Задача Лагранжа

Условия (Ь) и (с) дают основания назвать тело, движущееся вокруг закрепленной точки и удовлетворяющее геометрическим условиям задачи Лагранжа, гироскопом ( 146). [c.437]

Для решения задач Лагранж развил в динамике общий приближенный метод, основанный на вариации произвольных постоянных ). [c.280]

В задаче Лагранжа и Пуассона доказать [c.202]

Теперь встает вопрос о том, как в этом случае сформулировать канонические уравнения движения Гамильтона. Первоначальная задача Лагранжа превращается в задачу [c.216]

Задача Гамильтона, отвечающая параметрической форме задачи Лагранжа, принимает, наконец, следующий вид. Отыскивается условие стационарности интеграла (6.10.9) при дополнительном условии (6.10.12). Условие (6.10.12) можно учесть методом неопределенных множителей [c.219]

Они определяют qri в зависимости от (и параметров дго, Рго, to)- Соотношения (15.8.1) представляют собой интегралы уравнений Лагранжа и определяют движение в -пространстве. Они дают нам, таким образом, общее решение задачи Лагранжа. Следует подчеркнуть, что уравнения (15.8.1), дают действительное явное выражение движения в g -пространстве, а не являются [c.277]

Легко проверить, что функция S обладает перечисленными ранее свойствами. Например, уравнения (15.8.1) дают нам решение задачи Лагранжа о движении в плоскости ху [c.281]

Решение, как мы видим, представляется в исключительно простой форме. Уравнения (16.5.6) определяют траекторию в -пространстве, не определяя скорости перемещения по пей, а уравнение (16.5.5) дает связь между положением на траектории и временем. Решение задачи Лагранжа разбивается, таким образом, на два этапа. Уравнения (16.5.7) заканчивают решение задачи Гамильтона. [c.290]

Решение задачи Лагранжа дается уравнением [c.295]

Здесь a есть простой нуль функции / (г) (см. 16.7) в большей части случаев движение представляет собой либрацию по г между двумя простыми нулями а я Ь функции / (г), причем / (г) > О, когда а < г < Ь. Решение задачи Лагранжа (движение частицы в плоскости) дается уравнениями [c.296]

Для решения задачи Лагранжа, описания движения в пространстве х, у, требуются лишь уравнения (17.3.1), (17.3.2) их можно записать кратко так [c.306]

Решение динамической задачи, таким образом, сводится к квадратурам. Уравнение (18.2.21) определяет траекторию в -пространстве (безотносительно ко времени). Уравнения (18.2.20), (18.2.21) дают решение задачи Лагранжа о движении в g -пространстве, а уравнения (18.2.20) — (18.2.22) — решение задачи Гамильтона о движении в фазовом пространстве. [c.333]

Сделаем еще одно замечание, касающееся теоремы Гамильтона — Якоби. Мы видели ( 16.2), что если S (q а t) представляет собой полный интеграл уравнения в частных производных Гамильтона, то решение задачи Лагранжа мон<но получить из п уравнений [c.492]

Подобно принципу Гамильтона ( 3.7), принцип наименьшего действия выражает необходимые и достаточные условия движения. Поэтому из пего можно вывести уравнения движения. Однако это сделать значительно трудней, чем из принципа Гамильтона, вследствие ограничения Е = h, накладываемого на движения вдоль варьированных путей. В этом случае мы имеем вариационную задачу Лагранжа. Мы приведем здесь этот вывод для натуральной системы. Согласно принципу наименьшего действия функционал h [c.546]

В решении задачи Лагранжа используется правило множителей, на которое мы уже ссылались в 26.1 и 26.2. Требуется составить условия стационарности функционала и [c.546]

Хотя не известно никакого обш его формального решения проблемы трех тел, однако существуют частные решения проблемы, известной как задача Лагранжа ), в которой конфигурация этих тел представляет собой либо жесткую прямую линию, либо треугольник это следующие движения [c.162]

В решении такой задачи Лагранж справедливо усматривал свое главное достижение. [c.269]

Требуется определить оптимальный закон изменения f t) и направления e t) вектора реактивного ускорения. Вариационная задача (26) сформулирована как динамическая вариационная задача Лагранжа с дифференциальными связями и краевыми условиями на местоположение и скорость. При отсутствии граничных управлений можно для решения задачи (26) применить аппарат вариационного исчисления. [c.533]

Задача Лагранжа движение точки вокруг протягивающего центра в однородном силовом поле (физический аспект этой задачи — эффект Штарка воздействие однородного электрического поля на движение в атоме водорода [19]). В некоторых координатах [c.223]

При е = О имеем вполне интегрируемую задачу Лагранжа. Поставим задачу о наличии дополнительного интеграла в виде формального ряда гю степеням е, коммутирующего с интегралом площадей. Ее решение проводится по схеме, изложенной в работе [76]. [c.189]

Оказывается [149]. при условиях (2.4) такого интеграла нет. Заметим, что при /] = 13 возмущенная задача вполне интегрируема (это снова задача Лагранжа), а при гз = О имеются интегрируемые задачи Ковалевской (Д = 2/з) и Горячева—Чаплыгина (/1 = 4/з, постоянная интеграла площадей равна нулю). Задача о наличии дополнительного интеграла при гз = О значительно сложнее здесь вековое множество В уже не обладает ключевым свойством. [c.190]

Сальникова Т, В. Неинтегрируемость возмущенной. задачи Лагранжа // Вестник Моек, ун-та. Сер, матем,, механ, —1984, N 4, 62-66, [c.423]

Движение тяжелого гироскопа (Задача Лагранжа—Пуассона) [c.461]

Принцип устойчивости требовался в основных космогонических задачах Лагранжем, Лапласом, Пуассоном, Пуанкаре, Ляпуновым. Наиболее широкое употребление он получил через применение теоремы Лагранжа об устойчивости равновесия при существованни силовой функции для описания развития равновесий медленно изменяющихся механических систем. Основные законы физики, как-то законы Гука, энтропии, закон всемирного тяготения Ньютона, сила Лоренца — удовлетворяют необходимым условиям принципа устойчивости ). [c.247]

Резюме. Канонические уравнения Гамильтона могут рассматриваться как решение задачи Лагранжа с подинтегральным выражением особо простой структуры. Переменными в этой вариацион юй задаче являются варьируемые независимо друг от друга qt и р,-. Подинтегральное выражение вариационной задачи приводится к нормальной форме [c.201]

Точечные преобразования Лагранжа. В лагранжевой механике позиционными координатами являются величины qi. Уравнения движения Лагранжа остаются инвариантными по отношению к произвольным точечным преобразованиям этих координат. В гамнльтоновой механике мы снова встречаемся с задачей Лагранжа, но уже при наличии 2п переменных qi и pi. Пространством конфигураций гамильтоновой механики является 2л-мерное фазовое пространство. На первый взгляд может показаться, что в нашем распоря- [c.227]

Если эти общие положения применить к задаче Лагранжа, то мы установим, что все наши допущения подтверждаются. Достаточно отнести плоскость к изотермической системе, образованной эллипсами и гиперболами, фокусами которых являются обе точки, притягивающие обратно йропорционально квад-ра расстояния. Если гиг обозначают расстояния какой-либо точки от этих двух фокусов, то мы положим [c.398]

Как уже отмечалось, п уравнений (16.1.4) дают решение задачи Лагранжа, так как с их помощью можно вхлразить каждоечерез а и р, а 2/г уравнений (16.1.4) и (16.1.5) дают решение задачи Гамильтона, так как с их помощью можно выразить q и рг через t, а и р. [c.283]

Сравнивая задачу Лагранжа с задачей акустической оитими-зации в общей ностановке (7.51) — (7.54), можно заметить, что здесь требуется минимизировать один функционал (7.56) при выполнении ограничений типа равенств (7.57) или [c.261]

Принцип Гамильтона, рассматриваемый как вариационный принцип стационарного действия, справедлив только для голономных систем. Невозможность непосредственного распространения интегральных принципов, установленных для голономных систем, на неголоном-ные системы была отмечена ещё Герцем [27]. Он обратил внимание на то, что не всякие две точки конфигурационного пространства могут быть соединены траекторией системы с неинтегрируемой дифференциальной связью. Первым, кто предложил интегральный принцип, пригодный для неголономных систем, по-видимому, был Гёльдер его принцип имеет форму интегрального равенства, не являющегося условием стационарности функционала он был получен при предположении перестановочности операций d w 5 (см. заметку 16). При этом, во-первых, варьированные траектории не удовлетворяют уравнениям неголономных связей, и во-вторых, уравнения движения неголономной системы не совпадают с уравнениями Эйлера вариационной задачи Лагранжа. Обсуждению этих двух вопросов посвящена обширная литература с начала двадцатого века и до настоящего времени. Приведём некоторые результаты [101. [c.142]

Примем для фазовых координат единое обозначение х, ...,х2п, и введём ещё одну координату, Х2п+, для перехода от задачи Лагранжа с функционалом (3) к задаче Майера-Больца. В пространстве с координатами х, ..., Х2п+1 с учётом уравнений (1) и функционала (3) имеем в векторной форме уравнения [c.236]

С. А. Довбыш [51] применил теорему 1 к изучению возмущений интегрируемой задачи Лагранжа из динамики твердого тела. Выбирая подходящим образом единицы массы, длины и времени, можно считать, что главные моменты инерции тела относительно точки закрепления равны /1 = /2 = 1, /3, координаты центра масс относительно осей инерции суть О, О, 1, а вес тела равен единице. Пусть с — постоянная интеграла площадей. [c.298]

В невозмущенной задаче асимптотические поверхности (7.2) сдвоены и все гомоклинные траектории нетрансверсальны. Оказывается, при малых возмущениях задачи Лагранжа равновесие (7.1) не исчезнет и снова будет точкой типа седло — фокус, но появятся трансверсальные гомоклинные траектории. Таким образом, к возмущенной задаче Лагранжа можно будет применить теорему 1. [c.299]

С. В. Болотин указал интересное применение теоремы 2 в динамике твердого тела. Речь идет о возмущении приведенной задачи Лагранжа, рассматривавшейся в п. 2. Если постоянная площадей равна нулю, то характеристические числа неустойчивого равновесия оказываются вещественными, и поэтому теорема Деванея неприменима. В [29] показано, что если тензор инерции не шаровой, и центр масс тела несколько смещен относительно оси динамической симметрии (при этом его г-координата отлична от нуля), то возмущенная задача Лагранжа допускает не являющуюся главной трансверсальную гомоклинную траекторию к слабо нерезонансному положению равновесия. Для построения нужной траектории используются идеи теории возмущений (см. 1). Эта задача обсуждается также в работе [51]. [c.301]

Довбыш С. А. Расщепление сепаратрис неустойчивых равномерных вращений и неинтегрируемость возмущенной задачи Лагранжа // Вестник Моск. ун-та. Сер. матем., механ. —1990, К 3, 70-77. [c.419]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...