Бигармоническое уравнение

Здесь будут приведены решения подобных задач с особыми точками, имеющими физическую интерпретацию [33]. Для поиска решений используется общий интеграл бигармонического уравнения и фаничные условия на оси симметрии и на бесконечности. [c.218]

Ответ. Функция ф должна удовлетворять бигармоническому уравнению [c.78]

Бигармоническое уравнение (7.18) тождественно удовлетворится. Согласно (7.17) при i i = / 2== О получаем [c.135]

Бигармоническое уравнение (7.18) удовлетворится тождественно. Согласно (7.17), получаем [c.135]

Добавим к выражению (7.24) для ф произвольную функцию Х2) с целью удовлетворить бигармоническому уравнению [c.137]

После подстановки в бигармоническое уравнение (7.18) получим [c.137]

Рассмотрим бигармоническое уравнение (7,53). На основании формулы (7.58) имеем [c.147]

Следовательно, бигармоническое уравнение в конечных разностях будет иметь вид [c.147]

Подставляя в (7.72) вместо напряжений их выражения (7.69), получим бигармоническое уравнение в полярных координатах [c.153]

Таким образом, при решении плоской задачи в напряжениях последняя сводится к решению одного бигармонического уравнения (7.74). [c.153]

Бигармоническое уравнение (7.74) удовлетворяется тождественно. [c.154]

Задачи, в которых функция напряжений зависит только от радиуса г. в этом случае бигармоническое уравнение (7.74) принимает вид [c.154]

Задачи, в которых напряжения являются функциями только полярного угла 0. В этом случае функция напряжений должна содержать множитель г , т. е. иметь вид (р = г [(в). Подставляя это выражение функции ф в бигармоническое уравнение (7.74), приходим к уравнению [c.155]

После подстановки ф в бигармоническое уравнение (7.74) получаем для fi (i=l, 2) уравнение [c.156]

Приведение плоских задач к задачам для бигармонического уравнения [c.59]

Наибольшее распространение получил метод Колосова — Мусхелишвили сведения краевых задач для бигармонического уравнения к граничным задачам теории аналитических функций. Методом Колосова—Мусхелишвили заниматься не будем рекомендуя читателю книгу [27 , [c.63]

Всякое решение бигармонического уравнения может быть написано в виде линейной комбинации центрально-симметрических решений и их производных различных порядков по координатам. Независимыми центрально-симметрическими решениями являются г , г, г, 1. Поэтому наиболее общий вид, который может иметь бигармонический вектор зависящий, как от параметров, только от компонент постоянного тензора o. g> и обращающийся в нуль на бесконечности, есть [c.38]

Не зависящий от ф интеграл бигармонического уравнения имеет вид / (г) = аг ]п г Ьг -г с In г, а в интеграле, пропорциональном os 2ф [c.74]

Бигармоническими функциями называют функции, удовлетворяющие бигармоническому уравнению, производные которых до четвертого порядка непрерывны, а производные второго порядка однозначны. [c.23]

Уравнение (II.8) называется бигармоническим. Решение задач плоской деформации теории упругости сводится во многих случаях к интегрированию бигармонического уравнения (П.6) при соответствующих граничных условиях и условиях однозначности для функции (р(х, у). [c.28]

Из условия совместности находим, что функция у) должна удовлетворять бигармоническому уравнению [c.31]

Уравнение (4.19) или, что то же, (4.20) называется бигармоническим уравнением плоской задачи. Оно представляет собой условие совместности деформаций, выраженное через функцию напряжений ф. [c.78]

Ординаты во внутренней области пластины (показанные на рис. 4.5, г пунктиром) определяются путем решения бигармонического уравнения (4.20). Указанные граничные условия определяют единственную поверхность ф (х, у), которая по формулам (4.21) дает искомые напряжения в пластине. [c.81]

Функция ф (4.26) удовлетворяет бигармоническому уравнению (4.20) при любых коэффициентах С , С , С , и, значит, при напряжениях (4.27) в изотропном теле автоматически выполняется совместность деформаций. Таким же свойством обладает и многочлен третьей степени [c.82]

Для получения точного решения зада ш теории упругости надо найти такие функции, которые помимо удовлетворения дифференциальным уравнениям задачи, например бигармоническому уравнению (4.29), так же строго удовлетворяли бы условиям равновесия в каждой точке поверхности тела. Часто это сделать не удается. Тогда вместо строгого выполнения граничного условия в каждой точке поверхности составляют приближенное условие в отношении главного вектора и главного момента сил, возникающих на определенной части поверхности тела. Например, если известно, что на данной грани пластины напряжения отсутствуют, то вместо требования [c.86]

Она уже не удовлетворяет бигармоническому уравнению (4.20) при произвольных коэффициентах и С . Совместность деформаций будет обеспечена лишь при определенном их соотношении, которое найдем, подставив (а) в (4.20), что дает 5-4-3-2 4 /-f 2-2-3-2г/ 0, откуда получаем = —5С . С учетом найденного соотношения по- [c.86]

Решения плоской задачи в тригонометрических рядах, подробно рассмотренные выше для изотропного материала, могут быть распространены и на случай ортотропного материала, например, подчиняющегося закону Гука в форме равенств (4.9). В этом случае, проводя решение в напряжениях и используя функцию напряжений Ф х, у) (4.18), придем не к бигармоническому уравнению (4.20), а к уравнению совместности деформаций такого вида [c.108]

Подставив (4.86) и (4.87) в (4.85), получим бигармоническое уравнение совместности деформаций в полярной системе координат = О или [c.113]

Первое из них совпадает с бигармоническим уравнением, определяющим функцию напряжений обобщенного плоского напряженного состояния в пластине, а второе уравнение совпадает с уравнением, из которого находится прогиб изгибаемой пластины. [c.208]

Пластину покрываем квадратной сеткой с шагом Д. Для каждого внутреннего узла сетки с использованием оператора (см. рис. 8.5) составляем конечно-разностный аналог бигармонического уравнения в виде равенств [c.235]

Если положить функцию X (ш) тождественно равной нулю, придем к бигармоническому уравнению для упругой пластины [c.335]

Решение плоской задачи теории упругости сводится к решению бигармонического уравнения относительно функции напряжений ф. Так как оно не содержит упругих постоянных, то на основании принципа Вольтерры можно утверждать, что это же уравнение справедливо и для плоской задачи теории вязкоупругости. Если граничные условия на границе односвязной области, занимаемой рассматриваемым телом, заданы в усилиях, то, как отмечалось в 4.3, решение плоской задачи теории упругости не зависит от упругих постоянных. Следовательно, распределение напряжений в каждый момент времени i в вязкоупругом теле совпадает с распределением напряжений в упругом теле. [c.360]

Последовательно интегрируя это уравнение четыре раза и учитывая, что функция F должна быть действительной функцией, получим общее решение бигармонического уравнения в виде [c.372]

Подставляя выражения Orr, Офф из (6.41) в (6.42), для определения функции Эри получим бигармоническое уравнение [c.112]

Решение бигармонического уравнения для невесомой полуплоскости [c.168]

При этом условии функции (9.53) тождественно удовлетворяют уравнениям совместности (5.37). Таким образом, задача симметричной деформации тела вращения сводится к нахождению решения бигармонического уравнения, удовлетворяющего соответствующим граничным условиям. [c.237]

Известно, что в сферической системе координат в случае осевой симметрии бигармоническое уравнение таково [c.240]

Таким образом, решение плоской задачи в случае, когда объемной силой является сила тяжести, сводится к решению бигармонического уравнения (2.3.12), которое должно удовлетворять и условиям на контуре. [c.37]

При произвольном выражении Af (j i) предложенная функция напряжений не удовлетворяет бигармоническому уравнению и потому не может быть решением плоской задачи. Оно удовлетворится, если <7=0, M = aXi + b, Q = onst. В этом случае полоса нагружена только по торцам (например, задача об изгибе консоли силой, приложенной на свободном конце), аг2=0 и поэтому решение задачи сопротивления материалов есть точное решение задачи теории упругости. [c.136]

Пусть полоса загружена равномерно распределенной нагрузкой интенсивностью = onst. Тогда M = axi + bxi + ] Q = 2axi + b. В этом случае бигармоническое уравнение не удовлетворяется [c.137]

Подставляя это выражение функции ф в бигармоническое уравнение (7.74), получим для определения /, (/= 1, 2) уравненил [c.157]

Согласно принципу Сен-Венана найденное решение применимо вдали от концов полосы также для случая, когда вместо внешних сил, приложенных на обоих концах полосы и распределенных по закону (6.39), действуют статически эквивалентные пары сил с моментом М, причем вблизи места приложения пар напряженное oi-стояние будет отличаться от (6.39). Если не равен нулю только коэффициент аз, то отличным от нуля компонентом тензора напряжений будет нормальное напряжение а22 = агХ. Если же только один из коэффициентов з, Сз не равен нулю, например СгФО, та в дополнение к нормальному напряжению 0ц появляется касательное напряжение 0)2. Когда используются полиномы более высокой степени, чем третья, то бигармоническое уравнение удовлетворяется при некоторых соотношениях между их коэффициентами. [c.111]

В предыдущем параграфе решение уравнений плоской теории упругости свелось к граничной задаче для бигармонического уравнения, которому удовлетворяет функция Эри. К решению уравнений плоской теории упругости могут быть с успехом применены также методы теории функций комплексного переменного. Впервые применение этих методов было дано в фундаментальных исследовани- ях Г. В. Колосова и Н. И. Мусхелишвили. Комплексное представление общего решения уравнений плоской теории упругости оказалось весьма плодотворным для эффективного решения основных задач плоской теории упругости. [c.118]

Для решег ия плоской задачи теории упругости в случае отсутствия массовых сил, как было установлено в 42, приходится интегрировать двумерное бигармоническое уравнение (6.26). Решение этого уравнения приведем для полуплоскости, ограниченной прямой. Пусть эта полуплоскость в прямоугольной системе координат занимает область Xi>0. [c.168]

Теоретическая физика. Т.7. Теория упругости (1987) -- [ c.31 , c.37 ]

Гидродинамика при малых числах Рейнольдса (1976) -- [ c.77 , c.98 , c.455 ]

Пластичность и разрушение твердых тел Том2 (1969) -- [ c.229 , c.237 ]

Вычислительная гидродинамика (0) -- [ c.166 , c.191 , c.192 , c.454 ]

Вычислительная гидродинамика (0) -- [ c.166 , c.191 , c.192 , c.454 ]

Вычислительная гидродинамика (1980) -- [ c.166 , c.191 , c.192 , c.454 ]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...