Вариационный принцип Кастильяно

Аналогично принципу Лагранжа можно сформулировать вариационный принцип Кастильяно. [c.307]

В результате для вязкоупругого тела можно сформулировать вариационный принцип, являющийся обобщением вариационного принципа Кастильяно, рассмотренного в гл. 3 применительно к упругим телам. [c.357]

Для вывода вариационного принципа Кастильяно, рассмотрим воображаемое напряженное состояние бац такое, что j = О, = О, xi е 5т. Значения, которые принимают величины 8ац на части поверхности 5ц, могут быть произвольны. Поскольку состояние 5ац удовлетворяет условиям равновесия, составим уравнения равновесия в форме Лагранжа, приняв за виртуальные перемещения истинные перемещения щ ж соответствующие [c.259]

Развитие вариационных принципов механики во второй половине XIX в. и начале XX в. произошло прежде всего путем обобщения их на различные виды механических систем и выяснения характера варьированных движений (см. выше), а затем путем распространения их на механику сплошных сред и путем разработки смежных вопросов аналитической механики. Упомянем прежде всего о вариационном принципе Кастилиано—начале наименьшей работы деформации ). [c.842]

Вариационный принцип Кастильяно. Если положить, что вариации внешних сил равны нулю, то принцип возможных изменений напряжений принимает вид oi7 =0. Отсюда следует, что из всех возможных изменений напряжений (усилий) совместности деформаций соответствуют те, при которых дополнительная работа принимает стационарное значение. Сформулированный принцип называется вариационным принципом Кастильяно Ч. [c.492]

Применение вариационного принципа Кастильяно к сплошной среде. Вариационный принцип Кастильяно в случае сплошной среды напишем в форме [c.492]

Наряду с вариационным принципом Кастильяно можно было бы сформулировать и вариационный принцип, полностью симметричный вариационному принципу Лагранжа, если ввести в рассмотрение функционал ТГ, и условию стационарности которого придать вид 6Я =0, Ш — 6Д =0. Варьирование ведется по внешним силам и внутренним усилиям (случай дискретной системы) или внешним силам и напряжениям (случай сплошной среды). [c.492]

Вариационный принцип Кастильяно. Пусть и и е относятся к одному состоянию тела, т. е. известно решение (15.19) уравнений совместности деформаций Сен-Венана или, иначе, удовлетворены уравнения Коши, а вместо х, о и pv рассматриваются их вариации бх, бо и 6pv, которые считаем возможными, т. е. удовлетворяющими дифференциальными уравнениями равновесия в области и уравнениям равновесия элементарного тетраэдра на границе тела [c.520]

В соответствии с вариационным принципом Кастилиано среди всех статически допустимых состояний равновесия в действительности осуществляется только то, для которого функционал [c.214]

Показано несоответствие некоторых общих решений уравнений равновесия вариационному принципу Кастильяно и выводимым из него определенным видам уравнений неразрывности. В этом плане следует подчеркнуть целесообразность проверки новых и известных старых дифференциальных формулировок на соответствие вариационным принципам. [c.10]

В 1944 г. вариант теории пластин, в которой учитываются поперечные сдвиги, был предложен Э. Рейсснером [25]. Задав линейный закон изменения напряжений а, Оу, Хху по толщине пластины, получив затем из уравнений равновесия квадратичный закон изменения напряжений т г и Xyz и кубический закон для напряжений Сг, он выводит соотношения обобщенного закона Гука из вариационного принципа Кастилиано. В 1945 г. Э. Рейсснер [26] получил разрешающие уравнения уравнение для прогиба и для функции t]5, которая входит в формулы для перерезывающих сил. Через год [c.191]

Отметим, что из вариационного принципа Кастилиано не вытекает закон Гука (4.17), если задан какой-то определенный закон изменения напряжений по толщине. Для этого нужно дать полный произвол.в изменении напряжений, чего нет в рассматриваемой, теории. Однако с другой стороны, выполнение уравнений (4.17) нё противоречит уравнению Кастилиано. Оно лишь будет иметь упрощенный вид (4.21). .1 .. [c.193]

В соответствии с вариационным принципом Кастилиано [4 ] наилучшее приближение может быть достигнуто при экстремальном значении энергии деформации. [c.441]

Для определения прогибов и неизвестной функции ф(. ) используем вариационный принцип Кастилиано. [c.27]

В этом случае число неизвестных усилий / / на единицу больше числа уравнений статики. Это вынуждает использовать при решении задачи не только уравнения равновесия, но и вариационный принцип Кастильяно, соответствующий уравнениям неразрывности. [c.150]

Формулировка вариационного принципа зависит от того, какими величинами (функциями) характеризуется состояние деформированного тела. В принципе Лагранжа такими функциями служат перемещения li, а в принципе Кастильяно — напряжения ст. Именно эти принимаемые за основные функции подлежат варьированию (бесконечно малым изменениям) для того, чтобы получить вариационное уравнение. Все прочие функции считаются связанными с основными соответствующими зависимостями, приведенными в гл. 2. [c.67]

Помимо рассмотренных принципов Лагранжа и Кастильяно в теории упругости известно еще несколько вариационных принципов, отличающихся выбором варьируемых функций. Все они могут быть получены, если идти по некоторому формальному пути [30]. В основе его лежит следующее тождество, выражающее переход от интегрирования по объему к интегрированию по поверхности, доказываемое с применением формулы Гаусса — Остроградского [c.67]

В 71 и 72 нами были изложены два хорошо известных в теории упругости вариационных принципа принцип минимума потенциальной энергии, который также называется принципом возможных перемещений, и принцип минимума дополнительной работы, на который ссылаются как на принцип Кастильяно. [c.219]

Для стержневых систем вариационные принципы Лагранжа и Кастильяно были уже установлены выше, а именно в 5.2. Там же упоминалось о возможности построения смешанных вариационных принципов, в формулировке которых участвуют как силы, так и перемещения. Способ доказательства был подобен тому, который изложен в 8.8. [c.260]

С формулой (15.66) мы связали имя Лагранжа в том смысле, что она вытекает из вариационного принципа Лагранжа. Однако непосредственно же получил ее Кастильяно и, поскольку ниже получена и другая симметричная (15.66) формула, формулу (15,66) называют первой формулой Кастильяно. [c.488]

Заключительные замечания. Оба вариационных принципа — Лагранжа и Кастильяно — являются вариационными принципами, в которых формулируются условия и следствия стационарности частных функционалов (/1 (и) и /4(х))> и, таким образом, в этих принципах имеет место условная вариационная проблема. [c.522]

Известны три вариационные принципа теории упругости. Принцип минимума потенциальной энергии (принцип возможных перемещений) потенциальная энергия упругого тела, рассматриваемая как функционал произвольной системы перемещений, удовлетворяющей кинематическим граничным условиям, принимает минимальное значение для системы перемещений, фактически реализуемой в упругом теле. Принцип минимума дополнительной работы Кастильяно (понятие о дополнительной работе дано в конце этого параграфа) дополнительная работа упругого тела, рассматриваемая как функционал произвольной системы напряжений, удовлетворяющей уравнениям равновесия внутри тела и на его поверхности, принимает минимальное значение для системы напряжений, фактически реализуемой в упругом теле. Наконец, в вариационном принципе Рейсснера варьируются независимо друг от друга и перемещения, и тензор напряжений. [c.308]

Эта теория создана уже около половины века тому назад, но в литературе известны лишь немногие примеры применения ее к задачам механики деформируемых тел. Первые работы принадлежат Р. Куранту [0.9] и Э. Рейсснеру [0.13]. Р. Курант впервые применил преобразование Фридрихса для установления связи между принципами Лагранжа и Кастильяно. Э. Рейсснер [0.13], оценивая результаты своих четырех работ, посвященных вариационным принципам теории упругости, характеризует новизну использования теории [0.9] и полученную в итоге полную формулировку вариационной теоремы как вклад в теорию упругости. В отечественной литературе теория [0.9] впервые применена в работах [0.4], а впоследствии в (0.15, 0.6, 0.1] и др. Однако все эти исследования, как правило, не имеют общего характера и относятся к вариационным формулировкам в терминах стационарности функционалов. К анализу экстремальных свойств функционалов эта теория не применялась. [c.8]

Вариационные принципы Лагранжа и Кастильяно изучены в литературе с точки зрения как стационарности, так и экстремальности соответствующих функционалов. Поэтому их целесообразно использовать как исходные пункты для построения и исследования системы полных и частных вариационных функционалов теории упругости. В соответствии с 2 гл. 2 здесь рассмотрены различные варианты принципов Лагранжа и Кастильяно. Экстремальные свойства соответствующих им функционалов будут использованы в 6. [c.54]

Наличие аналогии между геометрическими и статическими уравнениями теории оболочек наводит на мысль о существовании аналогии между статическим вариационным принципом Лагранжа, в формулировке которого участвуют геометрические переменные и, е, (г, и геометрическим принципом Кастильяно со статическими переменными t ), М, Т. И действительно, такая аналогия имеет место между функционалами Лагранжа и Кастильяно, записанными в форме табл. 4.1 и [c.133]

Стационарность этого функционала рассматривается в вариационном принципе Кастильяно, который формулируется так. Если деформированное состояние тела подчинено условиям совместности деформаций, то истинному состоянию тела соответствует стационарность функционала I у), которая имеет место на множестве вектор-функций сравнения %, порождающих статически возможные напряжения а, т. е. при вариациях бх, соответствующих статически возможным вариациям бо. Последние к тому же обладают самоуравновешенностью вследствие равенства нулю вариаций внешних сил. [c.521]

Э. Рейсснер [27] дает несколько иной вывод уравнений, вводя углы поворота, а также дает способ, преобразования системы уравнении. В 1949 г. А. Грин [23] вывел уравнения Рейсснера энергетическим путем без применения теоремы Кастилиано. Прием А. Грина обсуждает также С. П. Тимошенко [30]. Обобщение варианта Э, Рейсснера на произвольный закон изменения изгибных напряжений по толщине пластины, но одинаковый для всех трех компонентов, дано А. Л. Гольденвейзером [13] (1958 г.). Л. Я. Айнола [1] (1962 г.) показал, что функция распределения напряжений по толщине пластины, введенная А. Л. Гольденвейзером, может быть определена из вариационного принципа Кастилиано. [c.191]

В самом деле, из вариационного принципа Кастильяно следует, что из всех статически допустимых систем действительная отличается тем, что для нее кастильяниан в положении равновесия имеет максимум. Из (1.27) следует, что потенциал Шо, соответствующий задаче Б с граничными условиями (1.13), имеет в положении равновесия минимум. Но граничным условиям (1.13) удовлетворяет и однородное напряжение (3.6), которое в силу эквивалентности задач Б и В является статически допустимой системой, откуда и следует (3.10). [c.76]

Вариационный принцип Кастильяно (теорема Кастильяно) заключается в следующем. Из всех статически допустимых систем действительная система выделяется тем, что для нее и только для нее кастильяниан (7.46) имеет стационарное значение, т.е. [c.58]

Итак, при формулировке вариационного принципа Кастилья-но (7.46), (7.47) мы требуем выполнения уравнений равновесия [c.60]

При постановке новых проблем исходным пунктом в большинстве случаев является начало возможных перемеш ений, приводяш ее к вариационной формуле Лагранжа для данного объекта. Если задачу целесообразно формулировать в перемещениях, то на этом функции вариационного исчисления при решении рассматриваемой задачи и кончаются. В нелинейной же теории оболочек самым распространенным вариантом являются уравнения типа Кармана, сформулированные в смешанной форме (через прогиб и функцию напряжения). Ясно, что различным формулировкам соответствуют разные вариационные формулы. Получение таких формул нередко представляет достаточный интерес (хотя бы для нестрогого обоснования процедуры метода Бубнова — Галеркина). Например, большое внимание было уделено обобщению вариационного принципа Кастильяно на нелинейную теорию равновесия пластинок и оболочек (Н. А. Алумяэ, 1950 К. 3. Галимов, 1951, 1958). [c.235]

При расчете неоднородного сжатия цилиндрического амортизатора с заш емленными торцами (без скольжения по сжимаюш им плош,адкам) и использовании (3.1.22) Лавенделом [297] применен метод Ритца [13], а С. И. Дымниковым — вариационный принцип Кастильяно, причем получено одинаковое соотношение между общей степенью сжатия (осадкой) АА и сжимающей нагрузкой Р вида [c.114]

Наибольший практический интерес для решения рассматриваемой задачи представляют работы М. М. Филоненко-Бо-родича (1951 г.). Используя вариационный принцип Кастиль-яно и приближенный метод Папковича (1939 г.), он показал, что в ряде случаев, когда на поверхности упругой призмы заданы нагрузки, нормальные или касательные к ее граням задача Ляме в принципе может быть доведена до численного решения. [c.272]

На основ.а йи подробно изученного примера кручения тел видим, что прн аппроксимирующих функциях, заранее удовлетворяющих условию минимума потенциальной энергии тела или граничным условиям на поверхности его, можно получить не только уточненные решения, но даже точные в строгом смысле или в смысле Сен-Венана. Таким образом, подчиняя заранее аппроксимирующие функции условию равновесия внутри выбранного элемента, например на основании вариационного принципа Кастилиано, или граничным условиям на части поверхности тела согласно уравнениям равновесия на поверхности, мы можем резко уменьшить число аппроксимирующих функций, достигая при этом результатов с высокой степенью точности. Выбор аппроксимирующих функций из условия равновесия на поверхности, т. е. по способу Галеркина, можно рекомендовать для тел простой формы, особенно с постоянным поперечным сечением, что достигается с помощью криволинейных координат. Нахождение аппроксимирующих функций из условия минимума потенциальной энергии (В сечении тела, т. е. по способу Треффца, эффективно как для простых, так и для сложных по конфигурации тел. [c.58]

Вторую группу методов составляют так называемые прямые методы.. Их характерной особенностью является то, что минуя дифференциальные уравнения на основе вариационных принципов механики упругого тела строятся процедуры для отыскания числовых полей неизвестных функций в теле — перемещений, усилий, напряжений. В гл. 3 при рассмотрении двух основных принципов — Лагранжа (вариации перемещений) и Кастильяно (вариации напряжений) — уже были изложены два таких прямых метода, а именно метод Ритца (см. 3.5) и метод, основанный на принципе Кастильяно (см. 3.7). В дополнение к ним в данной главе излагаются общие основы наиболее эффективного в настоящее время прямого метода — метода конечных элементов (МКЭ). Перечисленные методы либо полностью основаны на вариационных принципах (методы второй группы), либо допускают соответствующую трактовку с использованием этих принципов (методы первой группы). Поэтому часто эти приближенные методы называют вариационными. [c.228]

В теории упругости рассматриваются преимущественно два вариационных принципа — принцип минимума потенциальной энергин и принцип минимума дополнительной работы (принцип Кастильяно). [c.98]

Здесь варьируются независимо напряжения о и перемещепи>1 щ. Функционал Лагранжа, записываемый через и деформации ij, выраженные через Ut по формулам (12.2.1), послужил отправной точкой для всех выводов. Прямое распространение на геометрически нелинейные задачи вариационного принципа типа Кастильяно невозможно. Действительно, в линейной теории было использовано то обстоятельство, что беу выражается через Ьщ по тем же формулам, по которым б ,- выражаются через Uu Поэтому преобразование объемного интеграла можно было произвести до варьирования функционала. В нелинейной теории этого сделать нельзя. [c.392]

Вариационные принципы типа Рейснера, Лагранжа и Кастиль-япо получаются отсюда совершенно так же, как в обычной теории упругости. При выводе уравнения Рейснера заметим, что вследствие (17.11.2) [c.604]

Вариационные принципы, в которых истинность указанных полей гарантирует стационарность частных функционалов, постулируют выполнение и тех или иных дополнительных условий. В 15.11 и 15.12 подробно рассматриваются два из них —вариационный принцип Лагранжа (потенциальной энергии системы) и вариационный принцип Менабреа — Кастильяно (дополнительной работы) применительно к стержневым системам и пространственной задаче классической (линейной) теории упругости. В 15.20 мы возвратимся к этим принципам еще раз. В 15.21 обсуждаются вариационные принципы, соответствующие другим частным функционалам. [c.457]

Получение вариационного принципа Менабреа, позднее названного именем Кастильяно, из условия dU/dX =q = 0 (здесь опять ошибочно использована и вместо U )- [c.493]

Сопоставление функционалов в вариационных принципах Лагранжа и Менабреа — Кастильяно при решении пространственной задачи теории упругости выполнено в 15.20 и 15.21. [c.494]

Вариационный принцип ), симметричный ) принципу Рейс-снера. Функционал /5 (е, х) в обсуждаемом принципе получается из функционала Кастильяно путем преобразования Лежандра, т. е. путем использования (15.117) [c.526]

Для исследования экстремальных свойств функционалов, участвующих в формулировке вариационных принципов теории оболочек, так же как и для функционалов теории упругости, может быть использовано свойство выпуклости (см. Приложение 1) одних функционалов Лагранжа и Кастильяно (исходных пунктов преобразований) и невыпуклости других. Экстремальные свойства различных полных и частных функционалов можно выяснить, используя 3 гл. 2. Результаты представлены в табл. 4.6 в этой таблице стрелки обозначают, что знаки min и max можно поменять местами, так что данный функционал имеет седловую точку. [c.130]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...