Обозначения индексные

Индексные обозначения тензоров. Компоненты тензора любого ранга N и сам тензор можно кратко представлять с помощью так называемых индексных обозначений. К тензорной величине, обозначаемой какой-либо буквой, до- [c.10]

Соглашение о суммировании часто используется в связи с представлением векторов и тензоров в символических обозначениях через базисные единичные векторы. Так, формула (1.2) для вектора а в сокращенной индексной форме имеет вид [c.11]

Удобство индексных обозначений проиллюстрируем следующими типичными примерами. Уравнение [c.11]

Формула (1.26) для диадика в индексных обозначениях принимает вид [c.12]

В каждой точке пространства и в каждый момент времени i тензоры имеют свои значения, образуя тензорное поле. Последнее называется непрерывным (или дифференцируемым), если компоненты тензора являются непрерывными (или дифференцируемыми) функциями х, t. Если компоненты тензора не зависят от времени t, то тензорное поле называется стационарным. Поля тензоров в индексных обозначениях можно записать в таком виде скалярное поле ф = ф(х,-, t) или <р = ф(х, ) векторное поле v = v(xi, t) или г>=г(х, t) поле тензора второго ранга aa = aij(xt, t) или au = aij(ii, t). [c.15]

В индексных обозначениях имеем [c.16]

Матрицы. Матричные представления декартовых тензоров. Систему т линейных алгебраических уравнений с п неизвестными Xi можно записать в индексных обозначениях [c.17]

Введенные обозначения для компонент усилий, напряжений, перемещений и деформаций стали общепринятыми во многих странах, в особенности для инженерных расчетов, В этой книге оии будут использоваться повсюду. Однако для сжатого представления общих уравнений и выводимых из них теорем более удобна и часто применяется другая система обозначений — система индексных обозначений. В этой системе компоненты перемещения, например, обозначаются и,, u,j, или более коротко и/, где считается, что индекс i может принимать значения 1, 2 или 3, Для координат вместо обозначений А-, у, г используются обозначения х,, х.,, х , или просто х/. [c.31]

При индексных обозначениях удобно опускать знак суммирования и писать просто На необходимость суммирования указывает повторяющийся индекс. Это называется правилом суммирования. Отсюда в компонентах напряжений получаем [c.32]

Для численного решения удобно развернуть зависимости (29) в виде трех формул для стц, а22> Oi2- Индексные обозначения при этом можно заменить на обычно употребляемые в технической литературе так оц, 022, < 12, ёц, мы заменим на Oj , Оу, х, Ёу, 72Y y соответственно. Эти обозначения лучше согласуются с теми, которые применялись ранее в работах по микромеханическому анализу. Отметим, в частности, что ei2 заменена на / Уху того, чтобы перейти от тензорных компонент деформации сдвига к техническим ее компонентам, обычно используемым в численных методах. [c.222]

В уравнении (1) мы использовали обычные индексные обозначения, соответствующие системе декартовых координат Х , i= 1, 2, 3 (см. также приложение Б). В частности, повторяющиеся индексы означают суммирование по i, j, k,. .. от единицы до двух или до трех. Упругие константы называются эф- [c.359]

Введем систему координат Охуг, начало которой совмещено с центром масс тела (рис. 6). Соответствующие оси координат называют центральными. Для удобства написания общих формул будем пользоваться также индексными обозначениями X = Xi, у Х2, г = Х3. [c.41]

Нормальные напряжения будут обозначаться символом а, а касательные — символом т. Индексные обозначения применяются Б соответствии со следующими обычными правилами [c.88]

Используется Стандартная индексная система обозначений и связанных с ней соглашений исключения специально отмечаются. Индексы пробегают значения 1, 2, 3 б , —символ Кронекера. Верхние индексы (е) и (р) отмечают упругую и пластическую составляющие. [c.327]

Проведение подобных выкладок без использования индексных обозначений чрезвычайно утомительно так, в развернутой записи уравнение (3.38) содержит восемь отдельных членов-произведений (два из которых оказываются равными нулю). Поэтому читателю настоятельно рекомендуется овладеть несколькими простыми правилами (см. приложение А), требующимися уже на данной стадии, чтобы быть готовым к существенно более широкому использованию подобных обозначений, например в теории упругости. [c.71]

В данной главе мы распространили идеи, лежащие в основе непрямого и прямого МГЭ и изложенные в гл. 2 для одномерных задач, на двумерные задачи теории потенциальных течений. Одной из наиболее замечательных особенностей рассмотренных методов является то, что с увеличением размерности задач основные шаги процедуры получения решения фактически остаются неизменными. В дальнейшем, используя тензорные индексные обозначения, введенные в настоящей главе, мы покажем, что алгоритмы решения двумерных и трехмерных задач о потенциальном течении в принципе действительно являются идентичными (см. гл. 5). [c.97]

В этой главе приводятся вывод соотношений МГЭ и его применение для численного решения двумерных задач теории упругости в случае малых деформаций. Большая часть представленных в данной главе теоретических выводов была получена в гл. 2 и 3. Вывод соотношений метода граничных элементов для задач теории упругости близко связан с аналогичным выводом теории потенциала [I, 2]. Однако результирующие интегральные уравнения в теории упругости выражаются системой векторных уравнений в отличие от интегральных уравнений теории потенциала, являющихся скалярными. Поэтому и сингулярные решения в теории упругости оказываются более сложными, чем в теории потенциала. Для их краткого и удобного введения мы будем пользоваться системой индексных обозначений. Читателю, не знакомому с этими обозначениями, рекомендуется прочитать приложение А, где приводятся необходимые пояснения. [c.100]

ИНДЕКСНЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ, СОГЛАШЕНИЕ О СУММИРОВАНИИ, ПРЕОБРАЗОВАНИЯ, ТЕНЗОРЫ [c.460]

В этом приложении излагаются основные свойства индексных обозначений и соглашение о суммировании Эйнштейна, что позволяет обращаться с наборами величин идеально приспособленным к вычислениям на ЭВМ способом. Некоторые фундаментальные идеи, связанные с тензорной алгеброй в криволинейных координатах, приводятся в А.6. 2h-0T последний вопрос находится довольно далеко от того, что нам обычно требуется, однако поскольку концепция МГЭ основывается на геометрическом описании границ и внутренних ячеек, а также распределении по ним некоторых функций, то для дальнейшего продвижения на этом пути требуется анализ в криволинейных координатах, для которого тензорный аппарат оказывается удобным. Возможно, некоторые читатели найдут простоту и красоту этого представления привлекательными и будут изучать его дальше, что позволит им значительно усовершенствовать метод нашего анализа. [c.460]

Индексные обозначения, преобразования, тензоры 461 [c.461]

Индексные обозначения, преобразования, тензоры 463 [c.463]

Индексные обозначения, преобразования, тензоры 465 [c.465]

Индексные обозначения, преобразования, тензоры 467 [c.467]

Соотношения напряжение — деформация также можно записать в индексных обозначениях, используя специальный символ, называемый дельтой Кронекера, который определяется так [c.25]

Мы будем главным образом применять абстрактные тензорные обозначения, используемые в работах [4—6], и лишь иногда, во второстепенных случаях,— индексные обозначения. Это различие представляется более принципиальным, чем просто вопрос об удобстве обозначений, так что даже для читателей, уже знакомых с рабочим аппаратом тензорного анализа, чтение указанных разделов может оказаться полезным. Многие доказательства опущены, поскольку предполагается, что гидроыеханик может использовать математику просто как инструмент для изучения физических проблем. [c.15]

Раздел I (главы 1—5) объединяет все остальные разделы учебника. В нем излагаются основные понятия, теории напряжений и деформаций, общая форма законов связи напряжений с деформациями. При изложении материала предполагалось, что студенты владеют лишь сравнительно простым математическим аппаратом. В силу этого в первой главе излагаются математические основы МДТТ и даются некоторые сведения по сложным разделам высшей математики, которые обычно не включаются в программы технических вузов. Математический язык МДТТ — тензорный язык. Поэтому в учебнике изложение общих вопросов МДТТ ведется в индексных обозначениях, что существенно сокра- [c.3]

Формулы (11.1.5) представляют перемещения в упругом теле через четыре гармонические функции. Однако в общем случае в граничных условиях фигурируют комбинации этих функций, и воспользоваться известными решениями задач теории гармонических функций, как правило, не удается. Однако в некоторых случаях задача теории упругости сводится к той или иной задаче для уравнения Лапласа таким образом, удается построить эффективные решения. Одной из таких задач служит задача об упругом полупространстве. Пусть упругая среда занимает область пространства а з [О, °°), плоскость а з = О является границей, на которой заданы те или иные условия. Здесь мы ограничимся изучением наиболее простого случая, когда на граничной плоскости равны нулю касательные напряжения Оаз (а = 1, 2). В этом случае, как будет показано, все перемещения и напряжения выражаются через одну гармоническую функцию. Условимся сохранять индексные обозначения только для осей Xi и Х2, ось Хз, будем обозначать как ось z. Как уже было прппято ранее, [c.368]

Выражение (117) можно сравнить с выражением а , которое дает соотношение (109) при этом следует обратить внимание па множители 2 в трех последних членах. Когда испольяуются индексные обозначения, в частности в уравнениях (е) из 7, правая часть уравнения (117), выраженная через e./j, содержит соответствующие множители 2. Такая форма удобна, когда рассматриваются изменения координат, а напряжения и деформации представляются тензорами второго ранга. [c.240]

Основные функции программы ПОДТЕ заключаются в следующем разделение символов на вычерчиваемые и служебные разделение вычерчиваемых символов на программно-формируемые и аппаратурно-формируемые перевод двоичного числа с плавающей запятой в совокупность цифровых символов перевод двоичного числа из радианной меры в градусную и затем в совокупность цифровых символов переход от построения заглавных символов к построению строчных и наоборот, формирование верхних и нижних индексных надписей формирование обозначений предельных отклонений размеров в соответствии с ЕСКД формирование для программы СИМВОЛ (см. ниже) операторов ТЕКСТ, описывающих однородные строки. [c.193]

Коэффициенты полиадных произведений могут быть представлены и смешанным расположением индексов, когда часть индексов при а написана сверху, например " и т. д. Следует иметь в виду, что система подобных однородных индексных обозначений математических объектов имеет большое значение для упорядочения операций с ними в тензорном анализе. [c.57]

Для указания какой-либо компоненты массива служит переменная с индексами. Запись переменной с индексами состоит из обозначения массива, за которым следует заключенный в квадратные скобки список индексов. Этот список состоит из одного или нескольких арифметических выражений, разделенных запятыми. Число арифметических выражений, называемых индексными, должно быть равно числу граничных пар в описании массива. В ГАЛГОЛе разрешается удаление квадратных скобок с одновременным понижением списка индексов. Примеры переменных с индексами [c.40]

Вместо обычного обозначения декартовых координат хуг удобно принять обозначения Х1Х2Х3. Это позволит ввести индексные обозначения, что в дальнейшем сократит и упростит все преобразования. [c.5]

В приведенной выше программе, основанной на матричном методе расчета, в отличие от эталонного языка АЛГОЛ-60, не имеющего матричных обозначений, применены для матричных операций элементы АЛЬФА-системы программирования [14] (выделены курсивом) векторы и матрицы обозначаются с помощью индексных скобок с пропущенными индексами матричные операции сложения, умножения и обращения записаны, как для скалярных величин. Программа в приведенном виде предназначена для ЭЦВ]И с АЛЬФА-траслятором, например типа БЭСМ-4 или М-220. При использовании ЭЦВМ с другими трансляторами должны быть применены соответствующие им операции либо стандартные программы матричной алгебры. [c.101]

Легко заметить простое правило, по которому че-тырехиндексные обозначения табл. 2.3 заменены в табл. 2.5 двух-индексными. Сравнивая табл. 2.5 с табл. 2.4, можно выяснить связь между обозначениями физических и технических упругих постоянных. [c.37]

Однако, для того чтобы пользоваться этим уравнением, нужно проделать отдельно каждую из дифференциальных операций над каждым членом в G, что не слишкОхМ просто, если G представляет собой весьма сложную функцию. С другой стороны, после того как читатель ознакомится с индексными обозначениями (см. начало приложения А), ему станет ясно, что выражения вида дей- [c.103]

Читатель, не знакомый с индексными обозначениями, соглашением о суммировании и элементарньши законами преобразований тензоров, обнаружит, что в начальных главах перечисленные идеи почти не используются. В остальных главах этой книги встречаются выражения со многими индексами, имеющие значительно более страшный ввд. Переход этот представляется неизбежным, поскольку приходится работать с выражениями, состоящими из многих компонент, которые комбинируются в соответствии с точными законами. [c.460]

Мы уже упомянули о практике замены нижних значков или индексов X, у и г номерами 1, 2 и 3. Два дальнейших соглашения при использовании, , индексных обозначений позволяют записывать уравнения теории упругости в компактной форме. Первое состоит в том, что по повторяющемуся буквенному индексу в любом члене выражения подразумевается суммирование. Например, согласно этому правилу суммирования , выражение Ог П озна- [c.25]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...