Задача Лагранжа плоская

Величины Аз и А4 являются постоянными, а Аг(у) и Х у) — переменными множителями Лагранжа. При постановке частных вариационных задач некоторые из условий задачи 1 могут не использоваться. Например, в задаче о плоском профиле может не задаваться подъемная сила (. В этом случае в сумме (2.20) достаточно положить равным нулю соответствующий множитель Лагранжа. [c.71]

В качестве простого примера использования функции Лагранжа (27.3.11) рассмотрим снова задачу о плоском движении частицы в однородном поле g, направленном вдоль оси Оу. В атом случае [c.549]

С. А. Чаплыгин вывел свои уравнения для истинных координат, однако, в дальнейшем при решении задачи о плоском неголономном движении он использовал их, введя в качестве независимого параметра длину дуги, которая является квазикоординатой, причем С, А. Чаплыгин не отметил этого обстоятельства. Законность такого использования выведенных уравнений связана с тем, что вид уравнений С. А. Чаплыгина сохраняется и в том случае, когда некоторые из первых т координат (вариации которых приняты за независимые) не входят ни в уравнения связей, ни в функцию Лагранжа , а вместо них введены квазикоординаты. Обычно квазикоординаты вводятся в виде соотношений (как правило линейных) между производными квазикоординат и обобщенными скоростями, причем сами квазикоординаты в силу своей природы входить в эти соотношения не могут. Если I (I < т) — число координат, входящих в функцию L и уравнения связей, тогда, имея в виду применение уравнений Чаплыгина, можно ввести не более т—I квазикоординат. [c.110]

Введение в механику понятия квазикоординат и обобщение уравнений Лагранжа на квазикоординаты интересно тем, что оно позволило объединить в одной и той же форме обычные уравнения Лагранжа, уравнения движения неголономных систем и такие уравнения, как, например, динамические уравнения Эйлера движения твердого тела с закрепленной точкой ). Чтобы сделать очевидным важность этого обобщения не только с формальной стороны, заметим, что при исследовании движения конкретных механических систем существенную роль играет удачный выбор неизвестных параметров (обобщенных координат и квазикоординат), определяющих движение. Как известно, с использованием квазикоординат была поставлена и исследована задача Эйлера о движении по инерции твердого тела с закрепленной точкой. В квази-координатах же исследованы С. А. Чаплыгиным задача о плоском неголономном движении и трудная задача о качении неоднородного шара по плоскости. Квазикоординаты как некоторые кинематические характеристики движения, определяющие скорости движения точек системы, употреблялись в механике очень давно. Однако лишь на рубеже двадцатого века обобщенные координаты и эти кинематические параметры были объединены в одном общем понятии квазикоординат, а в подытоживающей работе Гамеля были получены уравнения движения в квазикоординатах, по форме написания близкие к уравнениям Лагранжа и применимые как к голономным, так и к неголономным системам ). Хотя по своему [c.123]

Задачи на определение линейных или угловых ускорений тел при их движении. Здесь возможно использование диф. уравнений вращательного или плоского движения тел, уравнений Лагранжа 2-го рода, общего уравнения динамики, теоремы об изменении кинетической энергии в дифференциальной форме. [c.120]

Движение точки, притягиваемой двумя неподвижными центрами, обратно пропорционально квадрату расстояния. Задача движения точки, притягиваемой двумя неподвижными центрами с силой обратно пропорциональной квадрату расстояния, была впервые приведена к квадратурам Эйлером для случая плоского движения. Лагранж дал общее решение, которое Якоби связал с методами интегрирования, излагаемыми в этой главе. [c.493]

Движение точки, притягиваемой двумя неподвижными центрами в отношении, обратно пропорциональном квадрату расстояния. Эта знаменитая задача рассматривалась впервые Эйлером, который показал, что в случае плоского движения она приводится к квадратурам. Рассмотренная снова Лагранжем, она была затем решена Якоби в эллиптических координатах при помощи метода разделения переменных способом, который мы кратко здесь изложим. [c.385]

Решение линейной задачи входа в сжимаемую жидкость тонкого тела с ромбовидным профилем [5] при /3 тг/2 переходит в соответствующее решение плоской задачи входа тонкого клина. В свою очередь, как показывает анализ соотношения (2.13), выражение для давления на кромке, полученное из интеграла Коши-Лагранжа с использованием равномерно пригодного решения, при /3 тг/2 и малых значениях М совпадает с соответствующей формулой для давления в носике клина [6]. [c.668]

Приведем пример построения функционала (21). Функционал Лагранжа и дополнительные условия для задачи изгиба плиты (см. гл. 4) в пространстве Е функций, определенных в плоской области S и принимающих любые значения на границе, имеют вид [c.24]

Сопоставление пяти методов решения этой задачи показывает, что наиболее эффективными являются первые два (теорема об изменении кинетической энергии в дифференциальной форме и уравнения Лагранжа). С помощью общего уравнения динамики также (но несколько сложнее) составляется лишь одно уравнение. Однако при этом приходится использовать формальный прием введения сил инерции. Применение метода кинетостатики и дифференциальных уравнений плоского движения приводит к составлению не одного, а двух уравнений и поэтому является более громоздким. При этом метод кинетостатики более сложен, ибо дополнительно связан с введением сил инерции. [c.570]

В статьях [55, 56] предлагается новый вариант теории трехслойных пластин с несжимаемым в поперечном направлении заполнителем, основанный на гипотезе ломаной нормали. Уравнения равновесия в перемещениях получены с помощью принципа Лагранжа. Формальным введением малого параметра в дифференциальные уравнения решение исходной задачи сведено к итерационному процессу, содержащему решение задачи об изгибе пластины на упругом основании и плоской задачи теории упругости. Точное решение получено для прямоугольной шарнирно-опертой по контуру пластины, найдена оценка погрешности приближенного решения, получаемого после произвольного числа итераций. Этими же авторами предложен метод расчета осесимметричных круглых трехслойных пластин с легким сжимаемым заполнителем на действие нагрузок, симметричных и обратносимметричных относительно срединной плоскости. Разложение нагрузок на составляющие позволяет упростить определение постоянных, входящих в общее решение задачи. [c.13]

Ю. Д. Соколов изучил также траектории общего соударения в обобщенной задаче трех тел. Ему принадлежит первое исследование трансцендентного уравнения Эйлера — Лагранжа, связывающего отношения взаимных расстояний с отношением масс в обобщенном случае. Он доказал, что при стремлении времени к моменту общего соударения три тела, вообще говоря, стремятся образовать предельную конфигурацию, соответствующую известным частным случаям Эйлера—Лагранжа, а также указал исключения из общего правила. Соколов исследовал пространственное симметрическое движение и, в частности, траектории общего соударения, с коллинеарной (на оси вращения) предельной конфигурацией. Он изучил также траектории обобщенной задачи трех тел в случае неограниченного расхождения точек системы для плоского и пространственного движения в течение конечного интервала времени. [c.114]

Если мембранные усилия равны нулю, то первое уравнение удовлетворяется тождественно, а второе превращается в уравнение С. Жермен — Лагранжа. Наиболее оправданы эти уравнения для пологих оболочек, метрику которых можно отождествить с плоской поэтому их часто именуют уравнениями теории пологих оболочек. Эти уравнения и ряд их обобщений использовались для решения задач динамики, устойчивости, для расчета оболочек с податливым контуром. Если вспомнить, из какой громоздкой системы уравнений они получены, то теорию пологих оболочек надо оценить как одно из наиболее изящных построений механики твердого тела. Неудивительно поэтому, что эта теория привлекла столь большое число последователей. [c.256]

Наибольший интерес представляет плоское безвихревое движение, для которого, кроме потенциала скоростей, существует еще функция тока, введенная впервые Лагранжам в 1781 г. кинематическая интерпретация функции тока, связанная с понятием линии тока, была дана значительно позднее (в 1864 г.) Рэнкиным. Наличие этих двух функций— потенциала скоростей и функции тока, удовлетворяющих в отдельности уравнениям Лапласа, позволило свести решение гидродинамической задачи к разысканию одной комплексной функции — комплексного потенциала. Подробное изложение этого метода, весьма близкого к современному, можно найти в двадцать первой лекции классических Лекций по математической физике (ч. 1, Механика) Кирхгоффа (1876). Отдельные задачи плоского безвихревого потока решались и ранее самим Кирхгоффом в 1845 г. и Гельмгольцем в 1868 г. Заметим, что с математической стороны эти задачи эквивалентны аналогичным задачам электростатики. Наряду с плоским стационарным безвихревым движением были изучена некоторые простейшие задачи нестационарного дви кения (Рэлей в 1878 г., Лэмб в 1875 г. и др.). Особенно больших успехов метод комплексной переменной достиг в теории обтекания тел со срывом струй, созданной трудами Гельмгольца, Кирхгоффа и Жуковского. Подлинного своего расцвета плоская задача безвихревого стационарного и нестационарного движения достигла в первую четверть нашего столетия в замечательных работах ученых московской школы, о чем еще будет речь впереди. [c.25]

В рамках плоской задачи основные уравнения гидродинамики, записанные в координатах Лагранжа в условиях, когда внешними массовыми силами являются силы земного притяжения, имеют вид [c.322]

При рассмотрении плоской задачи для несжимаемой жидкости мы прежде всего обратим внимание на построение кинематической картины течения при обтекании неподвижного тела или при движении тела в покоящейся жидкости. Это построение сводится к нахождению комплексного потенциала, т. е. к подбору такого распределения особых точек течения — вихревых п источников — на всей плоскости течения, которое при отсутствии тела давало бы ту же самую кинематическую картину течения, какая наблюдается при внесении тела в поток. Построив кинематическую картину течения, мы можем, применяя интеграл Бернулли для установившегося движения и интеграл Коши (Лагранжа) для неустановившегося, сделать расчет сил давлений на обтекаемое тело. [c.238]

Чтобы установить существование частных решений общей задачи трех тел, найденных Лагранжем заметим сначала, что если начальные скорости всех трех тел располагаются в плоскости треугольника, образованного начальными положениями этих гел, то три точки, Мо, М), Ма, всегда будут оставаться в этой плоскости, т. е. движение системы будет плоским ). [c.745]

Частные решения Лагранжа соответствуют плоским движениям в задаче трех тел, что. мы и покажем. [c.745]

Применим эти довольно скромные результаты к плоской задаче трех тел. В качестве исходных выберем решения Лагранжа, которые, согласно 16, во вращающейся системе координат являются равновесными решениями. Возьмем в качестве системы Гамильтона шесть дифференциальных уравнений (16 27), которые представляют собой результат исключения из уравнений движения интегралов центра инерции и интегралов площадей. Тогда если в случае равностороннего треугольника [c.282]

Однако фактически это не так. Действительно, мы покажем, что если сила притяжения пропорциональна не второй, а третьей степени расстояния, то утверждение (гг) 371 оказывается неверным Даже в случае трех тел, хотя десять интегралов имеются также и в этом случае. Не удивительно, что Лагранж считал основным достижением теории гомографических решений задачи трех тел доказательство того факта, что каждое гомографическое решение является плоским (конечно, в этом случае каждое решение является компланарным). [c.357]

Применение теории Гамильтона — Якоби к задаче Кеплера не только дает решение самой этой задачи, но и имеет большое значение для полуклассической квантовой теории. Будем сразу рассматривать плоское движение и запишем функцию Лагранжа в полярных координатах [c.63]

В отличие от переменных Эйлера, переменные Лагранжа а, Ь, с связаны с определенными частицами среды. Трехмерные уравнения движения в переменных Лагранжа слишком громоздки и поэтому используются редко. Однако одномерные задачи часто целесообразнее решать в переменных Лагранжа. Дело в том, что в переменных Лагранжа в одномерном случае задача легко сводится к решению только одного уравнения. Оно не содержит характерный для переменных Эйлера нелинейный член (уУ)у. Кроме того, в переменных Лагранжа просто записывается граничное условие для смещения излучающей поверхности. В окончательных же формулах сравнительно легко перейти от переменных Лагранжа к переменным Эйлера. Здесь мы вначале приведем формулы перехода от одних переменных к другим, а затем и основное уравнение для одномерного плоского движения. [c.55]

Релятивистский электрон в поле кулоновских сил. Рассмотрим плоскую задачу, определяя положение электрона полярными координатами. Функцию Лагранжа берем в виде [c.343]

В 12.1-12.6 рассматриваются задачи динамики плоского движения тела и системы тел. В зависимости от постановки задачи применяются различные методы. В некоторых случаях одну и ту же задачу можно решить несколькими способами. Так, задачи 12.3, 12.5, 12.6 можно решить с помопдью теоремы об изменении кинетической энергии системы, с помопдью обпдего уравнения динамики или уравнения Лагранжа 2-го рода. Заметим, что большинство трудностей при решении этих задач связаны с кинематикой. Рекомендуем повторить методы вычисления скоростей ( 8.1, 8.5) и ускорений ( 8.2) [c.226]

С точки зрения использования вычислительных методов лагранже-во описание движения в гидромеханике предпочтительно для одномерных задач (распространение плоской и сферической ударных волн, особенно в области развития скачка, положение которого заранее неизвестно), в то время как эйлерово описание широко используется при численных расчетах плоских и пространственных потоков, [c.44]

Вид левой части бпгар.монического уравнения соответствует виду левой части уравнения равновесия жестких пластин, а правая часть в отличие от уравнения С. Жермен — Лагранжа равна нулю. Для того чтобы представить основное уравнение плоской задачи в конечных разностях, можно воспользоваться выражением (8.40), заменив в левой части W на ф, а правую часть приравняв нулю. Тогда для некоторого узла О сетки будем иметь [c.213]

Принадлежность к энергетическому пространству оператора А устанавливается существованием компонентов напряжеяно-деформированного состояния, которые входят в соответствующий функционал. Так, для трехмерного и плоского напряженного состояния дифференциальный оператор А имеет второй порядок, в функционал Лагранжа входят первые производные по перемет щениям. Поэтому для их существования необходимо обеспечить непрерывность перемещений по области системы. Из тех же соображений при решении задач изгиба плиты или оболочек (порядок дифференциального оператора —4) необходимо обеспечить непрерывность как перемещений, так и их первых производных. [c.9]

Остановимся кратко на содержании главы. В разд. 2,2 на основе принципа виртуальных перемещений Лагранжа выведены основные соотношения подкрепленной ребрами криволинейной панели. В разд. 22.3 выделено элементарное решение Сопротивления материалов. Преобразование исходных уравнений для плоской панели к системе разрешающих уравнений содержится в разд. 2.4. Далее в разд. 2.5 изучено напряженно-деформированное состояние симметрично подкрепленной панели. Рассмотрена панель как конечной, так и бесконечной длины. Решение представлено в виде быстросходящихся рядов, даны результаты численных расчетов и программы расчета. В разд. 2.6 изучается эффект подкрепления панели на торце дополнительным ребром, работающим только иа изгиб. В разд. 2.7, как и в разд. 2.5, рассмотрена симметрично подкрепленная панель, но при кососимметрнчиом загруженин ребер парой сил. Решение отличается от полученного в разд. 2.5, так как требуется учитывать изгиб панели в ее плоскости. Решение доведено до числа. В разд. 2.8 рассмотрены панели с двумя ребрами разной жесткости для случа.я, когда поперечное перемещение панелн равно нулю или отлично от нуля. В разд. 2.9 на примере бесконечной пластины с полубесконечным ребром дается оценка погрешности решения путем введения гипотезы отсутствия поперечной деформации пластины. Эта оценка выполнена, путем срав неиня решения на основе упомянутой гипотезы с точным решением, полученным иа основе уравнений плоской теории упругости. Результаты этого раздела опубликованы Э. И. Грнголюком и В. М. Толкачевым [5]. В этой работе дана также общая постановка задач включения на основе гипотезы отсутствия поперечной деформации, рассмотрены задачи для пластины и ребра конечных размеров, для полубесконечной пластины с полубесконечным ребром, а также задача для защемленной по боковым сторонам полубесконечной полосы, нагруженной на торце постоянной распределенной нормальной нагрузкой. [c.68]

Осесимметричный контакт пластин. Первая работа, в которой рассмотрена осесимметричная контактнаи задача для круговой пластины, принадлежит, по-ви-димому, К. Гиркману [78] (1931 г.). В ней с позиции теории пластин С. Жермен-Лагранжа—Кирхгофа предполагалось, что первоначально неизогнутая пластина покоится на абсолютно жестком плоском основании и прижимается к основанию [c.208]

Наиболее замечате-ньные результаты были получены в XIX в. в области исследования плоских установившихся потенциальных течений несжимаемой жидкости. Еще Ж. Лагранж (1781) ввел функцию тока для плоских течений удовлетворяющую для безвихревых течений, как и потенциал скорости, уравнению Лапласа. Кинематическое истолкование функции тока было дано В. Ренкином Разработка аппарата теории функций комплексного переменного дала возможность широко развить методы исследования плоских задач движения несжимаемой жидкости, которые в самом начале развивались совместно со смежными исследованиями задач электростатики. Первые работы, в которых при помощи теории аналитических функций исследуются простейшие задачи электростатики и гидродинамики, относятся к 60-м годам. Существенное развитие области применения теории функций в гидродинамике связано с изучением открытого Г. Гельмгольцем класса так называемых струйных течений жидкости — течений со свободными ли-78 ниями тока, на которых давление сохраняется постоянным. Интерес к этим течениям возник в связи с попытками получить на основе модели идеальной жидкости реальные картины обтекания тел с образованием силы лобового сопротивления и без бесконечных скоростей. [c.78]

В 14.1 с помопдью уравнения Лагранжа 2-го рода решена задача о собственных колебаниях системы двух тел, совершаюпдих плоское движение. [c.227]

Двумерные головные части в рамках законов сонротивления Ньютона и Буземана головная часть, оптимальная но тепловому потоку пространственные тела, оптимальные при локальных законах сопротивления головная часть плоского тела, близкая к клину коэффициенты отражения от косого скачка и варьирование в полоске задний торец как участок краевого экстремума при задании длины тела профилирование сопла максимальной тяги линии разрыва множителей Лагранжа в двумерных задачах, регааемых обгцим методом множителей Лагранжа, примеры их появления звуковая линия тока как участок краевого экстремума оптимизация зазора гидродинамического радиального подгаипника. [c.357]

Плоские волны. Уравнения первого параграфа записаны в векторных и тензорных обозначениях. 1Г1ри этом подразумевалось использование эйлеровых координат. Однако рассмотрение плоских волн удобнее вести в переменных Лагранжа, особенно при аналитическом решении задач. Поэтому перейдем в уравнениях (1.1), (1.2) от переменной Эйлера л к переменной Лагранжа Последние связаны между собой формулой л = + а, где и — продольное перемещение [c.22]

Задача п точечных вихрей. Не следует думать, ч. уравнения Гамильтона появляются в механике лишь в результате применения к уравнениям Лагранжа преобразования Лежандра. Рассмотрим плоское стационарное течение идеальной несжимаемой жидкости. Пусть v=(a x, у), Ь х, i/))—поле скоростей ее частиц в декартовых координатах х, у. Из условия несжимаемости divt = 0 следует, что 1-форма ady—bdx является дифференциалом некоторой функции Yix, у). Уравнение движения частицы жидкости можно представить тогда в виде уравнения Гамильтона [c.36]

Пример 18 (Устойчивость треугольных точек либрации)- Плоская ограниченная круговая задача трех тел во вращающейся системе координат примера 10 имеет две степени свободы. Треугольные тояки либрации —ее положения равновесия [94]. Эти равновесия, как было известно еще Лагранжу, устойчивы в линейном приближении, если 1<Ц1== [c.212]

К настоящему времени обнаружено и исследовано огромное число периодических орбит. В этом разделе будет приведено только несколько примеров. В период 1913—1939 гг. Штрёмгреном и учеными копенгагенской школы было выполнено исчерпывающее исследование плоской ограниченной задачи при ц. = Уг, когда оба массивных тела имеют единичные массы и отстоят друг от друга на единичном расстоянии (рассмотренную ими специальную задачу обычно называют копенгагенской). Периодические орбиты в этой задаче симметричны относительно оси у (во вращающейся системе координат с началом в центре масс двух массивных тел). Что касается изучения эволюции периодических орбит внутри семейства, то выполненное ими исследование имеет огромную ценность, но ограничено случаем ц, = /4. Поскольку нам известно, что устойчивые периодические орбиты около треугольных точек Лагранжа существуют при ц < 0,0385 (значение ц = 0,0385 называется значением Рауса), то изучением одной копенгагенской задачи ограничиваться нельзя. [c.165]

Рассмотрим сначала плоскую стоячую волну, установившуюся между двумя плоскими параллельными жесткими границами, одна из которых неподвижна, а другая колеблется. Эта задача содержит в себе, как частный случай, и задачу Рэлея, в которой обе границы неподвижны. Рассмотрение проведем в переменных Лагранжа, с помош ью которых легко записать граничное условие на колеблюш ейся поверхности. [c.59]

Решение поставленной задачи найдем применением переменных Лагранжа. Определение стоячих колебаний конечной амплитуды с помощью переменных Лагранжа было предложено Я. И. Секерж-Зеньковичем [42], который впервые построил общую теорию стоячих волн конечной амплитуды ). Уравнения Лагранжа для плоских движений тяжелой жидкости пишутся так [c.663]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...