Дифференциальное уравнение линии прогибов

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ ЛИНИИ ПРОГИБОВ [c.209]

Теперь используем дифференциальное уравнение линии прогибов для получения прогибов свободно опертой балки. Если балка нагружена равномерно распределенной нагрузкой интенсивностью [c.213]

Прогибы балок, которые ранее определялись в данной главе, были получены решением приближенного дифференциального уравнения Е1ш"——М, которое справедливо при условии, что углы наклона балки малы. Когда углы наклона, а следовательно, и прогибы становятся большими, необходимо использовать точное дифференциальное уравнение линии прогибов. Это уравнение, основанное на допущении о том, что материал балки остается линейно упругим, имеет следующий вид (см. уравнения (6.1) и (6.2)) [c.254]

Зс ти 6.3.3—6.3.6 следует решать путем интегрирования дифференциального уравнения линии прогибов. [c.261]

Поведение статически неопределимых балок можно проанализировать, решив дифференциальное уравнение линии прогибов. Процедура по существу совпадает с такой же процедурой для статически определимой балки (см. разд. 6.1—6.3) и заключается в составлении дифференциального уравнения, получении его общего решения и затем использовании граничных условий для вычисления постоянных интегрирования. Использовать можно одно из следующих урав- [c.271]

Получить выражение (10.14) для максимального прогиба продольно сжатого стержня с начальным прогибом, решив дифференциальное уравнение линии прогибов. [c.415]

Значения обусловленных ДвИГом прогибов, определяемые из дифференциального уравнения Линии прогибов или из уравнения [c.440]

Основная идея метода состоит в замене дифференциального уравнения линии прогибов его конечно-разностным уравнением, полученным для нескольких точек по длине балки. При составлении и решении уравнений ось х графика (рис. 6.6, б) характеризующего изменение функции Y = f х) делится на ряд интервалов длиной h, кг, hi,..., hi, равных между собой, т.е. Н = Ьг = Ы =. .. = hj = h. [c.369]

Рассматриваемый ниже метод представления решения дифференциального уравнения линии прогибов имеет важное методическое значение, поскольку он часто используется в различных задачах сопротивления материалов и строительной механики. [c.234]

Его сущность состоит в том, что для характерного набора частных нагрузок общий интеграл дифференциального уравнения линии прогибов строится как набор соответствующих частных решений, причем в качестве произвольных постоянных выбираются прогиб Vq, угол поворота [c.235]

Если балка нагружается изгибающим моментом М, действующим в плоскости симметрии сечения, то можно определить уравнение линии прогиба у = у (х) из дифференциального уравнения [c.113]

На рис. 6.4 изображена консольная балка, защемленная на левом конце и несущая равномерно распределенную нагрузку интенсивностью д. Для того чтобы получить уравнение линии прогибов этой балки, можно воспользоваться тем же способом, что и в случае свободно опертой балки, т. е. решить любое из трех дифференциальных уравнений (6.9). Если начать с уравнения (6.9а) второго поряд- [c.217]

Метод конечных разностей является численным методом, который может быть использован для определения прогибов балок. Он особенно удобен, когда на балку действует нерегулярная нагрузка или когда исследуется непризматическая балка. Основная идея метода состоит в замене дифференциального уравнения линии проги- [c.233]

Из конечно-разностного выражения (6.29) для второй производной и дифференциального уравнения (6.5) линии прогибов получим уравнение линии прогибов в конечно-разностной форме [c.234]

Иной подход, который может быть применен для анализа изображенной на рис. 7.19 балки, состоит в решении диф( )еренциального уравнения линии прогибов. Для данного примера это дифференциальное уравнение таково [c.295]

Прогибы и углы наклона упругой линии вала определяют, решая дифференциальное уравнение упругой линии балки (см. 11.5). Для простых случаев следует пользоваться готовыми формулами для углов поворота 9 и прогибов у, приведенными в табл. 27.2. Найденные значения 0 и у не должны превышать допускаемых значений. [c.318]

Расчет ма прочность в этом случае связан с необходимостью опре-деления прогиба. При продольно-поперечном изгибе принцип сложения действия сил неприменим, поэтому прогибы нельзя определять с помощью интеграла Мора и способом Верещагина. Перемещения при продольно-поперечном изгибе определяют интегрированием дифференциального уравнения упругой линии. [c.254]

Следует проиллюстрировать интегрирование дифференциального уравнения упругой линии на двух простых примерах, скажем, определить прогибы и углы поворота свободного конца простой консоли при ее нагружении сосредоточенной силой на свободном конце и равномерно распределенной нагрузкой по всей длине. [c.135]

Условие жесткости балки имеет вид /<[/], т. е. максимальный прогиб (стрела прогиба) не должен превышать допускаемого. Очевидно, в нашем случае максимальный прогиб имеет местом посередине пролета. Для его определения составляем дифференциальное уравнение упругой линии для II участка балки, добавляя распределенную нагрузку (до середины пролета) и прикладывая направленную снизу вверх компенсирующую нагрузку, как показано на рис. 6-31, [c.135]

Задачи 386—387. В задаче 386 определить прогибы / и углы поворота 0 сечений балок методом интегрирования дифференциальных уравнений упругой линии [c.146]

Чтобы резко сократить число неизвестных произвольных постоянных, сведя решение к определению только двух постоянных интегрирования, необходимо обеспечить равенство соответствующих постоянных на всех участках балки. Это равенство может быть только тогда, когда в уравнениях- моментов, углов поворота и прогибов при переходе от участка к участку повторяются все члены предыдущего участка, а вновь появляющиеся слагаемые обращаются в нуль на левых границах своих участков. Для обеспечения этих условий при составлении дифференциальных уравнений упругой линии и их интегрирования должны соблюдаться следующие правила [c.302]

Тот же прогиб получается путем интегрирования дифференциального уравнения упругой линии в виде [c.367]

При составлении дифференциального уравнения упругой линии изгибающий момент можно рассматривать как сумму момента поперечных сил Мп и момента продольной силы Ру. При этом, поскольку прогибы считаются малыми, момент М зависит в явном виде только от z и не зависит ни от у, ни от продольной силы Р [c.537]

Составляем дифференциальные уравнения упругой линии для каждого из участков, интегрируем их с учетом граничных условий для конца стержня и для места сопряжения участков. Сравнивая прогибы посередине для полученной и заданной упругих линий, находим критическую силу. [c.388]

Для того чтобы вывести дифференциальное уравнение линии прогибов, воспользуемся соотношением между кривизной 7i и изгибающим шментом М (ем. формулу (5.9)). Однако теперь следует иметь в виду, что правило знаков для кривизны изогнутой оси связано с выбранными направлениями осей к-оор динат. Если принять, что ось X направлена вправо, а ось у — вниз, как показано на рис. 6.1, а, то кривизна оси балки положительна в том случае, когда при изгибе балка обращена вогнутостью вниз, и отрицательна, когда балка обращена вогнутостью вверх. Таким образом, кривиаиа изображенной на рис. 6.1, а балки отрицательна. [c.209]

Иногда для нахождения прогибов и углов поворота непризматической балки можно использовать дифференциальное уравнение линии прогибов. Рассмотрим балку, изображенную на рис. 6.15, а. Предполагается, что эта балка подкреплена на центральном участке, так что на этом участке 1ломент инерции вдвое больше момента инерции на концевых участках. Дифференциальное уравнение линии прогибов (6.9а) для левой половины балки должно быть записано в виде двух соотношений [c.230]

Приведем еще один пример задачи о заполняемой емкости, а именно яредпо-.ножим, что на первоначально прямую свободно опертую балку действует равномерно распределенная нагрузка интенсивностью до- Вследствие изгиба при заполнении емкости появляется дополнительная нагрузка дх зую, где зу— полный прогиб балки. Следовательно, полная нагрузка будет и дифференциальное уравнение линии прогибов примет вид [c.244]

Знак минус в этом уравнении поставлен для того, чтобы сохранить принятое ранее правило знаков заметим, что когда Та больше, чем Гц кривизна будет отрицательной. Величина (Га—ТхУН является аналогом величины М1 Е1), которая ранее входила в дифференциальное уравнение линии прогибов. [c.246]

Используя дифференциальное уравнение линии прогибов, найти выражение для критической нагрузки и соответствующую форму выпучивания при потере устойч явости шарнирно опертого по обоим концам стержня при продольном сжатии (см. рис. 10.6, а). [c.412]

См. fl.Il, стр, 25, 30—36, 39-—40 [соответственностр. 37, 43—50, 54 русского перевода], Замечание. Основное ( отношение, связывающеё кривизну с изгибающим моментом, впервые было получено Яковом Бернулли, хотя ему не удалось найти правильное значение п<х тоянной, входящей в это соотношение. Тем не менее его работа должна рассматриваться как первый вклад в решение задач о больших прогибах балок. Следуя совету Даниила Бернулли, Эйлер вновь вывел дифференциальное уравнение линии прогибов и приступил к решению различных задач об эластике см. [1.1J, стр. 27 стр. 39 русского перевода], 1.2], т. 1, ip. 30 и 34, а также 1.3], стр. 3 [стр. 17 русского перевода]. В I6.20] приведена известная статья Эйлера о линиях прогиба. После этого задачей об эластике занимался Жозеф Луи Лагранж (1736—1813), выдающийся итальянский математик ), впервые сформулировавший принцип возможной работы и сделавший весьма существенный вклад в динамику. Он рассмотрел консольную балку с нагрузкой на незакрепленном конце (см. 1.1], стр. 39—40 стр. 54 русского перевода], и [1.2], т. 1, стр. 58—61, а также статью Лагранжа [6.21]) краткая биография Лагранжа приведена в[6.4] на стр. 133 и в 6.5] на стр. 250. К числу первых ученых, занимавшихся теорией упругости, относится и Джиованни Антонио Амадео Плана (1781—1864), племянник Лагранжа, исправивший ошибки в работах Лагранжа по теории упругих кривых (см. [1,2], т. I, стр. 89—90, а также работу Плана [6,22]) биографические сведения о нем можно найти в [6.5]. Макс Борн в своей диссертации 6.23] исследовал эластику при помощи вариационных методов (см. [1.13], стр. 927—928 и 932 [c.553]

Большие прогибы стержней. При выводе уравнения линии прогибов (уравнения (d)) Величина максимального прогиба б оставалась неопределенной. Поэтому был сделан вывод, что при Я=Якр стержень может иметь произвольный мальга прогиб это условис представлено на рис. 10,5 горизонтальной прямой. Теория ограни- <йвалась малыми прогибами, Носкольку вместо точного выражения (6.10) для кривизны стержня использовалось приближенное значение w". Для некоторых случаев было получено решение точного дифференциального уравнения (см. Е10.1]) и показано, что в действительности не существует неопределенности в прогибах стержней. Вместо этого оказывается, что для идеального упругого стержня диаграмма зависимости нагрузки от прогиба соответствует штриховой кривой А на рис. 10.5. Если после возникновения больших прогибов напряжения в стержне превысят предел пропорциональности, то график зависимости нагрузки от прогиба будет отклоняться вниз, от кривой А. [c.397]

А. Kalnins [3.1171 (1961) уточнил соотношения, полученные в своей предыдущей работе, применительно к исследованию неосесимметричных колебаний упругих сферических пологих оболочек введением продольной и поперечной инерции, а также поперечного сдвига, с целью расширения пределов применимости теории по частотам и толщинам по сравнению с классической теорией оболочек. Задача приведена к трем независимым дифференциальным уравнениям относительно прогиба и двух функций, определяющих перемещения вдоль линий кривизны. Приведено решение этой системы и рассмотрены свободные колебания оболочки, защемленной по краю. Частотный спектр пологой оболочки подразделяется на три части, которые соответствуют трем доминирующим формам колебаний сдвиговая по толщине, продольная, поперечная. [c.208]

М. J. Forrestal и М. J. Sagartz [3.87] (1970) по аналогии со своей предыдущей работой [3.1531 применили метод интегральных преобразований Лапласа и вычислили нестационарные напряжения изгиба и сдвига в заделке полубесконечной ортотропной круговой цилиндрической оболочки под воздействием равномерно распределенного радиального импульса типа -функции Дирака во времени. Они исходили из уточненных уравнений типа Тимошенко, ввели упрощающее предположение об отсутствии продольного усилия и свели задачу к интегрированию системы дифференциальных уравнений относительно прогиба w и угла поворота нормали гр. Расчетным путем было установлено, что с увеличением отношения E/G изгибные напряжения уменьшаются и расхождение уточненной теории с классической теорией Кирхгофа—Лява сильно возрастает. Результаты приведены на фиг. 3.8 и 3.9, где сплошная линия относится к теории оболочек типа Тимошенко, пунктир — к классической теории изгиба оболочек. [c.220]

Пластинчатая пружина, свободно опертая на гладкие неподвижные опоры 1, изгибается приложенной в середине силой Q=25 Г. Путем решения точного дифференциального уравнения упругой линии dHlds—MlEJ найти размеры Ь и h поперечного сечения пружины, ее длину 21, расстояние между опорами 2с и прогиб / середины О, чтобы напряжение не превышало [сг] = [c.148]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...