Иррациональные числа

Если — шаг зубьев выражается рациональным числом миллиметров, то, следовательно, 2г = — диаметр начальной окружности выразится числом иррациональным так как z — целое число, Рш— рациональное число, л—иррациональное число следовательно, [c.171]

Расстояния между осями колес также выражаются иррациональными числами, что влечет за собой затруднения, а также возрастание погрешностей при разметке и изготовлении. [c.171]

Если для некоторой системы на есть глобальная секущая, — компактная трансверсаль ко всем траекториям системы,— то можно ввести число вращения Пуанкаре, иррациональному значению которого соответствует наличие незамкнутой устойчивой по Пуассону траектории. По теореме Биркгофа (см., например, [91]) в замыкании незамкнутой устойчивой по Пуассону траектории содержится континуальное множество незамкнутых устойчивых по Пуассону траекторий, каждая из которых всюду плотна в нем. Таким образом, если система имеет иррациональное число вращения, то ее неблуждающее множество содержит бесконечное множество траекторий. [c.149]

Для общего двухпараметрического семейства векторных полей, в котором происходит рождение двумерного тора из цикла с мультипликатором е , ф О, я, 2я/3, л/2, можно показать, что бифуркационная кривая, отвечающая в этом семействе векторным полям с некоторым фиксированным иррациональным числом вращения, будет гомеоморфным и, как вытекает из [18] для почти всех чисел вращения, диффеоморфным образом отрезка. Может ли теряться гладкость этой кривой для некоторых (иррациональных) чисел вращения, неизвестно. [c.150]

Если измеряемая величина несоизмерима с избранной единицей меры (например, диагональ квадрата несоизмерима с его стороной), то результат измерения есть иррациональное число (например, 2, я). Иррациональное число не может быть представлено как отношение двух целых чисел оно может быть изображено бесконечной непериодической десятичной дробью, например, / 2= 1,41421356.. ., я = 3,1415926535897932384626433832795... [c.63]

На практике иррациональные числа заменяют рациональными с требуемой степенью точности например, принимают я = 3,14 (с точностью до 0,01), [c.63]

Иррациональные числа могут быть положительными или отрицательными. [c.63]

Иррациональные функции — см. Функции иррациональные Иррациональные числа 63 Испытательная аппаратура 432 Источник сообщений 340 --- точечный соленоидального поля 234 [c.572]

Интерполяционные формулы — Остаточные члены 304 Интерполяция линейная — Пропорциональные части 35 Иррациональные функции —Интегрирование 160 Иррациональные числа 63 Истирание деталей механизмов 438 Источники точечные 234 Исчисление дифференциальное 134—153 [c.551]

Эпициклоиды и гипоциклоиды, определяемые модулем, выраженным рациональным числом, являются алгебраическими кривыми. В нашей работе рассматриваются механизмы, разработанные для воспроизведения только таких линий. Формы эпициклоид и гипоциклоид, если их модуль представляет собой иррациональное число, не подчиняются приведенным закономерностям. В механизме, построенном для вычерчивания такой кривой, точка В звена ЛБ, выйдя из начального положения, никогда уже в него не вернется. Кривая будет иметь нарастающее с каждым оборотом кривошипа число ветвей с бесконечным числом точек самопересечения и точек возврата и все же останется не замкнутой. [c.146]

В приведённом выше определении ДС инвариантная мера играет не меньшую роль, чем сама группа преобразований замена меры может резко изменить свойства системы. Если задано лишь нек-рое семейство преобразований пространства X, то возникает вопрос о существовании хотя бы одной, прежде всего вероятностной, инвариантной меры. Иногда он решается относительно просто. Так, по теореме Крылова — Боголюбова всякое непрерывное преобразование компактного метрич. пространства обладает вероятностной инвариантной мерой, а по Лиувилля теореме мера Лебега (фазовый объём) инвариантна относительно любой гамильтоновой системы (хотя, в последнем случае мера всего пространства бесконечна, на гиперповерхности постоянной энергии может индуцироваться конечная мера). Иногда вероятностная инвариантная мера единственна. Это имеет место, напр., для каскада, порождённого поворотом окружности Г д =Рг(х- -сс), где а — иррациональное число, В др. случаях существует бесконечно много инвариантных вероятностных мер. Одна из пробле.м Э. т.— изучение инвариантных мер, принадлежащих како-.му-либо заранее выбранному классу. Пример такого класса— все инвариантные меры с фиксиров, совокупностью множеств меры О (такой же, как у заданной, не обязательно инвариантной меры) другой пример—инвариантные меры, удовлетворяющие вариационному принципу (см, ниже). [c.626]

Характер возможных движений консервативных систем, неинтегрируемых в квадратурах, сложен и в настоящее время мало изучен. Однако в последнее время в работах А. Н. Колмогорова, В. И. Арнольда, Мозера и других было показано, что большинство движений консервативной системы, близкой к интегрируемой в квадратурах, также имеет квазипериодический характер. Тем не менее в любой сколь угодно малой окрестности таких движений существуют движения иной, гораздо более сложной природы подобно тому как в любой сколь угодно малой окрестности произвольного иррационального числа имеется бесконечно много рациональных чисел. [c.149]

Такие условия разрешимости справедливы, например, для оболочки, имеющей форму однополостного гиперболоида ( 18.37) в этом случае требование А заключается в том, что отношение длин сторон прямоугольника G (рис. 51) должно быть иррациональным числом. [c.307]

Положения точек Гаусса определяются иррациональными числами, но при использовании ЭВМ это не имеет существенного значения. Приведем некоторые значения Oj и [101 [c.188]

Погрешность определения напряжений различна в разных точках элемента. Наиболее точные значения получаются [32] в точках Гаусса, соответствующих минимально допустимому порядку интегрирования. Но положение точек Гаусса определяется иррациональными числами, что доставляет большие неудобства при анализе результатов. На практике предпочитают, как правило, вычислять напряжения в узловых точках, хотя именно здесь погрешность в напряжениях оказывается наибольшей. [c.193]

Разобьем множество всех вещественных чисел из интервала (О, 1) (числа О и 1 не включены) на два множества Ла и Ло. по следующему принципу. В множество А включим такие иррациональные числа а, для каждого из которых можно найти такое положительное число v > О, что при любом целом положительном р выполняется неравенство [c.132]

Перейдем к изучению того случая, когда уравнение (10.1) имеет иррациональное число вращения. Как следует из теоремы 10,2, все интегральные кривые на торе незамкнуты. [c.160]

Лемма 10.3. Пусть (х — иррациональное число, тогда по любому Пд можно указать такие целые числа га > о и I, что будет выполняться неравенство [c.165]

Выбор радиана в качестве единицы Международной системы нельзя признать удачным. Радиан мало пригоден для практических целей. Полный и прямой углы, постоянно встречающиеся как в теории, так и иа практике, выражаются в радианах иррациональными числами (2я и я/2). Поэтому [c.146]

Требуемое обобщение достигается при помощи так называемых обобщенных функций или распределений . Обобщенные функции могут быть определены различными способами, например как пределы последовательностей достаточно регулярных функций, подобно тому как вещественные числа являются пределами последовательностей рациональных чисел. Поэтому можно сказать, что обобщенная функция g z) есть последовательность gm z) т— 1, 2, 3,. ..) обычных функций в том же смысле, в каком вещественное число а есть последовательность, например, рациональных чисел am , получаемых усечением десятичного представления а на т-й значащей цифре. Аналогично тому как при расчетах никогда не оперируют с иррациональным числом, а используют только его рациональные приближения, вместо значений, принимаемых обобщенной функцией , всегда имеют дело с последовательностью аппроксимирующих ее функций. И так же, как мы рассматриваем и [c.13]

В этом примере помимо рассмотренных интегралов движения (т. е. полной энергии и а — ао) еще один интеграл получается исключением t из (6.10). Проекция поверхности уровня на физическую плоскость есть не что иное, как траектория, соответствующая заданным начальным условиям из рис. 9 ясно, что траектория будет проходить достаточно близко к любой точке прямоугольника, если отношение (6 os ао)/(а sin ао) не является рациональным числом если это отношение иррационально, то траектория подходит сколь угодно близко к любой точке прямоугольника. Это справедливо также и для плоскости (u,v), в которой траектории не кусочно прямые, а кривые здесь уравнения (6,10) представляют траектории движения, получаемого наложением двух ортогональных гармонических движений с частотами / /(4а), R/ 4h), т. е. в результате возникают общеизвестные фигуры Лиссажу, которые, как мы знаем, являются плотными в квадрате —1 < < 1, —1 < < 1, если отношение между частотами — иррациональное число. [c.38]

Сумма любого конечного числа членов этого ряда даёт одну из двух чередующихся точек , которые можно принять за концы непрерывного отрезка . Ничто не мешает принять в качестве суммы ряда также любые другие числа для точек, расположенных внутри этого отрезка (например, иррациональные). Иррациональные числа — это символы нового (по сравнению с рациональными числами) правила вставления новых точек на отрезке. Получается, что счётная бесконечность и непредикативное правило образования элементов множества с помощью натуральных чисел позволили построить континуум (Сравните с результатом в комментарии 6.) [c.215]

Все иррациональные числа разобьем на два класса. Класс Kl составляют такие числа а, для которых неравенство [c.177]

Если иррациональное число 7 = Л2/Л1 принадлежит классу К2 (введенному в 2), то уравнения (4.4) приводятся к системе (4.5) (ср. с [83]) и утверждение очевидно. Пусть 7 G iii и N - т < Так как dy/dx = Л2/Л1 = 7, то у = [c.193]

Рассмотрим бифуркацию при пересечении единичной окружности парой комплексно-сопряженных мультипликаторов вида (.1 — exp(=F2nai), где а — иррациональное число. Это приводит к появлению вторичного течения с новой независимой частотой [c.157]

Но различные частоты несоизмеримы друг с другом, так что Ш2/Ш1 — иррациональное число. Приводя кал<дый раз посредством вычитания должного целого кратного от 2л значение ф2 к интервалу между О и 2л, мы получим поэтому, при пробегании числом S значений от О до оо, для фг значения, сколь угодно близкие к любому наперед заданному числу в этом интервале. Другими словами, в течение достаточно большого промел<утка времени ф1 и ф2 одновременно пройдут сколь угодно близко к любой паре наперед заданных значений. То же самое относится и ко всем фазам. Таким образом, в рассматриваемой модели турбулентности в течение достаточно долгого времени жидкость проходит через состояния, сколь угодно близкие к любому наперед заданному состоянию, определенному любым возможным набором одновременных значений фаз ф Время возврата, однако, очень быстро растет с увеличением Л/ и становится столь большим, что фактически никакого следа какой-либо периодичности не остается ). [c.159]

Уместно поставить следующий вопрос какова лебегова мера множества Ла Оказывается, что лебегова мера этого множества равна 1, т. е. почти все иррациональные числа а (0, 1) удовлетворяют оценке (16). [c.133]

В множество Л входят все правильные рациональные дроби и те иррациональные числа, котфые не удовлетворяют оценке (16). Лебегова мера множества Ла равна нулю, но, к сожалению, оно всюду плотно в интервале (О, 1), и это является одним из основных препятствий на пути решения динамических задач, в которых могут появиться малые знаменатели. Неравенство (16) и аналогичные ему другие оценки играют ключевую роль в борьбе с отрицательным эффектом малых знаменателей. [c.133]

Теперь каждому пикселу по горизонтали соответствует одна условная единица и мы не можем. мышью указать точку с координатами, напри.мер, (О, 130.6). При произвольных координатах графической зоны экрана узлы сетки пикселов вообще попадают на иррациональные числа. Кро.ме того, прямоугольная область, скажем, из 10 х 10 пикселов яатяется не квадратом, а прямоугольником с соотношением сторон приблизительно 1.2211 (это число называется aspe t ratio -аспект), в чем вы легко можете убедиться, подвинув курсор из точки (О, 0) на один пиксел вверх. [c.67]

Бифуркации на двумерном торе могут быть вызваны изменением числа вращения Пуанкаре его обмотки. При рациональном числе вращения обмотка тора периодическая, точнее, на торе есть устойчивые периодические движепия, а остальные фазовые траектории к ним приближаются, за исключением такого же числа неустойчивых периодических движений, которые играют роль разделяющих границ локальных областей притяжения устойчивых периодических движений. При иррациональном числе вращения обмотка двумерного тора квазипериодическая. Число вращения Пуанкаре как функция параметра в общем случае ку-сочпо-постоянная, при всяком ее изменении происходят бифуркации обмотки тора — фазового портрета иа торе. Бифуркации отдельных периодических движений на торе ничем не отличаются от описанных уже бифуркаций периодических движений. [c.167]

О, 2тга, 47ta,. .. Кроме того, рассмотрим еще систему чисел, обозначающих широту точки (О, Р) р, р + 2тс, p + 4it, Имеем, таким образом, две прогрессии, отношение разностей которих есть иррациональное число а. По лемме 1.1 най-дугси такие числа М i N, что [c.149]

В дальнейшем будем пользоваться следующей терминологией. Проведем через точку Од нулевого меридиана решение в = Г(< /, бц). После каждого оборота эта интегральная кривая будет пересекать нулевой меридиан в точках/ (2/гк, бц). Пусть бд — приведенная координата точки Р 2тс, бц), т. е. такая координата точки Р (2/гл, бц). которая лежит в полусегменте [О, 2л). Будем называть точки 6 . 62,. .. последующими точками для бд. Так как в силу предположения об иррациональности числа вращения х интегральная кривая б = ( р, %) незамкнута, то все точки б различны. [c.160]

Погрешности разделяют на теоретические, кинематические (статические, инструментальные) и динамические. Теоретические погрешности являются системати чески ми и вызваны допущениями при проектировании выбором более простой кинематической схемы, ЧбхМ требуете, (погрешность схемы, структурная погрешность), округлением значений параметров при выражении их иррациональными числами (например, погрешность передаточного отношения зубчатой передачи), конструктивными трудностями реализации многоподвижных кинематических пар. Кинематические погрешности механизмов определяются в основном их первичными погрешностями, разделяемыми на технологические (погрешности размеров и сборки) и эксплуатационные (зазоры, трение в кинематических парах, деформация деталей). Погрешность механизма, вызванную отдельной первичной погрешностью, называют частичной, а результат действия всех первичных погрешностей — yм apнoй погрешностью механизма Аг/д, вычисляемой по одной из формул [c.216]

Я = и ф = 50, т. е. показывает, что отображение модели в полярных координатах подчиняется тем же законам, что и при целом показателе степени. Когда 0 увеличивается на 2зх при вращении вокруг начальной точки, ф увеличивается на 2ях, а для т полных циклов в положительном направлении оно увеличивается на 2%тз, так что т составляет Поскольку х — иррациональное число, его множители различны для разных значений т так, если 2шт1 = 2п1т25 + 2пп1, где т2 я п — целые числа, тогда з--=п1(т[—т.2)—рациональное число, что [c.167]

Отметим, что почти все иррациональные числа принадлежат классу К2, однако, имеющее меру нуль множество Й 1 С К равномощно К. [c.178]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...