Задача Уравнения в координатах цилиндрических

Предположив, что правые части граничных условий также разложены в ряды по е, рассмотрим процедуру решения краевых задач. Из уравнений (2.1), (2.10), (3.41) следует, что в каждом из приближений получаем соотношения, по форме совпадающие с уравнениями в круговых цилиндрических координатах. На основании выражений (3.42), (3.43) можно заключить, что в каждом из приближений в левых частях граничных условий только первые слагаемые являются неизвестными (вторые известны из предыдущих приближений), причем первые слагаемые вычисляются по таким же формулам, что и в круговых цилиндрических координатах. В таком смысле можно говорить, что задачи в некруговых цилиндрических координатах сведены к последовательности задач в круговых цилиндрических координатах при одинаковых однородных уравнениях во всех приближениях и с изменяющимися правыми частями граничных условий в каждом из приближений. [c.62]

Решение в тригонометрических рядах по координате приводит к сложной системе совместных уравнений. В случае цилиндрической оболочки (у == V2, б = — /2) А. И. Лурье удалось преобразованием функции V значительно упростить задачу и свести ее к решению уравнения Бесселя. Числовые результаты получены в случае малого отверстия 1) путем [c.243]

Решение задачи можно осуществить различными способами. Сначала применим уравнения в проекциях на цилиндрические оси. Если бы на точку действовала только сила тяжести, то точка, имея постоянное ускорение, двигалась бы либо вдоль третьей координатной оси, либо по параболе в плоскости начального вектора скорости и вектора силы тяжести. Чтобы точка двигалась по винтовой линии, помимо силы тяжести требуется дополнительная сила N (реакция связи). Обозначим = N Тр, = N т , N3 = N ез. Уравнения движения в цилиндрических координатах примут вид [c.186]

При решении прямой задачи используют уравнения газовой динамики, записанные в декартовой, цилиндрической или сферической системах координат. Решать обратную задачу и формулировать граничные условия удобно, используя уравнения, в которых в качестве независимых переменных взята длина дуги вдоль некоторой кривой и функции тока. Использование функций тока особенно удобно, так как начальные условия в обратной задаче задаются обычно на поверхности тока (жесткая стенка или ось симметрии). [c.50]

Задача теории упругости неоднородного тела формулируется и решается аналогично задаче теории упругости однородного изотропного или анизотропного тела. Различие между ними состоит лишь в том, что в физических уравнениях (законе упругости) механические характеристики являются заданными непрерывными функциями координат. Здесь необходимо еще раз подчеркнуть, что при этом деформации тела считаются малыми и предполагается выполнение обобщенного закона Гука. Очевидно, что в случае неоднородного тела остаются справедливыми общие уравнения механики сплошной среды соотношения Коши между деформациями и перемещениями и т. д. Подробное изложение теории напряжений и деформаций приводится в многочисленных книгах [11, 100, 138 и др.], поэтому ниже они даются без вывода в прямоугольной системе координат х, у, z) в объеме, необходимом для дальнейшего изложения. Эти же уравнения в других системах координат (цилиндрической, сферической) можно найти в указанных выше и других изданиях. [c.32]

Такая задача может быть рассмотрена в рамках упрощенной модели взаимопроникающих фаз. Авторами [131] приняты следующие основные допущения 1) капли неизменного диаметра предполагаются твердыми недеформируемыми частицами, не взаимодействующими между собой (коагуляция и дробление не учитываются) 2) термодинамические параметры несущей фазы связаны уравнением состояния идеального газа 3) вязкие эффекты в пределах каждой фазы не учитываются и рассматривается только вязкое межфазное взаимодействие 4) взаимодействие частиц с паром сводится к газодинамическому сопротивлению, обусловленному рассогласованием векторов скоростей фаз (скольжением). Принятые допущения позволяют использовать систему уравнений, аналогичную системе (4.1) — (4.10). В соответствии с поставленной задачей уравнения записываются в цилиндрических координатах [c.170]

Рациональная организация вычислительного процесса чрезвычайно важна как в решениях, основанных на уравнениях, записанных в цилиндрических координатах, так и в решениях, использующих уравнения в естественной системе координат [7]. Прямую задачу возможно решать также вариационными методами [19]. [c.204]

Исследование типа задачи, произведенное в 46 в фиксированной (цилиндрической) системе координат, показывает, что уравнения этой задачи представляют собой систему двух уравнений первого порядка относительно проекций и абсолютной скорости, которая сводится к одному нелинейному уравнению второго порядка относительно функции тока ф [142]. Эта система эллиптична в частях А при М<1. а в частях Б при < 1 и гиперболична, соответственно, при М > 1 и при Мда >1- Не останавливаясь здесь на математических подробностях, отмеченных ниже, в 46, приведем наглядную физическую интерпретацию этого [c.301]

Свободные колебания цилиндрических оболочек. Проведение изложенных выше процедур не составляет труда, поэтому рассмотрим в качестве примера несколько иной тин задачи — свободные колебания тонкой цилиндрической оболочки. Так же, как и ранее при рассмотрении стержней (см. уравнения (2.18) —(2.20)) и пластин (уравнения (4.30)—(4.32)), зададим прогиб как функцию координат ж и г/, а также времени t [c.480]

Задача о косом обтекании цилиндрического крыла бесконечного размаха облегчается тем, что в этом случае движение Перестает зависеть от трансверсальной (направ-координаты 2. Уравнения движения (154) [c.494]

В задачах установившейся дифракции упругих волн точные решения получают только в круговой цилиндрической и сферической системах координат (см. 1 настоящей главы). Этим исчерпываются возможности метода разделения переменных в его классической формулировке применительно к задачам дифракции для тел, ограниченных цилиндрическими поверхностями. Для тел, ограниченных достаточно гладкими цилиндрическими поверхностями, в предыдущем параграфе решение задачи дифракции сведено к решению бесконечных алгебраических уравнений. Большинство числовых результатов [59—62] получено с помощью приближенного метода возмущения формы границы , предложенного в работе [31]. Заметим, что метод применяется для приближенного вычисления компонентов тензоров, векторов и скаляров различной физической природы в криволинейной цилиндрической системе координат. Сущность метода состоит в получении последовательности краевых задач в цилиндрической системе координат, причем в каждом приближении решаются в круговых координатах одинаковые однородные уравнения, а поправки входят в краевые части граничных условий. Тем самым исключается необходимость построения частных решений, что далеко не всегда удается реализовать. [c.58]

Рассмотрим систему неоднородных тел вращения с общей осью в цилиндрической системе координат rzQ, взаимодействующих посредством контакта. Контакт между отдельными телами осуществляется только по поверхностям вращения, занимая произвольную область поверхности. Между телами может быть установлен зазор или натяг по произвольному закону. Так как деформации и перемещения предполагаются малыми, то отклонениями тел от цилиндрической формы вследствие меняющихся в окружном направлении зазоров или натягов пренебрегаем. На части свободной поверхности могут быть заданы компоненты внешней нагрузки, имеющие размерность напряжений, на остальной — перемещения или смешанные граничные условия. Кроме того, конструкция может быть нагружена объемными силами и неравномерным температурным полем. Решение задачи осуществляется в перемещениях с использованием вариационного уравнения Лагранжа [c.157]

В наиболее простых случаях, когда, например, тепловое поле приводят к одномерному (в декартовой, цилиндрической, сферической или другой системе координат), граничные условия определяют линейными функциями и отсутствует разогрев во времени (установившийся тепловой режим), задачу решают непосредственным интегрированием уравнения теплопроводности. Например, в тех случаях, когда тепловой поток не изменяется вдоль координаты, по которой выполняется интегрирование, решение уравнения теплопроводности для тел произвольной формы может быть выражено в обобщенном виде [c.24]

Ниже мы рассмотрим несколько задач, которые в силу самого существа задачи необходимо решать в цилиндрических координатах, поэтому сейчас мы постараемся найти типовые решения уравнения (23), выраженного в форме [c.502]

Соотношения обобщенной ортогональности в задачах об установившихся колебаниях кольцевого слоя. В цилиндрической системе координат г, Lp, z рассмотрим однородные решения уравнений Ламе в плоских задачах об установившихся колебаниях кольца R г i 2 на поверхностях которого г — R и г = Д2 заданы любые однородные условия, аналогичные условиям для задач п. 1.5.2 предыду-ш,его раздела. Если собственные функции таких задач записать в виде [c.49]

Класс точных решений уравнений газовой динамики удалось получить, применяя методы теории размерностей и подобия. Основная заслуга в этом принадлежит Л. И. Седову. В 1944 г. он дал общий прием для нахождения решений линейных и нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных. Для одномерных неустановившихся течений (которые описы- 331 ваются нелинейными уравнениями) он рассмотрел случаи, когда искомые функции содержат постоянные, среди которых одна или две постоянные с независимыми размерностями. Седов доказал, что если среди размерных параметров, определяющих движение совершенного газа, кроме координаты г и времени t имеются лишь два постоянных физических параметра с независимыми размерностями, то уравнения в частных производных могут быть сведены к обыкновенным дифференциальным уравнениям. Движения газа, определяемые этими условиями, были названы автомодельными. Такими решениями были течения Прандтля — Майера, сверхзвуковые течения около кругового конуса с присоединенным скачком. В 1945 г. Седов нашел точные решения уравнений одномерного неустановившегося движения в случае плоских, цилиндрических и сферических волн (движение поршня в цилиндрической трубе, задача детонации, движение газа от центра и к центру) . [c.331]

Дифференциальное уравнение нестационарной теплопроводности в цилиндрических координатах для симметричной задачи запишется в виде [c.208]

Многослойная структура с полостью или упругим включением канонической формы. Рассмотрим случай, когда полость (упругое включение) целиком расположено в одном из элементов многослойной структуры и имеет границу, представляющую собой координатную поверхность в ортогональной криволинейной системе координат (цилиндрической, сферической, эллипсоидальной). В этом случае при исследовании задачи о динамическом воздействии плоского жесткого штампа на поверхность пакета слоев или многослойного полупространства с полостью или включением целесообразно использовать принцип суперпозиции. Это позволяет точным образом свести краевую задачу динамической теории упругости к системе интегро-функциональных уравнений, при решении которой можно использовать, в зависимости от расположения неоднородности, различные методы анализа. [c.311]

Задачи для трехмерного клина угла раствора 2а будем изучать в цилиндрической системе координат г, (р, z, где ось г направлена по ребру клина. Как известно [2], решение уравнений равновесия Ламе (1.1.1) в координатах г, р, z может быть выражено через три произвольные гармонические функции Ф = Ф (п z), гг = О, 1, 2, по формулам [c.147]

Рассмотренные методы, естественно, не исчерпывают всего многообразия способов решения интегральных уравнений, встречаюш ихся в теории резонаторов. В частности, при решении уравнений в декартовых координатах методом итераций, часто удобно преобразовать интегральный оператор к виду, позволяющему использовать алгоритм быстрого преобразования Фурье [59]. Это приводит к существенной экономии времени вычисления на ЭВМ отдельной итерации. При решении задачи в цилиндрических координатах для этой цели можно использовать алгоритм преобразования Ханкеля [60]. [c.168]

Задачу решаем в цилиндрических координатах г, 2,ф для пластического режима, соответствуюш его ребру призмы Треска в пространстве главных напряжений, при котором уравнения, описываюш ие поля [c.222]

В случае сферы нахождение функций, входящих в представление общего решения, сводится к решению векторного уравнения Лапласа, которое в отличие от уравнения в декартовых и цилиндрических координатах не распадается на отдельные уравнения относительно компонентов вектора. Для произвольного температурного поля решение задачи о тепловых напряжениях в сфере приводится к решению систем алгебраических уравнений, каждая из которых состоит из четырех уравнений. [c.9]

В конце этой главы ( 2.6) приводятся уравнения задач термоупругости в цилиндрических и сферических координатах. Составленные уравнения равновесия в перемещениях в цилиндрических координатах учитывают механическую и термическую неоднородности. [c.38]

Основные уравнения статической и квазистатической задач термоупругости рассматривались выше в декартовых координатах. Одиа-ко эти задачи для тел вращения, ограниченных цилиндрическими и сферическими поверхностями, удобно рассматривать в цилиндрических и сферических координатах. Рассмотрим основные уравнения задач термоупругости в этих координатах. Все формулы приведем в развернутом виде, не применяя индексного обозначения и правила суммирования по повторяющимся индексам. [c.49]

Здесь число л) =1,2,3 для плоского, цилиндрического и сферического случаев соответственно. Представим решение уравнений в виде произведения масштабных функций, зависящих от времени, на новые неизвестные функции автомодельной переменной = г/Я, где Я = Я t) — переменная длина, свойственная данной задаче (например, координата фронта ударной волны). Выбирая в качестве основных масштабы длины Я [c.238]

С помощью (9.59) и (9.60) гармоническое и бигармоническое уравнения в цилиндрических координатах для осесимметричной задачи можно привести к обыкновенным дифференциальным уравнениям. [c.298]

Задача о косом обтекании цилиндрического крыла бесконечного размаха облегчается тем, что в этом случае движение, перестает зависеть от трансверсальной (направленной по размаху крыла) координаты г. Уравнения движения (ПО) переходят в следующие [c.600]

Отметим, что решения для тел цилиндрической и сферической форм с коэффициентами с, X и у, являющимися степенными функциями координат, включаются как частные случаи в последнюю из рассмотренных задач. Например, уравнение в изображениях для шара имеет вид [c.438]

Этот метод заключается в совместном решении системы из дифференциальных уравнений равновесия и уравнения, выражающего условие пластичности. Уравнения пишут в форме (для объемного, осесимметричного, плоского напряженного состояний, плоского деформированного состояния) и в координатах (прямоугольных, цилиндрических, полярных, сферических), отвечающих условиям рассматриваемой конкретной задачи. [c.176]

Автомодельные движения имеют большое значение для газовой динамики. Поскольку в этом случае газодинамические величины не зависят от координат и времени в отдельности, ио зависят только от их определенных комбинаций,— зто уменьшает на единицу число независимых переменных в системе уравнений. В частности, при одномерных движениях вместо двух переменных х и i (или г и i в случае сферической или цилиндрической симметрии) появляется одна независимая переменная ( = x/i в нашей задаче). Течение описывается уравнениями не в частных [c.42]

Если уравнения записаны в цилиндрической системе координат, то может применяться преобразование Ханкеля по радиальной координате, причем, если коэффициенты уравнения в прямоугольной системе постоянны, то преобразование Ханкеля приводит к цели так же, как и двойное преобразование Фурье, которому оно по существу эквивалентно. Если система определена в полубесконечном интервале, то применяется косинус- или синус-преобразование, что соответствует четному или нечетному продолжению на бесконечную область. При некоторых условиях, которые будут обсуждены ниже, преобразования в бесконечных или полубесконечных пределах могут применяться и для ограниченных систем, в общем же случае здесь используются преобразования в конечных пределах. Преобразование Лапласа, как правило, применяется по переменной, означающей время, так как в нестационарных задачах нас интересует процесс при / > О, а граничные условия по / — начальные условия — обычно задаются при 1 = 0. Однако ввиду того, что преобразования Фурье и Лапласа по существу эквивалентны (в отношении функций, продолженных нулем на отрицательные значения аргумента), они оба могут использоваться (и иногда используются) для преобразований по пространственным и временной переменным. [c.85]

Задача решалась в цилиндрической системе координат с помощью уравнений для осесимметричного течения. Верхняя линия тока первоначально выбиралась произвольно, и область течения делилась иа треугольные элементы с тремя узлами, как показано иа рнс. 6.6. После каждой итерации [c.190]

Распределение скоростей, температур и концентраций в зак-рзгченном потоке описьтается уравнениями движения, неразрывности, энергии и диффузии. Рассматриваемые здесь внутренние задачи удобно отгасать системой уравнений в цилиндрической системе координат (г, , х) с азимутальной симметрией локальных параметров (д/д<р = 0). Радиальная, вращательная и осевая составляющие скорости обозначены соответственно через у, и, ш. [c.21]

Из сравнения математических моделей уравнений энергии переходного теплового (8-295), (8-296) и электрического (8-298) процессов устанавливается возможность и разрабатывается методика моделирования одномерных задач теилоиереноса в цилиндрической и сферической системах координат но ранее рассмотренной методике. [c.339]

Задачи течения в каналах. Этот класс задач объединяет все ламинарные и турбулентные, стационарные и нестационарные режимы течения однородных и многокомпонентных газов и жидкостей при свободном и вынужденном движении в каналах произвольной формы н произвольных граничных условиях на поверхностях капала. Широкий спектр прикладных задач данного класса регнается при условии, что градиент давления поперек потока отсутствует (dpjdr—0). В частности, математическая модель для задач теплообмена при неустаповившемся ламинарном симметричном вынужденном движении однородного газа в канале в цилиндрической системе координат задается системой дифференциальных уравнений (неразрывности, движения, энергии) [64] [c.185]

В. Крупка [79—81] изучил контактные задачи для круговой цилиндрической оболочки с жесткими и упругими ложементами, радиус основания которых равен наружному радиусу оболочки. Решение численное. Связь между оболочкой к ложементом представлялась рядом точечных опор. Реакции в точках опоры определялись из условия равенства смещений точек ложемента и оболочки. Численные результаты обнаружили существенную концентрацию реакции на концах зоны контакта. Изгиб свободно опертой по торцам оболочки жестким штампом, радиус основания которого равен наружному радиусу оболочки, рассмотрен также Ю. В. Соболевым и Н. П. Алешиным 61]. Численное решение, как и в цитированных работах В. Крупки, получено путем замены основания штампа рядом точечных опор. Т. С. Акульшина и др. [1] разобрали случай, когда между жесткими ложементами и оболочкой имеются прокладки, деформирующиеся как винклеровское основание. Решение задачи получено в тригонометрических рядах, коэффициенты которых определяюк ся иэ бесконечной системы алгебраических) уравнений. Численные расчеты показали, что реакция мало меняется в зоне контакта, лишь вблизи концов ложемента имеется резкий всплеск. Случай ложемента и оболочки одинакового радиуса изучался теоретически и экспериментально и в диссертации Р. Цвизеля [83]. Использован метод разложения решения в тригонометрические ряды по окружной координате. Для определения каждого члена ряда как функции продольной координаты применяется редукционный метод, так как переменные не разделяются. Выполненные исследования показывают, что имеет место резкая концентрация реакции у концов ложемента. [c.321]

Проведем оси координат yz в плоскости попгречного сечения цилиндрического сосуда, в котором происходит движение жидкости, и обозначим составляющие скорости по этим осям через и v . С математической точки зрения наша задача заключается в том, чтобы выразить и V, в виде функций от координат в плоскости сечения. Уравнение непрерывности для несжимаемой жидкости требует, чтобы в каждой точке сечения удовлетворялось уравнение [c.66]

В отличие от ряда Ватсона для цилиндра (5.22), ряд (6.23) не применйм на луче, на котором расположены токи, так как все его слагаемые обращаются в бесконечность (6,21). Качественно это отличие объясняется различием характера координат Ф и 0. Цилиндрическая координата ф локально является декартовой, и потому решение уравнения (5.28)—с б1(ф) в правой части— имеет особенность, описанную формулами (5.20) само решение при ф = О остается конечным и непрерывным. В задаче о шаре координата 0 локально напоминает цилиндрический радиус-вектор плоской цилиндрической системы координат [ср. первое слагаемое в (6.4), которое можно назвать оператором Де, и оператор Дг — первое слагаемое в (5.3)]. Поэтому особенность имеет само решение уравнения (6.22а). Такую же логарифмическую особенность имеет и полное поле, т. е. решение уравнения (6.25). Напомним, что и поле (3.9), созданное линейным током в вакууме, имеет ту же особенность, а характер особенности вблизи источника не изменяется при введении в поле какого-либо тела. [c.70]

В данной работе развит метод построения потенциала скоростей сжимаемой жидкости в жестком цилиндрическом сосуде, содержащем несколько взаимодействующих сферических включений. Строится решение уравнения Гельмгольца для соответствующей пространственной многосвязной области. При этом решение, записанное в цилиндрических координатах, удается переразложить по системе сферических волновых функций (и наоборот), что позволяет удовлетворить соответствующим граничным условиям на сферических и цилиндрических поверхностях и в итоге получить бесконечную систему алгебраических уранений относительно коэффициентов искомых представлений. В качестве конкретной задачи [c.489]

Задача ставится следующим образом. На полупространство действует осесимметричная нагрузка р г, /), направленная по оси г. Требуется найти поле перемещений и температуру. Частным случаем представленного ниже решения является соответствующий результат классической эластокинетики. Будем предполагать, что в рассматриваемой области г О нет тепловых источников и массовых сил. В этом случае исходные уравнения задачи однородны. В цилиндрических координатах (г, г) эти уравнения имеют вид [c.150]

В последующих работах М. М. Филоненко-Бородича косинус-биномы были им использованы для приближенного решения задачи об упругом равновесии прямоугольного параллелепипеда. Идея решения задачи состояла в разбиении тензора напряжений на две части основной тензор, удовлетворяющий уравнениям рановесия и условиям загружения граней параллелепипеда, и корректирующий тензор, построенный при помощи косинус-биномов и их производных. Последний тензор, удовлетворяя уравнениям равновесия и нулевым граничным условиям, содержит произвольные постоянные, определяемые вариационным методом Кастильяно. М. М. Филоненко-Бородич (1951) изучил задачу о сжатии параллелепипеда равными и противоположно направленными нагрузками и рассмотрел термоупругое равновесие параллелепипеда позже (1953) он распространил метод на случай цилиндрических координат ему же принадлежат соображения о выборе основного тензора для любым образом нагруженного параллелепипеда (1957). [c.24]

Поставовка задачи. Исходная система уравнений в цилиндрической системе координат г, 0, г включает в себя одно нетривиальное уравнение равновесия квазистатической задачи [c.445]

В работе [2] рассмотрена контактная задача термоупругости в случае осевой симметрии. Задача решается в цилиндрических координатах. ТТрименяется интегральное преобразование Ханкеля по переменной г к дифференциальным уравнениям равновесия термоупругости в сл ае осевой симметрии при отсутствии объемных сил, В результате устанавливается связь перемещений границы полупространства с нормальными напряжениями и температурой на границе. При этом предполагается, что касательные напряжения Хп на границе полупространства равны 11улю. [c.349]

Идею применить уравнение Бюргерса для объяснения поведения волн умеренной амплитуды можно встретить в работах [50, 51], однако впервые оно было строго получено в радиофизике при изучении волн в нелинейных линиях передачи [52]. Суть асимптотического метода работы [52] заключается в предположении медленности изменения формы профиля в сопровождаюш,ей системе координат на расстояниях порядка длины волны. Этот метод был вскоре применен к проблемам нелинейной акустики уравнение Бюргерса удалось получить из системы гидродинамических уравнений, учитывающих вязкость и теплопроводность среды [53]. Дальнейшие успехи теории связаны с обобщением уравнения Бюргерса на цилиндрически- [54] и сферически-симметричные волны [55], на случай среды с релаксацией [56], на слабо-неодномерные задачи нелинейной дифракции ограниченных пучков [57] и, наконец, на задачи более высоких приближений [58] ). [c.9]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...