Принцип возможных работ

На основании общего принципа возможной работы будем искать решение этих уравнений в таком виде [c.27]

Воспользуемся принципом возможных работ, взяв из первой схемы силы, а из второй — перемещения, тогда для пластины единичной толщины [c.116]

Применим теперь принцип возможных работ ко второму состоянию системы (см. рис. 53, а), взяв за возможные перемещения перемещения в действительном состоянии. Тогда, проделав соответствующие преобразования, получим [c.117]

Подставив значения (б) в уравнения (а), помножив в соответствии с физическим смыслом этих уравнений и принципом возможной работы первое уравнение (а) на X (л ) [c.24]

Общее уравнение динамики, выведенное из принципа Даламбера и принципа возможных работ, имеет вид [c.333]

Тогда положения, при которых кинетическая энергия имеет максимум или минимум, являются положениями равновесия мащины, т. е. положениями, при которых мащина, находясь под действием тех же сил, что и во время установившегося движения, не может начать двигаться без начальных скоростей. Это вытекает из принципа возможных работ. Действительно, при единственном перемещении d6, которое можно сообщить машине, сумма работ всех сил равна [c.469]

Вся группа трактатов Иордана представляет собой, таким образом, следующий после арабских механических сочинений шаг на пути к принципу возможных перемещений в форме принципа возможных работ. Содержащиеся в них еще в смутной форме динамические понятия могли стать первыми звеньями связи ме кду статикой п наукой о движении. [c.62]

Из принципа возможных работ следует, что в состоянии равновесия полная потенциальная энергия системы минимальна. Соответственно, чтобы найти действительное поле перемещений w, выражение (1.1) нужно минимизировать на множестве всех функций v, удовлетворяющих граничным условиям, и та функция, которая доставляет минимум, является искомым полем перемещений w. [c.22]

Согласно принципу возможной работы для всей балки имеем [c.103]

Тогда работа, совершаемая силой Р на виртуальном прогибе dwm sin (тях/1), равна P dM/dWm)dWm, а из принципа возможной работы следует [c.105]

Уравнение принципа возможной работы в этом случае имеет вид [c.105]

В соответствии с принципом возможной работы на возможном перемеш еНии sin (тлж/а) sin (галу/Ь) можно записать [c.267]

При исследовании устойчивости идеальных образцов действительное перемещение w считается бесконечно малым и, если это необходимо, оно может быть взято в качестве возможного перемещения. Тогда, согласно принципу возможной работы, вы- [c.269]

Согласно принципу возможной работы на возможном перемеш е- [c.276]

Как уже упоминалось выше, при малых деформациях, несмотря на то, что перемещения могут стать неограниченными, в инженерных задачах деформации можно записывать с помощью выражений (6.7), (6.8) и (6.8а), (6.86). Для упругого материала их можно использовать вместе с элементарными формулами, представления закона Гука и внутренней энергии деформации с тем, чтобы сформулировать принцип возможной работы. [c.407]

ДЛЯ энергии деформации и принципа возможной работы так, как это делалось раньше единственно, что при этом потребуется определить неизвестные коэффициенты в выражении для прогиба W. Как уже указывалось при обсуждении уравнения (6.17), выражение для энергии изгибной деформация в точности совпадает с таким же выражением для случая пластины, так как выражения для деформаций изгиба (6.316) такие же, как и в случае пластин, а влияние кривизны в выражении (4.71) на энергию мембранных деформаций определяется членом ЕЪ d w/dx в уравнении (6.31к) для неизвестной функции <р (влияние нагрузок % и /у, если таковые имеются, учитываются членами dfi/din и dfy/dy). - [c.458]

Выражение (7.6ж) для энергии деформации содержит величины UR/h, г/ ги и пять неизвестных параметров а, Ь, с, К ж к. Простейший способ использования принципа возможной работы для определения этих пяти неизвестных состоит в задании отношения е/бс как постоянной величины, что соответствует случаю, когда цилиндрическая оболочка нагружается сжимающей силой в жесткой испытательной машине. Тогда для данной цилиндрической оболочки оказываются заданными оба параметра в/гы и UR/h, а отсюда, так как длина оболочки остается неизменной, следует, что внешняя осевая сжимающая сила не будет совершать работу на возможных перемещениях таких, которые обусловлены малыми изменениями пяти неизвестных. Отсюда, согласно принципу возможной работы, частные производные от выражения д т энергии деформации и, следовательно, от правой части выражения П.вщ . по каждой из неизвестных а, Ь, с, К и к можно положить равными нулю, что дает пять уравнений, из совместного решения которых определяются пять неизвестных (сказанное, разумеется, эквивалентно выбору таких значений этих неизвестных, которые доставляли бы минимум энергии деформации). [c.505]

Другим методом определения прогибов балок, обусловленных сдвигом, является метод единичной нагрузки (см. разд, 11.4), основанный на принципе возможной работы. В общем случае этот метод дает такие результаты для обусловленных сдвигом прогибов балок прямоугольного сечения, которые немного ниже тех, что получаются из решений дифференциального уравнения с использованием коэффициента сдвига 3/2, но очень близки к результатам, полученным с использованием К( д=1,18. В разд. И.4 будут обсуждены прогибы балок за счет сдвига, найденные методом единичной нагрузки таблицу формул для прогибов балок, обусловленных сдвигом, при различных условиях нагружения читатель может найти в книге [6.18]. [c.253]

ПРИНЦИП ВОЗМОЖНОЙ РАБОТЫ [c.418]

ПРИНЦИП ВОЗМОЖНОЙ РАБОТЫ 419 [c.419]

Рис. 11.2. К выводу принципа возможной работы,

Принцип возможной работы является очень мощным инструментом и широко применяется при расчете конструкций. Однако перед тем, как перейти к использованию этого принципа, важно отметить две его особенности. Первая состоит в том, что возможные деформации или возможные перемещения должны быть совместимыми с условиями на опорах конструкции и не должны нарушать сплошности конструкции, с этой единственной оговоркой возможное изменение формы конструкции (его не следует путать с изменением формы конструкции, обусловленным действием реальных нагрузок) совершенно произвольно. Вторая заключается в том, что, проследив, как формулируется принцип, легко обнаружить отсутствие во всех рассуждениях какого-либо упоминания свойств материала конструкции. Следовательно, принцип возможной работы применим ко всем конструкциям независимо от того, как ведет себя материал линейно или нелинейно, упруго или неупруго. [c.422]

ПРИНЦИП возможной РАБОТЫ 423 [c.423]

Поскольку основное уравнение метода единичной нагрузки можно получить из принципа возможной работы, сам этот метод иногда называют методом возможной работы. Он также известен как метод фиктивных нагрузок и метод Максвелла — Мора. Первое название связано с тем, что в этом методе требуется использовать фиктивную или искусственно введенную нагрузку (т. е. единичную нагрузку), а второе — с тем, что Джеймс Максвелл в ШМ г. и Отто Мор в 1874 F. независимо описали этот метод (см. il 1.1—11.4]). [c.424]

Потеря устойчивости 29 по Эйлеру 32 с перескоком 33 Предел прочности 392 текучести 219, 392, 432 Причины вырожденности матрицы 518 Примитивы 167 Принцип возможных работ 22 Релея-Ритца 446 Проблема собственных значений 47 Прогиб остаточный 398 Проектирование конструкции 474 Пропорциональное нагружение 219 Пространство переменных 480 Пружина тарельчатая 378 Положительная определенность 516 [c.540]

Принцип возможной работы применим также и к случаю обобщения статических задач на динамику путем использования принципа Даламбера и включения в число нагрузок инерционных сил. В этом случае работа, проделанная инерционными силами, в действительности представляет собой изменение кинетическо1 1 энергии, но упомянутый принцип может применяться таким же образом, как и в статических задачах. ь [c.26]

Точные (в рамках ограничений, накладываемых aппpoк имa цией Бернулли) решения задач о б клках можно получить, представив прогиб W в виде бесконечного ряда с неизвестными коэффициентами, каждый член которого удовлетворяет концевым уело-ВИЯМ и который может сходиться к истинной форме прогибов, и определив коэффициенты с помощью принципа возможной работы (метод Релея — Ритца). При использовании принципа возможной работы как будет показано ниже, в качестве виртуальных перемещений берутся перемещения, которые вызываются малым изменением одного из неизвестных коэффициентов. Такйм путем можно получить столько уравнений, сколько имеется неизвестны . [c.101]

Если же используются неортогональные ряды, то выражение энергии деформации будет додержать, кроме квадратов, еще и произведения неизвестных, и уравнения возможной работы будут в общем случае содержать все, или по крайней мере более одной, низвестные, и тогда требуется решать систему уравнений. Это значительно увеличивает трудности и ограничивает число членов, которое практически Можно использовать. При использовании подобных методов S задачах для пластин и оболочек, особенно в случае, когда краевые условия отличаются от условий свободног,о опирания или прогибы не малы по сравнению с толщиной и поэтому должна использоваться нелинейная теория, уравнения, вытекающие из принципа возможной работы (которые часто представляют единственный, практический путь получения какого-либо решения вообще), могут, оказаться настолько трудными для решения, что на практике используются, если позволяют время и средства, один член (метод Релея) или в лучшем случае несколько членов, и при этом может оказаться трудным указать, насколько точная аппроксимация при этом достигается. Близость аппроксимации в этом случае зависит, конечйо, от того, насколько точно с помощью одной или нескольких выбранных функций можно представить истинную форму, которая в свою очередь может быть только грубо определена из экспериментов. Хотя в случае задач о балках такие случаи либо встречаются редко, ли- j6o Имеют другие, более приемлемые решения, эти вопросы можно в сильной степени прояснить путем Простых иллюстраций на задачах о балках. [c.102]

Еели начальное отклонение мало, можно предположить, что при этом мембранные напряжения распределяются так же, как и в задаче теории упругостк о плоском напряженном состоянии плоской пластины. Взяв тот же самый, что и изученный ранее, случай равномерного сжатия Овп = —s и используя для прогиба W представление (4.72) и такое же представление для начального прогиба Wo с коэффициентами Юот в выражениях (4.73) и (4.84а), запишем принцип возможной работы, требующий,-чтобы при возможном перемещении Да = dWmn sin (тлх/а) sin ппу/Ъ) (вспомним, что знергия деформации зависит только от перемещения w) имело место соотношение , - [c.271]

Располагая зтим уравнением, нужно только задать выражение для прогиба W (удовлетворяющее, если это необходимо, краевым условиям) и, интегрируя уравнение (6.17), найти функцию ф, используя формулы преобразований для квадратов и произведений тригонометрических функций. Затем можно применить принцип возможной работы, используя выражения (4.70) и (4.71) для энергий соответственно изгибных и мембранных деформаций. Эти выражения были по цгчейы для пластин, но в выражении (6.15) используются такие же выражения для изгибных деформаций, т. е. (d wldx )z и т. д., как и для пластин, а влияние кривизны на мембранную энергию учитывается членом ШЮд ю/дх ъ выражении (6.17). Затем следует решить систему уравнений, порядок которой равен числу неизвестных, состоящих из параметров га и используемых коэффициентов Wpq. Применяя уравнение (6.17) в тех случаях, для которых краевые условия оказываются существенными, J лeдyeт помнить сделанное выше предупреждение о том, что решения, получаемые путем повышения порядка дифференциального уравнения при применении оператора д /дх и ему подобных, бесполезны для удовлетворения таких условий. [c.411]

Для случая упругого материала, когда материал следует закону Гука, явные решения можно получить, рассмотрев вместо уравнений равновесия принцип возможных работ, воспользовавшись выражением (6.14) для энергии упругой деформации и выражениями (6.18) для деформаций. Однако энергетические методы имеют много недостатков таких, как тот, что с их помощью можно получить решения только в виде рядов, которые в случае исследования локальных явлений сходятся, как уже отмечалось ранее, медленно. Поэтому в данном параграфе будут полуяены общие уравнения равновесия тонких оболочек. Для tOjo чтобы придать. выбираемым соотношениям между деформациями и перемещениями необходимую общность, будем стараться сначала вводить только такие допущения, которые соответствуют основополагаю- [c.425]

Решения нелинейных дифференциальных- уравцений, подобных (6.31з) и (6.31к), получать трудно,, поэтому задачи иногда решают с помощью стандартных энергетических методов, задавая соответствующие, аналогичные (6.12), представления для и, у и W с неизвестными коэффициентами, 1/р , Vpq и Wpq. Эти представления можно подставить в выражения для деформаций (6.31в), последние подставить в выражение (4.69) для энергии деформации и затем воспользоваться принципом возможных работ с тем, чтобы получить уравнения, число которых равнялось бы числу неизвестных коэффициентов. [c.457]

При исследовании этой задачи по теории больших прогибов с учетом начальных несовершенств будет использоваться уравнение (6.31к) при 6 = 1// и /а =/и = 0. Вместо использования парного ему уравнения (6.31з) относительно прогиба w, что потребовало бы совместного решения двух нелинейных уравнений в частных производных, применим комбинацию метода, основанного на использовании уравнения равновесия, и энергётического метода, что обсуждалось в 6.7 при рассмотрении этих двух уравнений. Согласно этрму подходу задается выражение для прогиба IV с неизвестными коэффициентами, далее путем интегрирования уравнения (6.31к) определяется, функция ф и заканчивается решение использованием принципа возможной работы, согласно которому вычисляется энергия деформации по выражениям (4.70) и (4.71). Число нелинейных алгебраических уравнений, которые требуется решать совместно при использовании описываемого подхода, ограничено числам неизвестных коэффициентов в выражении для прогиба w и длинами волн исходных членов уравнений. , [c.495]

Выражения (7.9о) и (7.9п) для энергии деформации содержат только параметры URfih и (которые считаются известными для цилиндрической оболочки любого вида), а также У, Л, к, Ъ. Неизвестный параметр % = яК/ЫЬ) содержит число п, тогда как параметр к, задаваемый выражением (7.9г), содержит величину а, таким образом, вместо исходных неизвестны х п, а, Ъ вводятся новые неизвестные величины %, к, Ъ.. Так же как и в случае осевого сжатия, где при использовании принципа возможной работы осевое укорочение принималось в качестве постоянной, с тем лтобы исключить работу, совершаемую внешними силами будем считать здесь объем F, а следовательно, и изменение AF постоянными (что теоретически возможно в том случае, когда цилиндрическая оболочка погружена в несжимаемую жидкость, находящуюся в абсолютно жестком контейнере) при возможных изменениях X, к з. Ь. Отсюда следуе1т, что, согласно принципу возможной работы, внешнее давление р не будет совершать работы при таких возможных изменениях указанных параметров,. и тогда находим дё 1дК = дё /дк = дё 1дЪ = 0. Из получающихся в результате трех уравнений можно найтд величины %, к ш Ь, выраженные через UR/h, и F, после чего можйо получить выражения для а, п, Р, а также м и ф. [c.524]

Как И в предыдущих исследованиях цилиндрических оболочек с начальными прогибами по теории конечных прогибов, представление (7.11а) подставлялось в уравнения (6.31к), где полагалось Ь = 1/Д, это уравнение интегрировалось, и из него определялась функция мембранных напряжений ф, при этом использовалось решение —Sxy (или —су 12 в. случае задачи о продольном сжатии) однородного уравнения. Полученное в результате выражение для функции ф и представление (7.11а) для прогиба w подставляются затем в выражения (4.70) и (4.71) для энергии деформации, отлуда, так же как и в ранее обсуждавшихся случаях, с помощью принципа возможной работы определяются неизвестные а, п, Яо и 6. [c.541]

При использовании принципа возможной работы с целью определения остальных неизвестных а ж Ь работа внёшних сйл считается, как ж в двух предыдущих случаях, равной нулю, так как кручение или относительный поворот концов цилиндрической оболочки полагается постоянной величиной относительно этих неизвестных. Угол закручивания равен dv/dx + djifdy)LIR. Ms третьего выражения (6.31и) получаем [c.542]

Данная глава начнется с обсуждения принципов возможных перемещений и возможной работы. Затем принцип возможной работы будет использован для формулировки метода единичной нагрузки, представляющего собой аесьма эффективный и полезный метод определения перемщений в конструкциях. Поел этого в качестве иллюстрации приложения метода единичной нагрузки рассматриваются прогиб )1 в балках за счет сдвига, В следующем разделе приводятся теоремы о взаимности перемещений и взаимности работ. Далее излагаются и демонстрируются на примерах методы податливостей и жесткостей, которые являются фундаментальными методами расчета конструкций. Наконец, вторая половица главы посвящена энергетическим методам. [c.417]

ДвойсгБ нно Ть представлений энергии деформации и дополнительной энергии служит основанием для некоторых исключительно мощных методов расчета конструкций. Эти методы применяются к исследованию как линейного, так и нелинейного поведения конструкций, и к ним относятся принцип возможной работы (уравне-ние (11.1)) и метод единичной нагрузки в его основной форме (см. уравнение (И.З)). Однако теоремы взаимности, метод податливости и метод жесткостей основываются на использовании способа наложения и, следовательно, применимы только к конструкциям с линейным поведением, В случае же метода единичной нагрузки исследование начиналось с вывода уравнения (11.3) для конструкций с нелинейным поведением, а затем как частный случай рассмат- [c.481]

См. fl.Il, стр, 25, 30—36, 39-—40 [соответственностр. 37, 43—50, 54 русского перевода], Замечание. Основное ( отношение, связывающеё кривизну с изгибающим моментом, впервые было получено Яковом Бернулли, хотя ему не удалось найти правильное значение п<х тоянной, входящей в это соотношение. Тем не менее его работа должна рассматриваться как первый вклад в решение задач о больших прогибах балок. Следуя совету Даниила Бернулли, Эйлер вновь вывел дифференциальное уравнение линии прогибов и приступил к решению различных задач об эластике см. [1.1J, стр. 27 стр. 39 русского перевода], 1.2], т. 1, ip. 30 и 34, а также 1.3], стр. 3 [стр. 17 русского перевода]. В I6.20] приведена известная статья Эйлера о линиях прогиба. После этого задачей об эластике занимался Жозеф Луи Лагранж (1736—1813), выдающийся итальянский математик ), впервые сформулировавший принцип возможной работы и сделавший весьма существенный вклад в динамику. Он рассмотрел консольную балку с нагрузкой на незакрепленном конце (см. 1.1], стр. 39—40 стр. 54 русского перевода], и [1.2], т. 1, стр. 58—61, а также статью Лагранжа [6.21]) краткая биография Лагранжа приведена в[6.4] на стр. 133 и в 6.5] на стр. 250. К числу первых ученых, занимавшихся теорией упругости, относится и Джиованни Антонио Амадео Плана (1781—1864), племянник Лагранжа, исправивший ошибки в работах Лагранжа по теории упругих кривых (см. [1,2], т. I, стр. 89—90, а также работу Плана [6,22]) биографические сведения о нем можно найти в [6.5]. Макс Борн в своей диссертации 6.23] исследовал эластику при помощи вариационных методов (см. [1.13], стр. 927—928 и 932 [c.553]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...