Функционал линейный

Различие между функцией и функционалом заключается в том, что, в то время как аргументом функции является некоторая величина (будь то скалярная, или векторная, или тензорная), аргументом функционала является функция. Здесь возникает некоторое затруднение, поскольку тензоры сами были определены как функции однако специальное свойство линейности предполагает, что тензоры однозначно определены их девятью компонентами, так что функцию тензорного аргумента можно рассматривать фактически как функцию девяти скалярных аргументов. [c.135]

Решить приведенную выше задачу для произвольного линейного функционала, т. е. для функционала, удовлетворяющего уравнению [c.165]

Согласно нашей точке зрения, однако, представляется маловероятным, чтобы все уравнения, подобные уравнению (6-3.46), описывали истинное поведение какого-либо материала и, в частности, вязкоупругих полимерных систем, для которых они были предложены. Основанием для такой критики служит то, что эти уравнения не вырождаются надлежащим образом в уравнение линейной вязкоупругости (4-3.24). Последующее обсуждение подразделяется на две части, первая из которых более формальна и посвящена анализу специальной топологии функционала, например такого, который введен уравнением (6-3.46). Во второй части обсуждение данных Филиппова [22] но периодическим течениям полимерных материалов убедительно свидетельствует о неадекватности таких уравнений, как (6-3.46). [c.227]

Если теперь проводить эксперименты с некоторой новой частотой (i i Ф соц, то снова следует ожидать линейного поведения в области низких значений у - Кульминационный пункт состоит в том, что если выполняется уравнение состояния, подобное уравнению (6-3.46) (или, говоря более общим языком, если топология пространства предысторий, в котором функционал Jg непрерывен, определена также и в терминах скорости деформаций), то следует ожидать существования точки разрыва (т. е. точки, начиная с которой наблюдаются отклонения от линейного поведения), соответствующей некоторому критическому значению у или по крайней мере зависящей как от у , так ы от е. В то же время, если выполняются гипотезы гладкости теории простой жидкости, то следует ожидать, что точка разрыва будет соответ- [c.229]

Единственным течением рассмотренного выше типа, которое было подробно проанализировано для общего случая простой жидкости, является вискозиметрическое течение с наложением малых периодических деформаций [13]. В этом случае был принят в расчет также второй дифференциал Фреше функционала д. Оказалось, что вклад этого дифференциала проявился в среднем значении напряжения, в то время как вклад линейного члена,, конечно, может быть замечен лишь в мгновенном значении напряжения А. [c.274]

Используя теорему II.3 приложения II, заключаем, что для линейно-упругого материала решение вариационного неравенства (5.343) эквивалентно задаче минимизации функционала [c.288]

Всякий линейный ограниченный в гильбертовом пространстве функционал /(м) имеет вид скалярного произведения [c.326]

Заданный на плотном множестве линейный оператор (функционал) можно расширить на все пространство с сохранением нормы (теорема о расширении). [c.326]

Пусть У 1/ —прямое произведение гильбертова пространства самого на себя функционал а (и, v), заданный на 1/ К, называется билинейным (билинейная форма), если он является линейным функционалом по каждому аргументу в отдельности. Если в определении билинейной формы положить u=v, то функционал а и, и) можно считать заданным на V в этом случае а и. и) называют квадратичным функционалом на V. [c.326]

В рассматриваемой задаче все функции цели считались равнозначными. Наилучшие значения этих функций, полученные в процессе поиска, приведены в табл. 6.2. Затем составляется многомерная таблица испытаний (табл. 6.3). Значения всех функций цели при составлении таблицы испытаний нормированы по этим наилучшим значениям. Нормирование функций цели позволило формализовать поиск эффективных альтернатив. В качестве интегральной оценки бьш предложен линейный функционал [c.213]

Здесь первое слагаемое, линейно зависящее от би, называется первой вариацией функционала ДЭ1 (би) == бЭ, второе слагаемое есть [c.55]

Необходимым условием экстремума функционала является равенство нулю его первой вариации 6J, т. е. главной части приращения функционала, которая линейна по отношению к вариации функции бы. [c.96]

ПОЛНЫЙ ФУНКЦИОНАЛ СТАТИКИ ЛИНЕЙНО-УПРУГОГО ТЕЛА [c.106]

Будем считать, что на некотором множестве М, принадлежащем гильбертову пространству, задан линейный функционал /, если каждому элементу из М приведено в соответствие некоторое число /ф. Функционалом является, например, скалярное произведение (ф, ф) при фиксированном элементе ф. В то же время функционал называется линейным, если выполняется условие [c.126]

Квадратичный же функционал определяется посредством однородного квадратичного и линейного в виде [c.127]

Принципиальным для МКЭ является вопрос, на каком классе функций можно разыскивать минимум функционала (13.2). Исходное уравнение (13.1) содержало вторые производные, и, следовательно, логично разыскивать искомые функции в классе функций 1. Интегрирование по частям при формировании функционала оставило в выражении (13.2) только первые производные, поэтому получается большая свобода, так как можно рассматривать класс функций 2- Но можно пойти еще дальше— использовать всего лишь кусочно-полиномиальные и даже кусочно-линейные функции. В самом деле, ведь кусочно-линейные функции являются пределом последовательности гладких функций. Это понятие предела, естественно, использовано в таком смысле [c.162]

Можно показать, что если г гт п >0, р 0, то здесь допустима вариационная формулировка. В то же время аппроксимация на конечных элементах должна быть более сложной, чем та, которая использовалась ранее, так как здесь уже в функционал входят вторые производные и искать решение нужно уже по крайней мере в классе функций с непрерывной первой производной. Попытка строить решение из кусочно-линейных -функ [c.169]

В общем случае распределение температуры неизвестно и необходимо определить значения этой величины в некоторых точках. Методика построения дискретной модели точно такая же, как описано выше, но добавляется один дополнительный шаг. Снова определяют множество узлов и значения темпера туры в узлах 7], Гз,..., которые теперь являются переменными, так как заранее не известны. Область разбивают на элементы, на каждом из которых определяют соответствующую функцию элемента. Узловые значения Т (х) должны быть теперь отрегулированы таким образом, чтобы обеспечивалось наилучшее приближение к истинному распределению температуры. Это регулирование осуществляют, минимизируя некоторую величину, связанную с физической сущностью задачи. Если рассматривается задача распространения теплоты, то минимизируется функционал, связанный с соответствующим дифференциальным уравнением. Процесс минимизации сводится к решению систем линейных алгебраических уравнений относительно узловых значений Т (j ). [c.199]

Поскольку все уравнения теории упругости линейны, всякое решение задачи теории упругости, т. е. напряжения, деформации и перемещения, выражается линейным образом через приложенные внешние силы. А эти силы, как мы выяснили, сводятся к конечному числу или счетному множеству обобщенных сил. Поэтому объемный интеграл, фигурирующий в выражении функционала Кастильяно (8.7.6), есть квадратичная функция от обобщенных сил [c.262]

Достаточно общее выражение линейного функционала (17.1.1) будет следующее [c.576]

Значения температуры в узлах сетки являются искомыми, поэтому для получения приближенного решения задачи необходимо отрегулировать эти значения температуры таким образом, чтобы обеспечивался минимум функционала (23.26). Условием минимума функционала является равенство нулю первых производных от него по температурам во всех узлах сетки. В результате дифференцирования (23.26) по всем неизвестным температурам получается система линейных алгебраических уравнений. Последующее решение этой системы уравнений каким-либо известным методом дает приближенное решение исходной задачи. [c.247]

Поскольку вариация функционала есть главная линейная [c.54]

Пусть, как и ранее, К, — статический коэффициент интенсивности напряжений, соответствующий — коэффициенты интенсивности, соответствующие (х . Kit) — динамический коэффициент интенсивности напряжений. Размерность определяется с учетом нормировки (57.4). Так как вектор перемещений с помощью линейного функционала однозначно представляет коэффициенты интенсивности напряжений, то [c.471]

Как в дифференциальном исчислении дифференциал функции представляет собой линейную по отношению к приращению аргумента Да часть приращения функции, так и в вариационном исчислении вариация функционала 62 представляет собой линейную по отношению к вариации функции бу часть функционала. [c.190]

Локальные матрица и вектор-столбец. Для формирования матрицы линейной системы разностных уравнений удобно записать полученные выше соотношения для частных производных функционала п-го элемента в матричном виде. Для получения матричной записи принято использовать так называемую локальную нумерацию узлов и соответствующих им неизвестных температур, действующую только в рамках каждого конкретного элемента разбиения. [c.138]

Аналогично этому функционал Ф[0(д )] мы будем называть дифференцируемым при зиаченин 0о(- ) его аргумента, если при добавлении к 0о(- ) небольшой добаики б0(д ) главная часть изменения бФ[0о(- г)] рассматриваемого функционала линейно зависит от 60 (д ) [c.195]

Б гл. 4 было показано, что общий функционал простых жидкостей сводится к виду, выражаемому уравнением (4-3.24), т. е. к уравнению линейной вязкоупругости, при условии что норма предыстории деформирования достаточно мала, т. е. если последняя достаточно близка к предыстории покоя. Вследстие предположения о дифференцируемости по Фреше функционала в предыстории покоя, напряжение, соответствующее предыстории, достаточно близкой к предыстории покоя, линейно зависит от G (s). [c.227]

Для задачи предыдущего пункта разделите стержень на п конечных элементов. Задайтесь линейной аппроксимацией температуры от X (направление оси х выбрано вдоль стержня). Запишите выражения для координатных функций. Выполните алгебраизацию задачи, задавшись видом функционала, характеризующего качество аппроксимации. [c.220]

Совершенно иной подход к постановке вариационных задач газовой динамики предложил в 1950 г. Никольский [1]. Решая вариационную задачу для осесиммефичных течений в линейной постановке, Никольский вводит конфольный контур из характеристик первого и второго семейств, проходящих, соответственно, через переднюю и заднюю точки искомого контура. При этом характеристика первого семейства полностью известна, а вариационная задача ставится для функций на характеристике второго семейства. Сама вариационная задача оказывается одномерной, а исследуемый функционал относится к хорошо изученному типу. После определения искомых функций на характеристике второго семейства течение около искомого контура находится решением задачи Гурса. Искомый контур является линией тока найденного течения. Таким образом, подход Никольского избавляет от необходимости предварительного решения задачи обтекания произвольного контура и приводит лишь к необходимости решения конкретной задачи Гурса. [c.65]

Подставляя (3.26) в функционал (3.11) для линейно деформируе мых систем, после вычисления определенных интегралов от функ ций fi и их производных получим его в виде квадратичной формы [c.58]

Интегралы от настоящих функционалов вычисляются значительно сложнее. Например, для функционала, представляющега собой обычную функцию от линейного функционала [c.95]

Покажем, что в случае линейно-упругого тела увловие (5.37) превращается в условие минимума потенциальной энергии. Для этого довтаточно убедиться, что при сообщении вариаций действительным перемещениям Ut приращение функционала П будет положительным, [c.99]

Идея метода Ритца состоит в том, что значения функционала рассматриваются не на произвольных допустимых функциях, а лишь на семействе функций, линейно зависящих от нескольких параметров [c.108]

Значение функционала будем рассматривать на оемейотве функций Ф (xi, 2). линейно зависящих от параметров и удовлетворяющих граничному увловню Ф jr = 0. Руководствуясь мембранной аналогией т. е. учитывая симметрию фу 1кцгии Ф (xi. Х3) = 4W 2 относительно осей Oj j, Ох . ее, очевидно, можно принять в следующем виде [c.179]

Построение системы линейных уравнений. Следующим этапом метода конечных элементов является получение системы уравнений для нахождения неизвестных функций в узлах. Данному дифференциальному уравнению с граничными условиями ставят в соответствие некоторый функционал, минимум которого достигается в том случае, когда удовлетворяется исходное дифференциальное уравнение. ]"1ными словами, вариационным уравнением Эйлера для данного функционала является исходное уравнение. Например, нахождение решения уравнения Лапласа для потенциала скорости d2ip d2 f дх2 ду2 [c.202]

Здесь варьируются независимо напряжения о и перемещепи>1 щ. Функционал Лагранжа, записываемый через и деформации ij, выраженные через Ut по формулам (12.2.1), послужил отправной точкой для всех выводов. Прямое распространение на геометрически нелинейные задачи вариационного принципа типа Кастильяно невозможно. Действительно, в линейной теории было использовано то обстоятельство, что беу выражается через Ьщ по тем же формулам, по которым б ,- выражаются через Uu Поэтому преобразование объемного интеграла можно было произвести до варьирования функционала. В нелинейной теории этого сделать нельзя. [c.392]

Это — однородный квадратичный функционал, для которого в изотропном случае уравнение (12.11.1) служит уравнением Эйлера. Вместо того чтобы искать критическую нагрузку путем интегрирования этого уравнения, можно применить прямой метод, а именно, аппроксимировать прогиб при помопщ линейного агрегата [c.418]

Введем в рассмотрение усилия и моменты предположив, что распределение напряжений по толщине по-прежнему линейно, т. е. дается формулами (12.4.4). При вычислении функционала Рейснера, строго говоря, при интегрировании по толщине необходимо учитывать кривизну, т. е. производить интегрирование но площади элемента, изображенного на рис. 12.13.1. Если пренебречь этим обстоятельством, то, как легко показать, ошибка будет опять иметь порядок h/R. Таким образом, с точностью до членов указанного порядка малости функционал Рейснера для оболочки имеет в основном структуру функционала (12.5.13) с той разницей, что вместо величин w at. в нем будут фигурировать параметры изменения кривизны Хаэ- [c.420]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...