Матричная формулировка

Круг явлений, в которых наиболее просто и очевидно проявляются квантово-механические закономерности, определяется в первую очередь их очевидной несовместимостью с классическими представлениями. К этому кругу относятся прежде всего явления, обусловленные волново-корпускулярным дуализмом в движении микрочастиц. Построение модели такого движения привело к формулировке уравнения Шредингера, которое является новым уравнением физики и не может быть выведено из ранее известных уравнений. Однако в физике давно было известно, что любые волны описываются соответствующим волновым уравнением. Исторически и логически уравнение Шредингера возникло как уравнение для волн де Бройля. Такой подход к уравнению Шредингера является наиболее простым и естественным в рамках индуктивной формулировки физической модели в курсе общей физики. Однако необходимо со всей возможной полнотой подчеркнуть, что при этом речь идет не о возникновении еще одной новой области физики, которая описывается соответствующим новым дифференциальным уравнением, а о новой области физики, модель которой может быть описана и без дифференциального уравнения Шредингера. С этой точки зрения более целесообразно начинать изложение квантово-механической модели в матричной формулировке, в которой она и была открыта Гейзенбергом. Однако из педагогических соображений более предпочтительно рассматривать матричную формулировку после уравнения Шредингера как представление. [c.9]

НО не входят в элементарные учебники по оптике, но которые составили бы весьма полезный фундамент для данной главы. Таким образом, в разд. 4.2.1 мы дадим введение в матричную формулировку геометрической оптики в рамках приближения параксиальных лучей. В разд. 4.2.2 и 4.2.3 рассмотрим многочисленные интерференционные явления, которые имеют место соответственно в интерферометре Фабри — Перо и многослойном диэлектрическом покрытии. [c.165]

Матричная формулировка геометрической оптики [1] [c.165]

Представленная выше матричная формулировка может быть весьма полезной для описания оптического резонатора в приближении геометрической оптики. Этот подход мы применим в разд. 4.7.3 для исследования устойчивости оптического резонатора из двух сферических зеркал. [c.170]

МАТРИЧНАЯ ФОРМУЛИРОВКА СООТНОШЕНИЙ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ И ЗАДАЧ СТРОИТЕЛЬНОЙ МЕХАНИКИ СТЕРЖНЕВЫХ СИСТЕМ [c.13]

ВАРИАЦИОННО-МАТРИЧНЫЕ ФОРМУЛИРОВКИ ЗАДАЧ МЕХАНИКИ ТВЕРДОГО ДЕФОРМИРУЕМОГО ТЕЛА [c.5]

Полученные в этом разделе соотношения допускают удобную векторно-матричную формулировку. Для этого введем векторы V — единичной нормали к площадке и рг — полного напряжения на этой площадке, а также матрицу — тензора напряжений, составленную из компонентов напряженного состояния [c.335]

Здесь уместно отметить, что матричная формулировка, приведенная в 1, п. 1, не ограничена случаем дискретных каналов. Формально мы можем ввести в нее и непрерывные каналы, включая в совокупность матричных элементов взаимодействия (16.74), такие, которые берутся между состояниями рассеяния. Тогда в (16.75) будет входить интеграл по энергиям е . Мы по-прежнему можем использовать матричные обозначения [как в (16.75а)], но следует помнить, что матрицы частично станут интегральными операторами (т. е. непрерывными матрицами). Однако это покупается дорогой ценой. Так, в 4, п. 2 мы увидим, что учет полной области изменения всех промежуточных [c.487]

В гл. 3 были рассмотрены свободные колебания систем с двумя степенями свободы, что не представляло особых затруднений за исключением случая колебаний с демпфированием. Дополнительные трудности возникают в системах со многими степенями свободы, поскольку с ростом числа степеней свободы быстро растет число членов уравнений. Разумеется, матричная формулировка оказывается очень эффективным средством при работе с большим числом членов уравнений. Однако более важным обстоятельством является то, что системы, подвергаемые произвольным возмущениям, исключительно трудно исследовать в исходных координатах, особенно в случае колебаний с демпфированием. Этих трудностей можно избежать, используя более подходящую систему координат. [c.244]

Матричная формулировка модели Изинга в общем случае принадлежит Крамерсу и Ванье [37]. [c.380]

ПОСТРОЕНИЕ ДВУМЕРНОЙ МОДЕЛИ ИЗИНГА Матричная формулировка [c.383]

Если 5 = 0, то Уз = 1. Это завершает матричную формулировку двумерной модели Изинга. [c.391]

Идея алгебраического подхода по существу содержится уже в первоначальной матричной формулировке квантовой механики, связанной с именами Гейзенберга, Борна, Йордана, Дирака и др. На этой ранней стадии развития теории два важных вклада, непосредственно относящихся к интересующей нас теме, внес фон Нейман [432, 433]. Во-первых, он сформулировал квантовую механику как задачу на собственные значения в гильбертовом пространстве и однозначно указал правила, которым подчиняется исчисление входящих в игру операторов. Во-вторых, он проанализировал с точки зрения теории вероятностей понятие состояния. Поскольку в дальнейшем нам неоднократно придется встречаться с этими идеями фон Ней- [c.50]

Из тех же соображений матричная формулировка дискретной задачи должна быть рассмотрена до конечноэлементного анализа непрерывных систем. В последующих разделах будут ис-следованы два типа дискретных систем строительные конструкции и транспортные сети. [c.10]

В предыдущем разделе представлены многие из основных понятий вариационного метода конечных элементов. Матричная формулировка была основана на фиксированной Ot системе координат, Показанной на рис. 1.12, а представление через базисные функции для каждого элемента (и соответствующие уравнения) записывалось в одной и тон же системе отсчета. Такая общая система отсчета называется глобальной системой координат. [c.36]

Аналитические решения дифференциальных уравнений используются для формулировки условий движения составной оболочки в матричной форме метода начальных параметров. Решение примера проведено на ЦВМ для определения спектра собственных частот и колебаний, результаты сравниваются с экспериментально определенными собственными частотами и формами. Эксперименты проведены на стальной модели в диапазоне частот от 80 до 3000 гц. [c.109]

Формулировка задачи ЛП в матричной форме найти вектор х, принадлежащий допустимой области G = x x>0, Ax b , доставляющий максимум целевой функции /(х) = [c.128]

Воспользовавшись введенными ранее матричными обозначениями, можно записать эту формулировку аналитически в виде, аналогичном (1.6) [c.8]

Рассмотрим в общем виде вариационно-матричный способ получения разрешающих систем дифференциальных уравнений для решения задач о собственных колебаниях и устойчивости одномерных линейных систем. В качестве исходной вариационной формулировки воспользуемся условием (3.41) для случая мертвых нагрузок. Оставим в прежней форме общую запись распределения дополнительных перемещений (ы и деформаций ej по сечению, т. е. как и для (3.43), (3.44), примем [c.90]

Переписывая математическую формулировку принципа возможных перемещений (1.4.14) в матричной форме, получаем [c.64]

Анализ плоской деформации сводится к формулировке и решению ряда краевых задач (задача Коши, задача Римана, смешанная задача и др.). Для их решения разработаны эффективные аналитические, графические, численные, матрично-операторные и другие методы [10, 11, 13, 21, 26, 28, 46, 48]. [c.108]

При переходе от формулировок в терминах векторов и поли-диадиков к формулировкам в матричной форме нужно помнить, что все подматрицы, т. е. элементы сложных матриц (J ), SK) и ( /), обозначаемые подстрочными индексами, должны быть выражены в общей системе координат. [c.472]

Рассмотрим сначала формулировку задачи нестационарной теплопроводности через интеграл взвешенной невязки (4.49). Подставим первую формулу (4.60) в (4.49), приняв w (М) == (М), п — = 1, 2,. .., N . Тогда получим систему обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка относительно узловых значений Тп (t), которую можно представить в матричной форме [c.171]

Отметим здесь, что принцип Гамильтона и принцип виртуальной работы часто использовались в математических формулировках методов конечных элементов, которые применялись для исследования задач об отклике при динамическом воздействии. Рассматриваемое упругое тело разбивается на конечные элементы, и применение принципа Гамильтона приводит к системе линейных алгебраических уравнений в матричной форме [c.377]

Описанный подход является типичным для ручного счета. Для вывода равенств (1) и (2) применяется простейшее правило Крамера, позволяюгцее выразить решение алгебраической системы уравнений через определители (см., например, [91]). Равенства, аналогичные (1) и (2), могут быть записаны для системы с любой степенью статической неопределимости и иллюстрируют основные соотношения матричной формулировки задачи, которая описана ниже. [c.118]

Матричная формулировка предполагает решение систем линейных уравнений. Однако мрогие системы вследствие больших перемещений или наличия искривленных элементов являются геометрически нелинейными и могут также быть изготовлены из материалов с нелинейной диаграммой деформирования или с нелинейно изменяющимися во времени свойствами. Трудности, связанные с расчетом таких систем, обычно преодолеваются в результате использования метода приращений, согласно которому рас- [c.118]

Матричная формулировка полезна не только для описания поведения луча, проходящего через оптическую систему, но также и для изучения распространения сферической волны. Действительно, рассмотрим сферическую волну, исходящую из точки Pi рис. 4.10 и распространяющуюся вдоль оси z в положительном направлении. После прохождения оптического элемента, описываемого данной ЛВСО-матрицей, эта волна преобразуется в новую сферическую волну с центром в точке Рг. Рассмотрим два сопряженных луча Г) и Гэ двух сферических волн. Радиусы кривизны Ri и R2 сферических волн на входной z = Zi и на выходной z = Z2 плоскостях оптического элемента даются выражениями [c.170]

Стержневые системы широко применяются в конструкциях летательных аппаратов. Эффективным средством их расчета на ЭВМ является метод перемещений в матричной формулировке. В терминологии и основных процедурах ои имеет много общего с методом конечных элементов. Жесткостные характеристики стержней вычисляются здесь на основе соотношений технической теории бруса, и в рамках этой теорни решение по.лучается точ ым. [c.49]

Изложены теоретические основы, численные методы и алгоритмы расчета силовш многослойных конструкций из композитных материалов. Особое внимание уделено вариационно-матричным формулировкам задач и построению конечно-элемеитных моделей деформирования многослойных стержней, пластин н оболочек. Теоретический материал проиллюстрирован конкретными примерами.. Приведены подпрограммы иа языке ФО РТРАН-4, которые могут быть использованы для решения широкого круга задач строительной механики констр Кций из композитных материалов. [c.2]

Получим матрицу жесткости н вектор приведенных узловых сил для стержня, работающего на растяжение — сжатие и кручеиие. Для более компактной записи вместо (3.37) воспользуемся эквивалентной матричной формулировкой [c.139]

Если исключить краевые задачи и проблемы нелинейной оптики, в основе которых лежит электромагнитная теория, а также исследования по физике излучения, где используется квантовая теория и статистическая физика, то можно сказать, что главные разделы радиооптики базируются на операционном методе решения задач с помощью преобразования Фурье. Метод преобразования Фурье применяли уже Релей и Майкельсон на рубеже нашего века. Однако только современная теория распределений, или обобщенных функций, основанная на трудах Л. Шварца (1950—1951 гг.), может рассматриваться как универсальный инструмент, пригодный не только для анализа более или менее классических задач в теории образования изображения и в теории связи, но и для синтеза новых устройств и систем. Матричная формулировка образования изображения с помощью линз и зеркал существенно упростила математи еские методы расчета линз, особенно при использовании электронной вычислительной машины. Оптические аналоговые корреляторы и вычислительные устройства, созданные на основе новых математических обобщений, начинают дополнять превосходящие их нередко по сложности электронные вычислительные машины. В гл. 5 на нескольких примерах показано, как, пользуясь оптическими методами, можно осуществлять операции умножения и [c.16]

В общем единственный способ оценить результат динамического взаимодействия большого числа пучков в кристалле — это выполнить большое количество подробных п-волновых вычислений для разных кристаллов, имеющих набор по толщине и ориентациям, и попытаться проанализировать результаты. Существуют, однако, специальные случаи, для которых результат п-волновой дифракции можно понять из сравнения с более простым аналогичным результатом для относительно малого числа пучков. Существуют случаи высокой симметрии в дифракционной картине, когда некоторые пучки из набора пучков эквивалентны в том смысле, что имеют равные ошибки возбуждения и взаимодействуют через эквивалентные значения структурного фактора Способ, в котором такие ряды эквивалентных пучков могут соединяться, давая для каждого ряда один характерный пучок, продемонстрировал Йённес [158], использовавший представление с помощью интегрального уравнения этот подход применял Фишер [137]. Другое приближение, через матричную формулировку уравнения (10.8), дал Фукухара 151 ]. [c.225]

Классической строительной механике стержневых систем посвящено много книг. Значительно меньше их по современным вопросам расчета стержневых систем. В связи с возможностью использовать ЭВМ большое внимание уделялось [15, 17, 22, 33, 34, 38] матричной форме записи основных соотношений. Одной из первых отечественных работ, посвященных применению матриц к задачам строительной механики, явилась книга А. Ф. Смирнова [33]. Ряд авторов [15, 38] основывались на работах Дж. Аргириса и придавали классическим схемам строительной механики матричные формулировки. Были рассмотрены важные вопросы, касающиеся непосредственной реализации расчета стержневых систем на ЭВМ [22]. Много книг, посвященных использованию матричного айпарата для расчета стержневых систем, вышло за рубежом [43—54]. [c.3]

Настоящая глава посвящена изложению одного из наиболее перспективных способов дискретизации непрерывных задач — методу конечных элементов. Метод будет сформулирован как обобщение матричных методов сил н перемещений строительной механики на случай континуальных систем. Преимущества такой формулировки — в очевидных возможностях обобщения на случай нелинейных и неконсервативных систем, недостаток —в завуали-рованности связи с традиционными вариационными методами — Ритца и Бубнова — Галеркина, а также в трудностях перенесения на краевые задачи немеханического происхождения. [c.130]

Адекватная математическая теория сверхпроводимости, основанная на электронно-фононном взаимодействии, еще не дана, поэтому основное внимание мы уделим формулировке задачи. Как Фрелих, так и автор исходили из теории Блоха, которая предполагает, что каждый электрон движется независимо в периодическом потенциальном ноле. Колебательные координаты и взаимодействие между электронами и колебаниями были введены точно так же, как это сделано в теории проводимости. Сила взаимодействия была оценена эмпирически по сопротивлению при высоких температурах. Существует два возражения против такой формулировки, заключающиеся в том, что кулоновское взаимодействие следовало бы ввести с самого начала и что смещения электронов, вызванные электронно-фононными взаимодействиями, оказывают сильное влияние на колебательные частоты, а также на эффективный матричный элемент взаимодействия. Существенная часть задачи состоит в том, что необходимо показать, как все это можпО было бы определить, исходя из основных принципов. Отправляясь от формулировки, включающей кулоновское взаимодействие между электронами, мы покажем, что обычная теория Блоха могла бы быть достаточно хорошей отправной точкой для развития теории сверхпроводггмости. Мы покажем также, почему электронио-фононное взаимодействие имеет большее влияние на волновые функции, чем кулоновское взаимодействие, хотя энергия первого и много меньше энергии второго. В п. 37—41 мы будем следовать изложению Пайнса п автора [19], [c.755]

Есть русский перевод Г. Голдстейн, Классическая механика, Гостехиздат, Москва, 1957.— Изложение, имеющее целью дать методы, требующиеся в квантовой механике. Используются матричный и векторный аппарат. Специальная теория относительности. Уравнения Гамильтона, канонические преобразования, малые колебания, знакомство с лагран-жевой и гамильтоновой формулировками задач для непрерывных систем и полей. [c.440]

Особое внимание уделено смешанным вариационным формулировкам двух типов. Первая соответствует смешанному вариационному принципу Рейссиера, вторая — задачам на экстремум полной потенциальной энергии системы при наличии дополнительных условий в виде дифференциальных уравнений связи между перемещениями и их производными. Для одномерных задач предлагается вариационно-матричный способ вывода канонических систем разрешающих дифференциальных уравнений. Для двумерных задач рассматриваются вопросы реализации решений с использованием проекционных методов типа Рэлея—Ритца и конечных элементов с учетом специфики смешанной вариационной формулировки. [c.5]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...