Понтрягина принцип максимума

Разработаны многочисленные методы рещения задачи оптимизации при различных видах целевой функции, уравнений связи и типах ограничений, которые условно можно подразделить на две группы а) классические (метод дифференциального исчисления, метод множителей Лагранжа, вариационное исчисление) б) метод математического программирования (методы линейного и нелинейного программирования, метод динамического программирования, принцип максимума Понтрягина и др.). [c.555]

Методы решения математических задач по нахождению оптимальных значений управляющих переменных величин называют математическим программированием. Общих математических методов нахождения экстремумов функций любого вида при наличии произвольных ограничений не существует. В частных случаях пользуются специальными методами. Если ограничения отсутствуют, а операция описывается обыкновенными дифференциальными уравнениями, пользуются классическими методами нахождения экстремума с помощью дифференциального и вариационного исчислений. При наличии ограничений применяют принцип максимума Понтрягина, развивающий и обобщающий задачи вариационного исчисления. [c.458]

Решение задач оптимального управления ПР основано на использовании принципа максимума Л. С. Понтрягина и метода динамического программирования. Поиск оптимального решения многовариантной задачи производится с использованием ЭВМ. [c.521]

Дальнейшее развитие получила в 50—60-х годах теория оптимальных систем. Алгоритмы строго оптимальных управляющих устройств могут оказаться весьма сложными. Однако для систем не очень высокого порядка п — 3 -ь- 4) можно получить вполне приемлемые по простоте и весьма близкие к оптимальным алгоритмы управления. Задача об оптимальном управлении в общем случае была решена в 1956 г. Л. С. Понтрягиным и его учениками. Ими был установлен принцип максимума, позволивший решать широкий круг задач теории оптимальных систем. В дальнейшем был получен другой оригинальный вывод принципа максимума и была доказана достаточность этого принципа для линейных систем была впервые выяснена связь между принципом максимума и динамическим программированием и был выведен принцип максимума для линейных дискретных систем. На основе принципа максимума была развита теория оптимальных систем, в которых управляемый объект характеризуется распределенными парамет- [c.271]

Чтобы лучше понять принцип максимума Понтрягина, установим его связь с вариационным методом Лагранжа. Предположим для этой цели, что функции Ф имеют непрерывные производные не только по и но и по j, что функции Ui x) и ai x) являются непрерывно дифференцируемыми функциями и что ограничения (7.52), (7.53) отсутствуют. Используя переменные множители Лагранжа, напишем модифицированный функционал (7.75) в виде [c.267]

Сформулированные выше вариационные задачи (поиск управления, минимизирующего (1)) отвечают идеализированной по-становке задачи управления манипулятором, в которой не учтены ограничения на величины относительных перемещений звеньев манипулятора, а также на величины соответствующих скоростей и ускорений. Учет этих ограничений приводит к необходимости использовать принцип максимума Л. С. Понтрягина или метод динамического программирования, требующие большого объема вычислений. [c.28]

ПРИНЦИП МАКСИМУМА Л. С. ПОНТРЯГИНА И ВОЗМОЖНОСТИ ЕГО ИСПОЛЬЗОВАНИЯ В ЗАДАЧАХ ПРЕДЕЛЬНОГО АНАЛИЗА [c.70]

Применение аппарата математического программирования при решении задач предельного равновесия и приспособляемости сплошных тел вынуждает заменять строгие формулировки этих задач приближенными, использующими дискретные модели. Большие размеры получаемых при этом матриц ограничивают область приложения. В то же время имеются математические методы, позволяющие решать задачи предельного анализа непосредственно для сплошной среды—это методы математической теории оптимальных процессов, в частности принцип максимума Л. С. Понтрягина [13, 15, 121]. В задачах механики деформируемых тел этот принцип, по-видимому, впервые был применен А. И. Лурье [94]. [c.70]

Определим условия прогрессирующего изгиба на основании статической теоремы о приспособляемости с помощью принципа максимума Л. С. Понтрягина (см. 9). [c.191]

Методы математического программирования можно разделить на аналитические и численные. К первым относятся методы, основанные на дифференциальном и вариационном исчислении, на принципе максимума Понтрягина и на достаточных условиях Кротова и др. ко вторым относятся методы, основанные на линейном, динамическом и нелинейном программировании, [c.164]

Если имеются ограничения на параметры, управление является функцией независимых переменных, а модель представляет собой набор аналитических зависимостей, могут быть применены принцип максимума Понтрягина и методы, основанные на достаточных условиях Кротова. [c.164]

Для реализации такого подхода предлагается использовать принцип максимума А. С. Понтрягина, применяемый для решения задач об оптимальном управлении. Принцип максимума состоит в том, что для многих управляемых систем может быть построен такой процесс регулирования, при котором само состояние системы в каждый момент подсказывает наилучший с точки зрения всего процесса способ действия [11]. В соответствии с этим принципом условие минимальности целевой [c.96]

Традиционные методы оптимизации, основанные на принципе максимума Л. С. Понтрягина [21, 58], сводят задачу к отысканию оптимального программного управления Up (i), после чего оптимальное ПД дСр (О получается как решение уравнения динамики [c.56]

Добавляя критерий оптимальности и ограничения, можем сформулировать задачу оптимального управления найти такое управление (воздействие приводного механизма на простейшую модель), которому соответствует экспериментальное значение критерия оптимальности при заданных ограничениях. Задачу можно решать разными методами с помощью принципа максимума Понтрягина [5 [4, 8—10, 12, 25, 41, 48 и др.]) динамического программирования [5] вариационными [44] используя инженерные рассуждения [1, 7, 13, 22, 29, 32, 34, 41 и др.] численными [44] ([27]) моментов ([46]). [c.119]

Некоторые аналитические решения задачи проектирования круглых пластин получены на основании теории предельного равновесия [133]. Известны попытки применения методов теории управления и принципа максимума Понтрягина для проектирования диска [25, 40, 66]. Эта задача решается в предположении, что материал подчиняется определенному критерию текучести при наложении ограничений на эту величину и определении оптимального управления (закона распределения толщин), отвечают,его заданным ограничениям при минимуме массы. Перечисленные методы позволяют решать некоторые частные задачи. [c.202]

Второй подход связан с применением характеристических рядов для представления решений в отдельных зонах. Здесь получены точные или приближенные аналитические решения ряда одномерных экстремальных задач, когда за фиксированный промежуток времени требуется сжать плоский, цилиндрический или сферический слой газа до произвольной конечной степени при наименьших затратах энергии. С использованием аналитических конструкций и принципа максимума Понтрягина удалось построить законы оптимального управления с одной точкой переключения для серии такого типа задач. [c.10]

Поставлена и решена задача о безударном холодном сжатии одномерных (плоского, цилиндрического и сферического) слоев баротропного газа, требующем для достижения заданной степени сжатия минимальной внешней энергии. Начальное состояние газа предполагается однородным. В плоском случае получено точное решение задачи (построены законы оптимального управления движением поршня) с использованием принципа максимума Л.С. Понтрягина, в цилиндрическом и сферическом — приближенное с использованием метода характеристических рядов. В плоском случае найдена величина энергетического выигрыша по сравнению с традиционным автомодельным способом сжатия, оказавшаяся достаточно заметной и зависящей от вида уравнения состояния. Приведены результаты численных расчетов для изученного более подробно цилиндрического случая, которые проведены на основе построенного аналитически закона оптимального управления движением поршня с одной точкой переключения управления. Часть результатов в кратком изложении содержится в [Г. [c.403]

Рассмотрим задачу о построении оптимального управления v t) в классе допустимых управлений V г (t) v (t) 0 , минимизирующего функционал (4.1). При помощи принципа максимума Понтрягина задача сводится к минимизации функции [c.410]

После этого поставленная задача является классической задачей оптимального управления, для решения которой можно эффективно воспользоваться принципом максимума Понтрягина [7 . [c.420]

С помощью принципа максимума Понтрягина задачу сведем к минимизации функции [c.423]

К аналитическим методам оптимизации относятся методы дифференциального и вариационного исчисления, а также принцип максимума Понтрягина. При использовании методов дифференциального исчисления оптимальное значение функции одной переменной Ф (х) находится из уравнения = О, если ограничения [c.186]

Общим свойством таких конструкций оказалось постоянство мощности диссипации энергии в единице объема тела, во всех точках которого должно происходить пластическое течение. На основе этой теории решены некоторые задачи оптимального проектирования плит и оболочек. Если рассматривать конструкцию как некоторую большую систему, для которой надлежит найти оптимальное управление, то для задач оптимального проектирования весьма полезными оказываются такие методы технической кибернетики, как динамическое программирование и принцип максимума Л. С. Понтрягина. [c.271]

Заключительный 4.3 главы состоит из двух частей. В каждой из них рассматривается задача об оптимальном программировании реактивного ускорения как результата действия силы тяги реактивного двигателя. В первой части эта задача анализируется в рамках классического вариационного исчисления, когда на минимизируемый функционал качества накладываются дополнительные дифференциальные (неголономные) и краевые условия. Большое внимание уделяется изучению свойств оптимального режима движения и выявлению его особенностей в критических точках траектории. Во второй части параграфа для решения аналогичной задачи предлагается воспользоваться методами теории оптимального управления, поскольку на управление (реактивное ускорение) дополнительно накладываются ограничения в виде неравенств. В качестве универсального средства синтеза оптимального управления выбран принцип максимума Понтрягина. [c.106]

Параллельные исследования задач теории автоматического управления привели Л.С. Понтрягина к открытию принципа максимума, позво- [c.85]

В практических задачах ограничения нередко образуют некоторое замкнутое множество допустимых значений управлений. В таких случаях решение соответствующей задачи оптимального управления на основе классических методов вариационного исчисления становится невозможным. В рамках подобных задач и были созданы принцип максимума Понтрягина и метод динамического программирования Беллмана, образовавшие ядро современной математической теории управления. [c.63]

В задачах первого типа требуется найти законы изменения управляющих сил и моментов, обеспечивающие перемещение механической системы за заданное время из начального фазового состояния в заданное целевое множество с минимальными затратами на преодоление сил сопротивления среды. Такие задачи имеют следующие особенности. Во-первых, они нерегулярны [26], если только в текущее выражение для мощности сил сопротивления не входят в явном виде управляющие воздействия. Действительно, действующие на механическую систему управляющие силы и моменты входят в уравнения ее движения линейно. Отсюда гамильтониан зависит от управляющих сил и моментов также линейно. Поэтому уравнения Эйлера-Лагранжа не содержат в явном виде управляющие воздействия и, следовательно, не позволяют формально определить их оптимальные значения в терминах фазовых и сопряженных переменных. Во-вторых, как показывает опыт, это верный признак того (и так оно оказалось), что оптимальные программы изменения управляющих сил и моментов имеют импульсные составляющие. Поэтому классические вариационные средства непосредственно не применимы для нахождения оптимальных программ (в [12] дано обобщение принципа максимума Понтрягина на простейшие классы импульсных управлений). Задачи, исследованные во второй и третьей главах, принадлежат данному типу. [c.39]

Необходимые условия оптимальности в рассмотренных задачах были сформулированы в виде соответствующих принципов максимума, в каждом из которых основным содержанием является условие максимума функции Понтрягина. В частности, в задаче с условиями (1.5) эта функция определяется формулой [c.9]

Полюс мнра 17 Помехи радиосвязи 270—275 Понтрягина принцип максимума 179, 180 Посадка 91, 115 Пo тoянttaя со ше птач 26 [c.429]

Подобный s(/) предложено назвать диноптимальным. Для синтеза s t), отвечающего выставленным требованиям, приходится использовать принцип максимума Л. С. Понтрягина (см. Математическая теория оптимальных процессов. Наука , 1969). [c.111]

Принцип максимума Понтрягина. Обобщением вариационного метода Лагранжа является метод, основанный на принципе максимума Понтрягина [256]. Он был разработан применительно к задачам теории оптимального управления, однако то обстоятельство, что он дает возможность искать оптимальные решения среди более широкого класса функций, делает его применение перспективным и к решенпю задач акустической оптимизации машинных конструкций [207, 346, 355, 356]. Метод состоит в следующем. [c.266]

В теории оптимальных процессов существуют два основных метода решения этой задачи метод динамического програмиирования и принцип максимума Понтрягина /3/. [c.73]

Для решения практических задач используется принцип максимума Понтрягина [55], дгющий необходимые условия оптимальности. Достаточность этих условий выявляется на основании физической сущности задачи. [c.462]

Таким образом, существенным недостатком классического вариационного исчисления является практическая невозможность учета в сложных задачах ограничений в форме неравенств. В современной математике разработан ряд методов учета таких ограничений—метод штрафных функций, методы возможных направлений (проекционные методы), метод модифицированных множителей Лагранжа, принцип максимума Понтрягина. Первые два метода, используемые в данной работе, будут рассмотрены ниже более подробно. Анализ метода модифицированных множителей Лагранжа применительно к энергетическим задачам проведен в работах [Л. 47, 48]. Исследования по применению принципа максимума Понтрягина к задаче оптимизации долгосрочных режимов ГЭС только еще начаты в работах Л. С. Беляева, Далина, Шена, Нариты [Л. 48, 95, 96]. Авторы отмечают большую перспективность этого метода решения задачи. Исследования но применению принципа максимума Понтрягина, по-видимому, позволят дать объективную оценку этому методу. В настоящей работе этот метод не рассматривается. Р ешение задачи на основе интегрирования дифференциальных уравнений Эйлера не получило в настоящее время распространения, хотя и не доказано, что оно бесперспективно. [c.37]

Решение задач оптимального управления строится при помощи-принципа максимума Л. С. Понтрягина, метода динамического программирования и других методов теории оптимальных процессов [6, 14, 16, 23, 24]. Для колебательных систем со многими степенями свободы задачи оптимального управления представляют, как правило, значительные математиче ки е и вычислительные трудности. Применение вычислительных методов, эффективных для построения программных управлений, затруднено в случае построения синтеза оптимального управления. [c.370]

Задача решалась с помощью принципа максимума Л. С. Понтрягина [32]. Приведенные на рис. VI. 1.1, а, б временные и стилизованная зависимости для одного из частных случаев движения (скорость тележки не выходит на ограниче- ния) показывают, что в первой фазе разгона груз отстает от тележки, в следующей фазе торможения начинает ее догонять и к началу второй фазы ускорения перегоняет ее с максимальной скоростью. Опережение груза s заключительной фазе торможения умельщается, и тележка останавливается без последующих колебаний груза. В случае перемещений на небольшие засетаяаия можно полу чить о рнцательные скорости теле кки. [c.373]

Определение условий прогрессирующего разру-щения сплошного тела (как и родственная проблема предельного равновесия) требует решения неклассической вариационной задачи, включающей дифференциальные уравнения равновесия или совместности, ограничения на величины переменных (напряжений или приращений деформации), входящих в соответствующие уравнения, и подлежащий максимизации или минимизации критерий оптимальности (целевая функция), которым обычно является один из-параметров, определяющих внешние воздействия. Аппарат для строгого решения задач такого типа на основе любой из теорем теории приспособляемости дает математическая теория оптимальных процессов [43]. Решение одномерных задач предельного равновесия и приспособляемости пластин и оболочек с помощью принципа максимума Л. С. Понтрягина рассматривалось в работах [10, [c.37]

Определение оптимальной управляющей переменной является задачей динамической оптимизации, которая может быть решена с использованием методов вариационного исчисления, принципа максимума Понтрягина или принципа оптимальности Веллмана [c.138]

Механический смысл подсказывает, что в задаче 1) управление должно быть все время постоянно и направлено к положению х = 0. В задаче 2) управление кусочно-постоянно и работает в режиме разгон-торможение точки (рис. 2.5.1). (Строгое решение этих задач на основе принципа максимума можно найти в монофафии Л.С. Понтрягина и др. [1961].) [c.139]

ИсаевВ К, Принцип максимума Л С Понтрягина и оптимальное программирование тяги ракет Автоматика и телемеханика , т XX, № 8, М, 196 , и т XXIII, вып. 1, М, 1962 [c.391]

Ценность результатов Ф.А. Слободкиной еще более возросла, в связи с особенностями вариационных задач, обнаруженными для разных переходов через М = 1. Дело в том, что ключевым элементом непрямых методов их решения является сопряженная задача для множителей Лагранжа или для вектор-функции принципа максимума Понтрягина . Дифференциальные уравнения сопряженной задачи, отвечающие режимам с подобными переходами, при М = 1 также имеют особенность. При этом, если переход через М = 1 у уравнений [c.17]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...