Ортогональность обобщенная

Равенство нулю скалярного произведения свидетельствует об ортогональности обобщенной силы Ql Q2 Q/l всем мыслимым возможным перемещениям 671. .. б , - [c.24]

Обозначения точек геометрических образов на обобщенном чертеже примем такие же, как и на ортогональных. При переходе от ортогонального чертежа к обобщенному построим основную линию обобщения — геометрическое место точек пересечения разноименных проекций прямых линий плоскости. [c.68]

На обобщенных чертежах прямые линии и точки в плоскости выбирают по тем же условиям и теми же приемами, как для ортогональных чертежей [c.68]

При решении позиционных задач на обобщенных чертежах, как и на чертежах ортогональных, можно применять метод вспомогательных проецирующих плоскостей. [c.69]

Можно ли ортогональные чертежи рассматривать как обобщенные Если можно, то почему [c.74]

Принимаем горизонтальную проекцию параболоида за одну из проекций обобщенного чертежа и строим вторую недостающую его проекцию, наметив основную линию 0 0г, параллельную большой оси эллипса основания. Направление линий связи ортогонального чертежа сливается здесь с направлением обобщения. [c.204]

Проведем обобщение графического действия анализа структуры формообразования на объекты с произвольным (не ортогональным) расположением граней, а также на объекты, ограниченные кривыми поверхностями. [c.135]

Рассмотрим влияние гироскопических сил. Такие силы могут возникать, например, вследствие действия кориолисовых сил в неинерциальной системе отсчета. Они также могут быть следствием процедуры Рауса игнорирования циклических координат. Рассмотрим случай // = 2 + 0- Если лагранжевы координаты системы ортогональны в том смысле, что форма Ьо есть сумма членов, содержащих только квадраты обобщенных скоростей, то (см. 8.5) функция Рауса также будет представлять собой сумму положительно опреде,пен-ной квадратичной формы по позиционным скоростям и свободного от скоростей члена. Однако если 2 — произвольная положительно определенная квадратичная форма, то отсутствие линейного по скоростям члена в функции Рауса гарантировать нельзя, так что функцию Рауса следует принять в виде [c.593]

Условия (I. 27) можно рассматривать как обобщенные условия ортогональности векторов NJ J в пространстве з . [c.31]

Чтобы данное состояние можно было разложить по совокупности каких-либо других состояний, последние должны быть взаимно ортогональными, т. е. должны отвечать одному и тому же полному набору. Такие состояния принято называть базисными. Амплитуды базисных состояний удовлетворяют условию, которое является очевидным обобщением соотношения (5.2.4) [c.110]

Элемент у точки В с ортогональными гранями до деформации (рис. У.21,а) по гипотезе Бернулли имеет ортогональные грани и после деформации (рис. У.21,в). Следовательно, для него (рис. У.21,(3) Ух,,,, = 7 12. = 7 1 1 = и из обобщенного закона Гука (1.7) касательные напряжения в продольных и поперечных сечениях участка равны нулю. [c.150]

Плоскость, параллельно которой проводится укладка слоев в системе осей 123, ортогональна направлению 3. Ниже приведено обобщение этого метода на любой на трех случаев выбора плоскости слоев I/, ортогональной направлению к (1, /, к 1, 2, 3). Относительные толщины слоев принимают по (5.1), а их коэффициенты армирования — но (5.2). Окончательная запись выражений для модулей сдвига в выбранной плоскости армирования материала и перпендикулярно ей имеет следующий вид [c.122]

На обобщенные координаты не следует смотреть как на ортогональные координаты, определяющие положение точек системы. В качестве обобщенных координат могут быть взяты любые величины, определяющие положение рассматриваемой системы. Так, например, в качестве таких координат можно взять амплитуды в разложении в ряд Фурье. В ряде случаев может оказаться удобным использовать в качестве обобщенных координат величины, имеющие размерность энергии или кинетического момента. [c.24]

Углы Эйлера. Мы уже говорили, что так как элементы Uij не являются независимыми, то они не могут быть приняты за обобщенные координаты. Поэтому для исследования движения твердого тела с помощью лагранжиана необходимо предварительно выбрать три независимых параметра, определяющих ориентацию твердого тела. Только после того, как такие обобщенные координаты будут выбраны, можно будет вычислять лагранжиан и составлять уравнения Лагранжа. Известен целый ряд таких параметров. Наиболее распространенными и удобными из них являются углы Эйлера. Поэтому мы дадим сейчас определение этих углов и покажем, как можно через них выразить элементы матрицы ортогонального преобразования, [c.124]

Глава 4 предоставила нам необходимый кинематический аппарат для исследования движения твердого тела. Углы Эйлера дают нам систему трех координат, которые, хотя и не вполне симметричны, однако удобны для использования их в качестве обобщенных координат, описывающих ориентацию твердого тела. Кроме того, метод ортогональных преобразований и связанная с ним матричная алгебра дают мощный и изящный аппарат для исследования характеристик движения твердого тела. Мы однажды уже применили этот аппарат при выводе уравнения (4.100), связывающего скорости изменения вектора в неподвижной системе координат и в системе, связанной с телом. Теперь мы применим этот аппарат для получения динамических уравнений движения твердого тела в их наиболее удобной форме. Получив эти уравнения, мы сможем рассмотреть несколько простых, но важных случаев движения твердого тела. [c.163]

Такой вид имели, например, уравнения ортогонального преобразования или уравнения перехода от декартовых координат к полярным. Мы будем называть такие преобразования точечными. Однако в методе Гамильтона импульсы являются такими же независимыми переменными, как и обобщенные координаты. Поэтому мы должны расширить понятие преобразования координат и включить в него одновременное преобразование как независимых координат qi, так и независимых импульсов Pi- Таким образом, мы будем иметь дело с преобразованием, описываемым уравнениями [c.264]

Это справедливо для оптически изотропных сред. В анизотропных средах (кристаллах) ортогональность луча и волновой поверхности является не обычной евклидовой, а тензорно обобщенной неевклидовой ортогональностью. [c.301]

Случай интегрируемости Штеккеля. Штеккель поставил себе задачу указать другие классы динамических задач, к которым можно было бы применить метод разделения переменных ) в частности, он искал все динамические задачи, интегрируемые этим методом, ограничиваясь предположением, что живая сила, как и в случае Лиувилля, является квадратичной формой от ортогонального вида. Таким образом, он пришел к важному обобщению результатов предыдущих пунктов не воспроизводя соображений, какими руководствовался Штеккель в его исследовании, мы ограничимся здесь лишь характеристикой динамических задач, найденных им таким способом. [c.343]

Если трех уравнений (7.8) достаточно для полного описания обобщенного закона Гука в главных осях, в которых сдвиги отсутствуют, то уравнения (7.12), описывающие обобщенный закон Гука в произвольных (не главных) ортогональных осях, представляют собой лишь первые три уравнения помимо них имеется еще три уравнения, в которых через компоненты напряжений выражаются относительные сдвиги. Эти уравнения выведены в 7.3. [c.498]

Формулу для Ог можно рассматривать и как первые четыре члена разложения в обобщенный ряд Фурье по ортогональной системе функций, четыре из которых суть 1, Х(3), у (s), (О (я). [c.405]

Равенство нулю скалярных произведений свидетельствует об ортогональности векторов я, и ф/, а также векторов Я/ и %1- С другой стороны, очевидна энергетическая природа этих равенств. Векторы ф/ и X/ являются силами (соответственно инерционной и упругой), а Яг — перемещение. Равенства (17.203) свидетельствуют о том, что работа каждой из сил — инерционной или упругой, энергетически соответствующих /-й обобщенной координате на перемещениях, им соответствующих и обусловленных 1-й обобщенной координатой (//), равна нулю. [c.149]

Умножим обе части этого уравнения на собственные функции Vn (х) п = 1, 2,. ..) и проинтегрируем произведения от О до I. В силу свойства обобщенной ортогональности (см. приложение I) [c.131]

Свойство обобщенной ортогональности собственных функций состоит в том, что для любых двух собственных функций щ (дг) и у/, (х), соответствующих двум различным собственным значениям Pi и Р/,, выполняются условия 6 6 [c.301]

Согласно условию ортогональности, отношение приращений соответствующих обобщенных деформаций получается равным [c.200]

К этому надо добавить, что функции ф (х) удовлетворяют обобщенному условию ортогональности [c.119]

Математическая особенность задач с неортогональными собственными функциями состоит в том, что параметр X, имеющий физический смысл частоты или постоянной распространения, входит в дифференциальные уравнения в виде полиномов, а также содержится в выражениях для граничных условий. Такого типа краевые задачи называются обобщенными [4]. Наиболее глубокие результаты в этой области получены в работе Келдыша [5]. В ней исследованы вопросы полноты и ортогональность собственных функций дифференциальных уравнений, содержащих параметр X в виде полинома степени п с граничными условиями, не содержащими этого параметра. [c.6]

По вектору обобщенных координат q однозначно определяется положение и ориентация всех звеньев манипулятора. Свяжем с у-м звеном правую ортогональную локальную систему координат с началом в точке г/ и ортами е , е , е[, причем г/ расположим на кинематической оси (/ — 1)-го и /-го звеньев, а орт вз направим по этой оси. Будем считать, что система координат стойки манипулятора совпадает с абсолютной неподвижной системой координат, т. е. [c.43]

Рассмотрены особенности уравновешивания гибких роторов с упруго-массивными опорами и сформулированы обобщенные условия ортогональности для системы ротор-опоры. [c.109]

Овал эпнтрохоидный 618 Опыты Бриджмена 105, 668 Ортогональность обобщенная 361 Оси деформации главные 77 [c.936]

Из вершин этого треугольника и треугольника a,b восставляем перпендикуляры к их плоскостям. Определим некоторый треугольник пространства, проекцией которого на плоскости V является треугольник ai bi i. Из этих построений видно, что обобщенный чертеж треугольника flibj i, можно рассматривать как ортогональный осный чертеж в системе плоскостей проекций Ни Vi- [c.68]

Двумя поперечными еечениями, расетояние между которыми по оси участка dS — бесконечно мало, вырежем на 1-м участке системы (рис. VI. 1, а) элемент. Силы упругости в поперечных сечениях элемента могут привестись к шести внутренним силовым факторам (рис. У1.2), которые для него должны рассматриваться как обобщенные силы. Под действием этих обобщенных сил правое сечение элемента переместится относительно левого, которое считаем неподвижным. Перемещения сечения в направлениях осей х, у, 2 от ЛГ, Q , и повороты его около осей х, у, 2 от М , Му, будут взаимно ортогональны, поэтому обобщенное перемещение, соответствующее каждому внутреннему силовому фактору, будет перемещение, вызванное им самим. Или по-другому каждый внутренний силовой фактор будет совершать работу только на созданном им (на собственном) перемещении. На этом основании и — потенциальная энергия деформации элемента может быть найдена, как сумма потенциальных энергий деформации, определенных при действии на элемент каждого внутреннего силового фактора отдельно [c.210]

Донг [811 получил решение уравнений обобщенной теории Доннелла, определяющее собственные частоты цилиндрических оболочек с произвольным набором ортотропных слоев и с различными граничными условиями. Узловые линии, так же как и в изотропных оболочках, образуют прямоугольную сетку. Берт и др. [37] рассмотрели аналогичную задачу на основе более точной теории первого приближения Лява. Найденные ими значения частот в общем достаточно хорошо согласовались с рерчльтатами Донга, за исключением низших частот, которые у Донга оказались завышенными. В работе Берта и др . на примере двухслойной ортогонально-армированной цилиндрической оболочки из боро-пластика проиллюстрировано влияние эффекта связанности мембранных и изгибных деформаций. Рассматривались также различные ортогонально-армированные структуры, включающие три слоя одинаковой толщины. Было установлено, что поведение оболочек, армированных по схемам О—К—О и О—О—О (О соответствует слою, уложенному в осевом направлении, К — слою, уложенному в кольцевом направлении), почти не различается. Также Мало отличаются друг от друга оболочки, армированные по схемам К—К—О и К—К—К. При всех четырех схемах армирования оболочка имеет,примерно одинаковую собственную частоту, соответствующую первому тону колебаний в осевом направлении и второму (п = 2) в окружном. При п = 1 армирование по схемам О,—О—О и О—К—О приводит к более высоким значениям частоты, а при относительно более высокие значения [c.239]

В виде частного приложения мы можем представить себе световые лучи в оптически изотропной, но неоднородной среде с коэффициентом преломления п(х,у,г), меняющимся от точки к точке. Как мы уже видели в п. 18, световые лучи тождественны с геодезическими линиями метрического многообразия, имеющего линейным элементом ds = nds, где ds есть обыкновенный линейный элемент физического (евклидова) пространства. Так как элемент ds отличается только позиционным множителем п от евклидова элемента ds, то обобщенные количества движения р траекторий будут также отличаться только на локальный множитель от направляющих косинусов соответствующей касательной, так что введенное выше условие ортогональности (58) приобретает в этом случае обычный смысл, который оно имеет в элементарной метрике. С другой стороны, как было отмечено в п. 18, п ds есть не что иное, как элемент времени dt, которое требуется свету, чтобы пройти элемент пути ds следовательно, действие сводится к времени распространения света. Таким образом, мы на основании теоремы Бедьтрами — Липшица заключаем, что световые лучи, которые в заданный момент выходят из заданной поверхности oq в направлении, ортогональном к Oq, или, в частности, из единственного центра, остаются всегда ортогональными к поверхности /= onst, каков бы ни был показатель преломления п, т. е. какова бы ни была неоднородность среды. Эти поверхности, представляющие собой геометрические места точек, к которым свет приходит за один и тот же промежуток времени, образуют так называемые волновые поверхности (см. гл. X, упражнение 13). [c.451]

Опираясь на механику Гамильтона—Якоби и на результаты развития геометрической оптики в трудах Бельтрами, Липшица, Брунса, Ф. Клейна, Дебая, Зоммерфельда и Рунге, которые с помощью уравнения эйконала придали геометрической оптике обобщенный вид и нашли для ее соотношений векторное выражение, Шредингер исходил из гамильтоновой аналогии. Он применил неевклидово мероопределение ( 8 = 2Т(д , и все последующие рассуждения вел в пространстве конфигураций. Воспользовавшись построением ортогональных некоторому лучу поверхностей дей- ствия и уравнением Гамильтона—Якоби и показав, что эти поверхности распространяются в пространстве в виде волнового фронта, Шредингер пришел к выводу, что принцип Гамильтона выражает собой принцип Гюйгенса в его до-френелевой формулировке. Отсюда, воспользовавшись соотношением Я = Шредингер получает свое основное волновое уравнение, [c.861]

Предварительные замечания. В настоящем параграфе обсуждается теория тонкостенных стержней открытого профиля, в которой одновременно рассматриваются осевая деформация, поперечные изгибы в двух ортогональных плоскостях и кручение. Качественно новым по сравнению с ранее (в предыдущих главах) рассмотренными результатами является учет стеснения деплана-ции. Последний можно было бы выполнить независимо от осевой деформации и изгиба. Однако представляет интерес сам факт одновременного построения теории всех видов деформации, в связи с чем именно такое изложение и принято в настоящем параграфе. К тому же становится ясным, что излагаемая теория тонкостенных стержней является обобщением ранее изложенной теории стержней в случае их тонкостенности (имеются в виду стержни открытого профиля). [c.385]

Обычная и обобщенная ортогональность собстаенных функций, так же как самосопряженность краевых задач о собственных значеннях, являются весьмя ценными свойствами, которые широко используются при теоретических исследованиях и в практических расчетах. [c.85]

Полученное соотношение ортогональности (7) значительно облегчает процедуру разложения произвольных функций в ряды по собственным формам обобщенных краевых задач и решение неоднородных уравнений вида (1). Описанным здесь способом могут быть получены соотношения ортогональности для резонансных форм движушихся стержней и струн [6] с граничными условиями типа (И), для нормальных волн Лэмба [7] в толстом упругом слое, для волн в тонкой полосе [8] и, по-видимому, для нормальных волн любого твердого волновода. [c.9]

В связи с этим обстоятельством в ряде случаев целесообразно использовать другие подходы к оценке точности результатов, полученных методами статистической линеаризации. В работе [85] предложен метод обобщенной статистической эквивалентной передаточной функции, основанный на разложении в ряд по ортогональным полиномам Чебышева—Эрмита случайных функций и позволяющий определить (в общем случае приближенно) высшие моменты этих функций в нелинейной системе. В этом методе искомые коэффициенты линеаризации вычисляются с помощью дополнительных коэффициентов, характеризующих разложение произвольных законов распределения вероятностей в ортонормиро-ванный ряд. В первом приближении закон распределения сигнала на входе нелинейного элемента предполагается нормальным. Исходя из принятой гипотезы вычисляют моментные характеристики нелинейного преобразования и пересчитывают их для входа нелинейного элемента. По этим моментам восстанавливают плотность вероятностей входного сигнала нелинейного элемента. Если плотность вероятностей отлична от нормальной, то расчет повторяют уже с учетом того, что закон распределения не является нормальным. Вычисления продолжают до тех пор, пока не будет достигнута требуемая точность. [c.157]

Преобразование плоскости, осуществляемое аналитической функцией w == =f z), обладает свойством, что в окрестности точки 2, для которой w z O, бесконечно малые векторы всех направлений )) увеличиваются (или уменьшаются) по своей длине в одно и то же число раз, равное w (с точностью до бесконечно малых высшего порядка), и 2) поворачиваются на один и тот же угол, равный arg w. Фигуры в бесконечно малой оэласти преобразуются в себе подобные, т. е. сохраняют форму, поэтому преобразование называется конформным, оно является обобщением преобразования подобия. Конформное отображение сохраняет постоянными углы между любыми двумя линиями отображаемой фигуры в частности, координатные линии л = onst, у — = onst преобразуются в два семейства взаимно-ортогональных кривых, и обратно для любого конформного отображения существует некоторая ортогональная сетка кривых изотермическая сетка), которая преобразуется в декартову прямоугольную сетку. [c.201]

Если опоры имеют массу, которой нельзя пренебречь, то при уравновешивании рассматривается не изолированный ротор, а система ротор — опоры. Компенсация т. е. уравновешивание по первым двум формам для податливых низкочастотных опор, производится балансировочными грузами, частично распределенными по длине. Соотношение между грузами в средней части ротора и в концевых плоскостях определяется отношением масс ротора и колеблющейся массы опор, как это следует из рассмотрения обобщенных условий ортогональности для колеблющейся системы ротор — опоры. Если распределенная масса ротора т, масса оноры М,, , то закон распределения балансировочных грузов, создающих постоянный эксцентриситет, таков [c.158]

Задача решения системы дифференциальных уравнений (5.35) с периодическими коэффициентами, имеет упрощенное решение путем замены переменных или применения новой системы ортогональных координат (I, q, которые вращаются с угловой частотой сОр вместе с рабочим колесом. В этой системе отвод (статор) насоса неподвижный относительно колеса, а поэтому проекции обобщенного вектора на эти оси будут постоянными во времени. Такой подход к разрешению аналогичной задачи, которая случилась при анализе переходных режимов синхронной электрической машины, был предложен Блонделем [49] и получил развитие в трудах Парка и Горева [50,42]. [c.79]

В пространстве B. . имеет смысл нонятие ортогональности, к-рое является обобщением соответствующего понятия для обычных векторов два B. . [Л) и [В) паз. ортогональными друг другу, если (Л1В)=0. [c.248]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...