Формула Грина—Кубо

ФОРМУЛЫ ГРИНА — КУБО 315 [c.315]

ФОРМУЛЫ ГРИНА-КУБО 317 [c.317]

С ростом температуры зонное движение примесей разрушается и основным механизмом диффузии становятся туннельные переходы примесных атомов между локализованными состояниями в кристаллической решетке. В дальнейшем мы рассмотрим именно этот случай и покажем, как можно вычислить коэффициент квантовой диффузии непосредственно по формуле Грина-Кубо (5.4.57). [c.412]

В рамках линейной теории необратимых процессов формула Грина-Кубо для коэффициента диффузии была выведена в разделе 5.4.3 первого тома. [c.175]

Для коэффициента теплопроводности имеем формулу Грина-Кубо [c.204]

Указание. Воспользоваться формулой Грина-Кубо (8.2.82) для коэффициента объемной вязкости. Пренебрегая в тензоре напряжений (8.2.12) и в плотности энергии (8.2.13) вкладами взаимодействия, вычислить термодинамические производные в (8.2.63) с помощью уравнений состояния идеального газа. Убедиться, что в этом случае динамическая переменная П равна нулю и, следовательно, С = О- [c.215]

Это выражение напоминает формулы Грина-Кубо для кинетических коэффициентов в обычной гидродинамике. Необходимо, однако, обратить внимание на несколько важных различий между гидродинамическими кинетическими коэффициентами и их обобщением, используемым в теории флуктуаций. Прежде всего отметим, что проекционный оператор Qa исключает из потоков все вклады флуктуационных гидродинамических мод. С другой стороны, в обычном гидродинамическом подходе проекционный оператор Мори Q исключает лишь те вклады в микроскопические потоки, которые линейны по гидродинамическим переменным. Другое важное отличие состоит в том, что временная эволюция потоков в выражении (9.1.57) определяется приведенным оператором Лиувилля L = а в обычных формулах Грина-Кубо оператор эволюции выражается через оператор L = QLQ, из которого не исключены вклады гидродинамических флуктуаций. Наконец, средние значения в (9.1.57) вычисляются с распределением которое описывает состояние с фиксированными ( замороженными ) гидродинамическими флуктуациями, в то время как в обычных формулах Грина-Кубо корреляционные функции микроскопических потоков вычисляются в равновесном или локально-равновесном состоянии. Можно сказать, что величины (9.1.57) представляют собой затравочные кинетические коэффициенты, учитывающие вклад только микроскопических корреляций ). Напротив, кинетические коэффициенты в уравнениях для усредненного движения содержат вклады гидродинамических флуктуаций. Отметим также, что затравочные кинетические коэффициенты (9.1.57) зависят от переменных а (г) через распределение Следовательно, они сами являются флуктуирующими величинами. [c.227]

Вдали от критической точки tjq г] Со С где т/, Л — наблюдаемые гидродинамические коэффициенты переноса. Хотя для затравочных коэффициентов переноса можно вывести выражения через корреляционные функции, аналогичные формулам Грина-Кубо (8.2.80) - (8.2.82), их вычисление для реальной жидкости является очень сложной задачей. Поэтому в теории гидродинамических флуктуаций затравочные коэффициенты переноса обычно рассматриваются как заданные величины ). [c.236]

Полученные выше микроскопические формулы (4.70) или (4.76), связывающие коэффициент трения с интегралом от временной корреляционной функции случайной силы, представляют собой один из примеров соотношений Грина—Кубо. Последние в общем случае связывают различные коэффициенты переноса с интегралами по времени от соответствующих корреляционных функций. [c.60]

ПЕРЕНОСА ЯВЛЕНИЯ — неравновесные процессы, в результате к-рых в физ. системе происходит пространственный перенос электрич. заряда, вещества, импульса, энергии, энтропии или к.-л. др. физ. величины. Общую феноменологич, теорию П. я., применимую к любой системе (газообразной, жидкой или твёрдой), даёт термодинамика неравновесных процессов. Более детально П. я. изучает кинетика физическая. П. я. в газах рассматриваются на основе кинетической теории газов с помощью кинетического уравнения Больцмана для ф-ции распределения молекул П. я. в мета.т-лах — на основе кинетич. ур-ния для электронов в металле перенос энергии в непроводящих кристаллах — с помощью кинетич. ур-ния для фононов кристаллич. решётки. Общая теория П. я. развивается в неравновесной статистич. механике на основе Лиувилля уравнения для ф-ции распределения всех частиц, из к-рых состоит система (см. Грина — Кубо формулы). [c.572]

Замечательная особенность формул Кубо (5.1.61) - (5.1.63) состоит в том, что они внешне очень просты и имеют весьма общий характер. Как мы увидим дальше, с помощью формул Кубо удобно изучать свойства восприимчивостей и кинетических коэффициентов. Однако подход, развитый в разделе 5.1.1, обычно более удобен при решении конкретных задач, так как в нем проще использовать приближенные методы. При удачном выборе базисных динамических переменных даже весьма грубые приближения для корреляционных функций в уравнениях (5.1.36) дают хорошие результаты для восприимчивостей и кинетических коэффициентов (см., например, [68, 108, 144]). В то же время, при использовании формул Кубо всегда приходится производить частичное суммирование бесконечного ряда теории возмущения для корреляционных функций или функций Грина. [c.354]

В теории Кубо магнитная восприимчивость выражается через запаздывающие функции Грина или через корреляционные функции [см. (5.1.61) и (5.1.62)]. В рассматриваемом случае формулы Кубо дают [c.356]

Формулы такого типа иногда называют формулами Грина — Кубо для коэффициентов переноса. Они, как и приведенные ниже формулы для брауновского движения (см. также формулу Найквиста в 22), являются частными формами записи весьма общего соотношения между флуктуационными и диссипативными характеристиками систем — так называемой флуктуационно-диссипа-ционной теоремы. [c.47]

Фазовое пространство — 61 Флуктуационно-диссипациоиная теорема — 47, 80—84, 175 Формула Грина—Кубо — 47, 60,164, 166, 171 [c.240]

Выражения (8.2.80) - (8.2.82) и другие аналогичные выражения для коэффициентов переноса через корреляционные функции известны как формулы Грина-Кубо ). Впервые они были получены Грином [77], который использовал методы теории стохастических процессов. В работах Грина усреднение проводилось по микроканоническо-му ансамблю, где Н и N ие испытывают флуктуаций, поэтому члены с АН и AN в выражении (8.2.73) для потока П отсутствовали. Однако микроканонический ансамбль не удобен для расчетов, так как все равно приходится учитывать дополнительные условия постоянства Н и N. После Грина выражения для коэффициентов переноса через корреляционные функции были выведены многими авторами различными методами (см., например, [96, 119, 131]). [c.175]

В несколько иной форме формулы Грина-Кубо для коэффициентов переноса сверхтекучей бозе-жидкости были получены Хоэнбергом и Мартином [85], которые использовали метод линейной реакции. Следует, однако, отметить, что в этом методе структура гидродинамических уравнений заранее предполагается известной из феноменологической теории. [c.206]

Г. ф. удобны в статистич. физике равновесных систем для вычисления термодинамич. ф-ций и спектров элементарных возбуждеипй. Они находят применение также н в теории необратимых процессов, т. к. Грина — Кубо формулы для кпнетич. коэф. можно выразить через Г. ф. [c.538]

В общем случае для состояний, близких к равновесному, можно иайти реакцию системы на возмущение, вызванное внеш. приложенным полем (механич. возмущение), к-рая определяется запаздывающими Грина функциями в статистической физике. Если Н. с. обусловлено внутр. неоднородностями в системе, напр. неоднородностями темп-ры, хим. потенциала, гидродинамич. скорости (термин, возмущения), то можно найти поправки к равновесной ф-ции распределения, зависящие от времени лишь через Т(х,1), р1 х,(), и х,1) и их градиенты. Это позволяет получить систему ур-ний переноса с кинетич. коэф., Определяемыми Грина — Кубо формулами через временные корреляц. ф-ции потоков. [c.328]

Возможность возрастания энтропии может быть обоснована методами статистич. механики, к-рая приводит к выражению для положительного локального производства энтропии, связанного с внутр. неравновесно-стью системы, что соответствует термодинамике неравновесных процессов. При этом для кинетических коэффициен пов получаются выражения, пропорц. пространственно-временным корреляц. ф-циям потоков энергии, импульса и вещества (Грина — Кубо формулы). Энтропия системы в неравновесном случае определяется через локально-равновесное распределение /лон ф-лой S = — Jfe <1п/лов)- Она соответствует максимуму информац. энтропии при условии, что средние локально-равновесные значения плотности энергии, импульса и числа частиц равны их средним значениям, причём эти средние вычислены с помощью ф-ции распределения, удовлетворяющей ур-нию Лиувилля (хотя /лок не удовлетворяет). Возрастание энтропии связано с отбором запаздывающих решений ур-ния Лиувилля. Опережающие решения должны быть отброшены, т. к. приводили бы к убыванию энтропии [6]. Отбор запаздывающего решения ур-ния Лиувилля осуществляется введением в него бесконечно малого члена, нарушающего его симметрию относительно обращения времени. [c.530]

Примеры С. а. энергетически изодирораввые системы частиц при заданной, иодвой энергии (микрока-нонич. ансамбль), системы частиц в контакте с термо- статом заданной темп-ры (канонич. ансамбль), системы частиц в контакте с термостатом и резервуаром частиц (большой канонич-, ансамбль). Идея С. а. применима также к неравновесным системам. В этом случае макроскопич, состояние, можно описывать пространственно неоднородными и зависящими от времени Параметрами (см. Грина — Кубо формул ). [c.673]

Замечание. Как в аксиоме баланса сил, так и в формулировке принципа виртуальной работы требования гладкости, налагаемые на поле Г Q" S , весьма умеренные достаточно, чтобы все интегралы имели смысл. Напротив, необходимы существенные дополнительные предположения о гладкости, чтобы написать уравнения равновесия и придать смысл величине div" Г". Эти уравнения используются только как средство перехода от аксиомы баланса сил к принципу виртуальной работы, и потому естественно возникает вопрос, нельзя ли при этом переходе вовсе обойтись без уравнений равновесия и соответствующим образом понизить требования гладкости. Исследования в этом направлении проведены в работе Antman Osborn [1979], где показано, что принцип виртуальной работы может быть выведен непосредственно из аксиомы баланса сил. Подход Антмана и Осборна основан на выявлении своего рода эквивалентности между справедливостью аксиомы баланса сил для всех подобластей Л" и выполнением принципа виртуальной работы для всех отображений O-" . Такая эквивалентность устанавливается с помощью соответствия между специальными классами подобластей (кубами и их образами при изоморфизмах, липшицевых в обе стороны) и специальными классами вариаций (по существу, кусочно-линейными функциями). Метод доказательства в общем тот же, что и при выводе формул Грина в теории интегрирования. В [c.104]

Общий характер Г.— К. ф. связан с тем, что для всех макроскопич. систем при малых отклонениях от статистич. равновесия устанавливается квазиравпо-весная ф-ция распределения, подобная ф-ции распределения Гиббса, параметры к-рой (темп-ра, хим. потенциал и др.) зависят от координат и времени. Решение ур-ния Лиувилля даёт в первом приближении поправку к квазиравновесиой ф-ции распределения, пропорциональную градиентам темп-ры и хим. потенциала с коэф,, к-рые можно записать в виде Г.— К. ф. Т. о., Г.— К. ф. дают микроскопич. выражения для ки-нетич. коэф. Частным случаем Г.— К. ф. являются Кубо формулы, к-рые выражают реакцию леравновесны,х ср. физ. величии через запаздывающие Грина функции, связывающие изменения наблюдаемых величин с вызывающим их внеш. возмущением. Иногда Г.— К. ф. паз. ф-лами Кубо. [c.539]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...