Гидродинамические флуктуации

Линейные гидродинамические процессы кратко рассматривались в разделе 5.4.2 первого тома. Для локальных динамических переменных мы используем обозначение й (г) вместо обозначения Р (г), которое, в основном, применялось в первом томе. Удобство новых обозначений выяснится в главе 9, где будут рассматриваться гидродинамические флуктуации. [c.158]

В последние несколько десятилетий появилось обширная литература, посвященная теоретическим и экспериментальным исследованиям гидродинамических флуктуаций в различных системах. Интерес к этой проблеме связан не только с ее чисто научными аспектами, но и с многочисленными практическими приложениями, среди которых наиболее важным является гидродинамика турбулентности. В этой главе будет изложен подход к теории гидродинамических флуктуаций, основанный на общих принципах неравновесной статистической механики. [c.217]

В дальнейшем для простоты рассматриваются классические системы. Впрочем, учет квантовых эффектов в теории гидродинамических флуктуаций мало что дает, поскольку такие флуктуации всегда являются квазиклассическими. Там, где это необходимо, мы кратко обсудим возможные модификации теории для случаев, когда микроскопическая динамика описывается квантовым образом. [c.218]

AV О в конце вычислений, мы возвращаемся к непрерывному описанию среды ). С физической точки зрения соотношение (9.1.4) соответствует сглаживанию динамических переменных по объему ячейки, поэтому размеры ячеек должны быть значительно меньше характерного масштаба гидродинамических флуктуаций. [c.219]

Разложение по градиентам. Уравнение (9.1.35) является точным. Кроме того, оно справедливо для функции распределения любых базисных динамических переменных. Все это — несомненные достоинства обобщенного уравнения Фоккера-Планка. Но к сожалению, это уравнение очень сложное и в таком виде непригодно для решения конкретных задач. Покажем, что в случае крупномасштабных гидродинамических флуктуаций уравнение (9.1.35) можно существенно упростить. [c.224]

ГЛАВА 9. ГИДРОДИНАМИЧЕСКИЕ ФЛУКТУАЦИИ [c.226]

Это выражение напоминает формулы Грина-Кубо для кинетических коэффициентов в обычной гидродинамике. Необходимо, однако, обратить внимание на несколько важных различий между гидродинамическими кинетическими коэффициентами и их обобщением, используемым в теории флуктуаций. Прежде всего отметим, что проекционный оператор Qa исключает из потоков все вклады флуктуационных гидродинамических мод. С другой стороны, в обычном гидродинамическом подходе проекционный оператор Мори Q исключает лишь те вклады в микроскопические потоки, которые линейны по гидродинамическим переменным. Другое важное отличие состоит в том, что временная эволюция потоков в выражении (9.1.57) определяется приведенным оператором Лиувилля L = а в обычных формулах Грина-Кубо оператор эволюции выражается через оператор L = QLQ, из которого не исключены вклады гидродинамических флуктуаций. Наконец, средние значения в (9.1.57) вычисляются с распределением которое описывает состояние с фиксированными ( замороженными ) гидродинамическими флуктуациями, в то время как в обычных формулах Грина-Кубо корреляционные функции микроскопических потоков вычисляются в равновесном или локально-равновесном состоянии. Можно сказать, что величины (9.1.57) представляют собой затравочные кинетические коэффициенты, учитывающие вклад только микроскопических корреляций ). Напротив, кинетические коэффициенты в уравнениях для усредненного движения содержат вклады гидродинамических флуктуаций. Отметим также, что затравочные кинетические коэффициенты (9.1.57) зависят от переменных а (г) через распределение Следовательно, они сами являются флуктуирующими величинами. [c.227]

Отметим также, что локальные параметры 7 (r a) в выражении (9.1.68) играют роль множителей Лагранжа и находятся из условий самосогласования (9.1.67). С помощью функции распределения (9.1.68) функционал энтропии гидродинамических флуктуаций теперь записывается в виде [c.230]

Отметим, что эти формулы служат определениями флуктуирующих термодинамических величин локальной температуры Т г) = /5 (г), локальной скорости v(r) и химического потенциала на единицу массы //(г). Подставив выражения (9.2.3) в (9.1.68), получаем функцию распределения в фазовом пространстве, соответствующую ансамблю с фиксированными значениями гидродинамических флуктуаций [c.232]

Интересно сравнить эти выражения с формулами (8.2.46) для микроскопических потоков в гидродинамике. Мы видим, что все различие заключается только в операторах проектирования, но это — важное различие. Дело в том, что оператор Мори 1 — V исключает из микроскопических потоков только члены, линейные по й (г), поэтому потоки (8.2.46) содержат вклады гидродинамических флуктуаций. С другой стороны, проекционный оператор 1 —в выражениях (9.2.18) исключает гидродинамические флуктуации всех порядков. Отсюда, в частности, следует, что корреляционные функции потоков (9.2.18) затухают в пространстве и во времени значительно быстрее, чем корреляционные функции потоков (8.2.46). Более того, поскольку гидродинамические кинетические коэффициенты содержат флуктуационные поправки, вблизи критической точки, где крупномасштабные флуктуации сильно возрастают, при вычислении этих кинетических коэффициентов нельзя пренебрегать эффектами нелокальности и памяти. Ясно, что ничего подобного не обнаруживается в затравочных кинетических коэффициентах (9.1.57), в которых исключен вклад крупномасштабных флуктуаций. Таким образом, затравочные и гидродинамические кинетические коэффициенты практически совпадают вдали от критической точки, где крупномасштабные флуктуации очень малы, но они сильно различаются в критической области. [c.235]

Вдали от критической точки tjq г] Со С где т/, Л — наблюдаемые гидродинамические коэффициенты переноса. Хотя для затравочных коэффициентов переноса можно вывести выражения через корреляционные функции, аналогичные формулам Грина-Кубо (8.2.80) - (8.2.82), их вычисление для реальной жидкости является очень сложной задачей. Поэтому в теории гидродинамических флуктуаций затравочные коэффициенты переноса обычно рассматриваются как заданные величины ). [c.236]

Метод Ланжевена для гидродинамических флуктуаций. [c.237]

Таким образом, применимость стохастических уравнений (9.2.24) к описанию нелинейных гидродинамических флуктуаций требует дополнительного исследования. [c.238]

Чтобы наметить путь к построению метода Ланжевена для нелинейных гидродинамических флуктуаций, сформулируем несколько иначе изложенную выше схему Ландау и Лифшица. Представим случайную компоненту тензора напряжений как сумму [c.239]

Мы видим, что динамические свойства линейных гидродинамических флуктуаций можно описать с помощью универсальных случайных источников / , и свойства которых не зависят от значений коэффициентов переноса и температуры. [c.239]

Для вывода уравнения Фоккера-Планка из стохастических уравнений гидродинамики (9.2.24) удобно записать их для набора переменных представляющих собой дискретные аналоги локальных переменных а (г, ) = (г, ), j(r, ), е(г, ) . Переход к дискретному описанию гидродинамических флуктуаций уже обсуждался в разделе 9.1.1, поэтому не будем на нем останавливаться. [c.240]

Уравнения (9.2.34) типичны для систем с мультипликативным шумом . Свойства таких уравнений хорошо изучены и существуют стандартные способы вывода из них уравнения Фоккера-Планка для функции распределения T a,t) [42, 72, 146]. Вообще говоря, явный вид уравнения Фоккера-Планка зависит от интерпретации стохастических уравнений (9.2.34). Можно показать (см. приложение 9Г), что в случае гидродинамических флуктуаций все интерпретации эквивалентны в том смысле, что все они приводят к одному и тому же уравнению Фоккера-Планка [c.241]

Более того, если случайные потоки даются выражениями (9.2.31), то в непрерывном пределе уравнение (9.2.36) переходит в функциональное уравнение Фоккера-Планка (9.1.66), полученное методом неравновесного статистического оператора из уравнения Лиувилля ). Это очень важный момент, так как возможность различных интерпретаций уравнений (9.2.34) вызвала в свое время возражения против метода Ланжевена в теории нелинейных гидродинамических флуктуаций [67-69]. Частично эти возражения были сняты в работах [45, 166]. Полное доказательство эквивалентности интерпретаций стохастических уравнений для нелинейных гидродинамических флуктуаций было дано в [132]. [c.241]

В этом параграфе мы рассмотрим линейные гидродинамические флуктуации в неравновесных системах. Особый интерес представляют флуктуации в стационарных состояниях, порождаемых статическими возмущениями типа внешнего градиента температуры или сдвига скорости течения. Такие состояния относительно легко создать в эксперименте. Кроме того, крупномасштабные флуктуации в неравновесных стационарных состояниях обладают рядом интересных свойств, отсутствующих у равновесных флуктуаций. Большинство этих свойств тесно связано с тем обстоятельством, что в стационарном неравновесном состоянии нарушена симметрия относительно обращения времени. Разумеется, здесь невозможно дать полное описание всех особенностей неравновесных флуктуаций. Основная цель состоит в том, чтобы проиллюстрировать общий подход, развитый в предыдущих параграфах. [c.242]

Теперь все готово для вычисления динамического структурного фактора в области низких частот. Но перед этим имеет смысл вернуться на минуту к формуле (9.3.65). Заметим, что флуктуации скорости играют роль дополнительного неравновесного шума , свойства которого кардинально отличаются от свойств теплового (молекулярного) шума, описываемого корреляционной функцией F В то время как интенсивность теплового шума не зависит от частоты и растет с ростом волнового числа [см. (9.3.63)], интенсивность неравновесного шума максимальна при малых а и к, т. е. в области гидродинамических флуктуаций. [c.254]

Здесь мы обсудим некоторые аспекты теории турбулентного движения в жидкостях с позиций общего подхода к гидродинамическим флуктуациям, изложенного в параграфах 9.1 и 9.2. Разумеется, наш анализ нельзя рассматривать как последовательную теорию турбулентности. Однако мы надеемся, что он указывает один из возможных путей к построению такой теории. [c.255]

Следуя методу Ланжевена в теории гидродинамических флуктуаций, для тензора возьмем выражение [ср. (9.2.31)] [c.257]

Докажем, что эти условия выполняются в теории гидродинамических флуктуаций, если переменные соответствуют локально сохраняющимся величинам. Для простоты ограничимся случаем однокомпонентной жидкости. [c.276]

В главе 9 мы отмечали, что статистическая теория крупномасштабных (гидродинамических) флуктуаций служит основой для описания процессов переноса в окрестности критической точки. За последние тридцать лет в теории фазовых переходов и критических явлений был достигнут существенный прогресс, но до сих пор даже наиболее микроскопические методы в критической динамике [30, 82] являются, по существу, феноменологическими. Эти методы, основанные на стохастических уравнениях переноса типа уравнений Ланжевена, которые обсуждались в разделе 9.2.3, позволяют вычислить так называемые динамические критические индексы для наиболее сильно расходящихся коэффициентов переноса. Однако более тонкие эффекты, связанные со слабыми аномалиями , не удается последовательно описать в рамках чисто феноменологического подхода ). По-видимому, здесь требуются новые принципы построения функционала энтропии для нелинейных флуктуаций, основанные на методе статистических ансамблей. [c.281]

Другой важной областью применения теории гидродинамических флуктуаций является проблема турбулентности. Хотя в настоящее время известен ряд качественных результатов и разработано много полуэмпирических схем расчета турбулентных течений в жидкостях и газах (см., например, [26, 71]), полной количественной теории турбулентности пока не существует. [c.281]

До СИХ пор при изучении процессов переноса мы не учитывали флуктуации гидродинамических переменных, возникающие в результате хаотического движения частиц или случайного внешнего воздействия на систему. Даже если эти флуктуации малы и не оказывают заметного влияния на среднее макроскопическое движение, они проявляются в некоторых интересных физических явлениях, например, при рассеянии света в жидкостях и газах [46]. Особый интерес представляют флуктуации, длина волны которых значительно больше, чем характерный микроскопический масштаб (меж-молекулярное расстояние в жидкостях и длина свободного пробега в газах), а время затухания которых превышает время установления локального равновесия в малых, но макроскопических объемах, содержащих большое число частиц. Такие крупномасштабные флуктуации обычно называют гидродинамическими флуктуацииями, так как их эволюция со временем описывается уравнениями, аналогичными уравнениям гидродинамики. [c.217]

Функционал энтропии. Папомним, что функционал энтропии S a) был определен через статистический вес W a) микроканонического ансамбля в котором базисные динамические переменные а г) имеют фиксированные значения а (г). Это определение неудобно для конкретных приложений теории, поскольку вычислить статистический вес W(а) из (9.1.14) очень трудно или вообще невозможно. Мы получим для функционала энтропии другое выражение, которое позволяет использовать в теории гидродинамических флуктуаций локальные уравнения состояния. [c.229]

Динамическую теорию крупномасштабных флуктуаций можно сформулировать на языке уравнений движения для гидродинамических нолей, рассматриваемых как случайные неременные. Этот подход является далеко идущим обобщением известного метода Ланжевена в теории броуновского движения [112]. Он был впервые использован Ландау и Лифшицем [23] для описания линейных гидродинамических флуктуаций вблизи равновесия, а затем применялся многими авторами к различным конкретным задачам. [c.237]

Основная идея метода Ланжевена в теории гидродинамических флуктуаций состоит во введении в уравнения переноса случайных источников , описывающих тепловой шум. После этого уравнения переноса становятся стохастическими дифференциальными уравнениями а их решения описывают не только регулярное (усредненное) движение, но и флуктуации на фоне этого движения. Средние значения случайных источников равны нулю, а их корреляции определяются из дополнительных условий самосо-гласования, например, из флуктуационно-диссипационной теоремы. Метод стохастических уравнений и метод уравнения Фоккера-Планка дополняют друг друга. Отметим, однако, что эти методы, вообще говоря, не эквивалентны. Мы видели, что уравнение Фоккера-Планка может быть выведено из фундаментального уравнения неравновесной статистической механики — уравнения Лиувилля, в то время как метод стохастических уравнений по своей сути является феноменологическим и его применимость необходимо обосновывать в каждом конкретном случае. Тем не менее, метод Ланжевена часто оказывается очень удобным, особенно при вычислении временных корреляционных функций флуктуаций. Поэтому представляет интерес построение стохастических гидродинамических уравнений, соответствующих уравнению Фоккера-Планка (9.1.63). [c.237]

Папомним сначала метод Ландау и Лифшица в теории линейных гидродинамических флуктуаций вблизи равновесного состояния. Исходным пунктом этого метода служат обычные гидродинамические уравнения, выражающие законы сохранения массы, импульса и энергии [c.237]

Папомним, что уравнения (9.2.24) содержат члены, описывающие мультипликативный шум . Поэтому нужно выбрать подходящую интерпретацию этих уравнений. В теории гидродинамических флуктуаций наиболее естественна интерпретация Стра-тоновича, которая предполагает обычные правила замены переменных в нелинейных стохастических уравнениях (см. [42, 72]). Таким образом для флуктуирующих переменных можно использовать локальные уравнения состояния и термодинамические соотношения, рассмотренные в разделе 9.2.1. К вопросу о возможности других интерпретаций мы вернемся позже. [c.240]

Линеаризованные уравнения Ланжевена для простой жидкости, в качестве примера рассмотрим линейные гидродинамические флуктуации в неравновесной однокомнонентной жидкости. Будем исходить из стохастических уравнений (9.2.24) для локальных неременных а (г, ) = е(г, ), j (r), (г, ) . Поскольку нас интересуют лишь линейные флуктуации около детерминированного движения, в выражениях (9.2.31) и (9.2.33) затравочные коэффициенты переноса можно заменить на наблюдаемые (локально-равновесные) коэффициенты. [c.245]

Напомним теперь, что в теории гидродинамических флуктуаций сингулярную дельтафункцию следует заменить на сглаженную функцию (9.1.61). Тогда получаем [c.277]

Новый аспект теории конвективной устойчивости развит в работе В. М. Зайцева и М. И. Шлиомиса [ ], рассмотревших поведение гидродинамических флуктуаций в подогреваемой снизу жидкости. Наряду с другими факторами (толчки, неравномерности подогрева и т. д.) флуктуации служат постоянным источником возмущений, а поэтому их изучение представляет особый интерес с точки зрения теории гидродинамической устойчивости. Гидродинамические флуктуации, вообще говоря, малы их энергия порядка кТ (Т — абсолютная температура, /г — постоянная Больцмана). Однако вблизи границы устойчивости равновесия или стационарного движения они становятся весьма значительными. [c.382]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...