Распределения, или обобщенные функции

ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ. ОПЕРАЦИИ СВЕРТКИ И КОРРЕЛЯЦИИ. СПЕКТРАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ. ТЕОРИЯ РАСПРЕДЕЛЕНИЙ, ИЛИ ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ [c.194]

Требуемое обобщение достигается при помощи так называемых обобщенных функций , или распределений . Ввиду важности этого понятия для дальнейшего мы дадим краткий обзор соответствующей теории более подробную информацию можно найти в литературе. [c.15]

Требуемое обобщение достигается при помощи так называемых обобщенных функций или распределений . Обобщенные функции могут быть определены различными способами, например как пределы последовательностей достаточно регулярных функций, подобно тому как вещественные числа являются пределами последовательностей рациональных чисел. Поэтому можно сказать, что обобщенная функция g z) есть последовательность gm z) т— 1, 2, 3,. ..) обычных функций в том же смысле, в каком вещественное число а есть последовательность, например, рациональных чисел am , получаемых усечением десятичного представления а на т-й значащей цифре. Аналогично тому как при расчетах никогда не оперируют с иррациональным числом, а используют только его рациональные приближения, вместо значений, принимаемых обобщенной функцией , всегда имеют дело с последовательностью аппроксимирующих ее функций. И так же, как мы рассматриваем и [c.13]

Для удобства читателя в этом приложении представлены некоторые факты теории распределений Л. Шварца или, что то же самое, обобщенных функций [41. [c.195]

Этих трудностей можно избежать, если к классу рассматриваемых функций отнести так называемые обобщенные функции (или распределения). Общая математическая теория обобщенных функций была построена Шварцем [В47]. Еще раньше [c.266]

Математики уже давно доказали, что б-функция и ее производные не являются, строго говоря, полноценными функциями. Совсем недавно развита теория распределений (или теория обобщенных функций), в которой указаны пределы применимости преобразований типа (13.6). [c.124]

Нетрудно видеть, что выражения (П. 18) -(П.23), (П.24) — (П.27) представляют собой различные формы записи передаточных функций или обобщенных частотных характеристик простого однородного трубопровода с распределенными параметрами. [c.316]

Функция распределения, описывающая распределение максимальных значений типа II (также называемое распределением экстремальных значений типа II или обобщенным распределением Фреше), имеет вид [c.329]

Таким образом, скорость точки в момент времени / = 0 изменяется на конечную величину а ее положение остается прежним. При переходе к пределу п->оо сила F стремится к бесконечности на интервале времени, стремящемся к нулю. В результате оказывается, что сила как мера взаимодействия материальных точек представляется в виде обобщенной функции (распределения или линейного функционала на пространстве непрерывных функций). Воспользовавшись определением обобщенной функции Дирака [c.217]

В трактовке Лоренца закон рассеяния на ионах решетки может быть обобщен (см. Ричардсон [5] или Вильсон [1]) распределение скоростей вводится посредством функции распределения. Рассматривая решетку, состоящую из твердых шаров, и применяя классическую статистику, Лоренц нашел, что [c.154]

Одну из двух систем функций — Wh (у) или хь W — можно выбрать заранее и в дальнейшем считать заданной. Будем считать таковой систему безразмерных функций %к (х)- Тогда функции Q h (у), имеющие размерность прогиба, будут искомыми коэффициентами разложения. В соответствии с размерностями и физическим смыслом формулы (6) функции Wk (у) называются обобщенными прогибами, а Хд — функциями поперечного распределения прогибов. [c.159]

Если внешние нагрузки являются случайными функциями времени, то задача об устойчивости движения системы приобретает особый смысл по сравнению со случаем регулярных воздействий. Допустим, что внешние силы представляют собой гауссовские случайные процессы. Тогда обобщенные координаты и скорости системы будут иметь распределения в неограниченной области своих значений независимо от устойчивости или неустойчивости исследуемых режимов. Строго говоря, задача об устойчивости движения по Ляпунову вырождается. Тем не менее аппарат теории устойчивости может быть эффективно использован в стохастических задачах. Исследование устойчивости при этом, по существу, трансформируется в изучение свойств распределений, которые будут иметь качественно различный характер для разных областей пространства параметров. [c.135]

Таким образом, распределение времен релаксации в первом приближении пропорционально тангенсу угла наклона кривой модуль упругости—логарифм частоты или же пропорционально модулю потерь как функции частоты. Если обобщенная кривая изображена для динамической податливости J, а не модуля, распределение времен запаздывания примерно равно [c.97]

Источниками быстро флуктуирующего шума могут быть при некоторых условиях тепловое излучение нагретых тел, Солнца, отраженное излучение ОКГ, дающего излучение с небольшим временем корреляции и др. Распределение отсчетов фотоэлектронов такой суперпозиции характеризуется суммой п членов, содержащих полиномы Лагерра степени т (т = , 2,..., п) — в случаях экспоненциальной формы функции корреляции шумового излучения или может быть выражено через обобщенные полиномы Лагерра — при прямоугольной функции корреляции (O = i)o) (8 б) а) [c.47]

Это уравнение носит название уравнения Борна — Грина — Иво-на (или уравнение БГИ). Оно подробно изучено. Кроме этого уравнения, существует, однако, большое число других приближенных интегральных уравнений для парных функций распределения. Они представляют собой обобщения или улучшенные варианты уравнений БГИ и были выведены с целью получения разумных приближений для описания плотных газов и жидкостей. Мы не можем привести здесь все эти уравнения, но возвратимся к ним в разд. 8.3, где будут обсуждаться наиболее удачные из уравнений, а также экспериментальные результаты для плотных газов и жидкостей. [c.274]

Мы начнем с подхода к кинетической теории, основанного на последовательном разложении кинетического уравнения по степеням плотности. Этот подход, получивший название групповых разложений, аналогичен хорошо известному методу вириаль-ных разложений термодинамических величин в равновесной статистической механике неидеальных газов [124]. Для простоты будем считать, что частицы не обладают внутренними степенями свободы. Мы не будем также рассматривать связанные состояния или составные частицы, которые могут образовываться благодаря притягивающей части потенциала взаимодействия. Строго говоря, подобная модель описывает только инертные газы (гелий, аргон и т.д.), но в некоторых случаях возможно ее обобщение на молекулярные газы путем введения дополнительного аргумента у одночастичной функции распределения, учитывающего внутренние состояния молекулы [78]. Проблема связанных состояний в кинетической теории значительно более сложна, поскольку при рассмотрении многочастичных процессов рассеяния нужно, вообще говоря, учитывать квантовые эффекты [105]. [c.164]

Это выражение напоминает формулы Грина-Кубо для кинетических коэффициентов в обычной гидродинамике. Необходимо, однако, обратить внимание на несколько важных различий между гидродинамическими кинетическими коэффициентами и их обобщением, используемым в теории флуктуаций. Прежде всего отметим, что проекционный оператор Qa исключает из потоков все вклады флуктуационных гидродинамических мод. С другой стороны, в обычном гидродинамическом подходе проекционный оператор Мори Q исключает лишь те вклады в микроскопические потоки, которые линейны по гидродинамическим переменным. Другое важное отличие состоит в том, что временная эволюция потоков в выражении (9.1.57) определяется приведенным оператором Лиувилля L = а в обычных формулах Грина-Кубо оператор эволюции выражается через оператор L = QLQ, из которого не исключены вклады гидродинамических флуктуаций. Наконец, средние значения в (9.1.57) вычисляются с распределением которое описывает состояние с фиксированными ( замороженными ) гидродинамическими флуктуациями, в то время как в обычных формулах Грина-Кубо корреляционные функции микроскопических потоков вычисляются в равновесном или локально-равновесном состоянии. Можно сказать, что величины (9.1.57) представляют собой затравочные кинетические коэффициенты, учитывающие вклад только микроскопических корреляций ). Напротив, кинетические коэффициенты в уравнениях для усредненного движения содержат вклады гидродинамических флуктуаций. Отметим также, что затравочные кинетические коэффициенты (9.1.57) зависят от переменных а (г) через распределение Следовательно, они сами являются флуктуирующими величинами. [c.227]

Во всяком случае справедливо следующее утверждение. Для аппроксимирующей функции типа (2.7) или (4.4), приспособленной к граничным условиям и дающей точное решение уравнения Больцмана в свободномолекулярном пределе, получающаяся граничная задача является корректной для соответствующих этой функции моментных уравнений независимо от их выбора. При этом, конечно, предполагается, что при заданных микроскопических граничных условиях уравнение Больцмана имеет решение и что аппроксимирующая функция не вносит в интеграл столкновений особенностей, несвойственных этому интегралу. К числу функций, удовлетворяющих поставленным условиям, относится, например, обобщенное двухстороннее максвелловское распределение (5.4). [c.125]

Установившееся течение обобщенно-вязкой среды в трубе. В предыдущих главах при изучении равновесных состояний несжимаемых упругих или вязких тел считались спра ведливыми линейные соотношения между напряжениями и деформациями или напряжениями и скоростями деформаций соответственно. Рассмотрим теперь зависящее от скорости течение сред при более общем условии, — что скорость сдвига представляет собой известную функцию напряжения сдвига. В качестве примера выберем установившееся спокойное течение такой обобщенно-вязкой среды в прямой цилиндрической трубе и найдем распределение скоростей в сечении трубы и градиент давления, обеспечивающий через трубу заданное значение расхода ). [c.433]

Плотность вероятности огибающей (22) соответствует обобщенному закону Релея или распределению Райса. Функции ру (и) для нескольких значений а = Ат 1 приведены на рис. 1.8. Для этих значений параметра а на рис. 1.9 представлены плотности вероятности фазы (23). При отсутствии гармонического колебания Лт = О, а = 0) функции ру (и) и р (-ф) переходят в соответствующие функции (16), (17) для плотностей вероятности р [А), [c.39]

В предыдущих разделах мы показали, что характеристики лазерного излучения выше порога и ниже порога коренным образом различаются. Однако наши методы не позволили нам исследовать очень небольшую, но интересную область в окрестности порога, в которой как раз и изменяется поведение лазера. Чтобы восполнить этот пробел, целесообразно ввести в рассмотрение функцию распределения лазерного излучения. Это можно сделать различными способами. Один подход основан на уравнении для матрицы плотности лазера и его непосредственном решении. Другой подход состоит в использовании принципа соответствия между квантовыми и классическими величинами, что позволяет преобразовать уравнение для матрицы плотности в обобщенное уравнение Фоккера— Планка. Затем это уравнение можно существенно упростить при условиях, близких к пороговым или совпадающих с пороговыми, и после решения уравнения получить искомую функцию распределения. Такой подход будет изложен в гл. И. В математическом плане этот подход представляет известные сложности, а поэтому в данном разделе мы будем придерживаться нашего прежнего способа рассуждений. В какой-то мере эти рассуждения основаны на интуиции и, на первый взгляд, носят не очень строгий характер, но они позволят нам быстрее разобраться в основных особенностях статистики фотонов вблизи порога (а также при точном выполнении порогового условия). Строгое обоснование представленных здесь рассуждений, в которых оператор b считается с-числом, будет дано в следующей главе. [c.280]

Если исключить краевые задачи и проблемы нелинейной оптики, в основе которых лежит электромагнитная теория, а также исследования по физике излучения, где используется квантовая теория и статистическая физика, то можно сказать, что главные разделы радиооптики базируются на операционном методе решения задач с помощью преобразования Фурье. Метод преобразования Фурье применяли уже Релей и Майкельсон на рубеже нашего века. Однако только современная теория распределений, или обобщенных функций, основанная на трудах Л. Шварца (1950—1951 гг.), может рассматриваться как универсальный инструмент, пригодный не только для анализа более или менее классических задач в теории образования изображения и в теории связи, но и для синтеза новых устройств и систем. Матричная формулировка образования изображения с помощью линз и зеркал существенно упростила математи еские методы расчета линз, особенно при использовании электронной вычислительной машины. Оптические аналоговые корреляторы и вычислительные устройства, созданные на основе новых математических обобщений, начинают дополнять превосходящие их нередко по сложности электронные вычислительные машины. В гл. 5 на нескольких примерах показано, как, пользуясь оптическими методами, можно осуществлять операции умножения и [c.16]

Теория распределений или обобщенных функций, впервые изложенная Л. Шварцем в 1950—1951 гг., в разработке которой приняли участие многие авторы (в частности, Дж. Арзак, А. Эрдели, М. Лайтхилл и Дж. Темпл), представляет собой универсальный математический аппарат современной оптики и радиооптики, эффективность которого постоянно возрастает. Для более фундаментального ознакомления читатель отсылается к одной из последних монографий в этой области. [c.208]

Это распределение наз. обобщенным Р. р., или рае пределением Райса (а = + 6 и /о — Вессел. функция нулевого порядка от мнимого аргумента) В частном случае а = < = О оно переходит в Р. р. совпадающее с х-распределением с двумя степеням) свободы, т. е. с распределением вероятностей случай ной величины р = ЦЦ, где и — независй мые нормальные случайные величины с параметрами [c.456]

Задача об определении напряжений и деформаций в упругом твердом теле под действием данных массовых сил и при заданных поверхностных силах, или при условии, что под действием этих последних поверхность тела принимает заданную форму, приводится к аналитической задаче об определении функций, выражающих проекции смещения. Эти функции должны удовлетворять всем диференциальным уравнениям равновесия в каждой точке внутри тела, а также некоторым условиям на его поверхности. Методы, предложенные для интегрирования этих уравнений, распадаются на два класса. Методы одного из этих дбух классов состоят в том, что сначала разыскиваются частные решения для того чтобы удовлетворить граничным условиям, решение представляют в виде конечного или бесконечного ряда, состоящего из частных решений. Частные решения обычно могут быть выражены через гармонические функции. Этот метод решения можно рассматривать, как обобщение разложения по сферическим функциям или обобщение тригонометрических рядов. Методы второго класса состоят в том, что искомую величину выражают в виде определенного интеграла, элементы которого имеют особые точки, распределенные по поверхности или объему, тот тип решения является обобщением методов, которые Грин ввел в теорию потенциала. К моменту открытия общих уравнений теории упругости, метод рядов был уже применен к астрономическим, акустический проблемам и к проблемам теплопроводности ), а метод решений, имеющих особые точки, еще не был изобретен ). Ламе и Клапейрон ) первые применили метод разложения в ряд к проблемам равновесия упругих твердых тел. Они рассматривали случай тела, ограниченного бесконечной плоскбстЬю и находящегося под давлением, распределенным по какому-либо вакону. Позже Ламе °) рассматривал проблему тела, ограниченного сферической поверхностью и деформируемого данными повер ностными силами. Задача а распределении напряжений в полупространстве, ограниченном плоскостью, в основном совпадает с проблемой передачи внутрь тела действия силы, при- [c.28]

Одним из следствий использования волновых функций моноэнергетиче-ских пучков является необходимость введения обобщенных функций, таких, как б-функция Дирака ). В большинстве случаев использование этих функций не встречает, конечно, каких-либо затруднений. Тот факт, что выражения, содержащие подобные распределения, имеют смысл, только если производится интегрирование их с соответствующей весовой или пробной функцией, отражает просто то, что для придания этим выражениям однозначного смысла следует образовать волновые пакеты. Однако имеются случаи, когда появление [c.171]

Здесь величина а может быть любой величиной в системе частиц, например е или Ь. Статистическое среднее обычно выражают при помощи функции распределения. Вещество микроскопически представляется в виде совокупности устойчивых систем, пронумерованных при помощи k=, 2,. .., т, из точечных частиц (пронумерованных при помощи а = 1, 2,. .., п внутри системы к) с электрическим зарядом и радиус-вектором г относительно неподвижной галилеевской системы отсчета Ra. Пусть г — точка, в которой вычисляются микроскопические поля е и Ь системы частиц б (г) — трехмерная обобщенная функция Дирака. Все поля, рассматриваемые в этом пункте, зависят только от положений и канонически сопряженных импульсов р частиц а = , 2,. .., п [к фиксировано). [c.166]

Указанные свойства решения, представленного формулой (3-17), характерны не только для пластины, но и для тел любой формы, подвергающихся различным условиям нагревания. Ряд, выражающий температуру как функцию места и времени, всегда является сходящимся и сводится практически к тем меньшему числу членов, чем отдаленнее от начала процесса фиксированный момент. Необходимость учитывать одновременно несколько членов ряда отражает то обстоятельство, что сменяющиеся во времени температурные поля более или менее сильно зависят от начального распределения температур. Соответствующая стадия процесса может быть названа неупорядоченным, дорегулярным режимом. Этот режим в той или иной мере скоро перерождается в регулярный режим, когда достаточно сохранять один только первый член ряда. При этом темп процесса m оказывается повсеместно одинаковым и не меняющимся во времени. Разумеется, зависимость от числа Био функции входящей в состав величины т, как и сомножителей С и f x) в формуле (3-16а), различна для тел разной формы (координаты х следует при этом принимать обобщенным образом). [c.62]

ОБОБЩЁННАЯ ФУНКЦИЯ — матем. понятие, обобщающее классич. понятие ф-ции. Потребность в таком обобщении возникает во многих техн., физ. и матем. задачах. Понятие О. ф. даёт возможность выразить в математически корректной форме такие идеализир. понятия, как плотность материальной точки, точечного заряда, точечного диполя, плотность (пространств.) простого или двойного слоя, интенсивность мгновенного источника и т. д. С др. стороны, в понятии О. ф. находит отражение тот факт, что реально нельзя измерить значение физ. величины в точке, а можно измерять лишь её ср. значения в достаточно малых окрестностях данной точки. Т.о.,0. ф. служат удобным и адекватным аппаратом для описания распределений разл. физ. величин, поэтому О. ф. ваз. также распределениями. [c.375]

Строгие методы теории устойчивости движения могут быть распространены на распределенные системы. При этом, например, вместо функций Ляпунова вводят функционалы Ляпунова, производные от которых по времени в силу уравнений движения обладают определен-Егыми свойствами. По этим свойствам судят об устойчивости (неустойчивости) невозмущенного движения. Если модель распределенной системы линейна или если для выводов об устойчивости используют уравнения первого приближения (уравнения в вариациях), то анализ устойчивости приводит к некоторым обобщенным задачам о собственных значениях. [c.461]

Такой гипотезой является введение закона распределения напряжений или перемещений по толщине оболочки. Теория изгиба пластин и пологих оболочек, основанная на аппроксимации закона распределения касательных напряжений по толщине некоторой известной функцией, построена в монографиях [5, 6]. Аналогичная гипотеза использована в статьях [96, 97] для расче- та цилиндрической оболочки. Общая теория оболочек, основанная на введении некоторой средней по толщине деформации сдвига, связанной с перерезывающей силой через обобщенную упругую постоянную, приведена в монографии [62]. Уравнения, основанные на аппроксимации закона распределения перемещений (в том числе и прогиба) по толщине оболочки, получены в работе [72], более общие уравнения представлены в статье [71]. [c.88]

Граничное условие второго рода (задание распределения плотности теплового потока по поверхности тела как функции времени, например, при постоянстве потока Х дТ/дп = onst, где п — обобщенная координата — нормаль к поверхности) может реализовываться при лучистом теплообмене и в режиме так называемых тепловой изоляции или охранного нагрева. [c.15]

Результаты исследований напряженно-деформированного состояния плоских анизотропных брусьев (в виде балок, плоского кругового кольца, его части или разрезного кольца), находящихся в обобщенном плоском напряженпохМ состоянии под действием усилий, распределенных на краях, приведены в [46, 82, 89, 90, 144, 149, 160, 194, 206]. В этих работах напряжения и деформации определялись с помощью функции напряжений, которая в зависимости от характера нагружения представляется в виде полиномиальных рядов либо с помощью рядов Фурье. [c.9]

Функции распределения в фазовом пространстве. В классической механике динамическое состояние системы с / степенями свободы определяется набором обобщенных координат q) = Qi, и импульсов (р) = (Pi, или заданием точки (q p) =. ..,..., ру>) в 2/-мерном фазовом пространстве системы Г. В частности, система из N частиц может быть описана с помощью 3N декартовых координат (г ,...,гдг) = q ,... и соответствующих импульсов (р1,...,рдг) = (р1,...,рздг). Они определяют точку (г ,..., Гдг,Р1,..., рдг) в 6А -мерном фазовом пространстве Гдг. Динамические состояния системы называются также микроскопическими состояниями в отличие от макроскопических состояний, которые мы введем позже. [c.12]

Уравнение (9-6) можно решить численным или графическим методом. Т. П. Торда иллюстрировал применение разработанного им метода на примере отсасывания ламинарного пограничного слоя на крыле. Для определения распределения скорости отсасывания уравнение (9-6) решено методом изоклин. Описанное обобщение метода К. Польгаузена на случай отсасывания имеет тот же недостаток, что и метод К. Польгаузена в первоначальном виде в расчетные уравнения (9-5) и (9-6) входит явно вторая производная скорости виешнего потока по продольной координате. Это объясняется тем, что в качестве неизвестной функции принята толщина пограничного слоя 6 вместо толщины потери импульса 0. Как отмечалось ранее, наличие и" 1 затрудняет расчет, поскольку при задании и (х). например, в виде графика определение и х) связано с немалыми трудностями и ошибками. [c.304]

Вместе с развитием неголономных связей и теории общего их вида приобретают значение новые методы в поисках решений классических задач аналитической механики. Такие новые методы базируются, можно сказать, на двух теоремах. Первая теорема высказана в работах П. В. Воронца в первых десятилетиях нашего века в следующей формулировке каждый первый интеграл уравнений движения некоторой механической системы может считаться уравнением связи, наложенной на систему с соответствующими реакциями, равными нулю . Действительно, примем данный первый интеграл за связь и составим уравнения движения с множителем. Далее, учитывая, что первый интеграл тождественно удовлетворяет левым частям всех уравнений с множителем, мы придем к тому, что данный множитель должен быть равен нулю. Обратная же теорема должна читаться следующим образом. Положим, дана механическая система с заданными, пусть идеальными в смысле Лагранжа — Даламбера, связями и активными силами. Имеются динамические дифференциальные уравнения данной системы. Положим, требуется найти янтеграл заданного вида для дайной системы уравнений. Тогда, 1при-няв данный интеграл за уравнение дополнительной связи, будем составлять уравнения движения с подобной связью. Интеграл же может быть любой аналитической структуры, поскольку мы умеем уже составлять уравнения движения при связях любой, если можно так сказать, неголономности. Далее, если мы решим расширенную систему уравнений движения, т. е. уравнений с множителем вместе с уравнением связи, то могут быть две возможности находятся уравнения движения системы, т. е. обобщенные координаты основной задачи в функциях времени и вместе с ними определяется множитель в функции времени. Но, если при каких-либо параметрах системы, или предполагаемого первого интеграла, или при некоторых начальных данных, множитель обратится в ноль, то тогда действительно уравнение связи окажется первым интегралом данной задачи. Возьмем, к примеру, классическую задачу о движении твердого тела вокруг неподвижной точки. Мы знаем, с каким трудом добывались решения этой задачи и как, по существу, их мало. Всего три случая — общего решения, да и общность относится только к начальным условиям, а на другие параметры — распределение масс и положение центра тяжести — налагаются определенные условия. Частных интегралов больше, но все они находились с трудом (вспомним, например, случай Гесса). Данные же методы наиболее естественны нри выяснении вопроса, является ли заданная связь -первым интегралом уравнений движения данной системы как свободной. [c.13]

Как и в случае конечномерных динамических систем, в области задач об оптимальном управлении системами с распределенными параметрами сохраняют полную работоспособность усовершенствованные методы классического вариационного исчисления. При этом и здесь основное внимание было уделено составлению необходимых условий минимума для экстремальных задач со связями, трактуемыми как проблема Майера — Больца. Главным образом это было сделано для задач, связанных с уравнениями эллиптического типа. Было показано, что в таких типичных задачах, возникающих из проблем оптимального управления, необходимые условия стационарности (уравнение Эйлера и естественные граничные условия, а также условия Вейерштрасса Эрдманна) составляются при помощи обычных приемов. Критерии опираются снова на множители Лагранжа которые здесь зависят уже обычно от пространственных координат, а соответствующие дифференциальные уравнения снова конструируются исходя из подходящих форм функции Гамильтона. Условия стационарности дополняются необходимым условием Вейерштрасса сильного относительного минимума. Разумеется, это условие, которое записывается через условие экстремальности функции Гамильтона на оптимальных решениях, имеет смысл, аналогичный соответствующему условию принципа максимума. Важно, однако, заметить, что при работе с модификациями классических методов вариационного исчисления в случае уравнений с частными производными проявляются некоторые новые черты. В результате получаются условия оптимальности, более сильные, нежели известные в настоящее время обобщения принципа максимума на системы, описываемые уравнениями в частных производных. Упомянутые черты проявляются, в частности, в связи с тем обстоятельством, что приращение минимизируемого функционала при изменении объемного управления (за счет варьирования от оптимального управления) в пределах области достаточно малой меры зависит не только от вариации управления и меры области, но также существенно определяется и предельной формой области варьирования. Таким образом, получается, что при изменении формы области, определяющей вариацию, могут, получаться более или менее широкие необходимые условия экстремальности. Как отмечено выше, эффект анизотропии варьирования пока был получен только классическими методами. Причины этого, по-видимому, различны некоторые работы, посвященные принципу максимума, относятся к таким задачам, где этот эффект вообще не проявляется, в других случаях эффект анизотропии исключался вследствие ограничения при исследованиях лишь вариациями специального вида. Полезно также заметить, что описываемый эффект анизотропии расширяет возможность управления и оптимизации в обширном классе случаев независимо от типа исходных уравнений. Эффективность классических методов вариационного исчисления была проверена на конкретных типах задач. В частности, таким путем была исследована задача об оптимальном распределении проводимости электропроводной жидкости (газа) в канале магнитодинамического генератора электрической энергии. Эта задача как раз доставляет пример вариационной проблемы, где эффект анизотропии варьирования играет существенную роль. Развитию классических методов исследования посвящены работы К. А. Лурье. [c.239]

После того как найдено оптимизированное распределение осевого потенциала, реконструкция электродов или полюсных наконечников становится чрезвычайно легкой. Всегда известно не только распределение осевого потенциала, но и его непрерывная вторая производная. В нее не входит построение кривой, а только обобщение сплайновой функции на точки пространства, не лежащие на оси, как обсуждалось в разд. 9.8 и 9.9. Результирующие электроды состоят не из цилиндров и дисков как стандартных деталей, но после соответствующих упрощений они становятся вполне приемлемыми. Поскольку положения и потенциалы электродов гораздо важнее, чем их форма, искривленные границы всегда можно заменить легко изготовляемыми прямыми поверхностями. Но даже относительно сложная система будет малой ценой за значительный выигрыш, который можно получать с помощью этого подхода. Стоимость изготовления любого электрода или полюсного наконечника всегда ничтожна по сравнению с общей стоимостью такого сложного инструмента, как, например, установка для ионно-лу-чевой литографии. [c.550]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...