Лиувилля оператор

Действуя на уравнение Лиувилля операторами Р и Q, получаем систему уравнений [c.125]

Лиссажу фигуры 38 Лиувилля оператор 129 [c.489]

Лемма Римана — Лебега 35 Левоинвариантная мера 216 Лиувилля оператор 14 Локальная коммутативность 356 [c.417]

Важным достоинством рассматриваемого метода является его большая общность, или универсальность. В частности, с неболь-щими очевидными изменениями он непосредственно обобщается на квантовый случай. В этом случае гамильтониан возмущенной системы представляется в виде (9.1). Причем оператор возмущения Йi t=- x>=0 аналогичен (9.2), и вместо уравнения Лиувилля (9.3) необходимо использовать его квантовый аналог — уравнение Неймана [c.169]

Оператор вращения 233—238 — — Лиувилля — 56, 165 [c.240]

Уравнение для оператора плотности (11.36) называется уравнением Неймана и является основным уравнением статистической физики квантовых систем. Это уравнение аналогично классическому уравнению Лиувилля (11.8) для фазовой плотности распределения p(q, р, О- [c.194]

Отметим, что основная идея в доказательстве теоремы Пуанкаре заключается в использовании теоремы Лиувилля о сохранении меры при преобразовании с помощью оператора Tf Никакие другие свойства уравнений Гамильтона здесь не используются. [c.441]

Более того, нас интересуют преобразования, явно зависящие от оператора Лиувилля. Это и есть физическое обоснование теории. Мы ви- [c.149]

В общей теории Н. п. исходят из Лиувилля уравнения для ф-ции распределения / по координатам и импульсам всех частиц системы или для статистич. оператора р. Эти ур-ния обратимы во времени, поэтому возникает вопрос, каким образом из обратимых ур-ний можно получать необратимые ур-ния диффузии, теплопроводности или гидродинамики вязкой жидкости. Это кажущееся противоречие можно объяснить тем, что необратимые ур-ния не являются следствием одних лишь ур-ний механики (классич. или квантовой), а требуют дополнит, предположений вероятностного ха- [c.319]

Пуассона скобка. В квантовом случае в уравнении Лиувилля надо заменить / на неравновесный статистич. оператор р(/), а классич. скобку Пуассона — на квантовую. [c.617]

Для анализа собственных изгибных и крутильных колебаний лопасти потребуются результаты теории Штурма — Лиувилля. Рассмотрим обыкновенное дифференциальное уравнение вида Ly + %Ry — где L —линейный дифференциальный оператор [c.351]

Для сходимости приближенного решения, получаемого проекционным методом, к точному в качестве координатной системы необходимо выбирать собственные функции оператора, сходного с В. Как известно [85], все ортогональные полиномы являются собственными функциями сингулярных задач Штурма-Лиувилля для дифференциальных уравнений второго порядка. Роль однородных граничных условий в этом случае играют условия ограниченности собственных функций в точках сингулярности. Поэтому всегда можно подобрать соответствующую систему ортогональных с заданным весом полиномов, принадлежащую Нв. Если оператор, собственными функциями которого является эта система, сходен с оператором В, то соответствующие приближенные решения уравнений теории оболочек сходятся к точному решению. [c.18]

Формальное решение задачи на начальные значения (2.2.12) можно представить с помощью оператора Лиувилля следующим образом [c.58]

Оператор Лиувилля (2.2.16) теперь можно представить в следующем виде [c.69]

Наконец совершенно аналогичным способом находим оператор Лиувилля для системы во внешнем поле [c.70]

Линейная реакция (отклик) II 315 Лиувилля оператор (лиувилиан) квантовый I 118, II 135 [c.393]

Для того чтобы определить аналитический вид профилей температуры и концентрации целевого компонента в жидкой пленке, используем условие ортогональности собственных функций оператора Штурма—Лиувилля. С этой целью домножим уравнение (8. 4. 31) на 7 , (т ) и проинтегрируем по т [c.323]

Здесь можно заметить близкую аналогию, связанную с уравнением Штурма — Лиувилля в теории дифференциальных уравнений в частных производных, так как известно, что собственные значения дифференциального оператора Эрмита являются вещественными, а соответствующие собственные функции — ортогональными. Эта аналогия не является случайной, ибо всегда можно установить соответствие между данным уравнением в частных производных и некоторой матрицей. Именно такое соответствие имеет место В квантовой теории между матричной механикой и долновон механикой. [c.175]

Очевидно, что уравнение Лиувилля (32) Lt-инвариантно. Действительно, если знак оператора Лиувилля L изменить на обратный (в классической механике это можно сделать путем инверсии скорости), а также изменить на обратный знак t, то уравнение Лиувилля не изменится. С другой стороны, легко можно показать [18], что слагаемое в уравнении Больцмана, учитывающее столкновения (правая часть в (29)), нарушает Lt-симметрию, так как оно четно по L. Поэтому ранее поставленный вопрос имеет смысл перефразировать следующим образом как можно нарушить Li-симметрию, свойственную явлениям, служащим объектом изучения классической или квантовой механики Наша точка зрения на этот вопрос состоит в том, что динамическое и термодинамическое описания систем в определенном смысле являются эквивалентными описаниями эволюции системы, связанными друг с другом пеупитарпым преобразованием. Разрешите мне вкратце показать, как мы можем приступить к решению этой задачи. Метод, которым я буду пользоваться, был разработан в тесном сотрудничестве с моими коллегами, работаюп1ими в Брюсселе и Остине [20-22]. [c.147]

Конечно, это условие не всегда выполнимо. Для простых динамических систем, движущихся согласно периодическому закону, ни при их классическом, ни при квантовом рассмотрении функция Ляпунова существовать не может, ибо такие системы через некоторое время возвращаются в исходное состояние. Возможность существования оператора М определяется типом спектра оператора Лиувилля. В рамках классической эргодической теории этот вопрос недавно изучил Мисра [23]. Я постараюсь рассмотреть здесь некоторые следствия возможности существования оператора М уравнения (36), который можно рассматривать как энтропию систем, анализируемых на микроскопическом уровне. Поскольку М — величина положительная, то согласно общей теореме ее можно представить в виде произведения оператора, скажем, и сопряженного эрмитова оператора (Л" )" " (эта операция означает извлечение из положительного оператора квадратного корня) [c.148]

Таким образом, мы приходим к важному выводу новый оператор движения, появляющийся в преобразованном уравнении Лиувилля (уравнение (41)), более не может быть эрмитовым оператором, в отличие от оператора L уравнения Лиувилля. Это значит, что мы должны оставить обычный класс унитарных (или антиунитарных) преобразований и расширить область используемых симметрий квантовомеханических операторов. К счастью, установить класс преобразований, которые мы теперь рассмотрим, не составляет особого труда. Средние величины можно рассчитать как при прежнем, так и при новом способе задания функций. Результаты должны быть получены одни и те же. Иными словами, требуется, чтобы [c.149]

Чтобы при помощи преобраловапия Л получить функцию Ляпунова (уравнение (36)), необходимо тщательно исследовать сингулярности резольвенты, соответствующей оператору Лиувилля (21). Можно показать, как это недавно сделали Теодосопулу и др. [24], что при небольших отклонениях от термодинамического равновесия функционал Ляпунова И (уравнение (36)) сводится к макроскопической величине S" S (уравнение (9)). Кроме того, при этом во времени эволюционируют только величины, удовлетворяющие закону сохранения. Это означает, что нам удалось в самой общей форме, по крайней мере для онзагеров-ской области, установить взаимосвязь между термодинамикой необратимых процессов и статистической механикой. Следует подчеркнуть, что, по существу, это означает дальнейшее расширение применимости результатов, давно полученных в рамках теории Больцмана, справедливой для разреженных газов (25). [c.152]

Ш. Штурм ( h. Sturm) и Ж. Лиувилль (J. Liouvilie). Понятия и методы, зародившиеся в процессе изучения Ш.— Л. 3., сыграли большую роль в развитии мн. направлений математики и физики. Она была и остаётся пост, источником новых идей и задач для спектральной теории операторов и смежных вопросов анализа. Особое значение она приобрела после открытия связи с нек-рыми эволюционными нелинейными уравнениями математической физики. [c.476]

Локально-равновесное распределение служит вспомогательным распределением для определения понятия Э. неравновесного состояния, но не описывает необратимых переноса явлений. Потоки энергии и импульса, вычисленные с помощью/)(0, соответствуют потокам этих величин в идеальной гидродинамике. Неравновесная ф-ция распределения может быть получена как формальное решение ур-ния Лиувилля с нач. условием локального равновесия в нек-рый момент времени to f(t o) = exp[-r L(r-ro)]yi((o). Оператор Лиувилля L определяется через скобки Пуассона iLf= H, / . Это решение зависит от нач. состояния, к-рое реальная система должна забывать из-за корреляций между элементами среды. Можно считать, что пучок фазовых траекторий с различными to(—ос<Го<0 реализует ансамбль Гиббса для неравновесных состояний. Предполагая, что нач. состояния распределены с экс1Юненщ1альной вероятностью Г ехр[ — ( — о)/Г] (гипотеза об априорных вероятностях), получим неравновесную ф-цию распределения [c.618]

Эта система в зарубежной литературе называется обычно ББКГИ-сис-темой (Борн, Боголюбов, Кирквуд, Грин, Ивон). Мы будем в дальнейшем для краткости, а также потому, что Боголюбову принадлежит наиболее детальный ее анализ, называть ее системой уравнений Боголюбова. Ь в формуле (86.7) есть оператор Лиувилля для подсистемы из п частиц. Система уравнений Боголюбова является зацепляющейся , так как уравнения для функции Б содержат в правой части функцию Б + . Физически это отражает факт незамкнутости любой группы из п молекул (п < М), взаимодействующих с остальными N — п молекулами. Оператор Лиувилля, как видно из (86.7), однозначно определяет временную эволюцию функции Б (хц. .., х, /) для замкнутой системы частиц, в то время как правая часть (86.7) описывает ее незамк-нутость. [c.478]

В противоположность этому, уравнение (86.12), описывающее эволюцию во времени р2 (и, вообще, уравнения (86.7) при п > 2), уже в нулевом приближении по параметру Гд / содержит потенциал межмолекулярных сил. Он входит в слагаемые и д(й /дvi) оператора Лиувилля 1п, что приводит к быстрым изменениям функций р2, Рг,. .. за время порядка го- Однако на грубой шкале времени, учитывающей только изменения за времена Р>х, эти быстрые изменения функций Рп усредняются, и остается лишь плавная эволюция этих функций. Представляется весьма правдоподобным считать, что медленная эволюция многочастичных функций распределения после первоначального этапа быстрой хаотизации за время г о полностью определяется медленной эволюцией одночастичной функции Р х, /). Действительно, после того как в системе произошло несколько столкновений, поведение молекул унифицируется , становится сходным, и одночастичпая функция дает достаточно полную информацию о системе. [c.481]

Здесь io — оператор Лиувилля, соответствующий гамильтониану Но. Заметим, что знак в ур-яии (in.2jl4) противоположен знаку в О бычном гейзенберговском oneipaTopHOM уравнении для квантовомеханических операторов динамических величин ( П.2.13). [c.203]

Это уравнение заменяет известное уравнение Лиувилля, справедливое в классической механике, В правой части ур-1ния (1П.2Л6) содержится коммутатор оператора р и [гамильтониана Н. Оператор L(t) представляет собой квантовые скобки hya oiHa, рассматриваемые как оператор, действующий на статистический оператор р. Формальное решение ур- ия (П.2. 15) имеет вид (если Н и, следовательно, L е зависят от времени) [c.203]

Название метод граничных элементов , впрямую привязанное к дискретизации границы для проведения вычислений, вряд ли могло появиться до тех пор, пока численное решение сложных задач на ЭВМ не стало общедоступным — интегральные уравнения родились и долгое время оставались не средством численного решения задач, а мощным орудием теоретического исследования проблем математической физики. С их помощью доказывались теоремы существования и единственности решения краевых задач в различных классах функций, выяснялся характер сингулярностей в особых точках, изучались спектры операторов, соотношения между исходными и сопряженными уравнениями и т. д. Эта большая работа оставила заметный след в развитии математики. Достаточно назвать имена Э. Бетти, В. Вольтерры, Д. Гильберта, Ж- Лиувилля, Дж. Лауричеллы, А. М. Ляпунова, К. Неймана, А. Пуанкаре, С. Сомильяны, Э. Фредгольма, чтобы почувствовать сколь значительны результаты, полученные в теории интегральных уравнений. [c.266]

Для любых гамильтоновых систем оба описания эволюции эквивалентны при заданном гамильтониане Н оператор Лиувилля полностью определен уравнением (2.2.16). Различие между двумя описаниями заключается только в определении того, что называется состоянием системы, но не в законе эволюции системы. Стоит упомянуть, однако (хотя данная проблема и не обсуждается в нашей книге), что описание с помощью оператора Лиувилля открывает более широкие возможности. Ведь вполне можно себе представить системы, для которых гамильтониан не суш ествует, но для которых можно построить лиувилиан. Иными словами. [c.57]

Оператор Лиувилля линейно зависит от Н отсюда следует ятр естественному разложению (2.4.1) гамильтониана соответствует аналогичное разложение лиувилиана [c.69]

Эти соотношения можно проверить и непосредственно, используя явный вид операторов Лиувилля, или лиувилианов. Каждый из членов Ц, lJ или Цп содержит производную от F либо по q, либо по р. Мы всегда предполагаем, что функция F вместе с необходимым числом производных обращается в нуль на границах системы в конфигурационном пространстве, а также при = [c.96]

Более того, невозмущенный оператор Лиувилля никогда не сможет породить связанность какой-либо корреляционной формы с другой. Можно сказать, что невозмущенный оператор Лиувилля диагонален относительно числа частиц s и корреляхщонного индекса Г, действительно, он не может изменить корреляционной формы группы частиц. Поэтому для учета подобных изменений необходимо ввести новый графический элемент. [c.126]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...