Экстремалей уравнения

При этом, конечно, уравнения (3.44)-(3.46) не выполняются. Пусть найдено решение задачи 3. Предположим, что экстремаль Ьк найденного решения лежит целиком в области [c.101]

При V = 1 уравнения на экстремалях упрощаются. В случае независимой переменной у из (2.36), (2.37), (2.11), а также из (2.30) с учетом (2.36), (2.37), соответственно получаем [c.102]

Вторая вариация 6 1 будет вычисляться вначале для интеграла в (4.1) при фиксированном верхнем пределе. Выберем на экстремали некоторую точку и. Вместо экстремали рассмотрим какую-либо линию ии. Величина интеграла в (4.1) будет меняться в зависимости от выбора линии иг. Действительно, в качестве свободной выбрана функция а у), функции /3(1/), Ф у), А2(у), Хз(у) связаны сука уравнениями (2.15), (2.11), (2.30), (2.29) и, следовательно, подынтегральное выражение в (4.1) зависит от пути а у), соединяющего исходную точку и с интересующей нас точкой V. Особыми точками подынтегрального выражения могут быть точки, в которых 81п(1 - а) = о, как это следует из выражений для Фа, Фд, Ф , приведенных в (2.28)-(2.30). Существенно, однако, что в малых окрестностях регулярных точек экстремали, которые не пересекаются самой исследуемой экстремалью, подынтегральное выражение в (4.1) не меняет знака. В противном случае рассматриваемые окрестности экстремали пересекались бы новыми линиями, на которых первая вариация 61 обращается в нуль. Таким образом, достаточно каким-либо одним путем определить знак второй вариации I. Выберем следующий путь. В окрестности регулярной точки и построим бесконечно малый элемент характеристики ии, не совпадающий с экстремалью. Пусть этот элемент таков, что величины 6а и у на нем имеют один порядок малости. Здесь под 6а подразумевается разность между а на иг и а на экстремали при фиксированном значении у. [c.109]

На прямом пути удовлетворяются уравнения Лагранжа системы поэтому все выражения, стоящие в скобках под знаком интеграла в формуле (61), тождественно равны нулю. Отсюда сразу следует, что на прямом пути вариация действия по Гамильтону равна нулю, т. е. что прямой путь является экстремалью рассматриваемой вариационной задачи — на прямом пути действие по Гамильтону достигает стационарного значения. [c.279]

Легко показать, что экстремаль является инвариантом преобразований, т. е. если преобразования (62) выполняются одновременно над кривой пучка, представляющей собой экстремаль, и над функционалом, то преобразованная кривая остается экстремалью для преобразованного функционала. Отсюда и из обратного утверждения принципа Гамильтона (см. выше) сразу следует, что преобразованный прямой путь удовлетворяет уравнениям Лагранжа с лагранжианом L, который определяется по формуле (64). [c.281]

Согласно теореме 8.11.2, экстремаль этого функционала удовлетворяет уравнению Эйлера [c.605]

Уравнения Лагранжа являются не чем иным, как дифференциальными уравнениями экстремалей интеграла (4) в случае существования силовой функции. Эти уравнения можно было бы, следовательно, получить, применяя основные формулы вариационного исчисления. [c.224]

Покажем, что дифференциальные уравнения экстремалей интеграла (3) представляют собой в точности уравнения Лагранжа. Уравнения экстремалей ), на основании общих формул вариационного исчисления, будут [c.228]

Это уравнения экстремалей, выраженные через независимую переменную X. Задача заключается теперь в том, чтобы возвратиться к независимой переменной 1. [c.228]

С другой стороны, к множителям при производных в уравнениях экстремалей можно применить теорему живой силы, которая приводит, как мы видели выше, к подстановке [c.229]

В результате всех подстановок уравнения экстремалей приводятся к виду [c.229]

Мы можем употреблять термин А-динамика, когда нужно сказать, что теория основана на вариационном уравнении (65.4) и его экстремалях (65.3). Аналогично можно ввести термин L-динамика для уравнения (65.5) и экстремалей (65.6). [c.216]

Таким образом, кривая yo t) является геодезической тогда и только тогда, когда вдоль нее выполнено тождество (2) и она является экстремалью функционала (1) в смысле принципа Гамильтона. Выпишем уравнения Эйлера—Лагранжа для этого функционала [c.171]

Экстремали рассматриваемой вариационной задачи находятся как интегральные кривые уравнения Эйлера. Если уравнение Эйлера второго порядка, то семейство экстремалей зависит от двух параметров, которые находятся из граничных условий (15.4). [c.443]

Знание ветвей стационарной кривой и, в частности, локальных экстремалей для приведенного момента М (ср, Т) всех действующих сил позволяет Уточнять поведение интегральных кривых уравнения движения машинного агрегата по отношению друг к другу. [c.255]

Для оптимального управления движением манипулятора требуется предварительное (до начала движения) вычисление его конечного состояния, сводящееся в рассмотренном случае к отысканию минимума функции / на конечном числе точек, являющихся корнями трансцендентных уравнений (14) или (22). Для более сложных кинематических схем манипуляторов число таких уравнений может совпадать с числом управляемых координат, а уравнения экстремалей при задании траектории движения могут быть проинтегрированы только численно, что дополнительно усложняет и без того нетривиальную задачу поиска всех экстремалей, удовлетворяющих условию трансверсальности [6]. Такие предшествующие процессу управления вычислительные процедуры являются неизбежной и в большинстве случаев чрезмерной платой за минимизацию функционала /. Есть причины, вынуждающие отказаться от строгих методов оптимизации, т. е. методов, обеспечивающих отыскание экстремума 1) разрыв между получением системой двигательного задания и началом движения, равный времени вычисления оптимального управления 2) неопределенность двигательной задачи при неполной информации о состоянии окружающей среды, когда эта задача доопределяется в процессе движения, и предварительное отыскание конечного состояния манипулятора либо невозможно, либо должно быть основано на статистическом подходе. Обе причины существенны, когда система управления двия<ением предназначена для выполнения разнообразных, не повторяющихся двигательных задач. При управлении циклически повторяющимся движением процесс оптимизации может быть проведен один раз, а его результаты использованы неоднократно [c.32]

Кривая =/(д ), удовлетворяющая этому уравнению, называется экстремалью. [c.251]

Для нахождения экстремальных значений критериев X, х, необходимо решить соответствующие вариационные уравнения. Уравнения экстремалей имеют вид [4] [c.255]

Исходное предположение о том, что функция У(х) является экстремалью функционала (П2.36), привело к необходимости решения уравнения (П2.40) для определения вида этой функции. Отметим, что вьфажение которое является производной функции J a) по а в точке а = 0, в вариационном исчислении обычно обозначается 67 и в таком обозначении необходимое условие экстремума функционала совпадает с (П2.33). [c.270]

Теперь для функционала (П2.67) можно решать обычную вариационную задачу об определении экстремалей с заданными граничными условиями. При этом решение такой задачи будет зависеть от неопределенных множителей Ж.Лагранжа, которые определяются из замкнутого множества уравнений, получаемого подстановкой этих решений в интегральные ограничения типа (П2.66). [c.280]

Таким образом, постановка вариационных задач заключается в записи функционала и определении условий для нахождения его экстремума. Определение экстремалей функционала из дифференциальных уравнений типа Л.Эйлера-Ж.Лагранжа с соответствующими гранич- [c.280]

Уравнение экстремалей для данного функционала, построенное по. стандартному образцу [c.115]

Носовая часть онтимальной кривой находится среди экстремалей уравнения Эйлера, поэтому можно искать ее в более узком классе допустимых линий, содержагцем только одни экстремали. Это позволяет варьировать соотношения (8). [c.377]

Интегральные кривые уравнения Зйлера у = у(х, l, Со) называются экстремалями. [c.403]

Записанный так функционал, определенный на пучке (40), носит название действия по Гамильтону и играет важную роль при исследовании движения а потенциэотьных полях. Из сказанного следует, что движение, удовлетворяют, е уравнениям Лагранжа, представляет экстремаль функционала (48). В следующем параграфе мы докажем приведенную выше теорему Эйлера для однопараметрического пучка специального типа, пока же выведем формулу для вариации действия эта формула потребуется нам в дальнейшем. [c.275]

Рассмотренный способ позволяет привести к гамильтоновой форме системы уравнений, полученные феноменологически и не являющиеся экстремалями какой-либо вариационной задачи. Особый интерес представляют уравнения, описывающие химические реакции, различные экономические или экологические систсмы. После приведения к гамильтоновой форме решение уравнении может быть получено па основе мощных методов теории КП. [c.314]

Отметим, что вариационный метод позволяет получать не только дифференциальные уравнения проблемы, но одновременно и недостающие 1) граничные условия. Эти граничние условия, называемые естественными, не обуславливаются внешними обстоятельствами и вытекают из сути самой вариационной задачи. Удовлетворение естественным граничным условиям необходимо для соблюдения экстремума функционала в той же мере, что и удовлетворение дифференциальному уравнению Эйлера. Совокупность наложенных извне и естественных граничных условий обеспечивает единственность решения вариационной проблемы —из поля экстремалей выделяется одна. [c.445]

Поток, полученный при гидравлическом прыжке второго рода, не будет цилиндрическим, за исключением того случая, когда после этого прыжка 0=0. Это объясняется тем, что экстремалы ый поток не удовлетворяет условию (4.32) при 0= 0. Такое утверждение может показаться неожиданным после утверждения о равновесии экстремального поля скоростей в функциональном пространстве. Однако равновесие в функциональном пространстБе и по координате Xj - не одно и то же. Исследование равновесия экстремальных полей скоростей при конечных значениях параметра а по уравнению (4.32) приводит к весьма громоздким, хотя и простым, выкладкам, и поэтому все эти выкладки опущены, а приводится только результат. [c.74]

Из (4.64) и (3.31) видно что в соответствии с принципом взаимности изопериметрических задач семейство экстремалей в обоих уравнениях одинаково. Но при этом энергия оказьтается неизвестной. Она может быть задана только в неустойчивом состоянии, а переход от него к устойчивому состоянию, т. е. гидравлический прыжок второго рода, происходит при постоянном значении полного импульса, так как в теории прыжка, равно как и в теории Бенджамина, внешние силы не учитываются. Но если импульс остается постоянным, в прыжке неизбежны потери энергии, и то значение энергии, которое будет после прыжка, меньше того, которое было в исходном неустойчивом состоянии. Поэтому можно со всей определенностью сказать, что принцип экстремума импульса Бенджамина для устойчивого состояния верен, но бесполезен энергия, при которой достигается экстремум импульса, наперед не известна и может быть определена только после использования уравнения количества движения и нахождения потерь энергии в прыжке. Необходимо добавить также, что основная идея, высказанная Бенджамином о том, что взрыв вихря представляет собой переход от неустойчивого состояния вращающегося потока к устойчивому его состоянию, бесспорна. [c.81]

Помимо разнообразных физ. интерпретаций Т. з., такого рода топологич. классификация ф-ций состояния позволяет из чисто формальных соображений существенно сузить круг поиска решений ур-ний модели. С др. стороны, при наличии оценки энергии модели tf снизу через Т. з. Q типа < >/(б), где /—монотонно растущая ф-ция, решения с нетривиальным значением Q (топологические соли-тоны), реализующие Inf (У, оказываются устойчивыми по Ляпунову (см. Устойчивость o.iumonoe). Более того, ес.пи ниж. грань функционала достигается (случай выполнения равенства в оценке, приведённой выше), то удаётся понизить порядок вариационных ур-ний (см. Эйлера—Лагранжа уравнение) на единицу, т. е. свести поиск экстремалей функционала к решению ур-ний 1-го порядка, т. н. ур-ний Богомольного. [c.132]

Уравнения Эйлера выведены для условий, когда режимные ограничения отсутствуют. При наличии ограничений в форме неравенств уравнения Эйлера будет удовлетворяться лишь в тех зонах, где ограничения не сказываются (в зонах с наличием ограничений уравнения Эйлера превращается в неравенства). Кроме того, согласно вариационному исчислению, при наличии ограничений в форме неравенств, должны дополнительно соблюдаться так называемые уравнения трансверсальности. Последние уравнения отражают условия наилучшего сопряжения линий оптимального режима (экстремалей) с линиями рел<имных ограничений в зонах, где режимные ограничения в форме неравенств сказываются. Число уравнений трансверсальности равно числу указанных точек сопряжения экстремалей, поэтому в сложных задачах число уравнений трансверсальности может быть очень большим. Кроме того, заранее не известны точки сопряжения экстремалей, и приходится записывать уравнения трансверсальности для всех возможных точек сопряжения экстремалей. В силу этого для сложных задач практический учет ограничений в форме неравенств методами классического вариационного исчисления невозможен, и поэтому приходится искать иные решения. Учет ограничений в форме равенств в классическом вариационном исчислении возможен с помощью известных множителей Лагранжа. [c.36]

Предметом работы И. Ф. Верещагина К рептепню экстремальной задачи движения точки переменной массы (1960) является достаточно общая экстремальная задача — определение оптимальной в том или ином смысле кривой выведения искусственного спутника Земли на орбиту указан метод построения уравнений, дополнительных к уравнению Мещерского, и с помощью выведенных дифференциальных уравнений экстремалей находится оптимальный угол старта ракеты. [c.308]

В плоском случае (г/ = 0) решение уравнения (3.9) имеет вид х = onst, и экстремалями будут прямые. Следовательно, плоским он- [c.527]

Это уравнение имеет два, один или ни одного корня тг4 в зависимости от ведичины Mqo (рис. 3). Экстремалями в этом случае будут прямые, угол наклона которых определяется формулой [c.528]

Пользуясь универсальной формой для экстремалей типа (4.20), где теперь надо заменить vj на dwidr, vj,- на d wjdr , легко прО" верить, что уравнение (6.16) является следствием условий экстремума данного функционала. Аналогично тому как это делалось в предыдущем, при отыскании верхней оценки истинного значения внешних нагрузок можно пользоваться либо функционалом [c.126]

Решение задачи межорбитального перехода с минимальным расходом топлива путем нахождения одного участка орбиты, проходяи его через две произвольно заданные граничные точки, было впервые получено методом годографов, а затем его удалось повторить непосредственным применением обычного анализа. Требуемая орбита определяется одним из положительных корней алгебраического уравнения восьмой степени с постоянными коэффициентами. Известно, что суи ествуют по меньшей мере два таких корня имеюи иеся в настояи ее время решения для всего поля экстремалей частной задачи показывают, что требуемая абсолютная экстремаль обеспечивается корнем с наименьшим численным значением. Для того чтобы выяснить, является ли такое положение справедливым вообш,е для всего пространства решений, требуются дальнейшие исследования с этой точки зрения кажется весьма перспективным использование метода корневого годографа. [c.63]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...