Полиномиальные ряды

Функцию Дж.Эри представим в виде ограниченного полиномиального ряда, удовлетворяющего бигармоническому уравнению (П2.62) [c.187]

Отметим, что для построения корректирующих функций наряду с полиномиальными рядами типа (ПЗ.З) часто применяются тригонометрические сходящиеся в том или ином смысле ряды- [c.286]

Сопоставление результатов исследований на основе двух указанных выше методов при определении второй и более высоких форм колебаний (по четвертую форму включительно) не дает удовлетворительного результата. Различие ме жду результатами, полученными методом конечных элементов и методом Рэлея, увеличивается при переходе от низшей формы колебаний к более высокой, а также с увеличением размеров выреза. Этот результат не является неожиданным. Диализ результатов исследований, полученных методом конечных элементов, показывает, что вследствие их сложной природы более высокие формы колебаний прямоугольной пластинки сложно аппроксимировать простыми тригонометрическими )ядами, в особенности для пластинок с большими вырезами, 1о мнению авторов, представление функции перемещений при определении частот и форм свободных колебаний прямоугольных пластинок с вырезами в виде полиномиальных рядов могло бы дать более приемлемые результаты при небольшом объеме вычислений. В своих следующих публикациях авторы предполагают изложить результаты исследований, проведенных в этом направлении. [c.154]

В начале главы изучаются общие условия, которым должны удовлетворять выбираемые представления функций поведения. Далее обсуждаются вопросы задания указанных представлений в виде полиномиальных рядов. Затем описывается регулярный подход к построению представлений в терминах физических степеней свободы, т. е. в виде функций формы. Для треугольных (двумерных) элементов этот подход реализуется посредством использования треугольных координат, а для тетраэдра (трехмерный случай) — тетраэдральных координат. Далее описываются концепции, лежащие в основе интерполяции семейств функций для двух- и трехмерных четырехугольных и шестигранных элементов. [c.227]

Ниже рассмотрим два основных класса представлений функций поведения. Это — представления в виде полиномиальных рядов и функций формы. Указанные выше вопросы изучаются для обоих классов. [c.230]

Простейший способ аналитического описания функций поведения элемента состоит в представлении их в виде полиномиального ряда, коэффициенты которого являются обобщенными параметрами Oi. Даже в том случае, когда поле элемента записано в терминах функций формы, функции формы можно рассматривать как преобразования полиномиального поля. [c.230]

При изучении многих вопросов, связанных с полиномиальными рядами, удобно пользоваться так называемым треугольником Паскаля. Он имеет вид [c.231]

В тех случаях, когда предполагаемое поле представлено полиномиальным рядом, важно обратить внимание на определение величин 9зс и 9у. Имеем (см. разд. 8.2) [c.350]

Замечание. В рассмотренной выше формулировке а качестве пробных функций можно использовать вместо полиномиальных рядов интерполяционные многочлены [формула (2.70)]. В подходе с использованием пробных функций выражение ( 2,51) может быть записано в виде [c.73]

Упражнение 2.4, Используя полиномиальные ряды как в разд. 2.1.2, постройте формулировку метода конечных элементов для линейной пробкой [c.74]

Для реализации этих формул нужно разбить полный контур интегрирования на ряд отрезков, на каждом из которых осуществить ту или иную полиномиальную интерполяцию. Если, например, для этих целей использовать полином Лагранжа, то получаем следующее выражение [c.75]

Ряд (9.9.7) отличается от ряда (9.9.6) тем, что часть его просуммирована. Последнюю формулу можно было бы получить и путем прямого преобразования (9.9.6) мы специально привели два различных решения одной и той же задачи для того, чтобы проиллюстрировать полезный прием, применяемый при интегрировании линейных дифференциальных уравнений в частных производных методом Фурье прежде чем отыскивать решение в виде ряда, выделяется некоторое частное решение, обычно полином. Ряд в формуле (9.9.7) представляет собою некоторую поправку к полиномиальному решению, этот ряд сходится весьма быстро, особенно если Ь> а, и допускает дифференцирование, необходимое для определения Ti и Та. [c.303]

Для выбора наилучшей формы полиномиальной модели, т. е. для исключения ряда незначимых коэффициентов /5,, по критерию Стьюдента проводится проверка их значимости. Для этого рассчитывается ошибка коэффициента 55 (рД, которая по критерию Стьюдента сравнивается с коэффициентом ру. [c.29]

Ф-ла, аналогичная (7), справедлива для разностных производных от полиномиальных решений ур-ния (6). С помощью (7) можно получить ф-лы разностного дифференцирования, свойства симметрии и ряд других свойств полиномов у х). [c.473]

За последние годы для всех фреонов метанового ряда разработаны уравнения состояния в форме (0.8), т. е. в форме полиномиальных разложений по степеням плотности и температуры [c.7]

К методам одномерной оптимизации относятся методы дихотомического деления, золотого сечения, чисел Фибоначчи, полиномиальной аппроксимации и ряд их модификаций. [c.159]

Полиномы — хорошо изученные математические объекты. Поэтому полиномиальные модели широко применяются при обработке разнообразных данных наблюдений. Часто их применение обосновывается возможностью разложения искомой зависимости в ряд Тейлора, предполагаемая быстрая сходимость которого позволяет ограничить число членов разложения. Также широко эти модели применяются и тогда, когда теоретическое обоснование вида искомой зависимости отсутствует. Однако использование полиномов для целей обработки данных наблюдений, особенно полиномов больших степеней, очень часто приводит к плохо обусловленным вычислительным задачам. [c.470]

Полиномиальное нагружение (Менаже, 1901). При нагружении поверхностными силами, задаваемыми полиномом степени п, высшая степень полиномов, входящих в правые части выражений (2.4.7), равна + 2 поэтому разложения этих выражений в ряды по степеням д обрываются функция напряжений представляется автоматически находимым полиномом от X, у. [c.492]

Получаем известную нам функцию отклика в виде разложения по полиномам. Конечно, механизм явления не может быть однозначно интерпретирован по полиномиальной форме представления результатов исследования. Однако исследование полиномиального уравнения и его геометрическая интерпретация позволяют найти количественные взаимосвязи между параметрами, выбрать оптимальные условия протекания процесса, а в ряде случаев высказать новые соображения о процессе. Полиномиальная форма особенно удобна при построении систем автоматического управления. [c.64]

Решение. На рис. 39 построены результаты сопоставления разг личных методов интерполяции. Очевидны недостатки, присущие классическим методам (таким, как полиномиальный, метод разложения в ряд Фурье) — осцилляция интерполирующей функции, большие погрешности при вычислении производных (см. рис. 38, а, б) [c.187]

Таким образом, формула (41) дает решение уравнения (38) в виде экспоненциального ряда с полиномиальными коэффициентами от t в полубесконечной области ж О, убывающее при х оо. Отметим, что решение уравнения (38) в виде сходящегося ряда [c.224]

ТО детальный и весьма громоздкий анализ решений системы (50) и выполненные до статочно точные (по порядку) оценки правых частей (52) с квадратичными нелинейно стями показывают, что ряды (46) сходятся в некоторой окрестности начала координат. Функция ao t) при этом также является в окрестности нуля аналитической. Численные эксперименты для различных полиномиальных f t) в (44) подтвердили, что сходимость в ряде случаев (особенно при больших ai) достаточно быстрая, а диаметр области схо димости в плоскости ж, t имеет величину 0(1). [c.235]

Известно [2], что поставленная для уравнения (2) задача имеет обобщенное решение, характеризуемое конечной скоростью распространения возмущения, обусловленного краевым режимом (4). В [3] для уравнения (2) при 7 = 1 (изотермический газ) был предложен конструктивный метод нахождения обобщенного решения поставленной задачи для аналитической f t). Там же были построены ряды с полиномиальными по t коэффициентами и сформулирована теорема сходимости этих рядов. Целью настоящей работы является получение двух типов решений уравнения (2), доказательство теорем сходимости соответствующих рядов при более общих, чем в [3] условиях, а также анализ двух классов точных решений (2), которые получаются при некоторых конкретных предположениях о законе изменения скорости распространения по нулевому фону возмущений. При этом метод рассмотрения — обратный, функция f t) не задается заранее, а определяется в процессе решения задачи. [c.269]

Известно, что модели функций ряда ТС с достаточной для практических целей точностью можно представить в виде полиномиальной (аддитивной) модели [c.194]

В 9 рассматриваются уравнения первого порядка. Формулируются некоторые общие теоремы о расположении интегральных кривых таких уравнений. Большая часть параграфа посвящена изучению уравнения с полиномиальной правой частью. Для такого уравнения весьма подробно изучается вопрос о возможном числе периодических решений. Дается ряд условий, достаточных для того, чтобы число периодических решений не превышало степени полинома, стоящего в правой части. [c.6]

Таким образом, ключевым моментом метода ортогональных функций является нахождение спектральных соотношений для главных частей интегральных операторов смешанных задач. Ряд таких соотношений установлен довольно давно и приведен в монографиях Г. Я. Попова [42,43]. Автор, во-первых, связал получение спектральных соотношений с существованием специального класса полиномиальных ядер (П-ядер), а, во-вторых, использовал для их вывода алгоритмы контурного интегрирования. [c.125]

В ряде случаев необходимо использовать полиномиальные решения уравнения (1.15). [c.206]

Результаты исследований напряженно-деформированного состояния плоских анизотропных брусьев (в виде балок, плоского кругового кольца, его части или разрезного кольца), находящихся в обобщенном плоском напряженпохМ состоянии под действием усилий, распределенных на краях, приведены в [46, 82, 89, 90, 144, 149, 160, 194, 206]. В этих работах напряжения и деформации определялись с помощью функции напряжений, которая в зависимости от характера нагружения представляется в виде полиномиальных рядов либо с помощью рядов Фурье. [c.9]

В шесть уравнений (1) входят девять неизвестных, следовательно, имеются три независимые функции. Оказывается, для патрубка наилучшей комбинацией трех независимых функций является гпг, niQ, niQz, а для сосуда (из-за трудностей с граничными условиями при х — х ) более подходящей является тройка Шх, /Лхф, млгф. В каждом случае независимые функции представляются тригонометрическими или полиномиальными рядами по X и ф для сосуда и по 2 и 0 для патрубка. Коэффициенты этих рядов составляют компоненты вектора х. Размеры пластической зоны Хо и го должны быть вычислены заранее. Затем вектор х, включающий давление р и коэффициенты вышеупомянутых рядов для патрубка и сосуда, варьируют так, чтобы максимизировать р при условиях текучести, выполняемых в конечном числе точек. Кроме того, должна быть обеспечена согласованность усилий и моментов в сосуде и патрубке в месте их стыковки. В большинстве неосесимметричных задач невозможно точное их совпадение во всех точках, так как усилия и моменты зависят лишь от конечного числа параметров. Поэтому ограничивают интеграл от суммы квадратов разностей компонент усилий и моментов (он должен быть меньше некоторой определенной величины). [c.191]

При обсуждении полиномиальных рядов будем рассматривать для простоты двумерный случай и предположим, что поле А описывается единственной величиной А. Запишем указанные полино- [c.230]

Рис. 8.8. Представление функций формы в терминах полиномиальных рядов (а) билинейная интерполяция (Ь) биквадратная интерполяция (с) полиномиалЬ ный базис для восьми узлового прямоугольника (d) полиномиальный базис с ли нейным разложением по i и квадратичным разложением по у (шесть узлов).

Можно показать, что полиномиальные ряды от одной или нескольких переменных со всеми члеЛЬми являются полными в этом смысле. Из вышеприведенного очевидно, что в общем случае полиномиальная пробная функция может только тогда дать точное решение иа элементе конечного размера, когда полином является полным и имеет бесконечную степень. Поскольку на практике необходимо использовать конечное число членов, представление пробной функции в виде полинома ие может быть ничем другим как приближением к точному решению. Иначе говоря, при представлении пробной функции в виде полинома конечной степени иа элементе приемлемого размера пробная функция практически всегда содержит ошибку. Теперь мы исследуем условия, при которых эта ошибка пробной функции будет стремиться к нулю по мере стремления к нулю размера элемента. [c.170]

Предположим, что описания систсу в виде рядов или полиномов Вольтерра уже получены. Выведем выражения, описьшаюшие ядра Вольтерра при различном соединении нелинейных систем. Пусть имеются две функциональные полиномиальные системы J и F с ядрами [c.97]

В табл. 5 приведены некоторые варианты аппроксимирующих функций, полученных для различной величины Xq. Вычисления проводились для ряда значений Хо на ЭЦВМ Минск-22 . С увеличением Хоуменьшается максимальная величина инварианта ускорений, но увеличивается величина критерия R . В предельном случае при д о=0.5 полученный закон движения вырождается в известный полиномиальный закон синусоидального типа [25]. [c.59]

Путем расписания в ряд Маклорена функции sinYp, которое входит в тригонометрические формулы характеристик РЦН, получены полиномиальные выражения этих характеристик, корректность которых подтверждается опытом практической эксплуатации ЦП. [c.16]

Достаточно подробное изложение применяемых методов статистической обработки экспериментальных данных по теп-лофизическим свойствам газов и жидкостей сделано в [0.1, 0.16, 0.21, 0.27 и др.], а полученные для фреонов-11, 12, 13 и 14 экспериментально-обоснованные уравнения состояния вида (0.8) и (0.9) приведены в [0.18, 0.20, 0.24, 0.46, 2.18, 3.20, 4.16, 4.18, 5.4 и др.] и обсуждаются в следующих главах. Там же сделаны краткие комментарии к работам, в которых для рассматриваемых фреонов метанового ряда составлены уравнения состояния нетрадиционной структуры и с применением специфической техники поиска коэффициентов. Для полиномиального уравнения (0.9) программа расчета термодинамических свойств может быть сделана весьма компактной, поскольку в этом случае возможно ограничиться небольшим набором арифметических операторов [c.8]

При рассмотрении функции отклика, зависящей от многих факторов, результаты наблюдений представляют полиномиальной моделью. Полученное при этом ирибли-женное уравнение связи параметров технического состояния 2, (факторов) и диагностического признака и (функции отклика) называют уравнением регрессии. В ряде случаев хорошее приближение дает линейная регрессионная модель вида [c.388]

Естествошо, что кусочно-полиномиальная аппрокошация не является единственным способом локального описания искомой функ-191И. Для этого также успешно можно применять ряды, отличные от полиномиальных. [c.305]

Если для аппроксимации перемещений в пределах конечного элемента используются функции, отличные от полиномиальных, то для анализа сходимости можно разложить их в степенные ряды и воспользоваться затем предыдущими рассуждениями. Вернемся к прямоугольному конечному элементу с аппроксимирующими функциями (5.16). Пусть к этим выражениям добавляются функции os пЩ) os (яту/2) с произвольными множителями. Для исследсзвания сходимости восполь зуемся разложением [c.210]

Широкое распространение в технике получили детали, представляющие собой тела вращения со сложной геометрией меридионального сечения, нагруженные неосесимметрично. Для определения НДС такого класса объектов необходимо решение пространственной задачи механики сплошной среды. Применение МКЭ с трехмерной дискретизацией в декартовой системе координат не очень удобно в отношении аплроксимации геометрии в окружном направлении и решения, которое значительно сложнее, чем в цилиндрической системе координат. При использовании удобной для этих целей цилиндрической системы координат возникают проблемы, связанные с описанием смещений как твердого целого в направлении, перпендикулярном к оси вращения, при полиномиальной аппроксимации перемещений в МКЭ в окружном направлении. При этом необходимо применять специальные меры [70, 134], чтобы избежать фиктивных напряжений в конструкции. Эти проблемы не возникают при решении задачи с использованием так называемого ПМКЭ [62], в котором решение в окружном направлении описывается отрезком ряда Фурье, а в меридиональном направлении производится дискретизация конечными элементами. Для точного учета смещений как твердого целого в этом случае достаточно нулевой и первой гармоники. [c.156]

Представление (2.2) неудобно, так как функция распределения предполагается непрерывной в пространстве скоростей, а это не имеет места, например, на плоской границе. Более того, в некоторых нелинейных задачах на вопрос о сходимости полиномиальных приближений можно дать определенно отрицательный ответ так, Холвей [2] показал, что для молекул с конечным радиусом взаимодействия (таких, как твердые сферы) ряды полиномов Эрмита, по которым разлагается функция распределения в ударной волне, не сходятся, если число Маха набегающего потока М больше чем 1,851. [c.392]

Задача о двухосном растяжении толстой пластины с круговым отверстием (задача Галина Ивлева) рассматривалась в работах [1-7]. Точное решение задачи о распределении напряжений в окрестности кругового отверстия плоскодеформированно-го идеально пластического тела, к контуру которого приложены постоянные нормальные усилия, а напряжения на бесконечности представляют собой полиномиальные функции координат, дано Л.А. Галиным [2].Решение удалось найти благодаря бигармоничности функции напряжений в пластической области. Перемещения в пластической области для этой задачи были исследованы Д.Д. Ивлевым [5]. В работах [3-4] Д.Д. Ивлев методом малого параметра решил ряд плоских упругопластических задач для идеально пластического тела с круговым или близким к круговому отверстием. С использованием метода возмущений, предложенного Д.Д. Ивлевым в [1, 6], были решены задачи о плоской деформации, при этом поведение материала в пластической зоне описывалось соотношениями Ишлинского-Прагера [c.167]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...