Симплектическая структура

СИМПЛЕКТИЧЕСКАЯ СТРУКТУРА И ЛИНЕЙНЫЕ ГАМИЛЬТОНОВЫ СИСТЕМЫ [c.236]

Более сложным путем вводится симплектическая структура на касательном расслоенном пространстве. Для ее введения рассмотрим ряд [c.54]

Фундаментальная форма. Введение дифференциальных.операций на касательных пространствах позволяет задать симплектическую структуру на касательном расслоенном пространстве и рассмотреть в дальнейшем лагранжевы динамические системы как векторные поля на ТМ или дифференциальные уравнения второго порядка на М. [c.57]

Эта форма степени 2 и класса 2п определяет симплектическую структуру на касательном расслоенном пространстве ТМ. [c.57]

В статье рассматривается применение теории дифференцируемых многообразий к лагранжевой динамике. В статье [8] автора рассмотрены необходимые математические понятия и операции. Введение фундаментальной формы на касательном расслоенном пространстве задает на нем симплектическую структуру и позволяет задать лагранжеву динамическую систему, соответствующую голономной склерономной механической системе, как векторное поле на касательном расслоенном пространстве. [c.69]

Симплектическую структуру на М можно задать с помощью симплектического атласа — набора совместных друг с другом [c.21]

Таким образом, симплектическую структуру на М можно задавать замкнутой невырожденной 2-формой П. Допуская вольность речи, форму П также будем называть симплектической структурой. В дальнейшем будут использоваться разные способы описания гамильтоновых систем. [c.22]

Пусть N — пространство положений натуральной системы, XI,..., Хп — локальные координаты на Л , а у I,..., — импульсы. Координаты х,у являются каноническими на Т М, и в этих переменных симплектическая структура П имеет стандартный вид П = с1у А х,. Рассмотрим дополнительно некоторую замкнутую 2-форму на Л Г = Гу х)(1х Л (формой гироскопических сил. Сумма двух форм П-ьГ определяет новую симплектическую структуру на пространстве кокасательного расслоения многообразия N. Если Я — некоторая функция на Т М, то пара (П -Ь Г, Я) задает некоторую гамильтонову систему с гамильтонианом Я эту систему назовем системой с гироскопическими силами. Ясно, что наличие гироскопических сил не изменяет полной энергии Я. К форме П -Ь Г можно применить теорему Дарбу и представить ее в каноническом виде. Для этого, пользуясь замкнутостью формы Г, запишем локально Г = Г, Г = Гк х)(1хк. Тогда в переменных х,у имеем П -Ь Г = 2<1у Л (1х -Ь 2 Л Х = (1 у -Ь Г ) Л Х . Следовательно, переменные х, у, определяемые равенствами = х , У к — Ук + Рк х, ..., х ) 1 к п) будут каноническими координатами для новой симплектической структуры. В новых переменных уравнения Гамильтона имеют канонический вид с функцией Гамильтона Я(х, г/ - Г) = Н х,у). [c.24]

Уравнения (1.10) имеют интеграл энергии Я и геометрический интеграл F = f r). В стандартной симплектической структуре dp Adr скобка Пуассона Я, F равна нулю. Пусть д г, г) — первый интеграл классических уравнений движения г = -dV/dr-j--t- Xdf /дг, f r) = О, а G — функция д, представленная с помощью [c.26]

Фазовый портрет функции Я изображен на рис. 1. Отождествляя в полосе Ь с точки, /-координаты кото- рых отличаются на 2тг, а также точки каждой из прямых Ь = -с и Ь = с, получим сферу Мс с хорошо известной картиной полодий Пуансо. Можно показать также, что симплектическая структура (2.9) в переменных Ь, I равна именно Ь Л 1. [c.30]

Здесь (x,,2/s) — декартовы координаты s-ro вихря интенсивности Г.,. Предполагается, что все V, отличны от нуля. Уравнения (8.1) гамильтоновы симплектическая структура в IR n х,у зада- [c.55]

Если функции щ не зависят от то уравнения (9.3), очевидно, гамильтоновы с гамильтонианом В. Фазовым пространством служит К" = х , а симплектическая структура задается формулой [c.60]

Оказывается, теорему Ли, в свою очередь, можно вывести из теоремы 1. Для этого воспользуемся конструкцией Лиувилля, позволяющей включить фазовый поток динамической системы (3.1) в фазовый поток гамильтоновой системы удвоенной размерности. Пусть и — поле на г-мерном многообразии N = ж . Поставим ему в соответствие функцию F = у и х) [у е T N), определенную на кокасательном расслоении М = T N, снабженном естественной симплектической структурой. Координаты У, ...,Уп — частные интегралы гамильтоновой системы [c.83]

Пусть множество М = О х Т", где Т" = р тов 2тг , О — область в К" = / , снабжено стандартной симплектической структурой. Пусть Н 1,(р, е) М X (-ео, о) —> — такая аналитическая функция, что Н 1,(р,0) = Но 1). Канонические уравнения с гамильтонианом Но немедленно интегрируются I = -дНо/д(р = О, ф = дНо/д1 = о)(/) / = /О, V = V + [c.122]

Лемма. Пусть в = р, д задана система уравнений Р р,я) = с., (1 п), и р, = Л(д,С1,..., с )—ее решение. Если функции Г ,..., Гп коммутируют (в стандартной симплектической структуре К "), то при фиксированных значениях с = = с1,..., с ) форма — полный дифференциал. [c.125]

Усложним задачу, заменив стандартную симплектическую структуру ш = Y dpk Л dqk на фазовом пространстве Т замкнутой невырожденной 2-формой ш + ip, где ip — 2-форма на М. В локальных координатах 51, 52 она имеет вид X qi,q2)dqi Л dq2- [c.158]

Рассмотрим иллюстративный пример. Пусть 2(т + /)-мер-ное фазовое пространство снабжено симплектической структурой dY dX+dZ dZ , где X = (Хг,..., Х,п) mod 2тг, F = (Fi,,.., Г ), [c.235]

Пусть — фазовое пространство, снабженное симплектической структурой Я = Яо + sHi + О(е ) —функция Гамильтона. Предположим, что при е = О гамильтонова система имеет т-мерный гиперболический тор (см. п. 5 9 гл. IV). Напомним, что в окрестности этого тора можно ввести симплектические координаты X mod 2тг, у, со следующими свойствами [c.252]

Лемма 1. Функции R определяются функцией Но, семейством поверхностей Af и симплектической структурой. [c.265]

Прямое произведение Z> ,a х снабжено простейшей симплектической структурой, в которой уравнения Гамильтона с гамильтонианом Я имеют канонический вид [c.330]

Сдвиг Бернулли 304, 308 Сепаратриса 254 Символическая динамика 303 Симплектическая структура 19, 22 [c.428]

В настоящее издание включено три новых добавления. Они отражают новое развитие геометрии систем лучей (теории особенностей и перестроек каустик и волновых фронтов, связанной с теорией групп, порожденных отражениями), теории интегрируемых систем (геометрической теории эллиптических координат, приспособленной для бесконечномерных обобщений) и теории пуассоновых структур (часто встречающихся в математической физике обобщений симплектических структур, отличающихся тем, что скобки Пуассона вырождаются). [c.6]

Значительная часть книги посвящена вариационным принципам и аналитической динамике. Характеризуя аналитическую динамику в своих Лекциях о развитии математики в XIX столетии , Ф. Клейн писал, что физик для своих задач может извлечь из этих теорий лишь очень немного, а инженер — ничего . Развитие науки в последующие годы решительно опровергло зто замечание. Гамильтонов формализм лег в основу квантовой механики и является в настоящее время одним из наиболее часто употребляемых орудий в математическом арсенале физики. После того как было осознано значение симплектической структуры и принципа Гюйгенса для всевозможных задач оптимизации, уравнения Гамильтона стали постоянно использоваться в инженерных расчетах в этой области. С другой стороны, современное развитие небесной механики, связанное с потребностями космических исследований, привело к новому возрождению интереса к методам и задачам аналитической динамики. [c.9]

Симплектическая структура на многообразии — это замкнутая невырожденная дифференциальная 2-форма на нем. Фазовые пространства механических систем имеют естественные симплектические структуры. [c.175]

На симплектическом многообразии, как и на римановом, имеется естественный изоморфизм между векторными полями и 1-формами. Векторное поле на симплектическом многообразии, соответствующее дифференциалу функции, называется гамильтоновым векторным полем. Векторное поле на многообразии задает фазовый поток однопараметрическую группу диффеоморфизмов. Фазовый поток гамильтонова векторного поля на симплектическом многообразии сохраняет симплектическую структуру фазового пространства. [c.175]

Симплектическая структура на многообразии [c.175]

Здесь определены симплектические многообразия, гамильтоновы векторные поля на них и стандартная симплектическая структура в кокасательном расслоении. [c.175]

Симплектической структурой на называется замкнутая невырожденная дифференциальная 2-форма (о на [c.175]

СИМПЛЕКТЙЧЕСКОЕ МНОГООБРАЗИЕ - многообразие, снабжённое симплектической структурой. [c.521]

Идеи современной дифференциальной геометрии все шире проникают в аналитическую механику. В работах А. В. Арнольда [1], Абрахама 2], К. Годбийона [3] показано, что дифференциальная геометрия может рассматриваться как естественный фундамент классической механики. При этом четко разграничиваются два аспекта механики гамильтонов и лагранжев. Гамильтонова динамика связана с существованием симплектической структуры на кокасательном расслоении конфигурационного пространства механической системы. Введение Клейном [4 специального дифференциального исчисления на касательном расслоении позволяет связать лагранжеву динамику с симплектической структурой касательного расслоения конфигурационного пространства. [c.51]

Симплектические многообразия. Пусть — многообразие четной размерности 2 п. Симплектическая структура на определяется заданием невырожденной замкнутой дифференциальной формы (оеЛ (Л1) степени 2 и класса 2 п. Пара со) называется симплектн- [c.54]

Рассматриваются математические понятия и операции на дифференцируемых многообразиях, необходимые для применения теории дефференцируемых многоообразий к лагранжевой динамике. Построение второго касательного расслоения и введение на нем специального дифференциального исчисления, предложенного Ж. Клейном, позволяет ввести симплектическую структуру на касательном расслоении конфигурационного пространства механической системы. [c.123]

Как было показано [8], замкнутая форма (D = ddvT образует симплектическую структуру на ТМ, Пусть а=ё Т—У7)+я — форма Пфаффа на ТМ, V — поле Лиувилля. Тогда на ТМ существует, и притом единственное, векторное поле X, соответствующее форме Пфаффа а, определяемое из условия [c.70]

Рассматривается применение теории дифференцируемых многообразий к лагранжевой механике. Введение симплектической структуры на касательном расслоении конфигурационного пространства позволяет задать лагранжеву динамическую систему, соответствующую голономной склерономной механической системе как векторное пол з на касательном расслоенном пространстве. Обобщение этих понятий на более сложныс неголономные системы, требующее ряда дополнительных построений, составляет основное содержание статьи. [c.127]

Имеется еще один распространенный вариант определения симплектической структуры и гамильтоновой системы. Исходным пунктом здесь является замкнутая невырожденная 2-форма П на четномерном многообразии М. Форма П позволяет построить естественный изоморфизм касательного Т М и кокасательного Т М пространств вектору Т М ставится в соответствие ковектор [c.22]

Задача о представимости динамической системы в виде уравнений Гамильтона включает отыскание двух объектов функции Гамильтона и подходящей симплектической структуры. Оказывается, в малой окрестности каждой неособой точки динамическая система на четномерном многообразии является гамильтоновой. Это вытекает из теоремы о выпрямлении фазовых траекторий в подходящих локальных координатах уравнения приводятся к виду [c.61]

Уравнения Эйлера (9 1) являются гамильтоновыми (см. 2 гл. 1) симплектическая структура задается скобкой Ли — Пуассона /io i,/2a 2 = а гамильтонианом служит кинетическая энергия тела. Однако скобка вырождена квадрат момента F = коммутирует со всеми функциями на алгебре so(3) (такие функции называются еще функциями Казимира). Как отмечалось в 2 гл. 1, вырождение снимается ограничением динамической системы (9.1) на интегральную поверхность F = onst > 0. [c.111]

Пусть (х,у) = Z — декартовы координаты в плоскости Снабдим ее стандартной симплектической структурой Q = dxAdy. [c.287]

Гамильтонова механическая система задается четномерным многообразием ( фазовым пространством ), симплектической структурой на нем ( интегральным инвариантом Пуанкаре ) и функцией на нем ( функцией Гамильтона ). Каждая однопараметрическая группа симплектических диффеоморфизмов фазового пространства, сохраняющих функцию Гамильтона, связана с первым интегралом уравнений движения. [c.142]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...