Первые интегралы уравнений движения

Уравновешенный гироскоп в кардановом подвесе движется по инерции. Определить кинетическую энергию системы и первые интегралы уравнений движения, если момент инерции внешней рамки относительно неподвижной оси вращения равен [c.373]

Пользуясь результатами, полученными при решении предыдущей задачи, и свойствами полного интеграла уравнения Якоби — Гамильтона, найти первые интегралы уравнений движения точки. [c.376]

В заключение этого параграфа сделаем следующее общее замечание о законах сохранения. Формулировка каждого из этих законов имеет следующий вид некоторое выражение, зависящее от координат точек и их скоростей, при движении системы не меняется . Эти выражения не зависят от ускорений точек и в этом смысле являются первыми интегралами уравнений движения. В дальнейшем (см. гл. VII) мы вернемся к понятию первый интеграл и дадим его точное определение. Там же будет показано, что найденные выше первые интегралы — законы сохранения — являются следствиями основного предположения классической механики об однородности и изотропности пространства и об однородности времени (см. гл. VII). Отложив поэтому уточнение этого понятия до гл. VII, мы в 7 настоящей главы на важном примере продемонстрируем, как классическая механика использует законы сохранения для того, чтобы упростить (а в некоторых случаях и решить) дифференциальные уравнения, описывающие движение. [c.77]

ПЕРВЫЕ ИНТЕГРАЛЫ УРАВНЕНИЙ ДВИЖЕНИЯ 265 [c.265]

Первые интегралы уравнений движения. Скобки Пуассона. [c.265]

Произвольная функция от гамильтоновых переменных — времени, координат и обобщенных импульсов — называется первым интегралом уравнений движения, если во время любого движения значение этой функции не меняется, [c.266]

ПЕРВЫЕ ИНТЕГРАЛЫ УРАВНЕНИИ ДВИЖЕНИЯ [c.267]

В качестве примера того, как получаются и каким образом используются первые интегралы уравнений движения, рассмотрим важный вопрос о циклических координатах. [c.269]

Для дальнейшего обсуждения первых интегралов уравнений движения (законов сохранения) требуется использовать аппарат вариационного исчисления, который нужен нам также и для иных целей, связанных с изучением движений в потенциальных полях. Поэтому в следующем параграфе будут кратко изложены элементы вариационного исчисления, а затем, применяя соответствующий аппарат к теории движения в потенциальных полях, мы вернемся, в частности, к вопросу об общей теории первых интегралов уравнений движения. [c.271]

Первые интегралы уравнений движения 65, 77. 266 [c.366]

Из уравнений неголономных связей следует, что = a j. Ус Таким образом, первые интегралы уравнений движения известны. [c.188]

Если общее решение системы (7) известно, т. е. известны уравнения (8) и (9), то, разрешая их относительно произвольных постоянных jj, можно получить шесть первых интегралов уравнений движения [c.324]

Во многих случаях первые интегралы уравнений движения могут определяться из так называемых общих теорем динамики, которые для точки являются следствием основного закона (2). К рассмотрению этих теорем мы сейчас и перейдем. [c.324]

Рассмотрим случай, когда теорема об изменении количества движения дает первые интегралы уравнений движения точки. [c.326]

При действии активной силы Г реакция связи N должна быть такой, чтобы левая часть уравнения дифференциальной связи была первым интегралом уравнения движения, ибо вдоль действительной траектории эта связь должна тождественно удовлетворяться. [c.198]

Пуля, попадая в контейнер баллистического маятника, движется затем вместе с контейнером как единое целое. Количество движения и кинетический момент относительно точки подвеса маятника, которые имела пуля до попадания в контейнер, сохраняются. Им соответствуют первые интегралы уравнений движения. Кинетическая энергия системы уменьшается за счет тепловых потерь. [c.388]

Свободная материальная точка притягивается к началу координат с силой F= —Аг, пропорциональной расстоянию от начала координат. Найти первые интегралы уравнений движения. [c.325]

Первые интегралы уравнений движения, которые можно получить на основании теоремы об изменении количества движения. [c.52]

С математической точки зрения закон сохранения энергии дает один из первых интегралов уравнений движения, так как уравнение, представляющее закон сохранения энергии, содержит только координаты и скорости, т. е. первые производные от координат по времени, и не содержит ускорений (вторых производных от координат по времени) поэтому иногда выражение закона сохранения энергии называют интегралом энергии или интегралом живых сил. [c.233]

В тех случаях, когда функция давления. 5 известна, соотношение (2.5) является первым интегралом уравнений движения идеальной жидкости и называется интегралом Бернулли. Этот интеграл имеет фундаментальное значение в теории движения идеальных жидкостей и газов и является основой во многих практических расчетах. [c.23]

Первые интегралы. Первым интегралом уравнений движения называется соотношение вида [c.267]

Во многих задачах можно сразу получить первые интегралы уравнений движения. Мы имеем в виду соотношения вида [c.61]

Все первые интегралы уравнений движения являются производящими функциями тех бесконечно малых канонических преобразований, при которых не изменяется гамильтониан. [c.288]

Что касается преобразований, не изменяющих величины Н, то их можно найти, если обратиться к свойствам симметрии системы, так как если физическая система симметрична относительно определенных изменений ее конфигурации, то гамильтониан ее должен при соответствующем преобразовании оставаться неизменным. Поэтому все функции, остающиеся в процессе движения постоянными (все первые интегралы уравнений движения), можно получить путем исследования свойств симметрии гамильтониана, что равносильно полному рещению задачи [c.288]

Из равенства (8.79) и (8.80) можно получить ряд интересных выводов. Пусть, например, Lx(q, р) и Ly q, р) будут первыми интегралами уравнений движения. Тогда скобки [L, Н] и [Ly, Н] будут равны нулю, и согласно теореме Пуассона [L, бу- [c.292]

Однако при практическом исследовании движения очень часто нет необходимости изучать систему (1), а достаточно знать изменение со временем некоторых величин, общих для всей материальной системы и являющихся функциями координат и скоростей точек системы (и, быть может, времени). Если такая функция при движении системы остается постоянной, то она называется первым интегралом уравнений движения (1). Использование первых интегралов позволяет упростить задачу исследования движения системы, а иногда и решить ее до конца. [c.156]

Дополнительные замечания к теореме Штеккеля. 1) Теорему Штеккеля можно выразить через п первых интегралов уравнений движения Лагранжа для системы, определяемой формулами (18.2.1) — (18.2.3). В самом деле, уравнения (18.2.23) можно представить в форме [c.334]

Из первого и третьего уравнений этой системы сразу же следуют первые интегралы уравнений движения [c.59]

Если движение системы материальных точек происходит под действие г,- внутренних и внешних сил, которые являются потенциальными, то сумма кинетической и потенциальной энергий системы сохраняет постоянную величину. Это — закон сохранения механической энергии. С математической точки зрения закон сохранения механической энергии является одним из первых интегралов уравнений движения, так как уравнение, характеризующее закон сохранения механической энергии [c.377]

Легко видеть, что эта функция непрерывна, обращается в нуль в начале координат и положительна в остальных точках вблизи него. Следовательно, функция V удовлетворяет условиям, при которых она может служить функцией Ляпунова для рассматриваемой задачи. С другой стороны, легко видеть, что производная dVidt, вычисленная в силу уравнений движения, тождественно обращается в нуль, т. е. выбранная функция является первым интегралом уравнений движения. Хотя теперь функция V и не является полной энергией системы, мы, применяя теорему Ляпунова, сразу устанавливаем, что перманентное вращение 1 устойчиво. [c.235]

Определим теперь условия, которым должна удовлетверять какая-либо функция гамильтоновых переменных для того, чтобы быть первым интегралом уравнений движения. [c.267]

Предположим, что некоторая функция f q, р, О = onst является первым интегралом уравнений движения. Вычислим производную d[[q t), p t), tydt, где q t) и p( ) —решения уравнений Гамильтона. [c.267]

Однако очевидно, что полученный так первый интеграл не является независимым —он гюлучается как следствие уже имевшихся ранее т первых интегралов. Поэтому такое размножение первых интегралов уравнений движения лишено смысла. [c.267]

Этот ответ можно было получить и в примере 13.7, но там проводилог.ь интегрирование дифференциального уравнения прямолинейного движения точки. Целью этого примера было показать, что применение общих теорем динамики позволяет в ряде случае избежать интегрирования уравнений движения точки (13.7). Речь идет о тех случаях, когда общие теоремы динамики доставляют нам первые интегралы уравнений движения точки, достаточные для решения задачи. Мы обращаем внимание читателя на это заключепне. [c.291]

Таким образом, полное решение вопроса о движении консервативной системы с S степенями свободы ( 191) и без дифференциальных неинтегри-руемых связей требует нахождения лишь 2s,— 3 первых интегралов уравнений движения, отличных от интеграла энергии когда эти интегралы отысканы, дело интегрирования закончится двумя квадратурами. [c.435]

Вместе с тем, установленная Лагранжам взаимосвязь симметрия — сохранение не была им явно сформулирована в виде некоторого общего результата. Если Ньютон постулировал с самого начала определенные свойства пространства и времени, то Лагранж не высказывался непосредственно о тех принципах пространственно-временной симметрии, которые наряду с общей формулой динамики были им неявно положены в основу аналитической механики. С одной стороны, это было связано с общей тенденцией, характерной для механики XVIII и даже первой половины XIX в., избегать обсуждения аксиоматических основ механики с другой — с известной переоценкой динамических законов типа основных уравнений движения механики и недооценкой принципов пространственно-временной симметрии. Рассмотрение законов сохранения как первых интегралов уравнений движения механических систем могло поддерживать иллюзию, что взаимосвязь симметрия — сохранение имеет лишь формально-вычислительное значение и в своей общности и фундаментальности существенно уступает самим уравнениям движения или иной форме динамического закона (при этом не-оол редко упускалось из виду, что структура уравнений сама, в свою очередь, базировалась на определенных представлениях о свойствах симметрии пространства и времени). [c.230]

Речь идет о следующей теореме все первые интегралы уравнений движения являются производящими функциями тех бесконечно малых канонических преобразований, при которых не изменяется гамильтониан системы, и обратно. Формулировка, более близкая, как мы увидим, к лиевской, гласит Интегралы динамической системы и контактные преобразования, переводящие системы в самое себя, представляют собой по сути дела одно и то [c.232]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...