допустив, что прогиб w может быть представлен в виде ряда [c.383]

Общая формула (25) дает возможность получать и дальнейшие приближения для величины р. В самом деле, исходя из определенной формы изгиба, мы получаем для критической скорости величину, большую действительной. Для получения точного значения ш р нужно из всех возможных форм изгиба выбрать ту, которой соответствует минимум выражения (25). Общее решение этого вопроса представляет задачу вариационного исчисления. Мы можем как угодно близко подойти к этому решению и подобрать кривую изгиба, сколь угодно близкую к действительной, или следующим путем задаемся формой кривой изгиба и представляем прогиб т] в виде ряда [c.261]

Если удается найти выражение для г] , соответствующее этому минимуму, мы получаем точное решение задачи о кручении. В тех же случаях, когда разыскание точного решения сопряжено с большими трудностями или такого решения получить нельзя, мы можем, пользуясь выражением (5), получить приближенное решение, заменяя задачу вариационного исчисления о разыскании минимума интеграла I элементарной задачей о нахождении максимума или минимума некоторой функции. Для этого мы берем приближенное выражение функции напряжений в виде ряда [c.269]

Вариационный подход использовался прй составлении алгоритма метода конечных элементов для решения задачи теплопроводности (102). Сформулируем в общем виде задачу вариационного исчисления. [c.187]

Величина АЭ определяется формой функции v x) и математически является функционалом. Для решения вопроса об устойчивости состояния необходимо рассмотреть всевозможные формы v x), т.е. всевозможные смежные (возмущенные) состояния стойки. Ясно, что АЭ больше нуля, когда больше нуля его минимальное значение. Так как минимум необходимо искать на множестве всевозможных функций г (ж), то мы приходим к стандартной задаче вариационного исчисления о поиске стационарного значения функционала АЭ, которая сводится к условию (5(АЭ) = О, где означает вариацию. [c.386]

Среди класса функций f= f v) найти такую функцию, которая дает максимум времени полета (максимальную продолжительность) при заданном запасе топлива без каких-либо ограничений на путь L. Из структуры формулы (8) видно, что формулированная задача есть простейшая задача вариационного исчисления. Если положить [c.37]

Относительно большой раздел курса посвящался вариационным задачам динамики точки переменной массы и ракетодинамики. Здесь мне особенно хочется обратить внимание преподающих на класс задач, сводимых к простейшей задаче вариационного исчисления. Это, например, следующие [c.206]

Более трудные, но гораздо более разнообразные задачи современной ракетодинамики сводятся к изопериметрическим задачам вариационного исчисления. Отметим, например, задачу о программировании тяги ракетного двигателя, при которой реализуется минимальное время полета при заданной наклонной дальности до цели. Если изложение этой задачи связать с развитием современных зенитных управляемых ракет, то лекция проходит очень хорошо. [c.206]

Во многих случаях в книге применяется также энергетический метод решения задач теории упругости. При этом интегрирование дифференциальных уравнений заменяется исследованием условия минимума некоторых интегралов. При помощи метода Ритца эта задача вариационного исчисления сводится к простой задаче отыскания минимума функции. Таким способом удается получить приближенные решения во многих практически важных случаях. [c.17]

Второе дополнительное условие состоит в требовании равновесности процесса роста трещины. Иными словами, весь поток энергии, возникающий в связи с возможным приращением длины трещины, целиком затрачивается только на разрушение. При этом трещина при медленном возрастании пли падении внешней нагрузки будет медленно и устойчиво распространяться вдоль искомой траектории. Ванчно, чтобы внешняя нагрузка соответствующим образом уменьшалась в области падающей зависимости внешнего усилия от длины трещины в предельном состоянии равновесия. Итак, это дополнительное условие может быть представлено в виде dl/dl = 0. Вместе с тем в изопериметрической задаче вариационного исчисления при наличии условия типа [c.203]

С формальной точки зрения задача нахождення минимума определенного интеграла является собственно задачей вариационного исчисления, в то время как задача нахождения минимума функции принадлежит к обычному анализу. Исторически эти две проблемы возникли одновременно и четкого разграничения между ними не было вплоть до Лагранжа, развившего технику вариационного исчисления. Знаменитая задача Дидоны, хорошо известная геометрам древности, была вариационной задачей, требовавшей нахождения минимума некоторого интеграла. Герон Александрийский вывел закон отражения, исходя из того, что луч света, выходящий из точки А и приходящий в точку В после отражения от зеркала, достигает цели в кратчайшее время. Ферма применил этот принцип для получения законов преломления. Все эти задачи решались геометрическими методами. Задача о брахистохроне (кривой быстрейшего спуска) была предложена Иоганном Бернулли и решена независимо им самим, Ньютоном и Лейбницем. Основные дифферен- [c.57]

Метод Рэлея—Ритца является универсальным методом приближенного решения основной задачи вариационного исчисления — задачи определения экстремумов или стационарных значений функционалов. Сущность этого метода состоит в замене задачи поиска стационарных значений функционалов принципиально более простой задачей поиска стационарных значений функций нескольких переменных. [c.64]

Эйлера — ЛАГРАНЖЛ уравнение—необходимое условие экстремума в задачах вариационного исчисления, полученное Л. Эйлером в 1744. Впоследствии, используя другой метод, это ур-ние вывел Ж. Лагранж (J. Lagrange) в 1759. [c.496]

В мемуаре О дифференциальных уравнениях, относящихся к задаче изопериметров , а затем в письме к Лиосковскому профессору Н. Д. Брашману, напечатанном ь 1866 г., Остроградский высказал сомнение в справедливости принципа наименьшего действия Лагранжа. Основные возражения Остроградского сводятся к следующему. Для Эйлера и Лагранжа принцип наименьшего действия и простейшая задача вариационного исчисления представляли собой одну и ту же математическую проблему. Остроградский же замечает, что в принципе наименьшего действия переменные связаны законом живых сил и не являются поэтому независимыми, в отличие от переменных обыкновенной вариационной задачи. Отсюда следует также, что вариации переменных подчинены некоторому условию и не могут быть совершенно произвольными. Поэтому Остроградский считает формулировку принципа у Лагранжа и его выводы ошибочными и дает собственную формулировку в случае консервативной системы действительная траектория движения между двумя точками обладает тем свойством, что преобразование уравнений движения приводит к условию [c.218]

Дальнейшее развитие метод Бубнова получил в трудах Б. Г. Галеркина (1871—1945), прежде всего в статье Стержни и пластинки (1915). Метод Бубнова — Галеркина, представляющий собой широкое обобщение метода Рэлея — Ритца, получил большое распространение и применяется теперь также к ряду задач вариационного исчисления, функционального анализа и математической физики. [c.264]

Основная задача вариациониого исчисления формулируется так среди всех допустимых по условиям данной задачи функций найти такую функцию у = = у (х), которая доставляет заданному функционалу экстремальное значение. [c.382]

К п. 2.5. На естественную связь прииципа минимума дополнительной работы со связанной задачей вариационного исчисления обратил внимание Саусвелл (1936) доказательство Саусвелла воспроизведено в [57] и [12]. [c.913]

Основной целью разрабатываемой методики является получение приближенных решений при помощи прямых методов для конечного, не слишком большого числа моментных соотношений. В этом случае задача об условном максимуме энтропии не вырождается и формулируется по существу как изопериметриче-ская задача вариационного"исчисления. [c.42]

Второй способ состоит в применении прямых методов решения стохастической задачи, сформулированной как задача вариационного исчисления. В этом случае приближенные выражения совместных плотностей вероятности задаются в явном виде, что позволяет для вывода моментных соотношений использоватй корреляционный и спектральный методы без привлечения теории марковских процессов. [c.88]

Задача II является изопериметрической задачей вариационного исчисления. Граничные условия для функции у х), вообш е говоря, неизвестны, и поэтому эта зада ча является задачей на свободный экстремум. Пользуясь данным специальным видом функционала I (4) для заданных Mi и эту задачу можно свести к решению системы большого числа трансцендентных уравнений. Фактическая реализация этого спосо ба построения сеток довольно сложна и трудоемка, поэтому ниже будет описан один простой алгоритм построения сеток, который легко применять на практике. [c.491]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...