Тензор основной

Задаче динамики деформируемого тела можно поставить в соответствие задачу о равновесии фиктивного четырехмерного тела. Для этого в рассмотрение вводится четырехмерное пространство с системой координат л (а = 1,2, 3, 0), в которой первые три координаты х (I = 1, 2, 3) — пространственные они совпадают с координатами Д основной системы координат, четвертая координата — временная хР = где и" — коэффициент пропорциональности, имеющий размерность скорости. Координатная линия х° — прямая, ортогональная к другим координатным линиям системы координат. Метрический тензор системы координат х имеет компоненты goo = —U ёю = остальные компоненты gtj совпадают с соответствующими компонентами метрического тензора основной системы координат х (t = 1,2,3). Введем в рассмотрение четырехмерный тензор кинетических напряжений (Т), компоненты которого имеют вид [24] [c.32]

Физические законы, с помош ью которых решаются задачи, в том числе и в механике сплошной среды, должны быть записаны в инвариантной форме, не зависящей от выбора системы координат. Выявление инвариантных свойств математических величин (векторов, тензоров) —основная задача тензорного анализа. Вот почему в тензорном анализе большое внимание уделяется преобразованию систем координат и компонент векторов и тензоров, с чего и начинается изучение математических основ механики сплошной среды. [c.14]

МЕТРИЧЕСКИЙ ТЕНЗОР — основная характеристика геометрич. свойств пространства, определяющая метрику данного пространства. Обычно эту связь выражают ф-лой [c.209]

Анализ вторичных течений, налагающихся на основное течение с предысторией постоянной деформации, можно провести с определенной математической строгостью. Действительно, рассмотрим течение с предысторией постоянной деформации, характеризуемое тензором N, фигурирующим в уравнении (3-5.21). Пусть G — соответствующая предыстория деформирования, полученная из уравнения (3-5.24), а именно [c.272]

При анализе полей течения типа, описываемого уравнением (7-3.2) (с малым числом е и вычислениями, проводимыми с точностью до первого порядка малости по е), можно вывести соотношения, связывающие некоторые интегралы (по интервалу О < S < оо) компонент тензора X и производные материальных функций основного течения. Такие соотношения называются соотношениями согласованности и могут быть получены при помощи постулата, что любое течение с предысторией постоянной деформации можно представить в виде суперпозиции подходящих малых возмущений и некоторого течения с предысторией постоянной деформации того же самого типа. Пусть /с и N определяют основное течение с предысторией постоянной деформации, а /с + еАг и N — возмущенное течение с такой же предысторией. Простые вычисления показывают, что возмущенное течение удовлетворяет уравнению (7-3.2), если G определяется в виде [c.274]

Повреждение, обусловленное интенсивным порообразованием по границам зерен в материале, может приводить к значительному его разрыхлению. В этом случае проведение независимого (несвязного) анализа НДС и развития повреждений в материале дает значительные погрешности. Например, отсутствие учета разрыхления в определенных случаях приводит к существенному занижению скорости деформации ползучести и к снижению скорости накопления собственно кавитационных повреждений. В настоящее время связный анализ НДС и повреждаемости базируется в основном на феноменологических подходах, когда в реологические уравнения среды вводится параметр D, а в качестве разрушения принимается условие D = 1 [47, 50, 95, 194, 258, 259]. Дать физическую интерпретацию параметру D достаточно трудно, так как его чувствительность к факторам, определяющим развитие межзеренного повреждения, априорно предопределена той или иной феноменологической схемой. Так, во многих моделях предполагается, что D зависит только от второго инварианта тензора напряжений и деформаций и тем самым исключаются ситуации, когда повреждаемость и, как следствие, кинетика деформаций (при наличии связного анализа НДС и повреждения) являются функциями жесткости напряженного состояния. [c.168]

В широком классе задач с газовой и жидкой фазами, основное значение в тензоре напряжений имеет давление [c.266]

Таким образом, основная характеристика геометрии масс — тензор инерции тела — позволяет ввести две важные характеристики распределения масс тела по отношению к рассматриваемой точке пространства первой характеристикой является эллипсоид инерции, построенный в этой точке, второй— связанная с ним система главных осей инерции. При переходе от одной точки к другой, вообще говоря, меняются как эллипсоид инерции, так и направления глав-, ix осей. Разумеется, существует исключительный случай, когда главными осями инерции являются любые ортогональные оси, про Денные через рассматриваемую точку,— такой случай имеет место, когда эллипсоид инерции в точке является сферой. [c.179]

Условия симметричности тензора напряжений справедливы как в статике, так и в динамике сплошной среды. 2. Тензор инерции тела является основной характеристикой геометрии масс. [c.88]

Тензорная алгебра рассматривает четыре основных действия. В результате этих действий, произведенных над тензорами, вновь получаем тензоры различных раш ов. Эти действия таковы [c.56]

Пользуясь общей криволинейной системой координат, рассмотрим операцию дифференцирования тензора, образующего поле. Поле, образованное тензором, над которым выполняется операция дифференцирования, называется основным. Мы ставим перед собой цель построить особые агрегаты, имеющие в своем составе частные производные компонент тензора, и которые в свою очередь являются компонентами тензора, образующего новое поле. [c.385]

В прямолинейных системах декартовых координат компоненты построенного таким образом тензора должны приводиться к частным производным компонент тензора, образующего основное поле. [c.385]

Тензор инерции и его основные свойства [c.77]

ТЕНЗОР ИНЕРЦИИ И ЕГО ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА [c.81]

Рассмотрим тензор конечных деформаций. Введение этого тензора связано с тем, что в закон Гука, основной закон механики упругих тел, входят зависимости между напряжениями, с одной стороны, и относительными удлинениями со сдвигами, с другой. [c.502]

Следующим шагом на пути обобщений является превращение неинвариантного равенства (IV. 165) в инвариантное, т. е. тензорное равенство, согласно основному принципу инвариантности аналитических формулировок основных законов природы, о котором шла речь выше. Чтобы пройти этот этап, надо построить тензор второго ранга с компонентами, содержащими вторые производные от компонент метрического тензора. [c.530]

Если поле тензора известно, то можно выписать основные характеристики деформации е и v. Пусть [c.8]

Формулировка уравнения, выражающего основное свойство дислокационных деформаций, достигается естественным обобщением уравнения (27,6). Введем тензор Рг тензор плотности дислокаций) такой, чтобы его интеграл по поверхности, опирающейся на любой контур L, был равен сумме Ь векторов Бюргерса всех дислокационных линий, охватываемых этим контуром [c.164]

Преимущество формулы (3) перед аналитической формой тех же равенств (12) гл. VII заключается в том, что в ней напряжение, приложенное к любой площадке в сплошной среде, прямо выражается через произведение двух основных факторов напряженности в данной точке среды и ориентации площадки в ней. Формула (3) имеет объективный характер, не зависящий от выбора направлений осей координатной системы. Линейный инвариант [(41), гл. VIH тензора напряжении равен сумме нормальных напряжений [c.130]

Как уже подчеркивалось во введении, в отличие от большинства традиционных курсов теоретической механики, в заключительной части настоящего отдела уделяется внимание основам кинематики сплошных деформируемых сред. В частности, излагается расширение основной теоремы кинематики абсолютно твердого тела об общем случае перемещения и движения тела в пространстве на случай деформируемой среды и проводится выяснение кинематического смысла компонент тензоров деформаций и скоростей деформаций. [c.144]

При анализе каждой составляющей тензора деформаций резонансно-поисковым методом рассчитывали основную скрытую гармонику процесса, которая инвариантна к условиям деформирования, но параметры ее (амплитуда, частота, фаза) являются характеристикой волнового процесса. [c.84]

В статических задачах термоупругости температурное поле является стационарным. Задачи, в которых не учитывают эффект связанности температурного поля деформаций, а также силы инерции, обусловленные нестационарным температурным полем, называют квазистатическими. В этих задачах тепловые напряжения в упругом теле в рассматриваемый момент времени определяются при известном температурном поле (время здесь является параметром). При решении задач термоупругости в качестве основных неизвестных принимают компоненты вектора перемещений или тензора напряжений. В соответствии с этим различают постановку задачи термоупругости в перемещениях или в напряжениях. Во всех случаях, если это особо не оговаривается, упругие и термические коэффициенты предполагают постоянными. [c.91]

Некоторые основные тензоры. [c.354]

От предельного изгибающего момента отвечающего развитому пластическому течению и неспособности соединения при этом воспринимать дальнейшую нагрузку, следует отличать предельный разрушающий момент М , при котором происходит нарушение сплошности материала (образование микротрещин и т. д.) вследствие исчерпания ресурса пластичности материала прослойки / р. Так как ресурс пластичности является функцией показателя жесткости напряженного состояния П ( П = а /Т—отношение шаровой части тензора напряжений к девиаторной /11 /). с повышением уровня нормальных напряжений растяжения в прослойке повышается показатель жесткости напряженного состояния и падает ресурс пластичности мягкого металла Лр. Уровень нормальных напряжений в прослойке возрастает с уменьшением ее относительной толщины ае, следовательно и предельный разрушающий момент Мр будет зависеть от геометрических параметров мягкой прослойки. Основные соотношения для его определения приведены в /12/. [c.27]

Первый член ряда, как и в (3.6), определяет интенсивность релеевского рассеяния света, второй член — интенсивность основных тонов в спектре комбинационного рассеяния, а последующие члены ряда — интенсивности обертонов и составных тонов этого спектра. На основании этого разложения матричный элемент тензора поляризуемости для основного перехода выражается следующим образом [c.111]

Уравнениями (4.1), связывающими тензоры напряжений и деформаций, замыкается система основных уравнений (2.24), (3.26) теории упругости, т. е имеет место система девяти уравнений [c.75]

Первая основная граничная задача состоит в нахождении в области, занятой телом, трех проекций вектора перемещения и шести компонентов тензора напряжений, которые должны быть непрерывными вплоть до поверхности тела функциями координат и удовлетворять уравнениям (5.1) и (5.2), а на поверхности его еще следующим условиям [c.84]

В прямых решениях задач об упругих телах ищутся тензоры напряжений, деформаций и вектор перемещения, вызываемые действующими на них внешними силами. Для этого следует проинтегрировать дифференциальные уравнения Ляме (5.4), если за основные неизвестные приняты перемещения Uk, и дифференциальные уравнения (5.26) и соотношения Бельтрами — Митчелла (5.33), (5.34), если за основные неизвестные приняты компоненты тензора напряжений при заданных граничных и начальных условиях. В первом случае говорят, что задача решается в перемещениях, во втором — в напряжениях. [c.89]

Проверим, совместимы ли эти перемещ,ения со всеми основными уравнениями теории упругости. Подставив (5.61) в формулы (3.18), для компонентов тензора деформаций будем иметь [c.94]

Очевидно, что выражение ф(г)+2ф (2)+i 3(z) может быть непрерывным вплоть до границы без обязательного соблюдения условия непрерывности (вплоть до границы L) компонентов тензора напряжений. Поэтому последнее условие может быть заменено более слабым условием непрерывности вплоть до границы указанного выражения. В дальнейшем будем считать, что для двух первых основных задач функции ф(2 ), ф (г) и i 3(z) непрерывно продолжи-мы на все точки границы L области S это накладывает сильное условие на искомые функции, но и значительно упрощает рассуждения при применении методов эффективного решения основных задач. [c.132]

Таким образом, более строгая постановка задачи предполагает, что напряженное состояние элементарного параллелепипеда будет вполне определено, если задан не только тензор-матрица основных напряжений, но и тензор-матрица моментных напряжений. Эти две матрицы таковы [c.13]

Принято указанные компоненты называть основными компонентами тензора модулей упругости. [c.49]

При учете моментных напряжений количество уравнений совместности деформаций оказывается уже больше прежних классических шести, так как для сохранения непрерывности деформируемого континуума должна быть соблюдена определенная связь не только между компонентами основного тензора деформации, но и между компонентами дополнительного тензора, а также и между компонентами основного и дополнительного тензоров. [c.51]

Сложность одновременного точного выполнения всех краевых условий на поверхностях цилиндра заставила искать приближенных путей решения задачи так, С. И. Тренин (1952) представлял напряженное состояние двумя тензорами основным и корректирующим, причем последний не дает напряжений на боковой поверхности (однородные решения), а его параметры определяются энергетическим путем. Более общая (не осесимметричная) задача о полом цилиндре рассматривалась аналогичным образом В. И. Ионовым (1957) Я, С, Шаин (1962) дал построение корректирующего тензора в первом приближении. [c.20]

МИНКОВСКОГО ПРОСТРАНСТВО — четырехмер-ноо пространство, точки к-рого соответствуют событиям (см. Мировая линия) специальной теории относительности. М. п. дает удобное геометрич. отобран5с-ние релятивистской кинематики. Первые три координаты М. н, 1, 2- з действительны и соответствуют координатам х, у, z обычного трехмерного простраи-ства. Четвертая — мнимая координата x — i i, где с — скорость света, t — время события. Введение мнимой координаты сводит Лоренца преобразования специальной теории относительности к вращениям в М. п. При этом нет необходимости различать кова-риантные и контравариантные компоненты векторов и тензоров. Основным инвариантом М. п. является квадрат длины четырехмерного радиус-вектора x j - --j- 3 +ж = не меняющийся при вра- [c.250]

Современное состояние вопроса общего математического описания дисперсных систем нельзя признать до-статочло удовлетворительным, несмотря на растущий интерес к этой проблеме. Каж травило, в работах, шо-священных этому вопросу, фактически используется феноменологический подход к исследованию дисперсного потока в целом. Идея условного континуума п03(В0Ляет полностью использовать математический аппарат механики сплошных сред, но несет с собой погрешности физического порядка тем более существенные, чем значительней макроднскретность системы. Системы таких уравнений, полученные рядом авторов как общие, все же не охватывают класс дисперсных потоков во всем диапазоне концентраций (вплоть до плотного движущегося слоя). Они не учитывают качественного изменения структуры потока и в связи с этим изменения закономерностей распределения частиц, появления новых сил (например, сухого трения), изменения с ростом концентрации (до предельно большой величины) условий однозначности и пр. В основном большинство работ посвящено турбулентному течению без ограничений по концентрациям, хотя при определенных значениях р наступает переход к флюидному транспорту, а затем — плотному слою. Сама теория турбулентности применительно к дисперсным потокам находится по существу в стадии становления (гл. 3). Наиболее перспективные методы — статистические (вероятностные) применяются мало, по-видимому, в силу недостаточной изученности временной и пространственной структур дисперсных систем Общим недостатком предложенных систем уравнений является их незамкнутость, которая объясняется отсутствием конкретных данных о тензорах напряжений и [c.32]

В настоящее время имеется большое количество работ, посвященных анализу прочности и долговечности материалов и элементов конструкций. В ряде публикаций проблема прочности и разрушения рассматривается с феноменологических позиций— на базе концепций механики деформируемого твердого тела. К другому направлению относятся работы по развитию физики прочности и пластичности материалов, в которых анализ рузрушения проводится на атомарном и дислокационном уровнях, т. е. на микроуровне. В этих исследованиях весьма затруднительно включение в параметры, управляющие разрушением, таких основных понятий механики, как, например, тензоры деформаций и напряжений или жесткость напряженного состояния. Поэтому в последнее время интенсивное развитие получило направление, которое пытается соединить макро- и микроподходы при описании процессов повреждения и разрушения материала и формулировке критериев разрушения. [c.3]

Таким образом, методом осреднения мы получили уравнения импульса, притока тепла фаз, а также уравнения момента импульса и энергии их пульсационного (мелкомасштабного) движения. В отличие от феноменологического подхода гл. 1, метод осреднения позволил последовательно учесть влияние мелкомасштабного движения фаз поверхностного натяжения и получить выражения для определения таких макроскопических характеристик, как тензор напряжений в фазах, интенсивности межфазного взаимодействия, потоки различных видов энергий и т. д. через значения микропараметров. Реализация этих выражений, приводящая к реологическим соотношениям теперь уже только между макропараметрами (которые можно называть явными реологическими соотношениями) и, как результат, к замыканию системы уравнений, должна производиться с учетом структуры и физических свойств фаз в смеси. И это есть основная проблема при моделировании гетерогенных сред. [c.87]

Простейщим примером евклидова пространства двух измерений будет плоскость. Так как основным отличием между поверхностью и плоскостью является кривизна поверхности, связанная с тензором Римана — Кристоффеля, то этот тензор называется также тензором кривизны, как было сказано выше. [c.507]

Проверим, совместимы ли компоненты напряжений с основными уравнениями теории упругости. Ввиду того, что рассматриваемая задача также 5Гвляется простейшей задачей теории упругости, компоненты тензора напряжений (5.65) тождественно удовлетворяют соотношениям Бельтрами — Митчелла. Компоненты тензора напряжений (5.65) также удовлетворяют уравнениям упругого равновесия. [c.96]

Основное содержание СТО, как подчеркивал Г. Минковский, состоит в установлении единой абсолютной пространственно-временной формы бытия материи — пространственно-временного мира (мир Минковского), геометрия которого псевдоевклидова. В этом мире различным системам отсчета соответствует в общем случае различная метрика с коэффициентами y v (х) пространства-времени. Например, в произвольной неинерциальной системе координат S метрические коэффициенты y[ v оказываются функциями координат X этой системы, что приводит в итоге к появлению ускорения свободной материальной точки относительно S и сил инерции, выражающихся через производные первого порядка от тензора по соответствующим координатам. Кинематически силы инерции характеризуются тем, что вызываемые ими ускорения свободных материальных точек не будут зависеть от их масс. Таким же свойством обладают и гравитационные силы, поскольку, как показывает опыт, гравитационная масса тела равна его инертной массе. Этот фундаментальный факт привел Эйнштейна к мысли, что гравитационное поле должно описываться подобно полю сил инерции метрическим тензором, но уже в римановом пространстве-времени. [c.158]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...