Решение уравнения Гельмгольца

Найти отличные от нуля решения уравнения Гельмгольца (6) нри контурном условии (7). [c.54]

Функции, входящие в решение уравнения Гельмгольца [c.102]

Относительное приращение объема является решением уравнения Гельмгольца [c.44]

Таким образом, в области отслоения относительное приращение объема является решением уравнения Гельмгольца, но с коэффициентами, отличными от коэффициентов для области без отслоения. Перемещения точки слоя [c.51]

Решение уравнения Гельмгольца (5.3), от которого зависят перемещения и другие величины, может быть найдено различными методами. Универсальными являются численные и вариационные методы, во многих случаях можно получить точное или приближенное аналитическое решение. Если параметр 12с велик, то решение можно записать в виде суммы основного и краевого эффектов, причем краевой эффект выражается через экспоненту аналогично простому краевому эффекту в теории оболочек. [c.234]

Решение уравнения Гельмгольца в общем виде для кругового кольца имеет вид [c.162]

Таким образом, для рассмотренных моделей упругих тел уравнения движения преобразованы к волновым уравнениям. В случае установившихся движений решение задач сводится к решению уравнений Гельмгольца. В последующих главах на основе приведенных соотношений получены решения конкретных задач. [c.27]

Плоская гармоническая волна расширения с круговой частотой (О движется в безграничной тонкой упругой пластине с круговым отверстием. Встречаясь с его поверхностью, падающая волна порождает отраженные волны расширения и сдвига. Совокупное волновое поле создает напряженно-деформированное состояние окрестности отверстия. Для его определения требуется найти решение уравнений Гельмгольца [78 [c.75]

Рассматривается тонкая бесконечная упругая пластина, ослабленная криволинейным отверстием с контуром Г. Гармоническая упругая волна расширения или сдвига движется по пластине и взаимодействует с отверстием. В частном случае динамическая нагрузка может быть приложена к контуру отверстия. В постановке обобщенного плоского напряженного состояния требуется найти решение уравнений Гельмгольца (4.1) относительно потенциалов Ф и Ф, которые связаны с вектором перемещений посредством формулы (1.2). Решение должно удовлетворять граничным условиям на контуре отверстия [c.91]

Встречая полость, падающая волна порождает отраженные неплоские SH-волны, которые определяются из решения уравнения Гельмгольца [c.103]

В полярных координатах г, 0 решение уравнения Гельмгольца имеет вид [c.63]

Функции Gi и Сз должны быть решениями уравнения Гельмгольца во всех точках пространства, исключая Mq, где они обращаются в бесконечность. [c.248]

Тогда функция (р(х) будет удовлетворять уравнению Лапласа, если функция Ф(ж1,Жз,Л) будет решением уравнения Гельмгольца [c.146]

В 30 ). Ищется решение уравнения Гельмгольца в R (п = 2 или 3) [c.348]

Теперь проверим формулу (37.4). Пусть ы(х) —решение уравнения Гельмгольца в У с условием ди+1дМ = 0. Первая из формул (37.2) показывает, что (/ —26)ы+ = 0. [c.363]

Внутренняя задача с импедансным условием. Ищется решение уравнения Гельмгольца (36.1) в У , удовлетворяющее условию [c.365]

Заметим, что если и(х) — решение уравнения Гельмгольца в V с ненулевым значением ди дМ, то обязательно ди+1дМ Кег (1—28), так что ди+1дМ = Р (ди+1дЫ). Действительно, если V е Кег(/ — 28), то, согласно (37.4), [c.369]

Общее решение уравнения Гельмгольца (1) в сферических координатах г , di, (fl имеет вид [c.492]

Затем применяется формула (11), выражающая решение уравнения Гельмгольца в цилиндрических координатах для внутренней области через внутренние решения этого уравнения в сферических координатах. Она позволяет получить представление Фо в системе координат, связанной с 1-й сферой [c.494]

Заключение. Разработан подход к решению стационарных динамических внутренних задач гидроупругого взаимодействия для системы, состоящей из жесткой цилиндрической полости, заполненной сжимаемой жидкостью и содержащей конечное число произвольно расположенных сферических включений. Подход основан на использовании теорем сложения специальных функций и соотношений, позволяющих представлять частные решения уравнения Гельмгольца в цилиндрических координатах с помощью его частных решений в сферических координатах, и наоборот. Это дает возможность, используя принцип суперпозиции, записывать общее решение в системе координат каждого тела и тем самым удовлетворять граничным условиям на его поверхности. [c.500]

Здесь (а =1,2) — решения уравнений Гельмгольца [c.649]

Разложения Рэлея (3.96), (3.98) являются решениями уравнения Гельмгольца [c.159]

Григорьян Ф. Е. Исследование плоского волновода с выводом неразделяю-щихся решений уравнений Гельмгольца.— Акуст. журн., 1974, 20, вып. 2, с. 214—221. [c.274]

Седьмая глава посвящена динамическим проблемам упругости властомерного слоя и многослойных конструкций. С по.мо-щью асимптотического метода построена динамическая теория слоя. Анализ гармонических колебаний сводится к решению уравнения Гельмгольца для функции относительного приращения объема, которое отличается от уравнения статики только коэффициентами, являющимися здесь функциями частоты. Ис-СледоваН вопрос о вычислении динамических жесткостей слоя. [c.28]

Лля гармонических колебаний анализ кргювых задач динамики сводится к решению уравнения Гельмгольца для функции относительного приращений объема, которое отличается от уравнения статики только коэффициентами. Здесь они зависят от частоты. Поэтому такая важная практическая проблема, как вычисление динамических жесткостей слоя, полностью эквивалентна проблеме вычисления статических жесткостей, дополнительных трудностей здесь не возникает. [c.240]

При р — пЬ/Ь = 9,85 10 рад/с происходит смена знака параметра с, и решение уравнения Гельмгольца для функции е будет выражаться через функции Бесселя другого вида, которые войдут и в формулу для динамической жесткости ё. Низшая частота колебаний системы Ро = 6,53 10 рад/с меньше критического значения собственной частоты колебаний резинового слояро. [c.261]

Представим падающую волну в виде суперпозиции двух Е- и Я-поля-ризованных волн и рассмотрим отдельно каждый случай. В случае Я-поля-ризации Ех = 0) все составляющие поля выражаются через Нх по формулам (1.2), а сама компонента Нх есть решение уравнения Гельмгольца [c.21]

Фундаментальные функции и собственные частоты закрытых помещений. В зависимости от формы помещения в замкнутом объеме могут возникнуть собственные колебания с различным набором собственных частот, соответствующих плоским, цилиндрическим или сферическим волнам. Рассмотрим подробно фундаментальнь е функции и резонансные частоты прямоугольного объема. Для этого необходимо найти решения уравнения Гельмгольца [c.359]

Если известно поле завихренности ю, например из решения уравнений Гельмгольца, то возникает обратная задача, связанная с восстановлением поля скорости и. При этом дополнительным условием, накладываемым на и, является уравнение сохранения массы (1.11). В (1.11) входит, однако, еще одна функция - плотность р. Чтобы ее исключить, будем рассматривать несжимаемую жидкость, для которой Ум = 0. Здесь с цельго демонстрации общности математических операций для двух исходных уравнений введем плотность объемных источников г г, Г), которая войдет в правую часть уравнения неразрывности для несжимаемой жидкости. Тогда имеем [c.60]

Задача о колебаниях в трехосном эллипсоидальном резонаторе может быть основной для решения широкого класса прикладных задач, в частности, в работе [145] дапо решение задачи об электромагнитных колебаниях эллипсоида в асимптотическом приближении [146], опира-юш ееся на решение, данное ниже. Для решения уравнения Гельмгольца (5.47) в нем производится разделение переменных, а полученные таким образом обыкновенные дифференциальные уравнения Ламэ решаются методом эталонных уравнений [146]. При этом широко используется информация, которую дает изложенное в 5.3 геометрооптическое решение. [c.284]

В данной работе развит метод построения потенциала скоростей сжимаемой жидкости в жестком цилиндрическом сосуде, содержащем несколько взаимодействующих сферических включений. Строится решение уравнения Гельмгольца для соответствующей пространственной многосвязной области. При этом решение, записанное в цилиндрических координатах, удается переразложить по системе сферических волновых функций (и наоборот), что позволяет удовлетворить соответствующим граничным условиям на сферических и цилиндрических поверхностях и в итоге получить бесконечную систему алгебраических уранений относительно коэффициентов искомых представлений. В качестве конкретной задачи [c.489]

Частный случай одиночное сферическое включение на оси жесткого цилиндрического сосуда. В данной постановке граничная задача состоит в нахождении решения уравнения Гельмгольца (1) при граничных условиях на стенке жесткого цилиндра (3) и на поверхности колеблющейся сферы (5). Причем, поскольку рассматриваются осесимметричные колебательные процессы, то характеризующие их величины не будут зависеть от угла поворота вокруг оси OqZq. Таким образом, закон движения поверхности сферы (6) в данном случае можно представить в виде ряда Фурье по полиномам Лежандра [c.495]

Доказательство. Вектор. ы<р> (x), определенный формулой (2.13), есть решение уравнения Гельмгольца (2.17) при k = и удовлетворяет условию излучения Зоммерфельда (2.18), (2.19) (см. Sommerfeld [1] и Купрадзе [7 ]). Поэтому, вне сферы С (О, р), содержащей внутри поверхность S, можно представить формулой Грина [c.94]

Рассмотрим решение задачи дифракции по методу модового разложения [4-7. Метод основан на сшивке при у = О компонентов двух полей. Первое решение является реп1ением уравнения Гельмгольца внутри штрихов при xi х + с, у < О, i 1,Ж", а второе — решением уравнения Гельмгольца вне штрихов дифракционной решетки при > 0. [c.144]

Скалярная функиия и х,у) соответствует компоненте Е х,у) для ТЕ-поляризации и компоненте H , x,y) для ТМ-поляризации. Разложение Рэлея (3.14) является решением уравнения Гельмгольца и содержит однородные плоские волны (о < 1) и неоднородные плоские волны > I), экспоненциально-затухаюшре при удалении от поверхности дифракщюнной решетки. Слагаемое nX/d в (3.15) соответствует теореме Флоке и характеризует наличие постоянного фазового сдвига межд-]у соседними периодами решетки. [c.144]

Здесь = 1,5 = 1 для волн, распространяюпщхся по оси 2 , а = 1 для волн, распространяющихся против оси г. В свободном пространстве решения уравнений Гельмгольца (3.265) имеют вид [c.194]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...